初三培優(yōu)圓的綜合輔導(dǎo)專題訓(xùn)練及答案

1、初三培優(yōu)圓的綜合輔導(dǎo)專題訓(xùn)練及答案一、圓的綜合1 .定義：有一個(gè)角是其鄰角一半的圓內(nèi)接四邊形叫做圓內(nèi)倍角四邊形.(1)如圖1,四邊形 ABCD內(nèi)接于OO, /DCB- /ADC=/ A,求證：四邊形 ABCD為圓內(nèi) 接倍角四邊形；(2)在(1)的條件下，。半徑為5. 若AD為直徑，且sinA=,求BC的長(zhǎng)；5 若四邊形ABCD中有一個(gè)角為60°,且BC=CD則四邊形 ABCD的面積是；(3)在(1)的條件下，記 AB=a, BC=b, CD=g AD=d,求證：d2- b2=ab+cd.圖1備用圖備用圖【答案】(1)見解析；(2)BC=6, 血!或75； (3)見解析44【解析】【分

2、析】(1)先判斷出Z ADC=180° - 2Z A,進(jìn)而判斷出/ABC=2/A,即可得出結(jié)論；(2) 先用銳角三角函數(shù)求出BD,進(jìn)而得出AB,由(1)得出/ADB=/BDC,即可得出結(jié)論；分兩種情況：利用面積和差即可得出結(jié)論；(3)先得出 BE=BC=b, DE=DA=b,進(jìn)而得出 CE=d - c,再判斷出 EBCEDA,即可得出 結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)/A=a,則 /DCB=180°- a. Z DCB- Z ADC=Z A, . . / ADC=/DCB / A=180 - a- a =180-2 a, ./ABC=180 -ZADC=2 a =2A, 四邊形ABC

3、D是。O內(nèi)接倍角四邊形；(2)連接BD. AD 是。O 的直徑 Z ABD=90 ° 在 RtABD 中 AD=2 X 5=10sin/A=4, . BD=8,根'''5據(jù)勾股定理得： AB=6,設(shè) / A=a, / ADB=90° - a.由(1)知，Z ADC=180° - 2 a, Z BDC=90° - a, . . / ADB=/BDC, . BC=AB=6;四邊形ABCD是圓內(nèi)接倍角四邊形，/ BCD=120或/ BAD=30 :I、當(dāng) /BCD=120 時(shí)，如圖 3,連接 OA, OB, OC, OD./ _ 1 ,

4、 _。 。 一 BC=CD,Z BOC=Z COD, . / OCD=/OCB=/ BCD=60/ CDO=60，AD 是。O2的直徑，（為了說明 AD是直徑，點(diǎn) O沒有畫在AD上）Z ADC+Z BCD=180 ,° . . BC/ AD,，AB=CD.BC=CD,AB=BC=CD, . .OAB, BOC, ACOD是全等的等邊三角形，S四邊形abcc=3Saaob=3x 2= 75/ .44n、當(dāng) /BAD=30 時(shí)，如圖 4,連接 OA, OB, OC, OD.2 .四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，/BCD=180 - Z BAD=150 :BC=CD,/ BOC=Z COD,

5、. / BCO=Z DCO=- / BCD=75 :. / BOC=Z DOC=30 ；2，/OBA=45；，/AOB=90：連接 AC, / DAC=1 / BAD=15 ：23 / ADO=Z OAB- / BAD=15 ； . / DAC=/ADO, . .OD/ AC, . Soad=Saocd. 過點(diǎn)C作CH, OB于H.在 RtOCH 中,CH= OC= 5 , S 四邊形 abcd=Sa cod+S boc+S aob221Sa aod=S boc+S aob= 一25X5+1X5X 點(diǎn).224故答案為：75a或75; 44(3)延長(zhǎng)DC, AB交于點(diǎn)E.1 ,四邊形 ABCD是

6、。的內(nèi)接四邊形，/BCE=/ A=/ABC.2 Z ABC=Z BCEfZ A,Z E=ZBCE=Z A, . . BE=BC=b, DE=DA=b, . CE=d c./ 人 八人CE BC d c b _2. /BCE=/A, /E=/E, .EBCAEDA,. , 一，- d2 -AE AD a b db2=ab+cd.【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，新定義，相似三角形的判定和性 質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.2 .如圖，在 ABC中， BAC 90 , AB AC 近,AD BC ,垂足為 D ,過 A,D 的。O分別與AB, A

7、C交于點(diǎn)E,F ,連接EF, DE, DF .(1)求證： ADE 且 CDF ;(2)當(dāng)BC與。相切時(shí)，求。的面積.【答案】 見解析；(2) .4【解析】分析：(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)知AD=CD Z1 = Z C=45°,由/ EAF=90°知EF是O O的直徑，據(jù)此知 Z2+Z 4=7 3+7 4=90°,得/2=/3,利用“ASAE明即可得；(2)當(dāng)BC與。相切時(shí)，AD是直徑，根據(jù)/C=45°、AC=J2可得AD=1,利用圓的面積 公式可得答案.詳解：(1)如圖，- AB=AC, /BAO90'ZC=45°.又AD，BC,

8、AB=AC,/ 1= 1 / BAC=45 ； BD=CD, / ADC=90 ：2又 / BAC=90 °, BD=CD,AD=CD.又/EAF=90 ：EF是。的直徑，./EDF=90 ： . . / 2+/4=90又/3+/4=90 °,，/2=/3.在 ADE和 CDF中.1 CAD CD ,AADEACDF (ASA)23（2）當(dāng) BC 與。相切時(shí)，AD 是直徑.在 RtADC 中，Z C=45 °, AC= J2 ,AD12.，sin/C=.21_ , AD=ACsinZ C=1,，。的半徑為 ' ,，。的面積為一.點(diǎn)睛：本題主要考查圓的綜合問

9、題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等 三角形的判定與性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn).3 .如圖，已知平行四邊形 OABC的三個(gè)頂點(diǎn) A、B C在以。為圓心的半圓上，過點(diǎn)CD± AB,分另1J交AB、AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D、E, AE交半圓。于點(diǎn)F,連接CF.（1）判斷直線DE與半圓O的位置關(guān)系，并說明理由；【答案】（1）直線CE與半圓。相切（2） 4【解析】 試題分析：（1）結(jié)論：DE是。的切線.首先證明 AABO, BCO都是等邊三角形, 證明四邊形BDCG是矩形，即可解決問題；（2）只要證明OCF是等邊三角形即可解決問題，求AC即可解決問題.試題解析：（1）直線CE

10、與半圓。相切，理由如下：四邊形OABC是平行四邊形，AB / OC. / D=90 ；/ OCE=Z D=90 ;即 OCX DE, 直線CE與半圓O相切.（2）由（1）可知：/COF=60, OC=OF .OCF是等邊三角形， ./AOC=120 °Ac的長(zhǎng)為1201806二4 兀.4.如圖，在OO中，直徑AB，弦CD于點(diǎn)E,連接AC, BC,點(diǎn)F是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn), 且 / FCA= / B.求證：CF是。的切線；(2)若 AE= 4, tan/ACD=昱,求 FC的長(zhǎng).3【答案】(1)見解析【解析】分析：(1)利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出/OCF=90,進(jìn)而得出答案

11、；(2)根據(jù)正切的性質(zhì)求出EC的長(zhǎng)，然后利用垂徑定理求出圓的半徑，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用勾股定理求出即可.詳解：(1)證明：連接 OCAB是。的直徑，/ACB= 90；ZOCB+ Z ACO= 90：. OB=OC,，/B=/OCB.又 / FCA= / B,/ FCA= / OCB, / FCA+ / ACO= 90 ；即/ FCO= 90 ；FC± OC,.FC是。O切線.席.-4,3(2)解：AB± CD,Z AEC= 90 , . . EC=tan ACE J3,3設(shè) OA= OC= r,則 OE= OA-AE= r-4.在 RtOEC中，OG2=OE2+C彥

12、，即 r2= (r4)2+(4 石)2,解得 r= 8.-，OE=r-4 = 4= AE. .CE± OA, .CA=CC8, .AOC是等邊三角形， / FOO 60 ；/ F= 30 .在 RtFOC 中，/ OCF= 90 ； OC= 8, / F= 30 °,-.OF=2OC= 16, FC=、OF2 OC2 8.3 .BC的長(zhǎng)點(diǎn)睛：此題主要考查了切線的判定、垂徑定理的推論以及勾股定理等知識(shí)，得出 是解題關(guān)鍵.5.矩形ABCD中，點(diǎn)C (3, 8) , E、F為AB、CD邊上的中點(diǎn)，如圖1,點(diǎn)A在原點(diǎn)處，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn) C在第一象限，若點(diǎn) A從原點(diǎn)出發(fā)，沿x

13、軸向右以每秒1個(gè)單位 長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) B隨之沿y軸下滑，并帶動(dòng)矩形 ABCD在平面內(nèi)滑動(dòng)，如圖 2,設(shè)運(yùn)動(dòng) 時(shí)間表示為t秒，當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)原點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).(1)當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為;(2)當(dāng)t=4時(shí)，求OE的長(zhǎng)及點(diǎn)B下滑的距離；(3)求運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn) F到點(diǎn)O的最大距離；(4)當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求 t的值.【答案】(1) F (3, 4) ; (2) 8-4由；(3) 7; (4) t 的值為一或一. 55【解析】試題分析：(1)先確定出DF,進(jìn)而彳#出點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)利用直角三角形的性質(zhì)得出/ABO=30°,即可得出結(jié)論；(3)當(dāng)O、E、F三點(diǎn)共線

14、時(shí)，點(diǎn)F到點(diǎn)O的距離最大，即可得出結(jié)論；(4)分兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解即可.試題解析：解：(1)當(dāng) t=0 時(shí).-.AB=CD=8, F 為 CD 中點(diǎn)，DF=4,F (3, 4);(2)當(dāng) t=4 時(shí)，OA=4.在 RtABO 中，AB=8, Z AOB=90°,Z ABO=30 ；點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE=AB=4, BO=4x/3 ,，點(diǎn)B下滑的距離為 28 4m.(3)當(dāng)O、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn) F到點(diǎn)O的距離最大，F(xiàn)O=OE+EF=.r _6 -,7姝 C1“:J_. X【答案】(1) 6 (2) 4+2痣【解析】分析：(1)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論

15、；(2)根據(jù)以AB為斜邊在右上方作 RtA ABC,可知點(diǎn)C在以AB為直徑的OD上運(yùn)動(dòng)，根據(jù) 點(diǎn)C坐標(biāo)為(x, y),可構(gòu)造新的函數(shù) x+y=m,則函數(shù)與y軸交點(diǎn)最高處即為 x+y的最大 值，此時(shí)，直線 y= - x+m與。D相切，再根據(jù)圓心點(diǎn) D的坐標(biāo)，可得 C的坐標(biāo)為(3+75 , 1 +J5 ),代入直線y=-x+m,可得m=4+2j5,即可得出x+y的最大值為4+2 括.詳解：(1) 6;(2)由題可得，點(diǎn) C在以AB為直徑的OD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(x, y),可構(gòu)造新的函 數(shù)x+y=m,則函數(shù)與y軸交點(diǎn)最高處即為 x+y的最大值，此時(shí)，直線 y=-x+m與。D相 切，交x軸與E,如圖

16、所示，連接 OD, CD.,. A (6, 0)、B (0, 2) ,D (3, 1) , OD=12 32 = >/l0 , .CD=VT0 .根據(jù)CD, EF可得，C、D之間水平方向的距離為 J5,鉛垂方向的距離為 5, - C(3+75, 1 + V5),代入直線 y=-x+m,可得：1 + V5 = - (3+75) +m,解得：m=4+2 75 ,，x+y的最大值為 4+2/5 .故答案為：4+275.點(diǎn)睛：本題主要考查了切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及等腰直角三角形的 性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造一次函數(shù)圖象，根據(jù)圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的 半徑進(jìn)行求解.7.

17、如圖.在 4ABC 中，/C=90°, AC=BC, AB=30cm,點(diǎn) P 在 AB 上，AP=10cm,點(diǎn) E 從點(diǎn) P 出發(fā)沿線段PA以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) F從點(diǎn)P出發(fā)沿線段PB以1cm/s的速 度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿線段 AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程 中，以EF為邊作正方形EFGH使它與ABC在線段AB的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t (s) ( 0<t<20).(1)當(dāng)點(diǎn)H落在AC邊上時(shí)，求t的值；(2)設(shè)正方形EFGH與4ABC重疊部分的面積為 S. 試求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式； 以點(diǎn)C為圓心，1t為半徑作0C當(dāng)。C與G

18、H所在的直線相切時(shí)，求此時(shí) S的值.29t2?(0 t 2)7 2 _ .【答案】(1) t=2s 或 10s; (2)S二 t50t 50(2 t 10); 100cm 2.t2 40t 400? (10 t 20)【解析】試題分析：(1)如圖1中，當(dāng)0vtW5時(shí)，由題意 AE=EH=EF,即10-2t=3t, t=2;如圖2 中，當(dāng) 5vtv20 時(shí)，AE=HE, 2t - 10=10- ( 2t 10) +t, t=10;(2)分四種切線討論 a、如圖3中，當(dāng)0vtW2時(shí)，重疊部分是正方形 EFGH S= (3t) 2=9t2. b、如圖4中，當(dāng)2vtW5時(shí)，重疊部分是五邊形EFGMN.

19、 c、如圖5中，當(dāng)5<t<10時(shí)，重疊部分是五邊形 EFGMN. d、如圖6中，當(dāng)10vtv20時(shí)，重疊部分是正方形EFGH分別計(jì)算即可；分兩種情形分別列出方程即可解決問題.試題解析：解：(1)如圖1中，當(dāng)0vtW5時(shí)，由題意得：AE=EH=EF,即10-2t=3t, t=2如圖 2 中，當(dāng) 5vtv20 時(shí)，AE=HE, 2t - 10=10- (2t10) +t, t=10.綜上所述：t=2s或10s時(shí)，點(diǎn)H落在AC邊上.(2) 如圖3中，當(dāng)0vt<2時(shí)，重疊部分是正方形 EFGH, S= (3t) 2=9t272c c t2+50t - 50.如圖4中，當(dāng)2<tW

20、5時(shí)，重疊部分是五邊形EFGMN, S= (3t) 2- 1 (5t-10) 22S= (20- t) 2- - (30- 3t) 2272c c一 t2+50t - 50.2Ap FB肆如圖6中，當(dāng)10Vt<20時(shí)，重疊部分是正方形 EFGH S= (20-t) 2=t2-40t+400. cPE FB圖百29t2?(0 t 2)7 2綜上所述：S= 12 50t 50(2 t 10) .22t2 40t 400? (10 t 20) 如圖 7 中，當(dāng) 0vtW5時(shí)，t+3t=15,解得：t=30 ,此時(shí) S=100cm2,當(dāng) 5vtv20 時(shí),271-t+20- t=15,解得：t=

21、10,此時(shí) S=100.綜上所述：當(dāng)OC與GH所在的直線相切時(shí)，求此時(shí) S的值為100cm22點(diǎn)睛：本題考查了圓綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知 識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，注意不 能漏解，屬于中考?jí)狠S題.8.如圖，4ABC內(nèi)接于。O,且AB為。的直徑./ ACB的平分線交OO于點(diǎn)D,過點(diǎn)D 作。的切線PD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) P,過點(diǎn)A作AE，CD于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF，CD于點(diǎn)F.(1)求證：DP/ AB;(2)若AC=6, BC=8,求線段PD的長(zhǎng).【答案】詳見解析(1)連接OD,由AB為。的直徑，根據(jù)圓周角定理得 /AC

22、B=90,再由/ACD=/ BCD=45 ；貝U / DAB=Z ABD=45 ,°所以 DAB為等腰直角三角形，所以 DOLAB, 根據(jù)切線的性質(zhì)得 ODLPD,于是可得到 DP/ AB.(2)先根據(jù)勾股定理計(jì)算出 AB=10,由于 DAB為等腰直角三角形，可得到ADAEAB 10.225近；由4ACE為等腰直角三角形，得到CE AC 差 3無，在RtAED中利用勾股定理計(jì)算出 DE=4J2,則CD=7五，易證得一 PD PA AD 5 25.PDAsPCD,得到匚D PA 把 咨2 ,所以 pa,pd, PC PD CD 7.27PC=7PD,然后禾1J用PC=PA+A(CT計(jì)算

23、出PD. 5【詳解】解：(1)證明：如圖，連接 OD,.AB 為。的直徑，ZACB=90.°/ ACB 的平分線交 O O 于點(diǎn) D,Z ACD=Z BCD=45 .°/ DAB=Z ABD=45DAB為等腰直角三角形. DOXAB. . PD 為。O 的切線，OD± PD. .DP/ AB.(2)在 RACB 中，AB=jACm。， DAB為等腰直角三角形,AD =AB10.AEXCD,.ACE為等腰直角三角形.AC =_6_=爭(zhēng)回在 RtAED中，DE 三 JAD； - AE：二在 J? Y4丫 ,斗點(diǎn),CD=E-DE 三30.4點(diǎn)二7虎.PD PA .AT1

24、 5 或pc = cd't . AB / PD,/ PDA=Z DAB=45 .°/ PAD玄 PCD.又 / DPA=Z CPD, PD PCD. .PA=7PD, PC=5 PD. 57又,. PC=PA+AC7PD+6=5PD,解得 PD=579.已知， ABC內(nèi)接于eO,點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，連接 PA、PB ;(1)如圖 1,若 AC BC,求證：AB PC;(2)如圖2,若PA平分 CPM ,求證：AB AC ;24(3)在(2)的條件下，若sin BPC ，AC 8,求AP的值.25【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)2通.【解析】【分析】(1)由點(diǎn)P是弧A

25、B的中點(diǎn)，可得出 AP=BP通過證明 APC BPC , ACE BCE可得 出 AEC BEC進(jìn)而證明AB pc.(2)由PA是/ CPM的角平分線，得到 / MPA=Z APC,等量代換得到/ ABC=Z ACB,根據(jù)等腰三 角形的判定定理即可證得 AB=AC.過A點(diǎn)作AD± BC,有三線合一可知 AD平分BC,點(diǎn)O在AD上，連結(jié) OB,則/ BOD=/ BAC,根據(jù)圓周角定理可知 / BOD=Z BAC, / BPC=Z BAC,由/ BOD=Z BPC可得BDsin BOD sin BPC ，設(shè)OB=25x ,根據(jù)勾股定理可算出 OB、BD> OD、AD的 OB長(zhǎng)，再次

26、利用勾股定理即可求得AP的值.【詳解】解：(1) .點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，如圖1,.AP=BP,在 APC和 BPC中AP BPAC BC , PC PC2 .APCABPC (SS§ ,/ ACP= / BCP, 在 ACE和 BCE中AC BCACP BCP, CE CE3 .ACEABCE (SAS , / AEC= / BEC4 / AEG/BEC= 180 ；/ AEC= 90 ；ABXPC;(2) PA平分/CPM,/ MPA= / APC, / APO / BPG/ ACB= 180 ； / MPA+Z APC/ BPC= 180 ；/ ACB= / MPA= / APC

27、, / APC= / ABC,/ ABC= / ACB, .AB= AC；(3)過A點(diǎn)作ADXBCx BC于D,連結(jié)OP交AB于E,如圖2,卸由(2)得出AB= AC, AD 平分 BC, .點(diǎn)O在AD上， 連結(jié) OB,貝U / BOD= / BAC, / BPC= / BAC,24 BD sin BOD sin BPC =,25 OB設(shè) OB= 25x,貝U BD= 24x, OD= Job2 bd2 =7x，在 RtVABD 中，AD= 25x+7x=32x, BD= 24x, AB= a/adB5T=40x，,.AC= 8,.-，AB=40x=8,解得：x=0.2,.OB=5, BD=

28、4.8, OD=1.4, AD= 6.4,丁點(diǎn)p是AB的中點(diǎn)， OP垂直平分AB,1 ，-。 AE=_AB= 4, /AEP=/AEO= 90 ,2在 Rt AEO 中，OE= Aoq2 ae2 3,PE= OP- OE= 5- 3 = 2,在 Rt APE 中，AP= Jpe2 AE2 ，22 42 2后【點(diǎn)睛】本題是一道有關(guān)圓的綜合題，考查了圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三線合一，是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，一般以壓軸題形出現(xiàn)，難度較大10.如圖，4ABC內(nèi)接于OO, /BAC的平分線交。于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E ( BE> EQ ,且BD=2 J3 ,過點(diǎn)D作DF/ BC,交

29、AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F.(1)求證：DF為。的切線；(2)若/BAC= 60。，DE=",求圖中陰影部分的面積.【答案】(1)詳見解析；(2) 9百2?！窘馕觥俊痉治觥?1)連結(jié)OD,根據(jù)垂徑定理得到 OD，BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到 ODLDF,根據(jù)切線的 判定定理證明；(2)連結(jié)OB,連結(jié)OD交BC于P,作BHLDF于H,證明OBD為等邊三角形，得到 /ODB=60 ； OB=BD=2j3,根據(jù)勾股定理求出 PE,證明AB&4AFD,根據(jù)相似三角形 的性質(zhì)求出AE,根據(jù)陰影部分的面積 =4BDF的面積-弓形BD的面積計(jì)算.【詳解】證明：(1)連結(jié)OD, AD 平分 / BA

30、C交。于 D,Z BAD=Z CAD,bd = Cd ,ODXBC,1. BC/ DF, ODXDF, .DF為。O的切線；(2)連結(jié) OB,連結(jié) OD交BC于P,作BHXDFT H, / BAC=60 ,° AD 平分 / BAC,/ BAD=30 ；/ BOD=2/ BAD=60 ,° .OBD為等邊三角形，/ ODB=60 ； OB=BD=273 ,/ BDF=30 ；1. BC/ DF,/ DBP=30 ；1 在 RtDBP 中，PD=- BD=73 , PB=V3PD=3,2在 RtDEP 中，.PD=73, DE=近, PE=.(.7)2 ( 3)2 =2, .

31、OPXBC,BP=CP=3 .CE=3- 2=1 , / DBE=Z CAE, / BED=Z AEG,.,.BDEAACE, .AE： BE=CE DE,即 AE： 5=1：幣，.-.AE=5l7. BE/ DF, .ABEAAFD,5.7BEAE5Y1,即廣,DFADDF12 57解得DF=12,在 RtBDH 中，BH=1BD=J3, 2，陰影部分的面積二 BDF的面積-弓形 BD的面積=4BDF的面積-(扇形 BOD的面積- BOD 的面積)=1 12 73 60(2圾 (2x/3)2 =9向2 兀.23604【點(diǎn)睛】考查的是切線的判定，扇形面積計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理

32、的應(yīng)用，等 邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定定理，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.11.在e O中，AB為直徑，C為e O上一點(diǎn).圖圈(I )如圖，過點(diǎn)C作e O的切線，與 AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P,若 CAB 28 ,求 P的大??；(n )如圖，D為弧AC的中點(diǎn)，連接OD交AC于點(diǎn)E,連接DC并延長(zhǎng)，與 AB的 延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P,若 CAB 12 ,求 P的大小.【答案】(1) /P=34° (2) /P= 27°【解析】【分析】(1)首先連接OC,由OA=OC,即可求得/A的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得 /POC的 度數(shù)，繼而求得答案；(2)因?yàn)镈為弧AC的中點(diǎn)，OD為

33、半徑，所以 ODLAC,繼而求得答案.【詳解】(1)連接OC,.OA=OC,Z A= Z OCA= 28 ；/ POG= 56 ;CP是。O的切線，/ OCP= 90 °,/ P= 34 °(2) 為弧AC的中點(diǎn)，OD為半徑，.ODXAC, / CAB= 12 ；/ AOE= 78 ;/ DCA= 39 ； / P= / DCA / CAB,/ P= 27 :ST【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.12.在平面直角坐標(biāo)系 XOY中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xi, yi),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(龍，y2),且xi力2,若P、Q為某等邊三角形的兩個(gè)頂

34、點(diǎn)，且有一邊與x軸平行(含重合)，則稱 P、Q互為向善點(diǎn)如圖1為點(diǎn)P、Q互為向善點(diǎn)”的示意圖.已知點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1,J3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m, 0)(1)在點(diǎn)M (- 1 , 0)、S (2, 0)、T (3, 3 J3)中，與 A點(diǎn)互為 向善點(diǎn)”的是(2)若A、B互為向善點(diǎn)”，求直線AB的解析式;(3) OB的半徑為J3,若。B上有三個(gè)點(diǎn)與點(diǎn) A互為 向善點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出m的取值范 圍.TIV 。Q-s 今“0ird ?"圖'I【答案】(1) S, T. (2)直線AB的解析式為y= J3x或y=- J3x+2J3； ( 3)當(dāng)-2 vmv0或2vmv4時(shí)，OB上有三個(gè)點(diǎn)

35、與點(diǎn) A互為 向善點(diǎn)【解析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合驗(yàn)后可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)向善點(diǎn)”的定義，可得出點(diǎn) S, T與A點(diǎn)互為向善點(diǎn)【分析】向善點(diǎn)”的定義，可得出關(guān)于 m的分式方程，解之經(jīng)檢A, B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析A；(3)分OB與直線y=J3x相切及OB與直線y=-J3x+2J3相切兩種情況求出 m的值，再 利用數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論.;紅®亙“e,刖60成電Mtan60 1(1)22 13 1點(diǎn)S, T與A點(diǎn)互為恂善點(diǎn)”.故答案為S, T.(2)根據(jù)題意得： 30 33, |m 1|解得：m1 = 0, m2=2,經(jīng)檢驗(yàn)

36、，m1=0, m2 = 2均為所列分式方程的解，且符合題意, ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0, 0)或(2, 0).設(shè)直線AB的解析式為y= kx+b (吐0 ,B (0, 0)或(2, 0)代入 y=kx+b,得:k bk b或b 02kb 0解得:3或 k0 b、31直線AB的解析式為y= 而x或y=-mx+2 73 .(3)當(dāng)OB與直線y= J3x相切時(shí)，過點(diǎn)B作BE,直線y= J3x于點(diǎn)E,如圖2所示. / BOE= 60 °,。BE 3sin60 =,OB 2.OB=2,，m= - 2 或 m = 2；當(dāng)OB與直線y=-，3x+2 J3相切時(shí)，過點(diǎn)B作BF,直線y= - J3x+2，3

37、于點(diǎn)F,如圖3所示.純 /斷、同理，可求出 m = 0或m=4.綜上所述：當(dāng)-2vmv0或2vmv4時(shí)，OB上有三個(gè)點(diǎn)與點(diǎn) A互為 向善點(diǎn) 【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、解分式方程以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合向善點(diǎn)”的定義，確定給定的點(diǎn)是否與 A點(diǎn)互為向善點(diǎn)”；（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出 一次函數(shù)解析式；（3）分OB與直線y=J3x相切及OB與直線y=-J3 x+2 J3相切兩種情 況考慮.13.如圖，RtABC中，/B=90°,它的內(nèi)切圓分別與邊BC CA、AB相切于點(diǎn) D、E、F,

38、 設(shè) AB=c, BC=a, AC=b證：內(nèi)切圓半徑 r= - (a+b-c).2(2)若AD交圓于 P PC交圓于H, FH/BC,求/ CPD;(3)若 r=3 廂,PD= 18, PC=27衣.求 ABC各邊長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析（2） 45。（3） 9A0, 127-0,15Vl0【解析】【分析】(1)根據(jù)切線長(zhǎng)定理，有 AE=AF, BD=BF, CD=CE易證四邊形 BDOF為正方形， BD=BF=r,用r表示AF、AE CD CE,禾ij用AE+CE=Aa等量關(guān)系列式.(2) /CPD為弧DH所對(duì)的圓周角，連接 OD,易得弧DH所對(duì)的圓心角/ DOH=9 0,所以 / CP

39、D=45 .°(3)由PD=18和r=3 J10,聯(lián)想到垂徑定理基本圖形，故過圓心 O作PD的垂線OM,求得 弦心距OM=3,進(jìn)而得到/ MOD的正切值.延長(zhǎng) DO得直徑DG,易證PG/ OM ,得到同位 角/G=/ MOD,又利用圓周角定理可證 ZADB=Z G,即得到/ADB的正切值，進(jìn)而求得 AB,再設(shè)CE=CD=x用x表示BG AC,利用勾股定理列方程即求出x.【詳解】解：(1)證明：設(shè)圓心為 O,連接OD、OE、OF, 。分別與BC、CA、AB相切于點(diǎn) D、E、F ODXBC, OE±AC, OFXAB, AE=AF, BD=BF, CD=CE / B=ZODB=

40、Z OFB=90 ° 四邊形BDOF是矩形 ，OD=OF=r矩形BDOF是正方形.BD=BF=rAE=AF=AB-BF=c-r CE=CD=BC-BD=a-r .AE+CE=AC c-r+a-r=b(2)取FH中點(diǎn)O,連接OD1. FH/ BC/ AFH=Z B=90 °.AB與圓相切于點(diǎn) F,二FH為圓的直徑，即O為圓心1. FH/ BC/ DOH=Z ODB=90 °1/ CPD= / DOH=452(3)設(shè)圓心為 O,連接DO并延長(zhǎng)交。于點(diǎn)G,連接PG,過O作OMLPD于M / OMD=90 ° .PD=18，DM= 1pD=9 2BF=BD=OD

41、=r=3., 10 , 1OM= JoD2DM 2 = 7(310)2 92 = 790 81 = 3 tanZ MOD=DM- =3 OM,. DG為直徑 / DPG=90 ° .OM/PG, /G+/ODM=90°/ G=Z MOD / ODB=Z ADB+Z ODM=90 °/ ADB=Z G/ ADB=Z MOD tan / ADB=AB=tan / MOD=3 BD.AB=3BD=3r=9,10AE=AF=AB-BF=9/10 - 3 710 = 6 師設(shè) CE=CD=x 則 BC=3布+x, AC=6710 +x .AB2+BC2=AC2(9 JT0

42、)2 +(3 J10 +x)2= (6 /0 +x)2解得：x=9 10.BC=12 10 , AC=15 10 .ABC各邊長(zhǎng) AB=9a/w , AC=15Vw , BC=12而5 DCS3【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，正方形的判定，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理.切線長(zhǎng)定理的運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵，而在不能直接求得線段長(zhǎng)的情況下，利用勾股定理作為等量關(guān)系列方程解決是常用做法.14.已知 RtAABC, /BAJ 90。，點(diǎn) D是 BC 中點(diǎn)，AD= AC, BCU 4向，過 A, D 兩點(diǎn)作OO,交AB于點(diǎn)E,(1)求弦AD的長(zhǎng)；(2)如圖1,當(dāng)圓心O在AB上且點(diǎn)M是。上一動(dòng)點(diǎn)，

43、連接 DM交AB于點(diǎn)N,求當(dāng)ON 等于多少時(shí)，三點(diǎn) D、E、M組成的三角形是等腰三角形？(3)如圖2,當(dāng)圓心 O不在AB上且動(dòng)圓。與DB相交于點(diǎn) Q時(shí)，過D作DHXAB (垂 足為H)并交。于點(diǎn)P,問：當(dāng)。變動(dòng)時(shí)DP- DQ的值變不變？若不變，請(qǐng)求出其值； 若變化，請(qǐng)說明理由.刻)(蚯【答案】(1) 2J3(2)當(dāng)ON等于1或J3 - 1時(shí)，三點(diǎn)D、E M組成的三角形是等腰三角形(3)不變，理由見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到AD的長(zhǎng)；(2)連DE、ME,易得當(dāng)ED和EM為等腰三角形 EDM的兩腰，根據(jù)垂徑定理得推論得 OE± DM,易得到

44、 4ADC為等邊三角形，得 /CAD=60°,貝U / DAO=30° , / DON=60 ,然后 根據(jù)含30。的直角三角形三邊的關(guān)系得dn=；ad=J3, on=§dn=1；當(dāng) MD=ME, DE 為底邊，作 DHLAE,由于 AD=2 J3 , / DAE=30 ,得至U DH=J3 ,/ DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1,又/M=/DAE=30, MD=ME,得到 / MDE=75 ,貝U / ADM=90 -75 =15°,可得到/ DNO=45 ;根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NH=DH=百，則ON= J3 -1 ；(3)連AP、AQ, DP, AB,彳導(dǎo)AC/ DP,則/ PDB=/ C=60 ,再根據(jù)圓周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,則/PAQ=60,° / CAQ=/ PAD,易證得AQ84APD,得到 DP=CQ 貝U DP-DQ=CQ-DQ=CD 而 4ADC 為等邊三角形， CD=AD=2j3 ,即可得到 DP-DQ 的 值.【詳解】解：(1) ./BAC= 90°,點(diǎn) D 是 BC 中點(diǎn)，BC= 473 , -A