空間向量的坐標表示(兩課時)--zhq修改

1、空間向量的空間向量的坐標表示坐標表示共線向量與共面向量共線向量與共面向量1.共線向量的定義：共線向量的定義：若表示若表示空間空間向量的有向線段所在的直線互相向量的有向線段所在的直線互相平行或平行或重合重合，則這些向量叫做，則這些向量叫做共線向量或平行向量共線向量或平行向量。ba/記記作作2.共線向量定理：共線向量定理：./),0(,bababba 使使存存在在唯唯一一實實數(shù)數(shù)對對于于空空間間任任意意兩兩個個向向量量注：注：零向量與任一向量是共線向量。零向量與任一向量是共線向量。作用：作用：判定線線平行（需說明不重合）判定線線平行（需說明不重合）一、共線向量一、共線向量.二、共面向量二、共面向量

2、., 于于平平面面平平行行則則稱稱內(nèi)內(nèi)或或在在平平行行于于平平面面所所在在直直線線若若aOAa /a記記作作BMabPpp2.共面向量基本定理：共面向量基本定理：byaxpyxbapba 使使存存在在實實數(shù)數(shù)對對共共面面與與不不共共線線與與,AA 1.向量與平面平行向量與平面平行:3 3、平面向量基本定理、平面向量基本定理這表明這表明:平面內(nèi)任一向量可以用該平面內(nèi)的兩個平面內(nèi)任一向量可以用該平面內(nèi)的兩個不共線不共線向量向量線性表示線性表示.如果如果 是平面內(nèi)的兩個是平面內(nèi)的兩個不共線不共線向量，那么對于這向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù)，有且只有一對實數(shù)

3、1,2，使，使得得12,e e a1 122aee ll=+我們把不共線的兩個向量我們把不共線的兩個向量 叫做表示這一平叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組面內(nèi)所有向量的一組基底基底.12,e e (2)空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底個基底.123123 ,e e ee e e 基底-基向量，使使的的有有序序?qū)崒崝?shù)數(shù)組組，那那么么對對空空間間任任一一向向量量不不共共面面，如如果果三三個個向向量量),(,321zyxpeee存存在在唯唯一一 321ezeyexp強調(diào)：對于基底強調(diào)：對于基底123 ,e e e 1231,e e e （ )不

4、共面123,30e e e （ ）中能否有 ?4 4、空間向量基本定理、空間向量基本定理: :如果空間一個基底的三個基向量是兩兩互相垂直如果空間一個基底的三個基向量是兩兩互相垂直,那么這個基底叫那么這個基底叫正交基底正交基底.特別地特別地，當一個正交基底的三個基向量都是單位當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時向量時,稱為稱為單位正交基底單位正交基底，通常用通常用 表示表示,ij k O A B CP,(x y z) OP xOA yOB zOC 推論：設(shè) 、 、 、 是不共面的四點，則對空間任一點都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 ， ， ，使得當當x+y+z=1時，必有時，必有P、A、B、C四點共面

5、四點共面.4 4、空間向量基本定理、空間向量基本定理: : p給定一個平面直角坐標系和向量給定一個平面直角坐標系和向量 ，i j 、且設(shè)且設(shè)分別為分別為x,y軸正方向上的單位向量，由平面向量基軸正方向上的單位向量，由平面向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 ( , )x y則有序?qū)崝?shù)組則有序?qū)崝?shù)組 叫做叫做 在平面直角坐標系在平面直角坐標系O-xyz中的坐標，中的坐標，p( , )x y上式可簡記作上式可簡記作( , )px y pxiy j 使得使得 1212(,),(,)aaabb b(1)若1122(,),(,)A xyB xy(2)若a b 則 1122(,)

6、,ab aba b 1122(,),ab aba12(,)(),aaRAB 則2121(,)xx yy則有序?qū)崝?shù)組則有序?qū)崝?shù)組 叫做叫做 在空間直角坐標系在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，中的坐標，p( , , )x y z xyzOA(x,y,z)p1e2e 3e上式可簡記作上式可簡記作( , , )px y z p給定一個空間直角坐標系和向量給定一個空間直角坐標系和向量 ，i j k 、 、且設(shè)且設(shè)分別為分別為x,y,z軸正方向上的單位向量，由空間向量軸正方向上的單位向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 ( , , )x y zpxiy jzk 使

7、得使得ab123123(,),(,)a aabb bb(1)設(shè)aaba則:112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,)aaa111222(,),(,)A abcB abc(2)若則AB 212121(,)aa bb cc(2, 3,5),( 3,1, 4)ab 例1、已知a b ab8a 解:,8ab aba 求(2, 3,5) ( 3,1, 4) ( 1, 2,1) (2, 3,5) ( 3,1, 4) (5, 4,9)8 (2, 3,5)(16, 24,40)例題例題2.正方體正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為的棱長為2,建立如圖所示坐標系建立如圖

8、所示坐標系.寫出下列向量的坐標寫出下列向量的坐標.AA1B1C1D1DCBzyx(1)AB 1(2)AB(3)AC1(4)AC 1(5)CD 1(6)C A(2,0,0)(2,0,2)(2,2,0)(2,2,2)( 2,0,2) ( 2, 2,2) 1( 3,2,5),(1,5, 1)ab 、已知;ab求(1);a b(2)3; a(3)6答案：（-2，7，4）（-10，1，16）（-18，12，30）2.已知已知 ,則則(3,5, 7),( 1,2,9)ABAC _BC 3.已知已知 ,若若則則y=_,z=_.(4, 2,6),( 2, , )mny z m n已知空間兩向量已知空間兩向量1

9、11222( ,),(,),(0)ax y zbxyza則則a b 121212,()xxyyzzR即對應坐標成比例即對應坐標成比例.4.判斷下列各組中的兩個向量是否共線判斷下列各組中的兩個向量是否共線.9(1)( 2,3,4,),(3, 6)2ab (2)(2,0, 4,),(4,1, 8)ab(3)(2,0, 4,),(4,0, 8)ab5.已知已知 ,若若則則a=_,b=_.(8,3, ),(2 , 6,5)ma nbm n例題例題3:(1)已知已知A(1,0,2),B(0,1,-2),C(0,0,3),若四邊若四邊形形ABCD是平行四邊形是平行四邊形,求點求點D的坐標的坐標.(2)已知

10、已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3),D(10,14,17),試判斷試判斷A,B,C,D四點是否共面四點是否共面.變變:已知已知A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10),D(8,4,9),試證明試證明:四邊形四邊形ABCD是梯形是梯形.空間向量的空間向量的坐標表示坐標表示第二課時第二課時2.2.空間向量數(shù)量積的坐標表示：空間向量數(shù)量積的坐標表示：設(shè)空間兩個非零向量設(shè)空間兩個非零向量111222()()axyzbxyz， ， ，12121 2a bx xy yz z則則4.4.空間兩點間的距離公式空間兩點間的距離公式已知、已知、 ，則，則111(,)A x

11、yz222(,)B xyz222212121()()()ABxxyyzz注：此公式的注：此公式的幾何意義是表幾何意義是表示長方體的對示長方體的對角線的長度。角線的長度。注意：注意：（1）當）當 時，同向；時，同向； （2）當）當 時，反向；時，反向； （3）當）當 時，。時，。cos,1 a b與 abcos,1 a b與 abcos,0 a bab思考：當思考：當 及及 時，時，的夾角在什么范圍內(nèi)？的夾角在什么范圍內(nèi)？1cos,0 a b,10cos a b6.6.空間兩非零向量垂直的條件空間兩非零向量垂直的條件12121 200 aba bx xy yz z(2, 3,5) ( 3,1,

12、4)a b (2, 3,5)( 3,1, 4)ab 2|2(3)5=4a （）88(2, 3,5)a (2, 3,5) ( 3,1, 4)2 ( 3) ( 3) 15 ( 4)-6 -3 -20a b （，）（ ， ）解解:例例1已知已知 (2,3,5),( 3,1,4),|,8 ,abab abaa a b 求2+ -3-3 +1 5+ -4 = -2（ ）+（ ） +（ ）(8 2, 3,5)=(16, 3,5) (2-3 -3-1 5-4 =(-1, 4,1)， ）(2, 3,5) ( 3,1, 4)a b (2, 3,5)( 3,1, 4)ab 222|2( 3)538a 88(2,

13、3,5)a (2, 3,5) ( 3,1, 4)2 ( 3) ( 3) 1 5 ( 4)29a b 解解:例例1已知已知 (2 ,3, 5 ),(3,1,4 ), |, 8,abab abaaab求(2+ -3-3 +15+ -4 =(-1,-2,1)（） ， （），（） )(8 2,83,8 5)=(16, 24,40) （ ）(2-3-3-1 5-4=(5, 4,9)（ ），（ ）2,7,410,1,1618,12,302( 3,2,5) (1,5, 1)a b 解解:33( 3,2,5) (1,5, 1)a b ( 9,6,15)(1,5, 1)=66( 3,2,5)a ( 3,2,5)

14、 (1,5, 1)3 1 2 5 5 ( 1)a b 1.已知3,2,5 ,1,5, 1 ,ab 求：（1）;ab（4）ab3;ab（2）6 ;a（3）例例2： 已知、，求：已知、，求：（1）線段的中點坐標和長度；）線段的中點坐標和長度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：設(shè)是的中點，則解：設(shè)是的中點，則(, )M x y zAB113()(3,3,1)1,0,52,3 ,222 OMOAOB點的坐標是點的坐標是.M32,32222(13)(03)(5 1)29 .ABOABMOxyz1A1C1D1BDCABEF1EFDA 因此因此1EFDA 即即111 1(, ) (1,0,1) 022

15、 2EF DA 所以所以1(1 ,1 ,)2E1 1( ,1)2 2F1(1, 0 ,1)A(0,0,0)D所以所以11 1(,)22 2EF 1(1,0,1)DA 1111111111114,-,.ABCD ABC DE FAB C DBEDF例 如圖 在正方體中點分別是的一個四等分點求與所成角的余弦值xOyzF1E1C1B1A1D1DABC13(1 , 1 , 0) ,1 , 1,4BE 11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF ，1311 , 1(1 , 1 , 0)0 , 1,44BE 1110 , 1(0 , 0 , 0)0 , 1.44DF ，111115BE0 , - 1

16、0 , 1=4416DF ，111717|, |.44B ED F 111111151516cos,.17|171744B ED FB ED FB ED F 所所 以以1115,17BED F因 此與所 成 角 的 余 弦 值 是111111111111 ,-,.ABCD ABC DE FAB C DBEDF例4 如圖 在正方體中點分別是的一個四等分點求與所成角的余弦值13(1 , 1 , 0) ,1 , 1,4BE 11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF ，131(1 , 1 , 0)1 , 10 , -1,44E B 1110 , 1(0 , 0 , 0)0 , 1.44DF ，

17、111717|, |.44E BD F 11111115-1516cos,-.17| |171744E BD FE BD FE BD F 所所 以以1115,-17BEDF因此與所成角的余弦值是F1E1C1B1A1D1DABCxOyz1115,17BEDF因此與所成角的余弦值是111115BE0 , -10 , 1= - 4416DF ，111111111111 ,-,.ABCD ABC DE FAB C DBEDF例4 如圖 在正方體中點分別是的一個四等分點求與所成角的余弦值11111222411,44/ /,/ /1 723 44 21 71 5 1 7A EA B A FA BE FA

18、FD FA FB EE FA E FA FE FA EC O SA F EA EE F解 ： 如 圖 ， 不 妨 設(shè) 正 方 體 的 棱 長 為，取連 接則 ，在中 ， A E = 2 ， A F = E F =1115,17BED F因 此與所 成 角 的 余 弦 值 是A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點，求證：中點，求證：D1F1111DCBAABCD 例例5.5.在正方體在正方體中，中，E、F分別是分別是BB1,1,，平面平面ADE 證明：設(shè)正方體棱長為證明：設(shè)正方體棱長為1， 為單位正交為單位正交 基底，建立如圖所示坐標系基底，建立如圖所示坐標系D-xyz，則可得：則可得：1,

19、DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 因因為為1100D F DAD F DE 所所以以，11D FDAD FDE 即即，DEDAD 又又所以所以1D FADE 平平面面112233(,) ;abababab123123(,),(,),aaaabbbb1.設(shè)則123(,), ();aaaaR112233.aba baba b112233(,)abababab一一.空間向量坐標運算空間向量坐標運算212121(,) ( ABaa bb cc 終點減起點）111222(,),(,),A abcBabc2 . 設(shè)則312121212133133223

20、,M=(,)222222abcabaabbccaabbcbccca（中點坐標公式）1112223(,),(,),M=, , )AB,A abcB aba b cc.設(shè)（是的中點 則1 12233=02;.0 aba ba ba ba b向量垂直123123( ,),( ,),aa a abb b b設(shè)則112233312123123/ /,();(01.)ababababRaaab b bbbb向量平行二二.空間向量平行與垂直空間向量平行與垂直三三. .距離公式距離公式（1 1）向量的長度（模）公式）向量的長度（模）公式（2 2）空間兩點間的距離公式）空間兩點間的距離公式222123| aa

21、aaaa ；222212121|()()()ABdABaabbcc 111222(,),(,),A a b cB abc2.設(shè)則cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb四四. .兩個向量夾角公式兩個向量夾角公式1.cos,1a b,0 aba b與 同向，即2.cos,1 a b,180 aba b與 反向，即3.cos,0 a b,90 aba b， 即 4.0cos,1 a b0 , 90a b.0,51 cos a b90 , 180a b12121122( ,),( ,), ( ,), (,)aa abb bA a bB a b設(shè)則1122(+,+)abab+a