空氣中PM2.5的建模研究

1、高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）：我們的參賽報(bào)名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號的話）：

2、所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年月日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號）：高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時(shí)使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號）空氣中PM2.5問題的建模研究摘要空氣質(zhì)量問題始終是政府、環(huán)境保護(hù)部門和全國人民關(guān)注的熱點(diǎn)問題，因此，對空氣質(zhì)量的監(jiān)測、預(yù)報(bào)和控制工作顯得尤為重要。本文通過建立相關(guān)因素分析模型、PM2.5的

3、時(shí)空分布及污染評估模型、基于滿意度的最優(yōu)化模型和多目標(biāo)非線性規(guī)劃模型等對空氣質(zhì)量監(jiān)測指標(biāo)對人類健康危害極大的細(xì)顆粒物PM2.5的濃度進(jìn)行深入研究分析。對于問題一，在關(guān)于PM2.5的相關(guān)因素分析中，眾多的因素對PM2.5有無統(tǒng)計(jì)上的聯(lián)系，直接觀察無法得到結(jié)論。因此本文構(gòu)建了Pearson相關(guān)系數(shù)模型，通過積差方法計(jì)算相關(guān)系數(shù)，以兩變量與各自平均值的離差為基礎(chǔ)，通過兩個(gè)離差的乘積來反映兩變量之間相關(guān)程度，并通過SPSS軟件進(jìn)行相關(guān)性分析從而給出6個(gè)基本監(jiān)測指標(biāo)的相關(guān)性分析。對于問題二，要求描述該地區(qū)內(nèi)PM2.5的時(shí)空分布及其規(guī)律，并結(jié)合環(huán)境保護(hù)部新修訂的環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分區(qū)進(jìn)行污染評估。用EXCE

4、L繪制西安市13個(gè)監(jiān)測點(diǎn)的PM2.5含量隨時(shí)間變化圖，并選取兩組方差最大的地區(qū)繪制它們的PM2.5含量隨時(shí)間變化圖。根據(jù)這兩個(gè)圖分析該地區(qū)內(nèi)PM2.5的時(shí)空分布及其規(guī)律，并分區(qū)進(jìn)行污染評估。對于問題三，空氣質(zhì)量的控制管理主要包括綜合治理和專項(xiàng)治理兩個(gè)方面，實(shí)際生活中我們采用二者結(jié)合的方案逐年達(dá)到治理目標(biāo)。為平衡預(yù)定PM2.5減排計(jì)劃和投入經(jīng)費(fèi)合理化要求，本節(jié)建立基于滿意度的最優(yōu)化模型和多目標(biāo)非線性規(guī)劃模型，從而給出五年投入總經(jīng)費(fèi)和逐年經(jīng)費(fèi)投入的合理預(yù)算計(jì)劃。關(guān)鍵詞：Pearson相關(guān)因素模型 PM2.5的時(shí)空分布及污染評估模型 基于滿意度的最優(yōu)化模型 多目標(biāo)非線性規(guī)劃模型 SPSS軟件一、問題

5、重述空氣質(zhì)量問題始終是政府、環(huán)境保護(hù)部門和全國人民關(guān)注的熱點(diǎn)問題，因此，對空氣質(zhì)量的監(jiān)測、預(yù)報(bào)和控制工作顯得尤為重要，國家和地方政府均制定了相應(yīng)的政策、法規(guī)和管理辦法。啟用空氣質(zhì)量指數(shù)AQI作為新的空氣質(zhì)量監(jiān)測指標(biāo)，以代替原來的空氣質(zhì)量監(jiān)測指標(biāo)空氣污染指數(shù)API (Air Pollution Index) AQI作為無量綱指數(shù)，它的分項(xiàng)監(jiān)測指標(biāo)為6個(gè)基本監(jiān)測指標(biāo)（二氧化硫、二氧化氮、可吸入顆粒物PM10、細(xì)顆粒物PM2.5、臭氧和一氧化碳CO等6 項(xiàng)）。新標(biāo)準(zhǔn)中，首次將產(chǎn)生灰霾的主要因素對人類健康危害極大的細(xì)顆粒物PM2.5的濃度指標(biāo)作為空氣質(zhì)量監(jiān)測指標(biāo) 2。新監(jiān)測標(biāo)準(zhǔn)的發(fā)布和實(shí)施，將會(huì)對空氣

6、質(zhì)量的監(jiān)測，改善生存環(huán)境起到重要的作用。針對空氣質(zhì)量問題的研究，本題主要對如下三個(gè)問題進(jìn)行討論研究：一、關(guān)于PM2.5的相關(guān)因素分析：對AQI中6個(gè)基本監(jiān)測指標(biāo)的相關(guān)與獨(dú)立性進(jìn)行定量分析，尤其是對其中PM2.5（含量）與其它5項(xiàng)分指標(biāo)及其對應(yīng)污染物（含量）之間的相關(guān)性及其關(guān)系進(jìn)行分析。二、PM2.5的分布與演變及應(yīng)急處理：描述該地區(qū)內(nèi)PM2.5的時(shí)空分布及其規(guī)律，并結(jié)合環(huán)境保護(hù)部新修訂的環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分區(qū)進(jìn)行污染評估。三、空氣質(zhì)量的控制管理根據(jù)要求給出合理的PM2.5年平均治理計(jì)劃，即給出每年的全年年終平均治理指標(biāo)。為數(shù)據(jù)1所在地區(qū)設(shè)計(jì)有效的專項(xiàng)治理計(jì)劃，使得既達(dá)到預(yù)定PM2.5減排計(jì)劃,同

7、時(shí)使經(jīng)費(fèi)投入較為合理，要求你給出五年投入總經(jīng)費(fèi)和逐年經(jīng)費(fèi)投入預(yù)算計(jì)劃，并論述該方案的合理性。二、問題分析問題一要求對AQI中6個(gè)基本監(jiān)測指標(biāo)的相關(guān)與獨(dú)立性進(jìn)行定量分析，尤其是對其中PM2.5（含量）與其它5項(xiàng)分指標(biāo)及其對應(yīng)污染物（含量）之間的相關(guān)性及其關(guān)系進(jìn)行分析。由于PM2.5的影響因素太多，直接觀察無法得到結(jié)果，因此本文建立Pearson相關(guān)系數(shù)模型，通過兩個(gè)離差的乘積來反映兩變量之間相關(guān)程度。問題二要求描述該地區(qū)內(nèi)PM2.5的時(shí)空分布及其規(guī)律，并結(jié)合環(huán)境保護(hù)部新修訂的環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分區(qū)進(jìn)行污染評估。根據(jù)對附件2、附件3中的數(shù)據(jù)的分析，構(gòu)建PM2.5的時(shí)空分布及污染評估模型，由于高壓開關(guān)

8、廠和小寨地區(qū)的PM2.5含量數(shù)據(jù)方差最大，因此畫出其PM2.5隨時(shí)間的變化規(guī)律圖，以研究PM2.5的空間變化問題。用EXCEL分別作出13個(gè)監(jiān)測點(diǎn)PM2.5含量的平均值，按照國家環(huán)境保護(hù)部新修訂的環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn), 對13個(gè)監(jiān)測點(diǎn)進(jìn)行環(huán)境空氣功能分區(qū)與評估。問題三要求給出合理的PM2.5年平均治理計(jì)劃、五年投入總經(jīng)費(fèi)以及逐年經(jīng)費(fèi)投入預(yù)算計(jì)劃，通過構(gòu)建效用函數(shù)來表明規(guī)劃決策的滿意度，治理滿意度F越高，則說明治理方案越合理。減少PM2.5的排放與投入總經(jīng)費(fèi)最少這兩個(gè)約束條件之間存在矛盾性，不能夠同時(shí)滿足，因此本題為多目標(biāo)規(guī)劃問題，分別給出對各目標(biāo)的分析。同時(shí)，為簡化多目標(biāo)非線性函數(shù)的求解，我們采用

9、主要目標(biāo)法將多目標(biāo)非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化為以投入總經(jīng)費(fèi)最少為主要目標(biāo)的單目標(biāo)規(guī)劃，建立模糊多目標(biāo)非線性規(guī)劃模型，從而給出五年投入總經(jīng)費(fèi)和逐年經(jīng)費(fèi)投入的合理預(yù)算計(jì)劃。三、問題假設(shè)1、假設(shè)每年各自減少的年平均濃度符合一個(gè)遞減等比數(shù)列，其等比數(shù)列的公比為q。2、假設(shè)忽略對PM2.5產(chǎn)生影響的其他因素，僅考慮PM2.5的專項(xiàng)治理和綜合治理問題。四符號說明符號解釋說明皮爾遜相關(guān)系數(shù)表示第i年減少的年平均濃度為關(guān)于的效用函數(shù) 表示為PM2.5減少的年平均濃度為的前提下綜合治理的滿意度投入總經(jīng)費(fèi)為表示經(jīng)專項(xiàng)治理PM2.5減少的年平均濃度注：在此僅給出主要符號說明，具體細(xì)分符號論文過程中會(huì)給出詳細(xì)說明。五、模型的建立

10、與求解5.1 PM2.5的相關(guān)因素分析模型5.1.1相關(guān)性分析對于眾多的因素對于PM2.5有無統(tǒng)計(jì)上的聯(lián)系，直接觀察是得不到結(jié)論的，所以我們使用了Pearson相關(guān)系數(shù)模型，相關(guān)系數(shù)是按積差方法計(jì)算，同樣以兩變量與各自平均值的離差為基礎(chǔ)，通過兩個(gè)離差相乘來反映兩變量之間相關(guān)程度。 ， （1）， （2）我們使用了附件一中的數(shù)據(jù)，為了簡化計(jì)算，在這里我們使用了SPSS軟件進(jìn)行相關(guān)性分析，得到的結(jié)論如下表5-1所示：表5-1 描述性統(tǒng)計(jì)量均值標(biāo)準(zhǔn)差N二氧化硫28.1917.724238二氧化氮63.1124.475238可吸入顆粒物79.1633.129236一氧化碳25.8114.110238臭氧

11、52.0533.795238PM2.5108.9474.696238表5-2 相關(guān)性二氧化硫二氧化氮可吸入顆粒物一氧化碳PM2.5臭氧二氧化硫Pearson 相關(guān)性1.807*.678*.659*.726*-.179*顯著性（雙側(cè)）.000.000.000.000.006N238238236238238238二氧化氮Pearson 相關(guān)性.807*1.727*.626*.734*-.063顯著性（雙側(cè)）.000.000.000.000.336N238238236238238238可吸入顆粒物Pearson 相關(guān)性.678*.727*1.586*.779*-.069顯著性（雙側(cè)）.000.000

12、.000.000.295N236236236236236236一氧化碳Pearson 相關(guān)性.659*.626*.586*1.822*-.381*顯著性（雙側(cè)）.000.000.000.000.000N238238236238238238PM2.5Pearson 相關(guān)性.726*.734*.779*.822*1-.352*顯著性（雙側(cè)）.000.000.000.000.000N238238236238238238臭氧Pearson 相關(guān)性-.179*-.063-.069-.381*-.352*1顯著性（雙側(cè)）.006.336.295.000.000N238238236238238238*. 在

13、 .01 水平（雙側(cè)）上顯著相關(guān)。紅色字體標(biāo)注的為我們所需要的結(jié)果結(jié)果分析：由運(yùn)行結(jié)果可知，PM2.5與二氧化硫、二氧化氮、可吸入顆粒物、一氧化碳、臭氧均顯著相關(guān)，其Pearson相關(guān)系數(shù)分別為0.726、0.734、0.779、0.822、-0.352，則表明PM2.5與二氧化硫、二氧化氮、可吸入顆粒物、一氧化碳呈顯著正相關(guān)；與臭氧呈負(fù)相關(guān)。 PM2.5的分布與演變及應(yīng)急處理5.2.1總體思路：該問題要求描述該地區(qū)內(nèi)PM2.5的時(shí)空分布及其規(guī)律，并結(jié)合環(huán)境保護(hù)部新修訂的環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分區(qū)進(jìn)行污染評估。用excel繪制西安市13個(gè)監(jiān)測點(diǎn)的PM2.5含量隨時(shí)間變化圖，并選取兩組方差最大的地區(qū)繪

14、制它們的PM2.5含量隨時(shí)間變化圖。根據(jù)這兩圖來分析該地區(qū)內(nèi)PM2.5的時(shí)空分布及其規(guī)律，并分區(qū)進(jìn)行污染評估。5.2.2 PM2.5的時(shí)空分布及污染評估模型：步驟一 研究PM2.5隨時(shí)間變化問題：由excel繪制13個(gè)監(jiān)測點(diǎn)的PM2.5含量隨時(shí)間變化圖如圖1：圖1 13個(gè)監(jiān)測點(diǎn)的PM2.5含量隨時(shí)間變化圖從下圖可以看出13個(gè)監(jiān)測點(diǎn)PM2.5數(shù)據(jù)變化趨勢和幅度基本一致，而且隨著時(shí)間的推移在波動(dòng)中呈逐漸下降趨勢。且可以看出冬季PM2.5的含量明顯高于春季，說明季節(jié)因素對PM2.5有很大影響。而季節(jié)因素主要影響風(fēng)向變化，由此可推斷出風(fēng)向也是影響PM2.5含量的重要因素。 步驟二 研究PM2.5隨空間

15、間變化問題：由于高壓開關(guān)廠和小寨地區(qū)的PM2.5含量數(shù)據(jù)方差最大，因此畫出其PM2.5隨時(shí)間的變化規(guī)律圖，以研究PM2.5的空間問題，變化圖2如所示。由圖可看出，小寨的PM2.5含量比高壓開關(guān)廠明顯滯后。查閱資料得知高壓開關(guān)廠位于西安西面，距離市中心約5km，小寨位于西安正南方向，距離市中心約3km。西安由于地理因素的影響，全年盛行西北風(fēng)，將正處于小寨西北方向的高壓開關(guān)廠的污染物帶至小寨，對這里的空氣質(zhì)量造成了較大影響。 圖2 高壓開關(guān)廠和小寨地區(qū)的PM2.5隨時(shí)間變化圖步驟三 用excel分別作出13個(gè)監(jiān)測點(diǎn)PM2.5含量的平均值，如下表所示：表5-3 各個(gè)監(jiān)測點(diǎn)PM2.5含量的平均值高壓開

16、關(guān)廠興慶小區(qū)紡織城小寨市人民體育場高新西區(qū)經(jīng)開區(qū)214.893805195.5333189.4636176.1363636206.1414141212.3818197.89長安區(qū)閻良區(qū)臨潼區(qū)曲江文化集團(tuán)廣運(yùn)潭草灘全市平均179.872727191.8455180.2449183.8990826205.4205607211.5405195.0522由上表可得： 高壓開關(guān)廠的PM2.5含量是13個(gè)監(jiān)測站中最大的；市人民體育場、 廣運(yùn)潭、草灘PM2.5含量也較高；小寨、臨潼區(qū)的PM2.5含量較低。步驟四 按照國家環(huán)境保護(hù)部新修訂的環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn), 對13個(gè)監(jiān)測點(diǎn)進(jìn)行環(huán)境空氣功能分區(qū)與評估。則一級區(qū)

17、為；曲江文化集團(tuán)、廣運(yùn)潭、草灘；二級區(qū)為：高壓開關(guān)廠、興慶小區(qū)、紡織城、小寨、高新西區(qū)、市人民體育場、經(jīng)開區(qū)、長安區(qū)、閻良區(qū)、臨潼區(qū)。西安市大氣環(huán)境中的可吸入顆粒物含量高，13個(gè)監(jiān)測點(diǎn)pm2.5超標(biāo)現(xiàn)象均不低于70%。出現(xiàn)在高壓開關(guān)廠超標(biāo)率甚至高達(dá)88.6%，市人民廣場超標(biāo)率達(dá)84%，可見工業(yè)污染、商業(yè)區(qū)人流、車流多，綠化率低導(dǎo)致了這一現(xiàn)象的出現(xiàn)。高新技術(shù)開發(fā)區(qū)、旅游度假區(qū)的綠化率高，工業(yè)企業(yè)的排污量少，可吸入顆粒物的年日均值較少。上述分析可見，研究區(qū)域范圍內(nèi)的大氣環(huán)境質(zhì)量最差的區(qū)域出現(xiàn)在工業(yè)區(qū)和商業(yè)區(qū)，高新技術(shù)開發(fā)區(qū)和旅游度假區(qū)的空氣質(zhì)量較好，但全市PM2.5質(zhì)量普遍不好。5.3空氣質(zhì)量的控

18、制管理5.3.1總體思路空氣質(zhì)量的控制管理主要包括綜合治理和專項(xiàng)治理兩個(gè)方面，實(shí)際生活中我們采用二者結(jié)合的方案逐年達(dá)到治理目標(biāo)。為平衡預(yù)定PM2.5減排計(jì)劃和投入經(jīng)費(fèi)合理化要求，本節(jié)建立基于滿意度的最優(yōu)化模型和多目標(biāo)非線性規(guī)劃模型，從而給出五年投入總經(jīng)費(fèi)和逐年經(jīng)費(fèi)投入的合理預(yù)算計(jì)劃。5.3.2 基于滿意度的最優(yōu)化模型步驟一 根據(jù)未來五年內(nèi)逐年減少PM2.5的年平均濃度這一問題要求，本節(jié)假設(shè)每年各自減少的年平均濃度符合一個(gè)遞減等比數(shù)列，其等比數(shù)列的公比為q。本問題屬于規(guī)劃與決策分析問題，可以通過構(gòu)建效用函數(shù)來表明規(guī)劃決策的滿意度。PM2.5減少的年平均濃度越高，決策部門越滿意，但是同時(shí)當(dāng)年投入的

19、治理總經(jīng)費(fèi)就會(huì)相對較高，因此可取效用函數(shù)： (3)表示第i年減少的年平均濃度，系數(shù)通過“高頻濾波系統(tǒng)中下限截止頻率”的計(jì)算方法確定為0.2。步驟二 假設(shè)治理滿意度為F，滿意度越高，則說明治理方案越合理，則未來五年的最大滿意度表示為 Max (4)其中，表示第i年減少的年平均濃度，為關(guān)于的效用函數(shù)，表示為PM2.5減少的年平均濃度為的前提下，綜合治理的滿意度。步驟三 根據(jù)上述對最大滿意度的目標(biāo)分析，構(gòu)建基于滿意度的目標(biāo)規(guī)劃函數(shù)為： Max ， (5) （6）運(yùn)用Lingo編程（見附件2）可求最優(yōu)結(jié)果為：最大滿意度為99.59%，逐年減少上年減少量的95.31%，未來五年的年平均濃度治理計(jì)劃如表所

20、示：表5-4 未來五年P(guān)M2.5的具體年平均濃度治理計(jì)劃表年份該年P(guān)M2.5年平均減少的濃度（單位為）該年年終PM2.5要求達(dá)到的年平均濃度（單位為）第一年53.8165226.1835第二年51.29264174.89086第三年48.88714126.00375第四年46.5944579.40928第五年44.40928355.3.3 模糊多目標(biāo)非線性規(guī)劃模型經(jīng)上述分析可知，減少PM2.5的排放與投入總經(jīng)費(fèi)最少這兩個(gè)約束條件之間存在矛盾性，不能夠同時(shí)滿足，因此本小題為多目標(biāo)非線性規(guī)劃問題，下面是對各目標(biāo)的分析：目標(biāo)一 投入總經(jīng)費(fèi)最少根據(jù)題目要求，本題忽略對PM2.5產(chǎn)生影響的其他因素，僅考

21、慮PM2.5的專項(xiàng)治理和綜合治理問題。假設(shè)投入總經(jīng)費(fèi)為，專項(xiàng)治理和綜合治理投入的費(fèi)用分別為,則投入的總費(fèi)用最少可表示為Min (7)其中，表示第i年經(jīng)綜合治理PM2.5減少的年平均濃度，表示經(jīng)專項(xiàng)治理PM2.5減少的年平均濃度。目標(biāo)二PM2.5減排計(jì)劃滿意度最大化經(jīng)分析可知，影響PM2.5減排計(jì)劃的主要因素為專項(xiàng)治理和綜合治理的投入費(fèi)用，構(gòu)建關(guān)于專項(xiàng)治理和綜合治理的總滿意度函數(shù)F，總的滿意度越高，說明PM2.5的減排計(jì)劃越合理，則未來五年內(nèi)PM2.5減排計(jì)劃的實(shí)施滿意度最大可表示為Max (8)其中，F(xiàn)表示綜合治理和專項(xiàng)治理下的滿意度，表示綜合治理的效用函數(shù)，表示專項(xiàng)治理下的效用函數(shù)，表示未來

22、五年綜合治理下的滿意度，表示未來五年專項(xiàng)治理下的滿意度。模糊多目標(biāo)非線性規(guī)劃模型的建立基于上述的多目標(biāo)分析，結(jié)合相關(guān)約束條件，構(gòu)造多目標(biāo)非線性規(guī)劃函數(shù)：Min Max (9)5.3.4 模型的求解為簡化多目標(biāo)非線性函數(shù)的求解，采用主要目標(biāo)法將多目標(biāo)非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化為以投入總經(jīng)費(fèi)最少為主要目標(biāo)的單目標(biāo)規(guī)劃，簡化后的其他約束不變，僅考慮以下變化、Min >b (10)b的取值影響著滿意度F的大小，本文經(jīng)綜合考慮，取b=90%,運(yùn)用Lingo編程（見附件2）可求最優(yōu)結(jié)果為：在保證滿意度的前提下，投入治理的總經(jīng)費(fèi)最少為64.03053百萬單位，q為1，未來五年具體的投入總經(jīng)費(fèi)和逐年經(jīng)費(fèi)投入預(yù)算計(jì)劃

23、表如下：表5-5 未來五年綜合治理和專項(xiàng)治理投入經(jīng)費(fèi)的年預(yù)算表年份該年綜合治理投入經(jīng)費(fèi)（百萬單位）該年專項(xiàng)治理投入經(jīng)費(fèi)（百萬單位）第一年0.821112.005第二年0.821112.005第三年0.821112.005第四年0.821112.005第五年0.821112.005合計(jì)4.105560.025六、模型評價(jià)基于Pearson相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷對數(shù)據(jù)的分布類型是很敏感的，不論變量之間的聯(lián)合概率密度函數(shù)是不是正態(tài)的，Pearson相關(guān)系數(shù)都是用來衡量兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度的。對于二元正態(tài)數(shù)據(jù)，樣本的相關(guān)系數(shù)是總體相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)，并且具有漸進(jìn)無偏性和有效性，也即是說在數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布，且樣本大小適中或是足夠大的時(shí)候，不可能構(gòu)造一個(gè)比樣本相關(guān)相關(guān)系數(shù)更加精確的量來估計(jì)變量之間的相關(guān)性。