第三章-2(5次)-1

1、本本 次次 課課 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容3.4 3.4 流體運動微分方程流體運動微分方程3.5 3.5 伯努利方程的推導及應用伯努利方程的推導及應用3.3 3.3 流體動力學流體動力學連續(xù)性方程連續(xù)性方程 在研究流體運動時有個基本的假設，即假設流體是一個連續(xù)介質(zhì)，流體無空隙的充滿整個流場。 連續(xù)性方程是描述連續(xù)流體的基本方程，是質(zhì)量守恒定律在流體力學中的表達式。 連續(xù)性方程的理論基礎(chǔ)質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律3.3 3.3 流體動力學流體動力學連續(xù)性方程連續(xù)性方程3.3 連續(xù)性方程連續(xù)性方程V S 。3-3 連續(xù)方程式(質(zhì)量守恒方程)基本原理基本原理在流場中取任意形狀的控制體，如圖所示，其體積為

2、V，表面積為A，任意時刻控制體內(nèi)流體的質(zhì)量為： vdV在流體穿越控制面的流動過程中，經(jīng)過單位時間，如果流體質(zhì)量發(fā)生了變化，其質(zhì)量變化率為 VdVt這個質(zhì)量變化率是由什么引起的？單位時間從控制體流入或流出的凈流量。單位時間從控制體流入或流出的凈流量。體積體積0VdVt若（1）流出的大于流入的，則若（2）流出的小于流入的，則0VdVt若（3）流出的等于流入的，則上述兩項皆為0不管何種情況，根據(jù)質(zhì)量守恒定律控制體內(nèi)流體質(zhì)量變化率與通過控制面的凈流量的代數(shù)和為0，即0AdAv0AdAvVAdVtdAv0特例特例1、定常流動連續(xù)方程、定常流動連續(xù)方程AdAv0特例特例2、不可壓縮流體流動的連續(xù)方程、不可

3、壓縮流體流動的連續(xù)方程在定常流動中，密度不隨時間變化，控制體中的質(zhì)量不隨時間變化在定常流動中，密度不隨時間變化，控制體中的質(zhì)量不隨時間變化VdVt0因此所以0VAdVtdAv在定常流動中，從控制體流出的質(zhì)量流量永遠等于流入控制體的質(zhì)量流量。在定常流動中，從控制體流出的質(zhì)量流量永遠等于流入控制體的質(zhì)量流量。密度不隨空間變化，密度不隨空間變化，也不隨時間變化。也不隨時間變化。0VAdVtdAv,控制體的位置,形狀,體積在流動過程中相對于坐標系不變，密度0VVdV0tV0dAvA不可壓縮流體流動時任何瞬時流入控制體的流量均等于同一瞬時從控制體流出的流量不可壓縮流體流動時任何瞬時流入控制體的流量均等于

4、同一瞬時從控制體流出的流量一、一元流動的連續(xù)性方程01122112212AvAvdAvdAvdAvAAA流動隨一個、兩個、三個空間坐標變化的流動稱為一元、二元、三元流動。不但微小流束是一元流動，有固體邊界的總流，如果一切流動參數(shù)均以過流斷面上的平均值計算，也可看作一元流動。如圖311，左進口和右出口的質(zhì)量相等，即一元定常流動的方程式一元定常流動的方程式是： 如果流體不可壓縮的話，密度為常數(shù)，則得到一元不可壓縮流體一元不可壓縮流體的連續(xù)性方程。1122v Av A公式中的密度和速度是過流斷面上的平均值公式中的密度和速度是過流斷面上的平均值即平均速度與過流斷面的面積成反比vA 常量例:如圖水從管口

5、自由向下流，已知v1=1.4m/s, d1=10cm, v2=5.6m/s, 求d2=?1112222212222244101.4 3.145.6 3.14445v Av Addvvddcm解:根據(jù)不可壓縮流體一維連續(xù)方程得二、三元直角坐標下的連續(xù)方程為了方便，選取流場中的矩形六面體微元作為控制體。如圖所示，其體積為V,表面積為A，流體密度為，其邊長為dx、dy、dz，分別平行于x、y、z軸。在dt時間內(nèi)從左側(cè)ADEH面流入的質(zhì)量為 ，從右側(cè)BCFG面流出的質(zhì)量為 。則右側(cè)按左側(cè)面泰勒公式展開并略去高階項的： 圖3.3.1 控制體vdydzdt v dydzdt().vvvdxtx,y,zf(

6、x)在x0點展開泰泰 勒勒 展展 開開 式式 高數(shù)上冊高數(shù)上冊P176()().()vvvxdxxtvvdxt)()(!)()(2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 圖3.3.1 控制體x方向 dt時間內(nèi)流入的流體質(zhì)量tzyvxddd流出的流體質(zhì)量tzyxxvvxxddd)d(X方向質(zhì)量的凈流入量d d d dxvx y z tx同理：同理：Y方向質(zhì)量的凈方向質(zhì)量的凈流入量流入量d d d dyvx y z tyZ方向質(zhì)量的凈流入量方向質(zhì)量的凈流入量d d d dzvx y z tz則dt時間內(nèi)，在整個控制體流體質(zhì)量的變化為：同樣，假設ADEH面

7、t時刻的密度為，右側(cè)BCFG面t+dt時刻的密度為dtt則dt時間內(nèi)由于密度的變化導致六面體內(nèi)質(zhì)量的變化為：tzyxtdddd由質(zhì)量守恒定理得：()()()0yxzvvvtxyz三元直角坐標連續(xù)性方程。()0vt寫成哈密頓算子形式為:dxdydzdtzvyvxvzyx)()()(0)()()(tzvyvxvzyx定常流動 0)()()(zvyvxvzyx不可壓縮流動 0)()()(zvyvxvzyx如何改為二元流動？三元流動連續(xù)方程式 直直角角坐坐標標系系 輸水管道經(jīng)三通管分流已知管徑d1d2200mm，d3=100mm斷面平均流速v13ms ，v22ms。試求斷面的平均流速v3圖3193.4

8、 理想流體運動微分方程理想流體運動微分方程（動力學方程）（動力學方程）圖2.4.1控制體牛頓第二運動定律在X方向的合力dtvxpfdtvzyxzyxfzydxxppzypxxxxd1ddddddddddd同理可得tvzpftvypfzzyydd1dd1maF 表面力質(zhì)量力單位質(zhì)量m加速度歐拉運動微分方程010101zpfypfxpfzyx歐拉平衡微分方程P56這就是理想理想流體的運動微分方程，早在1755年由歐拉推出。對于平衡的流體，相對于坐標系來說v=0，可以直接得出流體平衡微分方程，平衡微分方程，即歐拉平衡微分方程式。因此歐拉平衡微分方程只是歐拉運動微分方程的一個特例。zvvyvvxvvt

9、vdtdvzpfzvvyvvxvvtvdtdvypfzvvyvvxvvtvdtdvxpfzzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx111*粘性流體運動微的分方程粘性流體運動微的分方程 納維、斯托克斯方程納維、斯托克斯方程(N-S(N-S方程方程) )2222zyx拉普拉斯算子，或標性微分算子拉普拉斯算子，或標性微分算子dtdvvzpfdtdvvypfdtdvvxpfzzzyyyxxx222111zkyjxi哈密頓算子，或矢性微分算子哈密頓算子，或矢性微分算子zvvyvvxvvtvdtdvzvyvxvzpfzvvyvvxvvtvdtdvzvyvxvypfzvvyvvxvvtvdtdv

10、zvyvxvxpfzzzyzxzzzzzzyzyyyxyyyyyyxzxyxxxxxxxx111222222222222222222010101zpfypfxpfzyxzvvyvvxvvtvzpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx111Cgvgpz22dtdvzvyvxvzpfdtdvzvyvxvypfdtdvzvyvxvxpfzzzzzyyyyyxxxxx111222222222222222222歐拉方程歐拉運動微分方程（理想流體）粘性流體運動微分方程，實際流體的運動微分方程fdsggvgpzgvgpz1222222211

11、1Cgpz靜力學3.5 伯努利方程伯努利方程伯努利（瑞士），伯努利（瑞士），17381738，流體動力學流體動力學“流速增加，壓強降低流速增加，壓強降低” kvjvivvzyx在dt時間位移為ds=dxi+dyj+dzk。為了求出單位質(zhì)量流體運動時外力做功的能量關(guān)系式。將三個坐標上的投影dx=vxdt, dy=vydt， dz=vzdt，與N-S方程的三個式子相乘，再相加的。則得到： Cgvgpz22假如單位質(zhì)量的流體質(zhì)點某瞬時的速度為：一、一、流線上流線上的伯努力方程的伯努力方程dtdvvzpfdtdvvypfdtdvvxpfzzzyyyxxx222111可以看出公式有四部分，對各部分進行簡

12、化分析如下 1、第部分是有勢的質(zhì)量力，可用質(zhì)量力的勢函數(shù)表示2、第部分是壓強對坐標的全微分，記為dp,則1()pppdpdxdydzxyz3、第部分是粘性力所做的功，由于粘性力方向與流體沿流線的運動方向相反，所以為負值，于是寫出：222xyzv dxv dyv dzfds dWdzzWdyyWdxxWdzfdyfdxfzyx4、將部分導數(shù)化為微分，則得到：2222()()22yxyzxzxyzxyzdvvvvdvdvvv dtv dtv dtv dxv dyv dzdddtdtdt將以上4部分的化簡結(jié)果代回原式，就會得到：22()2()02dpvdWfdsddpvd Wfds或者下面看看不同流

13、動下，對上式積分后出現(xiàn)什么狀況。1、非定常流動的情況下，括號中對坐標的全微分同時為0，所以積分常數(shù)只與時間有關(guān)，所以積分得到)(22tCfdsvdpW2、在定常流動的情況下，積分常數(shù)與時間無關(guān)，則 CfdsvdpW223、在重力場，不可壓縮流體的條件下：CfdsggvgpzCfdsvpgz122222()02dpvd Wfds4、重力場，不可壓縮流體流線上任意兩點，可以寫成2221122121122pvpvzzfdsggggg這就是實際流體，在定常流動、重力場、不可壓縮條件下，在流線上任意兩點間的伯努利方程伯努利方程。 5、如果是理想流體，沒有粘性力作用，則 Cgvgpz22gvgpzgvgp

14、z22222221116、如果速度為零 ，即流體靜止，則Cgpz或平衡流體的流體平衡流體的流體靜力學基本方程靜力學基本方程zpg2gv2gpgvz22理想流體理想流體 伯努利方程伯努利方程的意義（非常重要）的意義（非常重要）Cgpgvz22單位均為m物理意義物理意義幾何意義幾何意義單位重量流體的單位重量流體的位置勢能位置勢能位置水頭位置水頭單位重量流體的單位重量流體的壓強勢能壓強勢能壓強水頭壓強水頭單位重量流體的單位重量流體的動能動能速度水頭速度水頭總機械能總機械能總水頭總水頭物理意義為：當理想不可壓縮流體在重力場中作恒定流動時，沿同一元流（沿同一流線）單位重量流體的位置勢能、壓強勢能和位置勢

15、能、壓強勢能和動能動能在流動過程中可以相互轉(zhuǎn)化，但它們的總和保持不變，即單位重量流體的機械能守恒，故伯努利方程又稱為能量方程。伯努利方程的意義圖水頭線幾何意義為：幾何意義為：當當理想不可壓縮流體理想不可壓縮流體在重力場中作恒定流動時，沿同一元在重力場中作恒定流動時，沿同一元流（沿同一流線）流體的位置水頭、壓強水頭和速度水頭在流動過程中流（沿同一流線）流體的位置水頭、壓強水頭和速度水頭在流動過程中可以互相轉(zhuǎn)化，但各斷面的總水頭保持不變，即總水頭線是與基準面相可以互相轉(zhuǎn)化，但各斷面的總水頭保持不變，即總水頭線是與基準面相平行的水平線平行的水平線 平面流場平面流場（忽略重力作用）Cpv22思考1.

16、碗中，放了一個球，怎樣才能把球從碗中吹起來？2. 轎車高速行駛時，為何感覺車身變輕？1、總流上總流上的伯努力方程 工程計算上一般并不觀測哪一條流線上的流動，而是著眼于總流在過流斷面上的平均值，因此伯努力式中各項如以過流斷面上的平均值表示，則更有實用價值。 在過流斷面上單位重力流體的平均動能為3.5.2 3.5.2 總流上的伯努利方程總流上的伯努利方程22vg已經(jīng)學過動能修正系數(shù)平均流速真實流速如何利用平均流速建立總流上的伯努利公式？222121vAvvvdAA圖 理想流體總流假設 A1、A2是過流截面，對于微元流束的伯努利方程2211221222pupuzzgggg2211dAudAu對于總流

17、，通過斷面1和2的能量，可以通過積分得到，積分結(jié)果用平均流速表示：1211111111112222222222()d()()d()AAppzuAzu AggppzuAzu Agg12221111 1111122222222222d22d22AAuuu Au Agguuu Au Agg121122u Au A動能位置勢能與壓強勢能理想流體總流上的伯努利方程式理想流體總流上的伯努利方程式由動能修正系數(shù)221211221222pvpvzzgggg22pvzCgg或這就是在不考慮能量損失時（沿程損失和局部損失）理想理想流體總流上的伯努利方程式。流體總流上的伯努利方程式。3.5.3.3.5.3.實際流體

18、的實際流體的伯努伯努利方程利方程fhgvgpzgvgpz222222221111能量損失或水頭損失伯努利方程應用舉例伯努利方程應用舉例h01p0p0小孔出流20010112ppVzzggg1101zzhgvgpzgpz22110100ghv21能量損失將在第五章中介紹。能量損失將在第五章中介紹。如果初始速度為如果初始速度為0 當水流受到迎面物體的阻礙，被迫向兩邊（或四周）分流，在物體表面上受水流頂沖的A點流速等于零，稱為駐點。在駐點處水流的動能全部轉(zhuǎn)化為壓能。畢托管就是利用這個原理制成的一種測量流速的儀器。 皮托管是廣泛用于測量流場各點流速的儀器，故又稱測速管。皮托管彎成 90 ，頂端開有一小

19、孔A。伯努利方程在工程中的應用伯努利方程在工程中的應用B A gpgpgvABB220gHpB)(0hHgpAghppvBAB2)(2 2/2gpHB0gphHA0靜壓水頭總水頭靜壓強ABpvp22動壓強總壓強ghCvv2管道中的皮托管，如圖3-24所示，皮托管皮托管 靜壓管靜壓管工程實際中常將靜壓管和皮托管組合在一起，稱為皮托靜壓管。它是一根工程實際中常將靜壓管和皮托管組合在一起，稱為皮托靜壓管。它是一根彎成彎成 90 ，頂端開有一小孔，頂端開有一小孔A 且側(cè)表面開有若干小孔且側(cè)表面開有若干小孔B 的套管，測量時，將小的套管，測量時，將小孔孔A 對準來流方向，則對準來流方向，則A 點速度為零

20、。由于畢托管的直徑很小，它對流場的擾點速度為零。由于畢托管的直徑很小，它對流場的擾動可以忽略，故側(cè)表面動可以忽略，故側(cè)表面B 點處的速度可以認為就是等于來流速度點處的速度可以認為就是等于來流速度u。因此將伯。因此將伯努利方程用于努利方程用于A、B 兩點，可得兩點，可得原理原理測量時將靜壓孔和總壓孔感受到的壓強分別和差壓計的兩個入口測量時將靜壓孔和總壓孔感受到的壓強分別和差壓計的兩個入口相連，在差壓計上可以讀出總壓和靜壓之差，從而求得被測點的流速。相連，在差壓計上可以讀出總壓和靜壓之差，從而求得被測點的流速。A點靜水頭B點靜水頭皮托-靜壓管。使用中必須嚴格的校準安裝方法，安裝后稍有偏差，則測量出

21、來的速度就不會準確。 水流經(jīng)噴嘴流入大氣，已知管道直徑為150mm，噴嘴出口直徑為75mm，U形管水銀差壓計的讀數(shù)如圖所示。試求在管道上的壓力表的讀數(shù)。節(jié)流式流量計節(jié)流式流量計：在管道中安裝一個過流斷面略小些的節(jié)流元件，使節(jié)流式流量計：在管道中安裝一個過流斷面略小些的節(jié)流元件，使流體流過時，速度增大，壓強降低。利用節(jié)流元件前后的壓強差來流體流過時，速度增大，壓強降低。利用節(jié)流元件前后的壓強差來測定流量的儀器。測定流量的儀器。在工程上常用的有在工程上常用的有孔板流量計、噴嘴流量計、文丘里流量計孔板流量計、噴嘴流量計、文丘里流量計。它們。它們的節(jié)流元件不同，性能稍有差異，但其基本原理是完全一樣的。

22、的節(jié)流元件不同，性能稍有差異，但其基本原理是完全一樣的。 文丘里流量計文丘里流量計文丘里流量計文丘里流量計2121vAAv22212122pvpv聯(lián)立求解：聯(lián)立求解：)(1 )2212212AAppv（)(1 )221221222AAppAvAqV（b b 修正系數(shù)修正系數(shù)，0.950.98 )(1 )2212212AAppAqVb（ghpp)(121)(1 )221212AAghAqVb（gvgpzgvgpz2222222111由連續(xù)性方程， 221121122211)(ddvAAvvAvAv)()(1)(222114211zgpzgpddgv 根據(jù)測壓儀器的不同，可有下列三種情況。 (1)如果用上部的測壓管測定壓強，則：hddgv1)(24211理論流量為：hkddghdvdqT1)(244