倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點配置控制設(shè)計說明

1、摘要：為實現(xiàn)多輸入、多輸出、高度非線不穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)平衡穩(wěn)定控制，將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點附近的線性化模型。利用牛頓歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在分析的基礎(chǔ)上，基于狀態(tài)反饋控制中極點配置法對直線型倒立擺系統(tǒng)設(shè)計控制器。由MATLAB仿真表明采用的控制策略是有效的，設(shè)計的控制器對直線型一級倒立擺系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性效果好，提高了系統(tǒng)的干擾能力。關(guān)鍵詞：倒立擺、極點配置、MATLAB仿真引言：倒立擺是進行控制理論研究的典型試驗平臺，由于倒立擺本身所具有的高階次、不穩(wěn)定、非線性和強耦合性，許多現(xiàn)代控制理論的研究人員一直將他視為典型的研究對象，不斷從中

2、發(fā)掘出新的控制策略和控制方法?？刂破鞯脑O(shè)計是倒立擺系統(tǒng)的核心容，因為倒立擺是一個絕對不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為使其保持穩(wěn)定并且可以承受一定的干擾，基于極點配置法給直線型一級倒立擺系統(tǒng)設(shè)計控制器1數(shù)學(xué)模型的建立倒立擺系統(tǒng)其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在著一定的困難。在忽略掉一些次要的因素之后，倒立擺系統(tǒng)就是一典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標系中應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)動力學(xué)方程。下面采用牛頓-歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。1.1微分方程的數(shù)學(xué)模型在忽略了空氣阻力和各種摩擦力之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示：圖1：直線一級倒立擺模型設(shè)系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)定

3、義如下：M：小車質(zhì)量m：擺桿質(zhì)量b：小車摩擦系數(shù)l：擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度I：擺桿質(zhì)量F：加在小車上的力x：小車位置：擺桿與垂直方向上方向的夾角：擺桿與垂直方向下方向的夾角（擺桿的初始位置為豎直向下）如下圖2所示為小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。圖2：小車和擺桿受力分析圖應(yīng)用牛頓方法來建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程過程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下的方程：由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面的等式：將此等式代入上述等式中，可以得到系統(tǒng)的第一個運動方程：為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面的

4、方程：力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去P和N，得到第二個運動方程：設(shè)=+，當擺桿與垂直向上方向之間的夾角與1（單位是弧度）相比很小時，即<<1時，則可以進行如下近似處理：線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程表達式：1.2狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式：解代數(shù)方程可得如下解：整理后可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程：對于質(zhì)量均勻分布的擺桿，其轉(zhuǎn)動慣量為：代入微分方程模型中得：化簡后可得：設(shè)則有：1.3實際系統(tǒng)模型實際系統(tǒng)參數(shù)如下：M：小車質(zhì)量，0.5Kg;m：擺桿質(zhì)量，0.2Kg;b：小車摩擦系數(shù)，0.1N/m/sec；

5、l：擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度，0.3m;I：擺桿質(zhì)量，0.006Kg·m·m；T：采樣時間，0.005s。將上述系統(tǒng)參數(shù)代入可得系統(tǒng)實際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)：擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：2.狀態(tài)空間極點配置經(jīng)典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設(shè)計時一般需要有關(guān)被控對象的較精確模型，現(xiàn)代控制理論主要是依據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具，將經(jīng)典控制理論的概念擴展到多輸入多輸出系統(tǒng)。極點配置法通過設(shè)計狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在

6、期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標。設(shè)計要求：用極點配置方法設(shè)計控制器，使得在小車上施加0.1N的階躍信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標為：（1）要求系統(tǒng)調(diào)整時間小于3s（2）穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度狀態(tài)方程為：選擇控制信號：可解得：直接利用MATLAB極點配置函數(shù)K，PREC，MESSAGE=PLACE(A，B，P)來計算。選取調(diào)整時間ts=2.0s，阻尼比為=0.5，可得期望的閉環(huán)極點：u3，u4為一對主導(dǎo)極點，u1，u2距離閉環(huán)主導(dǎo)極點5倍，可忽略其對主導(dǎo)極點的影響。矩陣（A-BK）的特征值是方程式| Is-（A-BK）|=0的根：這是s 的四次代數(shù)方程式，可表示

7、為適當選擇反饋系數(shù)k1, k2，k3，k4系統(tǒng)的特征根可以取得所希望的值。把四個特征根設(shè)為四次代數(shù)方程式的根，則有如果給出的是實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，則聯(lián)立方程式的右邊全部為實數(shù)。據(jù)此可求解出實數(shù)k1,k2,k3,k4當將特征根指定為下列兩組共軛復(fù)數(shù)時=，-10, -10又a = 29.4, b = 3利用方程式可列出關(guān)于k1,k2,k3,k4的方程組：求解后得k1=-65.3061k2=-29.3878k3=114.3224k4=21.3551所以反饋矩陣：即施加在小車水平方向的控制力u： = KX = -65.3061x + -29.3878x - 114.3224-21.35513.仿真驗證圖3

8、：倒立擺極點配置仿真框圖可以看出在干擾的情況下，系統(tǒng)在3s之基本上可以恢復(fù)到新的平衡位置。圖4：直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置MATALAB SIMULINK仿真結(jié)果圖圖5：直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置實時控制結(jié)果（施加干擾）在給倒立擺施加干擾后，系統(tǒng)的響應(yīng)如圖12所示，系統(tǒng)的穩(wěn)定時間在3s之，達到設(shè)計要求。4結(jié)論傳統(tǒng)的非線性系統(tǒng)分析方法需要非線性系統(tǒng)的精確模型，而實際中存在的大量復(fù)雜的多變量非線性系統(tǒng)則表現(xiàn)為參數(shù)的不確定性和結(jié)構(gòu)的不確定性。本文用現(xiàn)代控制理論的極點配置方法對直線一級倒立擺控制進行了分析，并用Simulink進行了倒立擺的系統(tǒng)仿真。通過實驗，得到如下結(jié)論：(1) 對于具有非線性、多變量等特點的倒立擺系統(tǒng)進行系統(tǒng)分析，分析其非線性因素，在誤差允許的圍忽略某些次要因素將其線性化。(2)狀態(tài)空間極點配置控制器既能實現(xiàn)對擺桿角度的控制，又能控制小車位移。（3）基于極點配置法對直線型一級倒立擺系統(tǒng)設(shè)計的控制器，可使系統(tǒng)在很小振動圍保持平衡，穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度，系統(tǒng)穩(wěn)定時間約為3 S。5.參考文獻1于長官，現(xiàn)代控制理論第3版工業(yè)大學(xué)，20052郭釗俠，方建安，苗清影倒立擺系統(tǒng)與其智能控制研究J東華大學(xué)學(xué)報，2003，29(2)：1221263豹現(xiàn)代控制理論M：機械工業(yè)，20054王正林，王勝開MATL