同濟大學(高等數(shù)學)_第六篇_多元微積分學

1、第六篇 多元微積分學第九章 多元函數(shù)微分學及其應用我們以前學習的函數(shù)只有一個自變量，這種函數(shù)我們稱為一元函數(shù)一元函數(shù)的微積分解決了很多初等數(shù)學無法解決的問題但是，在實際問題中往往牽扯到多方面的因素，解決這類問題必須引進多元函數(shù)本章將在一元函數(shù)微分學的基礎上，討論多元函數(shù)的微分及其應用從一元函數(shù)的情形推廣到二元函數(shù)時會產生一些新的問題，而從二元函數(shù)推廣到二元以上的多元函數(shù)則可以類推通過本章的學習，學生要掌握多元函數(shù)微分學的基本原理以及解決幾何、經濟與管理、工程等領域的實際問題的具體方法.第1節(jié) 多元函數(shù)的基本概念1.1 平面點集為了介紹二元函數(shù)的概念，有必要介紹一些關于平面點集的知識，在一元函數(shù)

2、微積分中，區(qū)間的概念是很重要的，大部分問題是在區(qū)間上討論的在平面上，與區(qū)間這一概念相對應的概念是鄰域1.1.1 鄰域設是平面上的一定點，是某一正數(shù)，與點的距離小于的點的全體，稱為點的鄰域，記為，即,亦即 在幾何上表示以為中心，為半徑的圓的內部(不含圓周)上述鄰域去掉中心后，稱為的去心鄰域，記作.如果不需要強調鄰域的半徑，則用表示點的鄰域，用表示的去心鄰域1.1.2 區(qū)域下面用鄰域來描述平面上的點與點集之間的關系設是平面上的一個點集，是平面上的一點，則與的關系有以下三種情形：(1) 內點：如果存在的某個鄰域，使得，則稱點為的內點(2) 外點：如果存在的某個鄰域，使得，則稱為的外點(3) 邊界點：

3、如果在點的任何鄰域內，既有屬于的點，也有不屬于的點，則稱點為的邊界點的邊界點的集合稱為的邊界，記作例如：點集，除圓心與圓周上各點之外圓的內部的點都是的內點，圓外部的點都是的外點，圓心及圓周上的點為的邊界點；又如平面點集，直線上方的點都是的內點，直線下方的點都是的外點，直線上的點都是的邊界點(圖91)圖91顯然，點集E的內點一定屬于E；點集E的外點一定不屬于E；E的邊界點可能屬于E，也可能不屬于E如果點集E的每一點都是E的內點，則稱E為開集，點集是開集，不是開集設E是開集，如果對于E中的任何兩點，都可用完全含于E的折線連接起來，則稱開集E是連通集(圖92) 點集E1和E2都是連通的，點集不是連通

4、的(圖92)圖92連通的開集稱為開區(qū)域(開域)從幾何上看，開區(qū)域是連成一片的且不包括邊界的平面點集如E1是開區(qū)域開區(qū)域是數(shù)軸上的開區(qū)間這一概念在平面上的推廣開區(qū)域E連同它的邊界構成的點集，稱為閉區(qū)域(閉域)，記作 (即)閉區(qū)域是數(shù)軸上的閉區(qū)間這一概念在平面上的推廣如E2及都是閉域，而既非閉域，又非開域閉域是連成一片的且包含邊界的平面點集本書把開區(qū)域與閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域如果區(qū)域E可包含在以原點為中心的某個圓內，即存在正數(shù)，使，則稱E為有界區(qū)域，否則，稱E為無界區(qū)域例如E1是有界區(qū)域，E2是無界區(qū)域記E是平面上的一個點集，P是平面上的一個點如果點P的任一鄰域內總有無限多個點屬于點集E，則稱P為E的聚

5、點顯然，E的內點一定是E的聚點，此外，E的邊界點也可能是E的聚點例如，設，那么點既是的邊界點又是的聚點，但的這個聚點不屬于；又如，圓周上的每個點既是的邊界點，也是的聚點，而這些聚點都屬于由此可見，點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E再如點，原點是它的聚點，中的每一個點都不是聚點1.1.3 n維空間Rn一般地，由n元有序實數(shù)組的全體組成的集合稱為n維空間，記作Rn即n元有序數(shù)組稱為n維空間中的一個點，數(shù)xi稱為該點的第i個坐標類似地規(guī)定，n維空間中任意兩點與之間的距離為前面關于平面點集的一系列概念，均可推廣到n維空間中去，例如，是某一正數(shù)，則點的鄰域為以鄰域為基礎，還可以定義n維空間中內點、邊

6、界點、區(qū)域等一系列概念1.2 多元函數(shù)的概念1.2.1 n元函數(shù)的定義定義1 設D是中的一個非空點集，如果存在一個對應法則f , 使得對于D中的每一個點，都能由f 唯一地確定一個實數(shù)y，則稱f為定義在D上的n元函數(shù)，記為其中叫做自變量，y叫做因變量，點集D叫做函數(shù)的定義域，常記作取定，對應的叫做所對應的函數(shù)值全體函數(shù)值的集合叫做函數(shù)f的值域，常記為或，即當n=1時，D為實數(shù)軸上的一個點集，可得一元函數(shù)的定義，即一元函數(shù)一般記作；當n=2時，D為平面上的一個點集，可得二元函數(shù)的定義，即二元函數(shù)一般記作，若記，則也記作二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)多元函數(shù)的概念與一元函數(shù)一樣，包含對應法則和定

7、義域這兩個要素多元函數(shù)的定義域的求法，與一元函數(shù)類似若函數(shù)的自變量具有某種實際意義，則根據它的實際意義來決定其取值范圍，從而確定函數(shù)的定義域. 對一般的用解析式表示的函數(shù)，使表達式有意義的自變量的取值范圍，就是函數(shù)的定義域例1 在生產中，設產量Y與投入資金K和勞動力L之間的關系為（其中均為正常數(shù))這是以K，L為自變量的二元函數(shù)，在西方經濟學中稱為生產函數(shù)該函數(shù)的定義域為例2 求函數(shù)的定義域D，并畫出D的圖形解 要使函數(shù)的解析式有意義，必須滿足即,如圖93劃斜線的部分 圖93 圖941.2.2. 二元函數(shù)的幾何表示設函數(shù)的定義域為平面區(qū)域D，對于D中的任意一點，對應一確定的函數(shù)值這樣便得到一個三

8、元有序數(shù)組，相應地在空間可得到一點當點P在D內變動時，相應的點M就在空間中變動，當點P取遍整個定義域D時，點M就在空間描繪出一張曲面S (圖94)其中而函數(shù)的定義域D就是曲面S在xO y面上的投影區(qū)域例如表示一平面；表示球心在原點，半徑為1的上半球面1.3二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限概念是一元函數(shù)極限概念的推廣二元函數(shù)的極限可表述為定義1 設二元函數(shù)的定義域是某平面區(qū)域D，P0為D的一個聚點，當D中的點P以任何方式無限趨于0時，函數(shù)值f(P)無限趨于某一常數(shù)A，則稱A是函數(shù)當P趨于P0時的(二重)極限記為或，此時也稱當時的極限存在， 否則稱的極限不存在若點的坐標為，點的坐標為，則上式又可寫為或

9、 f (x, y)A（xx，yy）類似于一元函數(shù)，無限趨于A可用來刻畫，點無限趨于可用刻畫，因此，二元函數(shù)的極限也可如下定義定義2 設二元函數(shù)的定義域為D，是D的一個聚點，A為常數(shù)若對任給的正數(shù)，不論多小，總存在，當，且時，總有則稱A為當時的(二重)極限注 定義中要求是定義域D的聚點，是為了保證在P0的任何鄰域內都有D中的點注意到平面上的點趨近于的方式可以多種多樣：可以從四面八方趨于，也可以沿曲線或點列趨于定義1指出：只有當以任何方式趨近于，相應的都趨近于同一常數(shù)A時，才稱A為當時的極限如果以某些特殊方式(如沿某幾條直線或幾條曲線)趨于時，即使函數(shù)值趨于同一常數(shù)A，我們也不能由此斷定函數(shù)的極限

10、存在但是反過來，當P在D內沿不同的路徑趨于時，趨于不同的值，則可以斷定函數(shù)的極限不存在二元函數(shù)極限有與一元函數(shù)極限相似的運算性質和法則，這里不再一一敘述例3 設判斷極限是否存在?解 當沿x軸趨于時，有y=0，于是；當沿y軸趨于時，有x=0，于是但不能因為以上述兩種特殊方式趨于時的極限存在且相等，就斷定所考察的二重極限存在因為當沿直線)趨于時，有，這個極限值隨k不同而變化，故不存在例4 求下列函數(shù)的極限：(1) ；(2)； (3)解(1)(2)當時，有這時，函數(shù)有界，而y是當x0且y0時的無窮小，根據無窮小量與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小量，得(3) 從例4可看到求二元函數(shù)極限的很多方法與一元函數(shù)相

11、同1.4 二元函數(shù)的連續(xù)性類似于一元函數(shù)的連續(xù)性定義，我們用二元函數(shù)的極限概念來定義二元函數(shù)的連續(xù)性定義3 設二元函數(shù)在點的某鄰域內有定義，如果,則稱函數(shù)在點處連續(xù)，稱為的連續(xù)點；否則稱在處間斷(不連續(xù))，稱為的間斷點與一元函數(shù)相仿，二元函數(shù)在點處連續(xù)，必須滿足三個條件：函數(shù)在點有定義；函數(shù)在處的極限存在；函數(shù)在處的極限與處的函數(shù)值相等，只要三條中有一條不滿足，函數(shù)在處就不連續(xù)由例3可知，在處間斷；函數(shù)在直線上每一點處間斷如果在平面區(qū)域D內每一點處都連續(xù)，則稱在區(qū)域D內連續(xù)，也稱是D內的連續(xù)函數(shù)，記為在區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)的圖形是一張既沒有“洞”也沒有“裂縫”的曲面一元函數(shù)中關于極限的運算法則對于

12、多元函數(shù)仍適用，故二元連續(xù)函數(shù)經過四則運算后仍為二元連續(xù)函數(shù)(在商的情形要求分母不為零)；二元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)與一元初等函數(shù)類似，二元初等函數(shù)是可用含的一個解析式所表示的函數(shù)，而這個式子是由常數(shù)、的基本初等函數(shù)、的基本初等函數(shù)經過有限次四則運算及復合所構成的，例如,等都是二元初等函數(shù)二元初等函數(shù)在其定義域的區(qū)域內處處連續(xù)與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質相類似，有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)有如下性質性質1(最值定理) 若在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上必取得最大值與最小值推論 若在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上有界性質2 (介值定理) 若在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，M和m分別是在D上的最大值與最小值，

13、則對于介于M與m之間的任意一個數(shù)C，必存在一點,使得以上關于二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質，可類推到三元以上的函數(shù)中去習題911判斷下列平面點集哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集？并分別指出它們的聚點組成的點集和邊界.(1) ； (2) ；(3) 2求下列函數(shù)的定義域，并畫出其示意圖：(1)； (2)；(3)； (4)3設函數(shù)，求(1); (2)； (3) .4討論下列函數(shù)在點處的極限是否存在：(1) ； (2)5求下列極限：(1) ； (2)； (3)； (4)6證明：二元函數(shù)在點連續(xù)7設二元函數(shù)，試判斷在點處的連續(xù)性8函數(shù)在何處是間斷的？第2節(jié) 偏導數(shù)與全微分

14、2.1 偏導數(shù)的概念2.1.1 偏導數(shù)的定義在研究一元函數(shù)時，我們從研究函數(shù)的變化率引入了導數(shù)概念由于二元函數(shù)的自變量有兩個，關于某點處函數(shù)的變化率問題相當復雜，因此我們不能籠統(tǒng)地講二元函數(shù)在某點的變化率在這一節(jié)，我們考慮二元函數(shù)關于某一個自變量的變化率，這就是偏導數(shù)的概念設函數(shù)在點的某鄰域內有定義，x在有改變量，而保持不變，這時函數(shù)的改變量為，稱為函數(shù)在處關于的偏改變量(或偏增量)類似地可定義關于的偏增量為有了偏增量的概念，下面給出偏導數(shù)的定義定義1 設函數(shù)在的某鄰域內有定義，如果存在，則稱此極限值為函數(shù)在處關于x的偏導數(shù),并稱函數(shù)在點處關于x可偏導記作類似地，可定義函數(shù)在點處關于自變量y的

15、偏導數(shù)為，記作如果函數(shù)在區(qū)域D內每一點處的偏導數(shù)都存在，即存在，則上述兩個偏導數(shù)還是關于x，y的二元函數(shù)，分別稱為z對x，y的偏導函數(shù)(簡稱為偏導數(shù))并記作不難看出，在關于x的偏導數(shù)就是偏導函數(shù)在處的函數(shù)值，而就是偏導函數(shù)在處的函數(shù)值由于偏導數(shù)是將二元函數(shù)中的一個自變量固定不變，只讓另一個自變量變化，相應的偏增量與另一個自變量的增量的比值的極限；因此，求偏導數(shù)問題仍然是求一元函數(shù)的導數(shù)問題求時，把y看做常量，將看做x的一元函數(shù)對x求導；求時，把x看做常量，將看做y的一元函數(shù)對y求導三元及三元以上的多元函數(shù)的偏導數(shù)，完全可以類似地定義和計算，這里就不討論了例1 求函數(shù)在點處的偏導數(shù)解 將y看成常

16、量，對x求導得；將x看成常量，對y求導得再將代入上式得例2 求函數(shù)的偏導數(shù)解 ，例3 設，求證：證 因為，所以 例4 求函數(shù)的偏導數(shù)解 將y和z看做常量，對x求導得，同樣可得，2.1.2 二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義由于偏導數(shù)實質上就是一元函數(shù)的導數(shù)，而一元函數(shù)的導數(shù)在幾何上表示曲線上切線的斜率，因此，二元函數(shù)的偏導數(shù)也有類似的幾何意義設在點處的偏導數(shù)存在，由于就是一元函數(shù)在處的導數(shù)值，即，故只須弄清楚一元函數(shù)的幾何意義，再根據一元函數(shù)的導數(shù)的幾何意義，就可以得到的幾何意義在幾何上表示一曲面，過點作平行于xz面的平面，該平面與曲面相截得到截線：若將代入第一個方程，得可見截線是平面上一條平面曲線，在

17、上的方程就是從而表示在點處的切線對x軸的斜率(圖9-5)同理，表示平面與的截線：在處的切線對y軸的斜率(圖95)圖95例5 討論函數(shù)在點(0,0)處的兩個偏導數(shù)是否存在解 同樣有這表明在處對x和對y的偏導數(shù)存在，即在處兩個偏導數(shù)都存在由上節(jié)例3知：該函數(shù)在處不連續(xù)本例指出，對于二元函數(shù)而言，函數(shù)在某點的偏導數(shù)存在，不能保證函數(shù)在該點連續(xù)但在一元函數(shù)中，我們有結論：可導必連續(xù)這并不奇怪，因為偏導數(shù)只刻畫函數(shù)沿x軸與y軸方向的變化率，存在，只能保證一元函數(shù)在x0處連續(xù)，即與的截線在處連續(xù)同時只能保證在處連續(xù)，但兩曲線,在處連續(xù)并不能保證曲面在處連續(xù)2.2 高階偏導數(shù)設函數(shù)在區(qū)域D內具有偏導數(shù)=,那

18、么在D內及都是x, y的二元函數(shù)如果這兩個函數(shù)的偏導數(shù)還存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導數(shù)按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數(shù)：， ，其中 (或)與 (或)稱為的二階混合偏導數(shù)同樣可定義三階，四階，n階偏導數(shù)二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)例6 求函數(shù)的所有二階偏導數(shù)和解 因為=y+2xsiny, =x+x2cosy,所以 =2siny, 12xcosy, =1+2xcosy, =x2siny， 從本例我們看到,即兩個二階混合偏導數(shù)相等，這并非偶然事實上，有如下定理定理1 如果函數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù)和在區(qū)域D內連續(xù)，則在該區(qū)域內有定理1表明：二階混合偏導數(shù)在連續(xù)的條件下與求導的次

19、序無關.對于二元以上的函數(shù)，也可以類似的定義高階偏導數(shù)，而且高階混合偏導數(shù)在偏導數(shù)連續(xù)的條件下也與求導的次序無關例7 驗證函數(shù)滿足方程 解 所以 ，故 =2.3 全微分2.3.1 全微分的概念我們知道，一元函數(shù)如果可微，則函數(shù)的增量 y可用自變量的增量x的線性函數(shù)近似求得在實際問題中，我們會遇到求二元函數(shù)的全增量的問題，一般說來，計算二元函數(shù)的全增量 z更為復雜，為了能像一元函數(shù)一樣，用自變量的增量x與 y的線性函數(shù)近似代替全增量，我們引入二元函數(shù)的全微分的概念定義2 設函數(shù)在的某鄰域內有定義，如果函數(shù)z在處的全增量可表示成，其中A，B是與x，y無關，僅與有關的常數(shù)，o（）表示當x0，y0時關

20、于的高階無窮小量，則稱函數(shù)在處可微，而稱為在點處的全微分，記作或，即若在區(qū)域D內處處可微，則稱在D內可微，也稱是D內的可微函數(shù)在處的全微分記作dz，即二元函數(shù)在點P(x,y)的全微分具有以下兩個性質：(1) 是的線性函數(shù)，即；(2) ,，因此，當都很小時，可將作為計算 z的近似公式多元函數(shù)在某點的偏導數(shù)即使都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)但是對于可微函數(shù)卻有如下結論：定理2 如果函數(shù)在點處可微，則函數(shù)在該點必連續(xù)這是因為由可微的定義，得，即 即函數(shù)在點處連續(xù)一元函數(shù)可微與可導是等價的，那么二元函數(shù)可微與可偏導之間有何關系呢?定理3 如果函數(shù)在點處可微，則在該點的兩個偏導數(shù)都存在，且有證 因為函

21、數(shù)在點處可微，故，令，于是由此得 ，即 同理可證得 定理3的逆命題是否成立呢? 即二元函數(shù)在某點的兩個偏導數(shù)存在能否保證函數(shù)在該點可微分呢? 一般情況下答案是否定的如函數(shù)在處兩個偏導數(shù)都存在，但在處不連續(xù)，由定理2知，該函數(shù)在處不可微但兩個偏導數(shù)既存在且連續(xù)時，函數(shù)就是可微的我們不加證明地給出如下定理定理4 如果函數(shù)在處的偏導數(shù)存在且連續(xù)，則函數(shù)在該點可微類似于一元函數(shù)微分的情形，規(guī)定自變量的微分等于自變量的改變量即，于是由定理3有以上關于二元函數(shù)的全微分的概念及結論，可以類推到三元以上的函數(shù)中去比如若三元函數(shù)在點處可微，則它的全微分為例8 求下列函數(shù)的全微分： (1) ； (2) 解 (1)

22、 因為,，所以(2) 因為，,，所以 例9 求在點處的全微分解 因,得，于是 3.1.2全微分的運算法則類似于一元函數(shù)微分的運算法則，有定理5 (全微分四則運算法則) 設，在處可微，則1) 在處可微，且;2) 若k為常數(shù)，在點處可微，且；3) 在點處可微，且;4) 當g(x,y)0時，在點處可微，且 例10 求的全微分解 ，習題921求下列各函數(shù)的偏導數(shù)：(1) ; (2) ； (3) ； (4) 2已知，求，3設，求4設，求證：5求下列函數(shù)的所有二階偏導數(shù)(1) ; (2) ； (3) ； (4) 6設，求及7驗證滿足8求下列函數(shù)的全微分.(1) ； (2) ； (3 ) ； (4) 9設，

23、求10設求第3節(jié) 多元復合函數(shù)和隱函數(shù)的求導法則3.1復合函數(shù)的求導法則3.1.1 復合函數(shù)的求導法則現(xiàn)在要將一元函數(shù)微分學中復合函數(shù)的求導法則推廣到多元復合函數(shù)的情形，多元復合函數(shù)的求導法則在多元函數(shù)微分學中也起著重要作用定理1 設函數(shù)), 其中,如果函數(shù),都在x點可導，函數(shù)在對應的點處可微，則復合函數(shù)在x處可導，且 (9-3-1)證 設自變量x的改變量為x，中間變量和的相應的改變量分別為u和v，函數(shù)z的改變量為z因在處可微，由可微的定義有，其中,，且，故有因為和在點x可導，故當時，u0，v0，0，在上式中令x0，兩邊取極限，得注意，當x0時，0這是由于，這說明x0時，是有界量，為無窮小量從

24、而0（x0）用同樣的方法，可以得到中間變量多于兩個的復合函數(shù)的求導法則比如,而,，則 （9-3-2）例1 設，,求解 利用公式(9-3-1)求導，因為 ，,，所以 本題也可將,代入函數(shù)中，再用一元函數(shù)的取對數(shù)求導法，求得同樣的結果觀察公式(9-3-1) ，(9-3-2)可以知道，若函數(shù)z有2個中間變量，則公式右端是2項之和，若z有3個中間變量，則公式右端是3項之和，一般地，若z有幾個中間變量，則公式右端是幾項之和，且每一項都是兩個導數(shù)之積，即z對中間變量的偏導數(shù)再乘上該中間變量對x的導數(shù)公式(9-3-1),(9-3-2)可借助復合關系圖來理解和記憶圖96公式(9-3-1) ，(9-3-2)稱為

25、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則上述定理還可推廣到中間變量依賴兩個自變量x和y的情形關于這種復合函數(shù)的求偏導問題，有如下定理：定理2 設在(u,v)處可微，函數(shù)及在點的偏導數(shù)存在，則復合函數(shù)在處的偏導數(shù)存在，且有如下的鏈式法則 （9-3-3）可以這樣來理解（9-3-3）：求時，將y看做常量，那么中間變量u和v是x的一元函數(shù)，應用定理1即可得但考慮到復合函數(shù)以及與都是x, y的二元函數(shù)，所以應把（9-3-1）中的全導數(shù)符號“”改為偏導數(shù)符號“”公式（9-3-3）也可以推廣到中間變量多于兩個的情形例如，設,的偏導數(shù)都存在，函數(shù)可微，則復合函數(shù)對x和y的偏導數(shù)都存在，且有如下鏈式法則 （9-3-4）特別對

26、于下述情形：可微，而的偏導數(shù)存在，則復合函數(shù)對x及y的偏導數(shù)都存在，為了求出這兩個偏導數(shù)，應將f中的變量看做中間變量：此時， 由公式（9-3-4）得 （9-3-5）注 這里與的意義是不同的是把中的u與y都看做常量對x的偏導數(shù)，而卻是把二元復合函數(shù)中y看做常量對x的偏導數(shù)公式（9-3-3），（9-3-4），（9-3-5）可借助圖97理解圖97例2 設, 求解 ，例3 設可微，求對x及y的偏導數(shù)解 引入中間變量,由(9-3-3)得， 注 記號與分別表示對第一個變量與第二個變量在(）處的偏導數(shù)，可簡寫為與，后面還會用到這種表示方法例4 設，下面給出經濟學中經常遇到的齊次函數(shù)的概念設函數(shù)的定義域為D，

27、且當時，對任給的tR，t0，仍有如果存在非負常數(shù)k，使對任意的，恒有，則稱二元函數(shù)為k次齊次函數(shù)k=1時，稱為線性齊次函數(shù)例5 證明k次齊次函數(shù)滿足證明 在中，令，當取定一點時是t的一元函數(shù)，于是有又因為，所以有因此，對任意的t，有.3.1.2 全微分形式不變性我們知道一元函數(shù)的一階微分形式具有不變性，多元函數(shù)的全微分形式也具有不變性下面以二元函數(shù)為例來說明設具有連續(xù)偏導數(shù)，則有全微分如果u,v是中間變量，即,，且這兩個函數(shù)也具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)的全微分為可見，無論z是自變量u,v的函數(shù)還是中間變量u,v的函數(shù)，它的全微分形式都是一樣的，這種性質叫做多元函數(shù)的全微分形式的不變性例6 利用

28、一階全微分形式的不變性求函數(shù)的偏導數(shù)與全微分解 引入中間變量，則因此 ，3.2 隱函數(shù)的偏導數(shù)在一元函數(shù)的微分學中，我們曾介紹了隱函數(shù)的求導方法：方程兩邊對x求導，再解出y現(xiàn)在我們介紹隱函數(shù)存在定理，并根據多元復合函數(shù)的求導法導出隱函數(shù)的求導公式3.2.1 一個方程的情形定理3 設函數(shù)在點的某一鄰域內有連續(xù)的偏導數(shù)且,，則方程在點的某鄰域內惟一確定一個具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并且有 (9-3-6)公式(9-3-6)就是隱函數(shù)的求導公式這里僅對公式(9-3-6)進行推導將函數(shù)代入方程得恒等式其左端可以看作是x的一個復合函數(shù)，上式兩端對x求導，得由于連續(xù)，且，所以存在點的一個鄰域，在這個鄰

29、域內，所以有如果的二階偏導數(shù)也都連續(xù)，我們可以把(9-3-6)的兩端看作x的復合函數(shù)而再一次求導，得到例7 驗證方程在點的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)的隱函數(shù)且時，并求這個函數(shù)的一階與二階導數(shù)在的值解 設，則.由此，由定理3可知，方程在點的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)的隱函數(shù)且時.所以 ，；例8 設, 求解法一 令，則由公式(9-3-6)得解法二 方程兩邊對x求導，注意y是x的函數(shù)，得解得 注 在第一種方法中x與y都視為自變量，而在第二種方法中要將y視為x的函數(shù)y(x)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)，下面介紹三元方程確定二元隱函數(shù)的定理定理4 設函數(shù)在點的某鄰域內具有連續(xù)的偏導

30、數(shù)，且，則方程在點的某一鄰域內能惟一確定一個有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并且有 (9-3-7)這里僅對公式(9-3-7)進行推導將函數(shù)代入方程得恒等式其左端可以看作是x和y的一個復合函數(shù)，上式兩端對x和y求導，得由于連續(xù)，且，所以存在點的一個鄰域，在這個鄰域內，所以有例9 設求解 設，則當時，得所以 3.2.2 方程組情形方程組 （9-3-8）中有四個變量，一般其中只能有兩個變量獨立變化，因此方程組（9-3-8）就可以確定兩個二元函數(shù)下面給出方程（9-3-8）能確定兩個二元函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)的條件以及求u,v的偏導數(shù)公式定理5 設，在點的某鄰域內具有對各個變量的連續(xù)偏導

31、數(shù)，又，且偏導數(shù)組成的函數(shù)行列式（稱為雅可比( Jacobi )式）在點不等于零，則方程組（9-3-8）在點的某鄰域內惟一確定連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的兩個函數(shù)，它們滿足，且有， ， (9-3-9)定理5我們不證，關于公式(9-3-9)作如下推導：由于上述等式兩邊對x求偏導得由假設可知在點的某鄰域內，系數(shù)行列式，解上述二元線性方程組得，同理可得公式(9-3-9) 的另外兩個式子例10 設,求解 方程兩邊對x求偏導，注意u,v是x,y的二元函數(shù)，得將看成未知量，解上述方程組，在系數(shù)行列式時，方程組有唯一解.類似的，在系數(shù)行列式的條件下，可求得一般求方程組所確定的隱函數(shù)的導數(shù)(或偏導數(shù))，通常不用公式

32、法，而是對各方程的兩邊關于自變量求導(或求偏導)，得到所求導數(shù)(或偏導數(shù))的方程組，再解出所求量例11 設函數(shù),方程確定u是x, y的函數(shù)，其中可微；連續(xù)，且，求證：解 隱函數(shù)看成由方程組所確定當然同時還確定了另一函數(shù)對方程組的兩個方程關于x求偏導，得解得 類似地可求得 故 習題931求下列復合函數(shù)的偏導數(shù)或導數(shù)：(1) 設，求；(2) 設，求; (3) 設，求;(4) 設，求;(5) 設，求;(6) 設，求.2設，其中為可微函數(shù)，驗證：3設，其中為可微函數(shù)，證明：4設，求5設，求和6求下列函數(shù)的(其中f 具有二階偏導數(shù))：(1) ； (2); (3) 7設，證明：.8求下列隱函數(shù)的導數(shù)：(1

33、) 設，求； (2) 設，求；(3) 設，求； (4) 設，求.9設，求.10設有連續(xù)偏導數(shù)，和分別由方程和確定，求 11設證明12設都是由方程所確定的具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)，證明13求由下列方程組所確定的函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)：(1) 設，求； (2) 設，求； (3) 設，其中具有一階連續(xù)偏導數(shù)，求. 14設函數(shù)由方程組所確定，求第4節(jié) 方向導數(shù)和梯度4.1 方向導數(shù)利用二元函數(shù)的偏導數(shù)可以解決函數(shù)沿平行于坐標軸方向的變化率問題在許多實際問題中，還需要考慮函數(shù)沿其他方向的變化率如要預報某地的風速(風力與風向)，就必須知道氣壓在該處沿某些方向的變化率因此，有必要引進多元函數(shù)在某點沿一給定方向的方向

34、導數(shù)的概念定義1 設函數(shù)在點的某一鄰域內有定義，為自點引出的射線，從x軸的正向逆時針轉到射線l的轉角為，為l上的另一點，記 (圖98)如果極限存在，則稱該極限值為函數(shù)在處沿方向l的方向導數(shù)，記作或，即 （9-4-1）圖98定義中的極限表達式還可表示成另一形式設l的方向向量為e，則l的參數(shù)方程為所以，從而(9-4-1)式可表示為 （9-4-2）關于方向導數(shù)存在的條件及計算方法，有如下的定理定理1 如果函數(shù)在點處可微分，則函數(shù)在該點處沿任何方向l的方向導數(shù)都存在，且 = （9-4-3）證 由于函數(shù)在點處可微分，因此函數(shù)的增量為， 因為 ，所以 從而得到這表明了方向導數(shù)是存在的，且有例1 求函數(shù)在點

35、處從點到的方向的方向導數(shù)解 這里射線l的方向就是向量的方向，將單位化得：，得 ， ，由偏導數(shù)連續(xù)可知函數(shù)在xOy平面上是可微的，所以公式9-4-3)還有另外的形式：設與l同向的單位向量為，其中，分別為l與x軸正向和y軸正向所成夾角(方向角)則當滿足定理1的條件時，有 （9-4-4）同樣可以證明：如果函數(shù)函數(shù)在點可微分，那么函數(shù)在該點沿著方向的方向導數(shù)為 （9-4-5）例2 求函數(shù)在點沿l的方向的方向導數(shù)，其中l(wèi)的方向角分別為解 與l同方向的單位向量為：所以有函數(shù)在xOy平面上是可微的，所以4.2 梯度函數(shù)在某點沿方向l的方向導數(shù)刻畫了函數(shù)沿方向l的變化情況，那么函數(shù)在某點究竟沿哪一個方向增加最

36、快呢?為此將函數(shù)在處的方向導數(shù)的公式改寫為，這里el(cos，sin)和為兩個向量，且el(cos，sin)為與方向l一致的單位向量，于是有可見，g與el的方向一致(亦即g與l的方向一致)時，達到最大，即函數(shù)變化最快，的最大值為，即于是給出梯度的定義定義2 設在點處存在偏導數(shù)和,則稱向量為函數(shù)在點P處的梯度，記作（或)，即梯度的長度(或模)為 故函數(shù)在點P處沿方向l的方向導數(shù)可寫為梯度方向就是函數(shù)值增加最快的方向，或者說函數(shù)變化率最大的方向，也就是說函數(shù)在P點處的所有方向導數(shù)(若存在)中，沿梯度方向的方向導數(shù)最大，并且等于梯度的長度；沿梯度反方向的方向導數(shù)最小且為例3 設，求在點處沿任意方向的

37、方向導數(shù)，并求方向導數(shù)的最大值和取得最大值的方向解 因為，所以由于沿梯度方向的方向導數(shù)最大，且最大方向導數(shù)為梯度的長度，而，graDf因此在處方向導數(shù)的最大值為，取得最大值的方向為例4 設，求及解 因為 ，所以有習題941求在點(1，2)處沿該點到點(2，2+)的方向的方向導數(shù)2求在點(1，1，1)處沿該點到點(2，2，2)的方向的方向導數(shù)3求在點(1，1，2)處沿方向l的方向導數(shù)，其中l(wèi)的方向角分別為4求函數(shù)在點A(0，0，0)和點處的梯度以及它們的模5求函數(shù)在點處沿與Ox軸的正方向所成角為的方向l上的方向導數(shù)問在什么情況下，此方向導數(shù)取得最大值？最小值？等于零？6求函數(shù)在點處變化最快的方向

38、,并求這個方向的方向導數(shù)第5節(jié) 多元函數(shù)的應用5.1 多元函數(shù)微分學的幾何應用5.1.1 空間曲線的切線與法平面設空間曲線的參數(shù)方程為：這里假定在上可導. 現(xiàn)在要求曲線上一點處的切線和法平面. 這里，. 在曲線上點的附近取一點. 作曲線的割線，其方程為，其中.以除上式各分母，得，當點M沿著趨于點M0時割線的極限就是曲線在點M0處的切線. 所以當Dt®0，即M®M0時, 得曲線在點M0處的切線方程為. 曲線的切向量: 切線的方向向量稱為曲線的切向量. 向量T 就是曲線在點M0處的一個切向量. 法平面: 通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線在點M0 處的法平面，其法平面方程為

39、. 例1 求曲線在點處的切線及法平面方程. 解 因為，而點所對應的參數(shù).所以切線的方向向量為.于是, 切線方程為,法平面方程為 即. 若曲線的方程為：則曲線方程可看作參數(shù)方程:若都在處可導，由上面的討論知，切向量為T .因此曲線在點處的切線方程為，在點處的法平面方程為.若曲線的方程為是曲線上的一個點. 設有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，且這時方程組在點的附近能確定惟一連續(xù)可微的隱函數(shù)組使得 在方程組的兩邊分別對取導數(shù)，得到故可解得所以，得到曲線在點處的切線方程為曲線在點處的法平面方程為 同理可推出：當和時，曲線在點處的切線方程和法平面方程. 例2 求曲線在點處的切線及法平面方程. 解 為求切向量，將

40、所給方程的兩邊對x 求導數(shù).得,解方程組得，. .所求切線方程為,法平面方程為即 .5.1.2 曲面的切平面與法線 設曲面的方程為 是曲面上的一點，并設函數(shù)的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零. 在曲面上，過點任意引一條曲線,假定曲線的參數(shù)方程式為,對應于點且不全為零. 曲線在點的切向量為T .曲面方程兩端在的全導數(shù)為： .引入向量n=易見T與n是垂直的.因為曲線是曲面上通過點的任意一條曲線，它們在點的切線都與同一向量n垂直，所以曲面上通過點的一切曲線在點的切線都在同一個平面上. 這個平面稱為曲面在點的切平面. 切平面的方程式是.曲面的法線: 通過點且垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線. 法線方

41、程為.曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量. 向量 n =就是曲面在點處的一個法向量. 例3 求球面在點處的切平面及法線方程式. 解 , . 法向量為n = 或n =. 所求切平面方程為 即.法線方程為 . 討論: 若曲面方程為，問曲面的切平面及法線方程式是什么形式.提示: 此時. n = .例4 求旋轉拋物面在點處的切平面及法線方程. 解 n=,n.所以在點處的切平面方程為，即.法線方程為.5.2 多元函數(shù)的極值及其求法5.2.1 多元函數(shù)的極值與最值類似一元函數(shù)的極值概念，我們有多元函數(shù)極值的概念定義1 設函數(shù)的定義域為， 為的內點. 若存在的某個鄰域，對于該鄰域內異于

42、的任意點，都有，則稱函數(shù)在點有極大值，點稱為函數(shù)的極大值點；若對于該鄰域內異于的任意點，都有，則稱函數(shù)在點有極小值，點稱為函數(shù)的極小值點極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值使函數(shù)取得極值的點稱為函數(shù)的極值點例如：函數(shù)在點處取得極小值；函數(shù)在點處取得極大值；而函數(shù)在點處既不取得極大值也不取得極小值這是因為，而在點的任何鄰域內，既可取正值(、象限)，也可取負值(、象限)以上關于二元函數(shù)的極值的概念，可推廣到元函數(shù). 設元函數(shù)的定義域為， 為的內點. 若存在的某個鄰域，對于該鄰域內異于的任意點，都有（或），則稱函數(shù)在點有極大值(或極小值).由一元函數(shù)取極值的必要條件，我們可以得到類似的二元函數(shù)取極值的必要

43、條件定理1(極值存在的必要條件) 設函數(shù)在點處的兩個一階偏導數(shù)都存在，若是的極值點，則有證 若是的極值點，則固定變量，所得的一元函數(shù)在處取得相同的極值由一元函數(shù)極值存在的必要條件可得，即同樣可證 使得兩個一階偏導數(shù)都等于零的點稱為的駐點定理1表明，偏導數(shù)存在的函數(shù)的極值點一定是駐點，但駐點未必是極值點如，是它的駐點，但不是它的極值點函數(shù)也有可能在偏導數(shù)不存在的點取得極值如在處取得極大值，但該點的偏導數(shù)不存在怎樣判斷一個駐點究竟是否為極值點？下面給出一個判定定理定理2 (極值存在的充分條件) 設點是函數(shù)的駐點，且函數(shù)在點處的某鄰域內具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，記， 則有(1) 如果，則為的極值點；且當

44、時，為極小值；當時，為極大值(2) 如果，則不是的極值點(3) 如果，則不能確定點是否為的極值點例5 求的極值解 由方程組得駐點又 , ，在點處，又，所以函數(shù)取得極小值；在點處，函數(shù)在該點不取得極值；在點處，該點不是極值點；在點處，又，所以函數(shù)取得極大值與一元函數(shù)類似，我們也可提出如何求多元函數(shù)的最大值和最小值問題如果在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則函數(shù)在D上必有最大(小)值，最大(小)值點可以在D的內部，也可以在閉區(qū)域D的邊界上如果在D的內部取得最大(小)值，那么這最大(小)值也是函數(shù)的極大(小)值，在這種情況下，最大(小)值點一定是極大(小)值點之一因此，要求函數(shù)在有界閉區(qū)域D上的最大(小)值時，

45、需將函數(shù)的所有極大(小)值與邊界上的最大(小)值比較，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值這種處理方法遇到的麻煩是求區(qū)域邊界上的最大(小)值往往相當復雜例6 求二元函數(shù)在由直線，x軸和y軸所圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值解 由得，和，其中點在區(qū)域D的內部又 利用定理2：，因此點是的極大值點，為極大值再考慮區(qū)域D的邊界上的函數(shù)值：在邊界及上，在邊界上，將代入中，得記，令得或已考慮，時，這時比較以上各函數(shù)值：，,可知在閉域D上的最大值為，最小值為在實際問題中，如果能根據實際情況斷定最大(小)值一定在D的內部取得，并且函數(shù)在D的內部只有一個駐點的話，那么肯定這個駐點處的函數(shù)值就是在D上的最大(小

46、)值例7 某廠要用鋼板制造一個容積為的有蓋長方形水箱，問長、寬、高各為多少時能使用料最省?解 要使得用料最省，即要使得長方體的表面積最小，設水箱的長為x，寬為y，則高為，表面積由，得駐點(，）由題意知，表面積的最小值一定存在，且在開區(qū)域的內部取得，故可斷定當長為，寬為，高為=時，表面積最小，即用料最省的水箱是正方形水箱5.2.2 條件極值和拉格朗日乘數(shù)法以上討論的極值問題，除了函數(shù)的自變量限制在函數(shù)的定義域內以外，沒有其他約束條件，這種極值稱為無條件極值但在實際問題中，往往會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件限制的極值問題，這類極值問題稱為條件極值問題例如：假設某企業(yè)生產、兩種產品，其產量分別為，

47、該企業(yè)的利潤函數(shù)為同時該企業(yè)要求兩種產品的產量滿足的附加條件為怎樣求企業(yè)的最大利潤呢?直接的做法就是消去約束條件，從中，求得，然后將代入利潤函數(shù)中得這樣問題轉化為無條件極值問題按照一元函數(shù)的求極值方法，令得，再代入附加條件得因此，當企業(yè)生產5個單位的A產品和7個單位的B產品時，可獲利潤最大，最大利潤為但是很多情況下，要從附加條件中解出某個變量不易實現(xiàn)，這就迫使我們尋求一種求條件極值的直接方法，拉格朗日乘數(shù)法能夠解決這個問題我們來分析函數(shù)在條件 下取得極值的必要條件如果函數(shù)在處取得極值，則有假定在的某一鄰域內函數(shù)與均有連續(xù)的一階偏導數(shù)，而且. 由隱函數(shù)存在定理可知，方程確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù),將其代入，得函數(shù)在取得的極值，相當于函數(shù)在點取得的極值由一元可導函數(shù)取得極值的必要條件可知而由隱函數(shù)的求導公式有，把它代入上式得這個式子與就構成了函數(shù)在條件下在