固體物理晶格振動與晶體的熱力學(xué)函數(shù)

1、第三章晶格振動與晶體的熱力學(xué)函數(shù)一、填空體1,若在三維空間中，晶體由N個原胞組成，每個原胞有一個原子，則共有3N個獨(dú)立的振動,N個波矢,3N支格波。2 .體積為V的ZnS晶體，如果晶胞的體積為Q,則晶格振動的模式書為24N/_o3 .三維絕緣體晶體的低溫比熱Cv與溫度T的關(guān)系為CvT。4 .某三維晶體由N個原胞組成，每個原胞內(nèi)有3個原子?？紤]晶體的晶格振動，其色散關(guān)系共有9N支,其中3N支聲學(xué)波，包括2N支橫聲學(xué)波,1N支縱聲學(xué)波;另有6N支光學(xué)波。5 .二維絕緣體晶體的低溫比熱Cv與溫度T的關(guān)系為CvT。6 ,一維絕緣體晶體的低溫比熱Cv與溫度T的關(guān)系為Cv-To7 .三維絕緣體晶體的低溫平

2、均內(nèi)能與溫度T的關(guān)系為兇。8 .二維絕緣體晶體的低溫平均內(nèi)能與溫度T的關(guān)系為婦。9 ,一維絕緣體晶體的低溫平均內(nèi)能溫度T的關(guān)系為UT。10 .絕緣體中與溫度有關(guān)的內(nèi)能來源于晶格振動能。11 .導(dǎo)體中與溫度有關(guān)的內(nèi)能來源于晶格振動能和價(jià)電子熱運(yùn)動動能。12 .某二維晶體由N個原胞組成，每個原胞內(nèi)有2個原子?？紤]晶體的晶格振動，其色散關(guān)系共有4N支，其中2N支聲學(xué)波,包括N支橫聲學(xué)波，N支縱聲學(xué)波;另有2N支光學(xué)波。13 .某一維晶體由N個原胞組成，每個原胞內(nèi)有3個原子?？紤]晶體的晶格振動，其色散關(guān)系共有3N支,其中此支聲學(xué)波，包括N支橫聲學(xué)波，0支縱聲學(xué)波;另有2N支光學(xué)波。14 .晶格振動的元

3、激發(fā)為聲子、其能量為飛,準(zhǔn)動量為q。15德拜模型的基本假設(shè)為：格波作為彈性波、介質(zhì)是各向同性介質(zhì)16.對三維體積為V的晶體，波矢空間中的波矢密度為：二；對二維面積為S的晶體,（2二）波矢空間中的波矢密度為：一J；對一維長度為L的晶體，波矢空間中的波矢密度為：（2二）22二二、基本概念1 .聲子晶格振動的能量量子。2 .波恩-卡門條件即周期性邊界條件，設(shè)想在實(shí)際晶體外，仍然有無限多個相同的晶體相連接，各晶體中相對應(yīng)的原子的運(yùn)動情況都一樣。3 .波矢密度波矢空間單位體積內(nèi)的波矢數(shù)目，三維時為Vc為晶體體積。（2二）4 .模式密度單位頻率間隔內(nèi)模式數(shù)目。5 .晶格振動。答：由于晶體內(nèi)原子間存在著相互

4、作用，原子的振動就不是孤立的，而要以波的形式在晶體中傳播，形成所謂格波，因此晶體可視為一個互相耦合的振動系統(tǒng)，這個系統(tǒng)的運(yùn)動就叫晶格振動。6 .簡諧近似答：當(dāng)原子在平衡位置附近作微小振動時，原子間的相互作用可以視為與位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做簡諧振動。這個近似即稱為簡諧近似。7 .格波3的平面波形式存在的，這種波就叫格波答：晶格中的原子振動是以角頻率為三、簡答題1.試分析愛因斯坦模型和德拜模型的特點(diǎn)及局限性特點(diǎn)：1）愛因斯坦模型假設(shè)晶體中所有原子都以相同的頻率作振動；2）德拜模型的基本思想是把格波作為彈性波來處理。局限性：1）在愛因斯坦的假設(shè)下，解釋了在甚低溫時溫度的變

5、化趨勢，但是不能解釋為什么晶體熱熔隨溫度T3的速度變化，這是因?yàn)?，愛因斯坦模型只考慮了光學(xué)支格波，忽略了聲學(xué)支格波，而在甚低溫決定晶體熱容的主要是長聲學(xué)波。愛因斯坦模型過于簡化。2）德拜模型不僅能夠很好解釋在甚低溫時晶體熱容隨溫度的變化趨勢，同時得出了在甚低溫下，熱容與T3成正比的規(guī)律。但是德拜模型忽略了晶體的各向異性，即光學(xué)波和高頻聲學(xué)波對熱容的貢獻(xiàn)。2 .長光學(xué)支格波與長聲學(xué)支格波本質(zhì)上有何差別？答：長光學(xué)支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動，振動頻率較高，它包含了晶格振動頻率最高的振動模式.長聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移原胞做整體運(yùn)動，振動頻率較低，它包含了晶格

6、振動頻率最低的振動模式，波速是一常數(shù)任何晶體都存在聲學(xué)支格波，但簡單晶格（非復(fù)式格子）晶體不存在光學(xué)支格波.3 .晶體中聲子數(shù)目是否守恒？答：頻率為4的格波的（平均）聲子數(shù)為7,即每一個格波的聲子數(shù)都與溫度有關(guān)，因此，晶體中聲子數(shù)目不守恒，它是溫度的變量.4 .溫度一定，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目多呢，還是聲學(xué)波的聲子數(shù)目多？答：頻率為5的格波的（平均）聲子數(shù)為因?yàn)楣鈱W(xué)波的頻率以比聲學(xué)波的頻率町高，（好。曜-1）大于（產(chǎn)/F-1）,所以在溫度一定情況下，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目少于一個聲學(xué)波的聲子數(shù)目5 .對同一個振動模式，溫度高時的聲子數(shù)目多呢，還是溫度低時的聲子數(shù)目多？答：設(shè)溫度THTL,由于（口.

7、11占-1）小于（），所以溫度高時的聲子數(shù)目多于溫度低時的聲子數(shù)目.6 .高溫時，頻率為由的格波的聲子數(shù)目與溫度有何關(guān)系？答：溫度很高時,即叮n無-1,頻率為山的格波的（平均）聲子數(shù)為網(wǎng)）=l上用.可見高溫時，格波的聲子數(shù)目與溫度近似成正比.7 .長聲學(xué)格波能否導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化？答：長光學(xué)格波所以能導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化，其根源是長光學(xué)格波使得原胞內(nèi)不同的原子（正負(fù)離子）產(chǎn)生了相對位移.長聲學(xué)格波的特點(diǎn)是，原胞內(nèi)所有的原子沒有相對位移因此，長聲學(xué)格波不能導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化.8 .試定性給出一維單原子鏈中振動格波的相速度和群速度。答：由一維單原子鏈的色散關(guān)系切=2,E|sin阻Vm|2

8、可求得一維單原子鏈中振動格波的相速度為u2=ajEsin生/阻pqmm22群速度為9 .周期性邊界條件的物理含義是什么？引入這個條件后導(dǎo)致什么結(jié)果？如果晶體是無限大，q的取值將會怎樣？答：由于實(shí)際晶體的大小總是有限的，總存在邊界，而顯然邊界上原子所處的環(huán)境與體內(nèi)原子的不同，從而造成邊界處原子的振動狀態(tài)應(yīng)該和內(nèi)部原子有所差別?？紤]到邊界對內(nèi)部原子振動狀態(tài)的影響，波恩和卡門引入了周期性邊界條件。其具體含義是設(shè)想在一長為Na的有限晶體邊界之外，仍然有無窮多個相同的晶體，并且各塊晶體內(nèi)相對應(yīng)的原子的運(yùn)動情況一樣，即第j個原子和第Nt+j個原子的運(yùn)動情況一樣，其中t=1,2,3。引入這個條件后，導(dǎo)致描寫

9、晶格振動狀態(tài)的波矢q只能取一些分立的不同值。如果晶體是無限大，波矢q的取值將趨于連續(xù)。10 .下圖表示一維雙原子復(fù)式晶格振動的兩支格波的色散關(guān)系。請簡要分析并判斷：在長波極限下，圖中哪一條曲線反映了初基元胞內(nèi)兩個原子的質(zhì)心振動？圖中哪一條曲線反映了初基元胞內(nèi)兩個原子的相對振動？答：上半部分曲線表示光學(xué)支，光學(xué)支格波反映了晶體中分子內(nèi)兩個原子的相對振動；下半部分曲線表示聲學(xué)支，聲學(xué)支格波反映了晶體中分子的質(zhì)心振動。由N個原胞所組成的復(fù)式三維晶格，每個原胞內(nèi)有r個原子，試問晶格振動時能得到多少支色散關(guān)系？其波矢的取值數(shù)和模式的取值數(shù)各為多少？答：共有3r支色散關(guān)系，波矢取值數(shù)二原胞數(shù)N,模式取值數(shù)

10、=晶體的總自由度數(shù)。11 .對于初基晶胞數(shù)為N的二維晶體，基元含有四個原子，聲學(xué)支震動模式和光學(xué)支震動模式的數(shù)目各為多少？答：2N,6N。12 .在三維晶體中，格波獨(dú)立的點(diǎn)數(shù)N,格波個數(shù)，格波總支數(shù)，聲學(xué)波支數(shù)分別等于多少？答：在三維晶格中，格波獨(dú)立的點(diǎn)數(shù)是，格波個數(shù)有3Nn,格波總支數(shù)是3nN,對每個波矢q,有3支聲學(xué)波，（3n-3）支光學(xué)波。13 .試述長光學(xué)波與長聲學(xué)波的本質(zhì)區(qū)別？答：長光學(xué)支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動，振動頻率較高，它包含了晶格振動頻率最高的振動模式。長聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移原胞做整體運(yùn)動，振動頻率較低，它包含了晶格振動頻率最低的

11、振動模式，波速是一常數(shù)。任何晶體都存在聲學(xué)支格波，但簡單晶格（非復(fù)式格子）晶體不存在光學(xué)支格波。14 .長聲學(xué)格波能否導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化？答：長光學(xué)格波所以能導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化，其根源是長光學(xué)格波使得原胞內(nèi)不同的原子（正負(fù)離子）產(chǎn)生了相對位移。長聲學(xué)格波的特點(diǎn)是，原胞內(nèi)所有的原子沒有相對位移.因此，長聲學(xué)格波不能導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化。15 .愛因斯坦模型在低溫下與實(shí)驗(yàn)存在偏差的根源是什么？答:按照愛因斯坦溫度的定義,愛因斯坦模型的格波的頻率大約為1013Hz,屬于光學(xué)支頻率.但光學(xué)格波在低溫時對熱容的貢獻(xiàn)非常小，低溫下對熱容貢獻(xiàn)大的主要是長聲學(xué)格波.也就是說愛因斯坦沒考慮聲學(xué)波對熱容

12、的貢獻(xiàn)是愛因斯坦模型在低溫下與實(shí)驗(yàn)存在偏差的根源。16 .在甚低溫下，德拜模型為什么與實(shí)驗(yàn)相符？答：在甚低溫下，不僅光學(xué)波得不到激發(fā)，而且聲子能量較大的短聲學(xué)格波也未被激發(fā)，得到激發(fā)的只是聲子能量較小的長聲學(xué)格波.長聲學(xué)格波即彈性波.德拜模型只考慮彈性波對熱容的貢獻(xiàn).因此，在甚低溫下，德拜模型與事實(shí)相符，自然與實(shí)驗(yàn)相符。四、證明計(jì)算1 .證明一維單原子鏈的運(yùn)動方程，在長波近似下，可以化成彈性波方程，證明：第n個原子的運(yùn)動方程為因?yàn)樗缘趎個原子的運(yùn)動方程化為在長波近似下，運(yùn)動方程又化為在長波近似下，當(dāng)l為有限整數(shù)時，上式說明，在長波近似下，鄰近（在半波長范圍內(nèi)）的若干原子以相同的振幅、相同的位

13、相做集體運(yùn)動.因此（l）式可統(tǒng)一寫成觀上的質(zhì)點(diǎn)位移u,從宏觀上看，原子的位置可視為準(zhǔn)連續(xù)的，原子的分離（n+l）a可視為準(zhǔn)連續(xù)坐標(biāo)X,即于是（2）化成其中2 .在一維雙原子鏈中，如M/m4mM21/2、-12sinqa,求證證明：雙一維原子鏈聲學(xué)支4mM,:二1.n-12得:mM=1mMMm,mM由近似式QX）之1nx,（當(dāng)x1）2c、2”2.”=sinqasinqam+MM,2對2,由于Mh.m,Mm：MB=0:0A22mM故20,重原子靜止。3 .在一維無限長的簡單晶格中，原子質(zhì)量為M,若只考慮近鄰原子之間的相互作用，恢復(fù)力系數(shù)為P,試求格波的色散關(guān)系。解：設(shè)原子的質(zhì)量為M,第n個原子對平

14、衡位置的位移為un第n+1和n-1個原子對平衡位置的位移分別為un+1與un-1,則第n+m和n-m個原子對第n個原子的作用力為因此第n個原子的運(yùn)動方程為將格波的試解代入運(yùn)動方程，得由此得格波的色散關(guān)系為4 .證明：在溫度T時，一個量子諧振子的能量為討論當(dāng)溫度很高時，結(jié)果又會怎樣？證明：按照量子理論，一個諧振子的能級是式中，6為諧振子的角頻率；n取正整數(shù)。在熱平衡條件下，諧振子的平均能量為Pn；nn式中Pn為諧振子處于能級工的幾率。若按玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)計(jì)算，上式寫成因?yàn)楣蕪纳鲜降脡?在高溫下，2kbT,有故得；kBTn個與第n+m或n-m個可見，在高溫下，一個量子諧振子的平均能量與經(jīng)典理論的結(jié)論相

15、同5 .在一維無限長的簡單晶格中，若考慮原子間的長程作用力，第原子間的恢復(fù)力系數(shù)為口，試求格波的色散關(guān)系。解：設(shè)原子的質(zhì)量為M,第n個原子對平衡位置的位移為un第n+m和n-m個原子對平衡位置的位移分別為un+m與un-m,則第n+m和n-m個原子對第n個原子的作用力為第n個原子受力的總合為因此第n個原子的運(yùn)動方程為將格波的試解代入運(yùn)動方程，得由此得格波的色散關(guān)系為7 .已知三維晶體在q=0附近一支光學(xué)波的色散關(guān)系為(q_(Aq2+Bq2+Cq2),試求格波的模式密度解：0-Aq：Bq2Cq22_2貝(J一心一y一-0-0-AB2=10-C這是q空間的一個橢球面，具體積為4nabc,而3a二1

16、/2)b二0B1/2，c0C1/2q空間內(nèi)的波矢密度HqA表)=言，故橢球內(nèi)的總狀態(tài)數(shù)-dNPg)=d1/24ABC1/24二2ABC1/28 .計(jì)算一維單原子鏈的模式密度D9)解：設(shè)單原子鏈長度L=Na一維單原子鏈的色散關(guān)系為：其中m模式密度為D()=2二q.1對一維單原子鏈而言因?yàn)?.1.1.既有2d.了：a.msin(-qa)cos(-qa)dq22所以模式密度為7 .已知一個頻率為颯的簡諧振動在溫度T下的平均能量試用愛因斯坦模型求出由N個原子組成的單原子晶體晶格振動的總能量，并求其在高溫和低溫極限情況下的表達(dá)式。解：由N個原子組成的單原子晶體共有3N個自由度，獨(dú)立品格振動方式數(shù)也等于3

17、N,晶體振動的總能量便等于晶體振動的總能量便等于這3N個諧振動的能量之和，即依照愛因斯坦模型，1S，3N=0,于是上式變?yōu)镋0-則1、W姨一L不d為愛因斯坦溫度1xE=3NkBT(x-)2ex-1在高溫極限下，x1,ex-1電ex,從式得壇8 .設(shè)品格中每個振子的零點(diǎn)振動能為D-、D1-3V,試用德拜模型求三維品格的零點(diǎn)振動能2,3V一一、二gV解：狀態(tài)餐度2v作變量代換方加X-3fCt*7few萬出2M始*JqJT其中%是德拜溫度.高溫時，2%1+1即高溫時，晶體中的聲子數(shù)目與溫度成正比低溫時，L：,班申）戶必鞏后/十口,亞啟323,即低溫時，晶體中的聲子數(shù)目與T3成正比.10.有N個相同原

18、子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與T2。證明：在k至Uk+dk間的獨(dú)立振動模式對應(yīng)于平面中半徑n到n+dn間圓環(huán)的面積2nndn,且L253s.2二ndn=kdk=kdk即：=2d，T3。2n2n-2vp則11 .有三維簡單晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限聲子數(shù)目與按照德拜模型，晶體中的聲子數(shù)目2為V工月）。（前dcu=作變量代換X=3V*rrB0iT#dxN=_2M方、Q/_1其中的是德拜溫度.高溫時，陵由工3限用阿?以解，即高溫時，晶體中的聲子數(shù)目與溫度成正比低溫時，2：T，孫印r?dx鞏耳/幽茅2s,即低溫時，晶體中的聲子數(shù)目與T3成正比.12 .有N個相同原子組成的體積為L的一維晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與T0.13 .在一維無限長的簡單晶格中，原子質(zhì)量為M若只考慮近鄰原子之間的相互作用，恢復(fù)力系數(shù)為P,試求格波的色散關(guān)系。解：設(shè)原子的質(zhì)量為M,第n個原子對平衡位置的位移為un第n+1和n-1個原子對平衡位置的位移分別為un+1與un-1,則第n+m和n-m個原子對第n個原子的作用力為因此第n個原子的運(yùn)動方程為將格波的試解代入運(yùn)動方程，得由此得格波的色散關(guān)系為14 .計(jì)算