離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換-數(shù)字信號(hào)處理

1、2 24 4 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換1.離散傅立葉變換（DFT）令 1N0nnkN1N0n1N0nnkN1N0n1N, 1 , 0nW)k(X)nkN2jexp()k(XN1)n(x1N, 1 , 0kW)n(x)nkN2jexp()n(x)k(X)N2jexp(WN2 24 4 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換2.DFT性質(zhì)：（1）線性：若x1（n），x2（n）都是N點(diǎn)序列，其DFT分別是X1（k），X2（k），則DFTa x1（n）+bx2（n）= aX1（k）+bX2（k）2 24 4 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換（2）正交性

2、令矩陣 )1N)(1N()1N(21N0)1N(24201N2100000nkNWWWWWWWWWWWWWWWWWW2 24 4 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換TNTN)1N(x),1 (x),0(xx)1N(X),1 (X),0(XX則DFT的正變換可寫成矩陣形式，即 XN= WNxN 由于 1N0kk)nm(1N0knkmkN*Nnmnm0NWWWWW2 24 4 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換所以 和 WN 是正交的，即WN是正交矩陣，D FT是正交變換，進(jìn)一步有 =NI或 DFT的反變換可以表示為*NWN*NWW*N1NWN1WN*NN1NNxWN1

3、xWx2 24 4 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換3.移位性質(zhì)：將N點(diǎn)序列 x（n）左移或右移m個(gè)抽樣周期，則)k(XW)mn(xDFT)k(XW)mn(xDFTkmNkmN2 24 4 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換4奇、偶、虛、實(shí)對(duì)稱性質(zhì)(1)若x（n）為復(fù)序列，其DFT為 X（k），則 DFTx*（n）=X*（-k）(2)若x（n）為實(shí)序列，則 X*（k）=X（-k）=X（N-k） XR（k）=XR（-k）=XR（N-k） XI（k）= -XI（-k）= -XI（N-k） |X（k）|=|X（N-k）| argX（k）= - argX（-k）2 24

4、4 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換(3)若x（n）為實(shí)序列，且 x（n）=x（-n），即x（n）為實(shí)偶序列，則X（k）是實(shí)序列。(4)若x（n）= -x（-n），即x（n）為奇序列，則X（k）是純虛序列。2 24 4 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換5.Parseval定理均反映了信號(hào)在一個(gè)域或其對(duì)應(yīng)的變換域中的能量守恒原理。1N0n1N0n22| )k(X|N1| )n(x|2 24 4 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換6.設(shè)序列x（n），h（n）都是N 點(diǎn)序列，其DFT分別是 X（k），H（K），x（n）和h（n）的循環(huán)卷積y（n）定義為：)Nmodin(h )Nmodi (x)n(h)n(x)Nmodn(y1N0i2 24 4 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換式中，（n mod N）表示以N為模對(duì)n求余，表示循環(huán)卷積 。簡(jiǎn)化形式為 例：x（n）=2，1，1 h（n）=2，2，11N0i) in(h) i (x)n(h)n(x)n(y2 24 4 離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換由于上述求和特點(diǎn)，所以卷積的結(jié)果y（n）也是周期的，周期為N，因此稱為循環(huán)卷積，又稱