第8章_概率論基本概念_習(xí)題答案

1、第八章第八章 概率論基本概念概率論基本概念習(xí)習(xí) 題題1. 試將下列事件用試將下列事件用A、B、C間的運(yùn)算關(guān)系表出。間的運(yùn)算關(guān)系表出。（1）A 出現(xiàn)，出現(xiàn)，B、C不出現(xiàn)：不出現(xiàn)：CBA（2）A 、B、C都出現(xiàn)：都出現(xiàn)：ABC（3）A 、B、C至少一個(gè)出現(xiàn)：至少一個(gè)出現(xiàn)：CBA（4）A 、B、C都不出現(xiàn)：都不出現(xiàn)：（5）不多于一個(gè)事件出現(xiàn)：）不多于一個(gè)事件出現(xiàn)：（6）不多于兩個(gè)事件出現(xiàn)：即至少有一個(gè)事件不出現(xiàn)）不多于兩個(gè)事件出現(xiàn)：即至少有一個(gè)事件不出現(xiàn)（7）A、B、C中至少二個(gè)出現(xiàn)：中至少二個(gè)出現(xiàn)：CBACBACBACBACBACBAACBCAB3. 化簡(jiǎn)下列各式：化簡(jiǎn)下列各式：（1）)()(CB

2、BA解：原式解：原式 BACCASBACBCABBSACBCABBACBCBBACABCBBA )()()(（2）)()(BABA解：原式解：原式 ABAABAABABBABBAAA （3）)()()(BABABA解：原式解：原式ABABAABAA )(4. 一套書(shū)分一套書(shū)分4冊(cè)，按任意順序放到書(shū)架上，問(wèn)各書(shū)自左到右恰好冊(cè)，按任意順序放到書(shū)架上，問(wèn)各書(shū)自左到右恰好按照按照1234順序排列的概率是多少？順序排列的概率是多少？解：解：241144 AP5. 將正立方體的表面涂上顏色，然后鋸成將正立方體的表面涂上顏色，然后鋸成27個(gè)同樣大小的正立個(gè)同樣大小的正立方體，混合后從中任取一塊，問(wèn)取得有兩面

3、涂上顏色的小立方方體，混合后從中任取一塊，問(wèn)取得有兩面涂上顏色的小立方體的概率是多少？體的概率是多少？解：有兩面涂上顏色的小立方體共有解：有兩面涂上顏色的小立方體共有12個(gè)個(gè)444. 094127112 CCP6. 號(hào)碼鎖一共三個(gè)圓盤(pán)，每一圓盤(pán)等分為號(hào)碼鎖一共三個(gè)圓盤(pán)，每一圓盤(pán)等分為10個(gè)帶不同數(shù)字個(gè)帶不同數(shù)字0,1,9 的扇面。如果每一圓盤(pán)相對(duì)鎖穴為一固定狀態(tài)時(shí)，則可的扇面。如果每一圓盤(pán)相對(duì)鎖穴為一固定狀態(tài)時(shí)，則可打開(kāi)。求在確定了任意的數(shù)字所構(gòu)成的一個(gè)組合的情況下，能打開(kāi)。求在確定了任意的數(shù)字所構(gòu)成的一個(gè)組合的情況下，能打開(kāi)鎖的概率。打開(kāi)鎖的概率。解：號(hào)碼盤(pán)所有可能的組合為解：號(hào)碼盤(pán)所有可能

4、的組合為101010種，其中只有一種可種，其中只有一種可以開(kāi)鎖，以開(kāi)鎖，%1 . 01013 P7. 有有50件產(chǎn)品，其中件產(chǎn)品，其中4件不合格，從中隨機(jī)抽取件不合格，從中隨機(jī)抽取3件，求至少一件，求至少一件不合格的概率。件不合格的概率。解：解：%5 .221-1350346 CCPP（所有都合格）（所有都合格）（至少一件不合格）（至少一件不合格）8. 一個(gè)紙盒中混放著一個(gè)紙盒中混放著60只外形類似的電阻，其中甲乙兩廠生產(chǎn)只外形類似的電阻，其中甲乙兩廠生產(chǎn)的各占一半?，F(xiàn)隨機(jī)地從中抽取的各占一半。現(xiàn)隨機(jī)地從中抽取3只，求其中恰有一只是甲廠生只，求其中恰有一只是甲廠生產(chǎn)的概率。產(chǎn)的概率。解：解：%

5、1 .38360130230 CCCP9. 設(shè)有設(shè)有0,1,9十個(gè)數(shù)字，若在此十個(gè)數(shù)字中有放回陸續(xù)抽取十個(gè)數(shù)字，若在此十個(gè)數(shù)字中有放回陸續(xù)抽取5個(gè)，每次抽到任意數(shù)字的概率都是相同的，問(wèn)抽到個(gè)，每次抽到任意數(shù)字的概率都是相同的，問(wèn)抽到5個(gè)不同的數(shù)個(gè)不同的數(shù)字的概率是多少？字的概率是多少？解：抽取結(jié)果的可能組合為解：抽取結(jié)果的可能組合為 1010101010 ，抽取到，抽取到5個(gè)個(gè)不同數(shù)字的可能組合為不同數(shù)字的可能組合為 ，因此因此%25. 0105510 CP510C10. 電報(bào)的密碼由電報(bào)的密碼由0,1,9十個(gè)數(shù)字可重復(fù)任意十個(gè)數(shù)字可重復(fù)任意4個(gè)數(shù)字組成，試個(gè)數(shù)字組成，試求密碼最右邊的一個(gè)數(shù)是

6、偶數(shù)的概率。求密碼最右邊的一個(gè)數(shù)是偶數(shù)的概率。解：在密碼的所有組合中，出現(xiàn)偶數(shù)和奇數(shù)的概率是相同且均解：在密碼的所有組合中，出現(xiàn)偶數(shù)和奇數(shù)的概率是相同且均等的，都是等的，都是 50% 。11. 設(shè)事件設(shè)事件 A、B、AB的概率分別為的概率分別為p、q、r，求：，求：rABPBAP 1)()(rqABBPBASPBAP )()()(rpBASPBASPBAP 1)()()(rqpBAPBAPBAP 1)(1)()(12. 一個(gè)火力控制系統(tǒng)，包括一個(gè)雷達(dá)和一個(gè)計(jì)算機(jī)，如果這兩一個(gè)火力控制系統(tǒng)，包括一個(gè)雷達(dá)和一個(gè)計(jì)算機(jī)，如果這兩樣中有一個(gè)操作失效，該控制系統(tǒng)便失靈。設(shè)雷達(dá)在樣中有一個(gè)操作失效，該控制

7、系統(tǒng)便失靈。設(shè)雷達(dá)在100小時(shí)內(nèi)小時(shí)內(nèi)操作正常的概率為操作正常的概率為0.9，而計(jì)算機(jī)在操作，而計(jì)算機(jī)在操作100小時(shí)內(nèi)失效的概率小時(shí)內(nèi)失效的概率為為0.12，試求在，試求在100小時(shí)內(nèi)控制系統(tǒng)失靈的概率。小時(shí)內(nèi)控制系統(tǒng)失靈的概率。解：解：%8 .20)12. 01(9 . 01)100()100(1)100(1)100( 小小時(shí)時(shí)內(nèi)內(nèi)計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)正正常常小小時(shí)時(shí)內(nèi)內(nèi)雷雷達(dá)達(dá)正正常常小小時(shí)時(shí)內(nèi)內(nèi)系系統(tǒng)統(tǒng)正正常常小小時(shí)時(shí)內(nèi)內(nèi)系系統(tǒng)統(tǒng)失失效效PPPP13. 設(shè)設(shè) ， ，求：，求：4 . 0)()( BPAP28. 0)( ABP3 . 04 . 028. 04 . 0)()()()()|( BPA

8、BBPBPBAPBAP2 . 04 . 0128. 04 . 0)()()()()|( BPABAPBPBAPBAP2 . 04 . 0128. 04 . 0)()()()()|( APABBPAPBAPABP解：解：14. 設(shè)事件設(shè)事件 A,B,C 滿足滿足 ， ， ， 求事件求事件A,B,C至少有一至少有一個(gè)發(fā)生的概率。個(gè)發(fā)生的概率。解：解：41)()()( CPBPAP0)()( CBPABP81)( ACP625. 081341)()()()()()(1)(1),( ACPCPBPAPCBAPCBAPCBAPCBAP至少一個(gè)發(fā)生至少一個(gè)發(fā)生16. 設(shè)有設(shè)有M只晶體管，其中有只晶體管，其

9、中有m只廢品，從中任取只廢品，從中任取2只，求所取只，求所取晶體管有晶體管有1只正品的條件下，另只正品的條件下，另1只是廢品的概率。只是廢品的概率。解：令解：令 A=(取到取到1只正品只正品)，B=(取到取到1只廢品只廢品)12)()()(2)()(2)(22)1(2)1()(-1)()()|()(2222221122211 mMmmMmMmMmMmmMmMmMmmmMMmMmmmMMmmMCCCCCCCCCAPABPABPPmMmmMMmMmmM另另一一只只是是廢廢品品有有一一只只正正品品的的條條件件下下，17. 某種電子元件，使用到某種電子元件，使用到2000小時(shí)還能正常工作的概率是小時(shí)還

10、能正常工作的概率是0.94，使用到，使用到3000小時(shí)還能正常工作的概率是小時(shí)還能正常工作的概率是0.87，求已經(jīng)工，求已經(jīng)工作了作了2000小時(shí)的元件工作到小時(shí)的元件工作到3000小時(shí)的概率。小時(shí)的概率。解：令解：令 A=(使用到使用到2000小時(shí)小時(shí))，B=(使用到使用到3000小時(shí)小時(shí))， 則則 9255. 094. 087. 0)()()|( APABPABP18. 五管收音機(jī)，每只電子管的壽命達(dá)到五管收音機(jī)，每只電子管的壽命達(dá)到2000小時(shí)的概率為小時(shí)的概率為0.9，問(wèn)收音機(jī)的壽命達(dá)到問(wèn)收音機(jī)的壽命達(dá)到2000小時(shí)的概率為多少。（假設(shè)只要有一小時(shí)的概率為多少。（假設(shè)只要有一只電子管燒

11、壞收音機(jī)就不能用，且每只電子管的壽命都是彼此只電子管燒壞收音機(jī)就不能用，且每只電子管的壽命都是彼此獨(dú)立的。）獨(dú)立的。）解：解：59. 09 . 05 P20. 設(shè)元件設(shè)元件 停止工作的概率均為停止工作的概率均為0.3，且，且各元件停止工作與否是相互獨(dú)立的，求系統(tǒng)各元件停止工作與否是相互獨(dú)立的，求系統(tǒng)S停止工作的概率。停止工作的概率。 3)1()3()S(停止工作停止工作支路支路條支路均停止工作條支路均停止工作停止工作停止工作系統(tǒng)系統(tǒng)PPP 654321,EEEEEE1E2E3E4E5E6E解：解：51. 07 . 07 . 01)()(1)1(21 正常工作正常工作正常工作正常工作停止工作停止

12、工作支路支路EPEPP1327. 051. 0)S(3 停停止止工工作作系系統(tǒng)統(tǒng)P21. 制造某種零件可以采取兩種工藝，制造某種零件可以采取兩種工藝，(1)三道工序，每道工序三道工序，每道工序出廢品的概率分別為出廢品的概率分別為0.2，0.1，0.1；(2)兩道工序，每道工序出兩道工序，每道工序出廢品的概率分別為廢品的概率分別為0.2，0.15 。問(wèn)哪種工藝的廢品率低？（兩種。問(wèn)哪種工藝的廢品率低？（兩種工藝中，每道工序是彼此獨(dú)立的。）工藝中，每道工序是彼此獨(dú)立的。）解：工藝解：工藝(1)的廢品率為的廢品率為352. 0)1 . 01)(1 . 01)(2 . 01(1)(1)(1 三道工序均

13、不出廢品三道工序均不出廢品廢品廢品PP工藝工藝(2)的廢品率為的廢品率為32. 0)51 . 01)(2 . 01(1)(1)(2 兩道工序均不出廢品兩道工序均不出廢品廢品廢品PP顯然，工藝顯然，工藝(2)的廢品率低。的廢品率低。23. 甲乙丙三機(jī)床所生產(chǎn)的螺絲釘，分別占總產(chǎn)量的甲乙丙三機(jī)床所生產(chǎn)的螺絲釘，分別占總產(chǎn)量的25%、35%和和40%，而廢品率分別為，而廢品率分別為5%、4%、2%。從生產(chǎn)的螺絲釘中，。從生產(chǎn)的螺絲釘中，任取一個(gè)恰是廢品，求它是甲機(jī)床生產(chǎn)的概率。任取一個(gè)恰是廢品，求它是甲機(jī)床生產(chǎn)的概率。解：令解：令 分別表示甲乙丙三機(jī)床，分別表示甲乙丙三機(jī)床，B 表示廢品，表示廢品，

14、根據(jù)根據(jù) Bayes 公式：公式：321,AAA3623. 002. 04 . 004. 035. 005. 025. 005. 025. 0)|()()|()()|()()|()()|()(332211111 ABPAPABPAPABPAPABPAPBAPP 該該廢廢品品是是甲甲機(jī)機(jī)床床生生產(chǎn)產(chǎn)24. 播種時(shí)用的一等小麥種子中，混有播種時(shí)用的一等小麥種子中，混有2%的二等種子、的二等種子、1.5%的的三等種子、三等種子、1%的四等種子，用一二三四等種子長(zhǎng)出的麥穗含有的四等種子，用一二三四等種子長(zhǎng)出的麥穗含有50顆以上的麥粒的概率分別是顆以上的麥粒的概率分別是0.5、0.15、0.1、0.05

15、，求這批種，求這批種子結(jié)穗含有子結(jié)穗含有50顆麥粒以上的概率。顆麥粒以上的概率。解：令解：令 分別表示一二三四等種子，分別表示一二三四等種子，B 表示結(jié)穗含表示結(jié)穗含有有50顆麥粒以上，根據(jù)全概率公式：顆麥粒以上，根據(jù)全概率公式：4321,AAAA4825. 005. 001. 01 . 0015. 015. 002. 05 . 0)01. 0015. 002. 01()|()()()50(41 iiiABPAPBPP顆顆麥麥粒粒以以上上這這批批種種子子結(jié)結(jié)穗穗含含有有24. 三架飛機(jī)中有一架主機(jī)和兩架僚機(jī)，被派出轟炸敵人陣地，三架飛機(jī)中有一架主機(jī)和兩架僚機(jī)，被派出轟炸敵人陣地，飛機(jī)缺少無(wú)線電

16、導(dǎo)航設(shè)備時(shí)就達(dá)不到目的地，這種設(shè)備裝置在飛機(jī)缺少無(wú)線電導(dǎo)航設(shè)備時(shí)就達(dá)不到目的地，這種設(shè)備裝置在主機(jī)上。飛機(jī)到達(dá)目的地后，各機(jī)獨(dú)立進(jìn)行轟炸，每一架擊中主機(jī)上。飛機(jī)到達(dá)目的地后，各機(jī)獨(dú)立進(jìn)行轟炸，每一架擊中目標(biāo)的概率為目標(biāo)的概率為0.4，在到達(dá)目的地之前，飛機(jī)需通過(guò)敵軍高射炮，在到達(dá)目的地之前，飛機(jī)需通過(guò)敵軍高射炮陣地，每機(jī)被擊落的概率為陣地，每機(jī)被擊落的概率為0.2 。求敵軍陣地被擊中的概率。求敵軍陣地被擊中的概率。解：解：)(-1)(敵軍陣地沒(méi)有被擊中敵軍陣地沒(méi)有被擊中敵軍陣地被擊中敵軍陣地被擊中PP 分析得下圖：分析得下圖：敵敵軍軍陣陣地地沒(méi)沒(méi)有有被被擊擊中中主機(jī)被高主機(jī)被高射炮擊落射炮擊落

17、主機(jī)沒(méi)有主機(jī)沒(méi)有被擊落被擊落只有主機(jī)到達(dá)目只有主機(jī)到達(dá)目的地，沒(méi)有擊中的地，沒(méi)有擊中目標(biāo)目標(biāo)主機(jī)和僚機(jī)主機(jī)和僚機(jī)1到到達(dá)目的，都沒(méi)有達(dá)目的，都沒(méi)有擊中目標(biāo)擊中目標(biāo)主機(jī)和僚機(jī)主機(jī)和僚機(jī)2到到達(dá)目的，都沒(méi)有達(dá)目的，都沒(méi)有擊中目標(biāo)擊中目標(biāo)主機(jī)和兩架僚機(jī)主機(jī)和兩架僚機(jī)到達(dá)目的地，都到達(dá)目的地，都沒(méi)有擊中目標(biāo)。沒(méi)有擊中目標(biāo)。2 . 0 P8 . 0 P0.0240.60.22 . 0 P0.05760.60.60.28 . 0 P0.05760.60.60.28 . 0 P0.138240.60.60.60.88 . 0 P421952. 0)13824. 00576. 00576. 0024. 0(0

18、.80.2)( 敵敵軍軍陣陣地地沒(méi)沒(méi)有有被被擊擊中中P578. 0421952. 01)(-1)( 敵軍陣地沒(méi)有被擊中敵軍陣地沒(méi)有被擊中敵軍陣地被擊中敵軍陣地被擊中PP26. 設(shè)有設(shè)有5個(gè)袋子，有兩個(gè)內(nèi)裝有個(gè)袋子，有兩個(gè)內(nèi)裝有2個(gè)白球個(gè)白球1個(gè)黑球，一個(gè)內(nèi)裝個(gè)黑球，一個(gè)內(nèi)裝10個(gè)黑球，另外兩個(gè)內(nèi)裝個(gè)黑球，另外兩個(gè)內(nèi)裝3個(gè)白球個(gè)白球1個(gè)黑球?，F(xiàn)任選一個(gè)袋子，由個(gè)黑球。現(xiàn)任選一個(gè)袋子，由其中任取其中任取1個(gè)球，求取得白球的概率。個(gè)球，求取得白球的概率。解：用解：用 表示選到第表示選到第 i 個(gè)袋子，個(gè)袋子，B 表示取得白球。表示取得白球。 由全概率公式，由全概率公式，iA567. 00)|()()

19、(43514351513251325151 iiiABPAPBP27. 罐中裝有罐中裝有 n 個(gè)黑球個(gè)黑球 r 個(gè)紅球，隨機(jī)取出個(gè)紅球，隨機(jī)取出1個(gè)球觀察顏色，將個(gè)球觀察顏色，將球放回后，另外再裝入球放回后，另外再裝入 c 個(gè)與取出顏色相同的球，第二次再?gòu)膫€(gè)與取出顏色相同的球，第二次再?gòu)墓拗腥〕龉拗腥〕?球，求下列諸事件的概率。球，求下列諸事件的概率。解：設(shè)解：設(shè) A=“第一次取得黑球第一次取得黑球”，則，則 =“第一次取得紅球第一次取得紅球” 設(shè)設(shè)B=“第二次取得黑球第二次取得黑球”，則，則 =“第二次取得紅球第二次取得紅球”rnnAP )(AB（2）第二次取出黑球。）第二次取出黑球。解：根

20、據(jù)全概率公式，解：根據(jù)全概率公式，rnncrnnrnrcrncnrnnABPAPABPAPBP )|()()|()()(（1）第一次取出黑球。）第一次取出黑球。27. 罐中裝有罐中裝有 n 個(gè)黑球個(gè)黑球 r 個(gè)紅球，隨機(jī)取出個(gè)紅球，隨機(jī)取出1個(gè)球觀察顏色，將個(gè)球觀察顏色，將球放回后，另外再裝入球放回后，另外再裝入 c 個(gè)與取出顏色相同的球，第二次再?gòu)膫€(gè)與取出顏色相同的球，第二次再?gòu)墓拗腥〕龉拗腥〕?球，求下列諸事件的概率。球，求下列諸事件的概率。解：設(shè)解：設(shè) A=“第一次取得黑球第一次取得黑球”，則，則 =“第一次取得紅球第一次取得紅球” 設(shè)設(shè)B=“第二次取得黑球第二次取得黑球”，則，則 =“

21、第二次取得紅球第二次取得紅球”crnrABP )|(AB（3）第一次取出黑球的條件下，第二次取出紅球。）第一次取出黑球的條件下，第二次取出紅球。27. 罐中裝有罐中裝有 n 個(gè)黑球個(gè)黑球 r 個(gè)紅球，隨機(jī)取出個(gè)紅球，隨機(jī)取出1個(gè)球觀察顏色，將個(gè)球觀察顏色，將球放回后，另外再裝入球放回后，另外再裝入 c 個(gè)與取出顏色相同的球，第二次再?gòu)膫€(gè)與取出顏色相同的球，第二次再?gòu)墓拗腥〕龉拗腥〕?球，求下列諸事件的概率。球，求下列諸事件的概率。解：設(shè)解：設(shè) A=“第一次取得黑球第一次取得黑球”，則，則 =“第一次取得紅球第一次取得紅球” 設(shè)設(shè)B=“第二次取得黑球第二次取得黑球”，則，則 =“第二次取得紅球第

22、二次取得紅球”crnrcrncnrnncrnnrnrcrnnrnrABPAPABPAPABPAPBAP )|()()|()()|()()|(AB（4）第二次取出黑球的條件下，第一次取出紅球。）第二次取出黑球的條件下，第一次取出紅球。 根據(jù)根據(jù)Bayes公式，公式，28. 某臺(tái)儀器由三個(gè)部件某臺(tái)儀器由三個(gè)部件 組成，每個(gè)部件損壞的概組成，每個(gè)部件損壞的概率分別為率分別為0.1，0.3，0.2，若至少有兩個(gè)部件損壞，則儀器停止，若至少有兩個(gè)部件損壞，則儀器停止工作（設(shè)各部件損壞是相互獨(dú)立的），求工作（設(shè)各部件損壞是相互獨(dú)立的），求(1) 儀器停止工作的概率；儀器停止工作的概率；解：設(shè)解：設(shè) 表示部

23、件正常工作，表示部件正常工作， 表示部件損壞；表示部件損壞；令令3214321332123211,EEEAEEEAEEEAEEEA 321,EEE321,EEE321,EEE則則006. 02 . 03 . 01 . 0)(,054. 02 . 03 . 09 . 0)(014. 02 . 07 . 01 . 0)(,024. 08 . 03 . 01 . 0)(4321 APAPAPAP設(shè)設(shè) B=“儀器停止工作儀器停止工作”，由全概率公式得，由全概率公式得098. 01006. 01054. 01014. 01024. 0)|()()(41 iiiABPAPBP28. 某臺(tái)儀器由三個(gè)部件某臺(tái)

24、儀器由三個(gè)部件 組成，每個(gè)部件損壞的概組成，每個(gè)部件損壞的概率分別為率分別為0.1，0.3，0.2，若至少有兩個(gè)部件損壞，則儀器停止，若至少有兩個(gè)部件損壞，則儀器停止工作（設(shè)各部件損壞是相互獨(dú)立的），求工作（設(shè)各部件損壞是相互獨(dú)立的），求(2) 僅由僅由 損壞引起儀器停止工作的概率；損壞引起儀器停止工作的概率；解：設(shè)解：設(shè) 表示部件正常工作，表示部件正常工作， 表示部件損壞；表示部件損壞；令令3214321332123211,EEEAEEEAEEEAEEEA 321,EEE321,EEE321,EEE由由Bayes公式，公式，551. 0098. 01054. 0)|()()|()()|(41

25、333 iiiABPAPABPAPBAP32,EE30. 苗圃中有苗圃中有20%的幼苗因病死亡，現(xiàn)隨機(jī)抽取四株，求（的幼苗因病死亡，現(xiàn)隨機(jī)抽取四株，求（1）四株均死亡的概率；（四株均死亡的概率；（2）兩株死亡、兩株成活的概率。）兩株死亡、兩株成活的概率。解：這四株幼苗的死亡數(shù)量是一個(gè)解：這四株幼苗的死亡數(shù)量是一個(gè) 的貝努利概的貝努利概型，所以型，所以（1）（2）2 . 0, 4 pn0016. 0)2 . 01(2 . 0)(44444 CP 四四株株都都死死亡亡1536. 0)2 . 01(2 . 0)(24224 CP 兩兩株株死死亡亡31. 燈泡壽命達(dá)到燈泡壽命達(dá)到2000小時(shí)的概率為小時(shí)的概率為0.95，收音機(jī)里有五只燈，收音機(jī)里有五只燈泡，求經(jīng)過(guò)泡，求經(jīng)過(guò)2