實物期權(quán)的定價模型

1、實物期權(quán)定價模型 n 實物期權(quán)定價模型的種類較多,理論界和實務(wù)界尚未形成通用定價模型,主要估值方法有三種。目前實物期權(quán)定價的三類方法n偏微分法：偏微分法： Black-Scholes模型。 （通過解析方法直接求解出，期望的表達式）n動態(tài)規(guī)劃法：動態(tài)規(guī)劃法：二叉樹定價模型。 （使用數(shù)值方法求得期望）n模擬法：模擬法： 蒙特卡羅模擬法。 （通過大量模擬的方法求期望）布萊克布萊克-斯科爾斯科爾斯期權(quán)定價模型斯期權(quán)定價模型模型假設(shè)條件：金融資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布；在期權(quán)有效期內(nèi)，無風險利率和金融資產(chǎn)收益變量是恒定的市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；金融資產(chǎn)在期權(quán)的有效期內(nèi)無紅利及其它利得；該期權(quán)是

2、歐式期權(quán)；布萊克布萊克-斯科斯科爾斯期權(quán)定價模型爾斯期權(quán)定價模型 布萊克斯科爾斯期權(quán)定價方法的基本思想是，衍生資產(chǎn)的價格及其所依賴的標的資產(chǎn)價格都受同一種不確定因素的影響，二者遵循相同的維納過程。如果通過建立一個包含恰當?shù)难苌Y產(chǎn)頭寸和標的資產(chǎn)頭寸的資產(chǎn)組合，可以消除維納過程，標的資產(chǎn)頭寸與衍生資產(chǎn)頭寸的盈虧可以相互抵消。由這樣構(gòu)成的資產(chǎn)組合為無風險的資產(chǎn)組合，在不存在無風險套利機會的情況下，該資產(chǎn)組合的收益應(yīng)等于無風險利率，由此可以得到衍生資產(chǎn)價格的Black-Scholes微分方程。布萊克布萊克-斯科斯科爾斯期權(quán)定價模型爾斯期權(quán)定價模型n布萊克-斯科爾斯模型假定期權(quán)的基礎(chǔ)資產(chǎn)現(xiàn)貨價格的變動

3、是一種隨機的“布朗運動”(Brownian Motion)，其主要特點是：每一個小區(qū)內(nèi)價格變動服從正態(tài)分布，且不同的兩個區(qū)間內(nèi)的價格變動互相獨立。nBlackScholes微分方程：rCSSCSCSrtCf222221布萊克布萊克-斯科斯科爾斯期權(quán)定價模型爾斯期權(quán)定價模型TTrdKS)()ln(2120n歐式看漲期權(quán)的價格可通過下式計算：n其中n n看跌TTrdKS)()ln(2220)()(210dNKedNSCrT)()(102dNSdNKePrT布萊克布萊克-斯科斯科爾斯期權(quán)定價模型爾斯期權(quán)定價模型0SK 期權(quán)的執(zhí)行價格；0 標的資產(chǎn)當前的市場價格； 無風險連續(xù)年復利； 標的資產(chǎn)的風險，

4、以連續(xù)計算的年回報率的標準差來測度；T 為離期滿日的時間，以占一年的幾分之幾（） 正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)。布萊克布萊克斯科爾斯期權(quán)定價模型斯科爾斯期權(quán)定價模型n正確使用布萊克斯科爾斯公式必須注意其它幾個參數(shù)的選擇：n(1)該模型中無風險利率必須是連續(xù)復利形式。n一個簡單的或不連續(xù)的無風險利率(設(shè)為r0)一般是一年復利一次,而要求利率連續(xù)復利。 r0必須轉(zhuǎn)化為方能代入上式計算。兩者換算關(guān)系為:=ln(1+r0 )或r0 =er-1。n(2)期權(quán)有效期應(yīng)折合成年數(shù)來表示,即期權(quán)有效天數(shù)與一年365天的比值。如果期權(quán)有效期為183天,則=183/365=0.501。n(3)對波動率的計算。通

5、常通過標的資產(chǎn)歷史價格的波動情況進行估算?；居嬎惴椒椋合热≡摌说馁Y產(chǎn)過往按時間順序排好的n+1個歷史價格（價格之間的時間間隔應(yīng)保持一致，如一天、一周、一月等）；布萊克布萊克斯科爾斯期權(quán)定價模型斯科爾斯期權(quán)定價模型n利用這一組數(shù)據(jù)計算n個連續(xù)復合收益率，計算公式為：n r = lnP(st)/P(st-1)n上述公式表示對時間間隔內(nèi)的收益取自然對數(shù)，得到連續(xù)復合的收益率；n計算上述n個收益率的樣本標準差就得到了相應(yīng)時間跨度的波動率，如果時間跨度為周，便稱為周收益波動率，如果時間跨度為月，便稱為月收益波動率，以此類推。但是，在布萊克斯科爾斯公式的計算中，我們需要的是年收益波動率，因此，需要將上

6、述波動率轉(zhuǎn)化為年收益波動率，轉(zhuǎn)化的方法是：利用下述等式進行計算n年波動率的平方 = 某期限收益波動率的平方（ 1年中包含的期數(shù)）。布萊克布萊克- -斯科斯科爾斯期權(quán)定價模型爾斯期權(quán)定價模型n應(yīng)用n假定有個6個月期限（T=6）的股票看漲期權(quán)需要定價?，F(xiàn)行的股價（S）為100美元，股票收益率的年度標準差（）為50%，期權(quán)的協(xié)定價格（K）為100美元，無風險收益率（r）為年率10%。請計算出期權(quán)價格。布萊克布萊克- -斯科斯科爾斯期權(quán)定價模型爾斯期權(quán)定價模型n計算過程如下： d1= ln(100/100)+(0.1+0.50.25)0.5 / (0.50.707) =0.318 d2= 0.318-

7、0.50.707 = - 0.0355n查表可知： N(d1)=0.6236 N(d2)=0.4859n帶入公式得到： C=1000.6236-(1000.4859)/(e0.10.5) =16.14元實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型n由三位教授提出的二叉樹模型是一個重要的概率模型定價理論,它同-模型在很多方面都十分相似,運用這兩個模型對期權(quán)定價的結(jié)果基本上一致。從邏輯原理來看,二叉樹定價模型可以說是-模型的邏輯基礎(chǔ),雖然-模型是被較早提出。但模型過于抽象,且其中包括所提出的項目未來受益的不確定性服從幾何布朗運動的假設(shè),導致模型復雜求解困難,成為實物期權(quán)推廣中的最大障礙。而二叉樹定價模

8、型直觀易懂,優(yōu)點有:適用范圍廣;應(yīng)用方便,仍保留法分析的外觀形式;易于理解,易列出不確定性和或有決策的各種結(jié)果。1、標的資產(chǎn)的未來價格只有上漲或下跌兩種情況2、標的資產(chǎn)的未來價格上漲或下跌的報酬率己知，且投資人能利用現(xiàn)貨市場及資金借貸市場，建立與期權(quán)報酬變動完全相同之對沖資產(chǎn)組合3、無摩擦之市場，亦即無交易成本、稅負等，且證券可以無限分割CRR模型的模型的基本假設(shè)基本假設(shè)實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型4、借貸利率均相等，皆為無風險利率。5、每一期之借貸利率(r)、上漲報酬率u)及下跌報酬率(d)均為己知，且存在以下關(guān)系，否則將出現(xiàn)無風險套利機會。u 1且dRd，其中R= l +r C

9、RR模型的模型的基本假設(shè)基本假設(shè)實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型CRR模型估值方法模型估值方法 1）動態(tài)復制技術(shù)動態(tài)復制技術(shù)是期權(quán)定價的核心思想,關(guān)鍵是尋找一個與所要評價的實際資產(chǎn)或項目有相同風險特征的可交易證券,并用該證券與無風險債券的組合復制出相應(yīng)的實物期權(quán)的收益特征。動態(tài)復制技術(shù)就是把該項資產(chǎn)或項目看作一項金融資產(chǎn),用份該資產(chǎn)或項目和價值為的無風險債券來復制實物期權(quán)，設(shè)0為項目的當前的現(xiàn)金流入價值,+是項目成功的期望現(xiàn)金流入價值,-是項目失敗的期望現(xiàn)金流入價值,是項目的期權(quán)價值,+是項目成功時的期權(quán)價值,-是項目失敗時的期權(quán)價值,表示無風險利率。實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉

10、樹模型CyrVCyrVCyVVCV)1 ()1 (0，實例分析實例分析 假設(shè)一種股票當前價格為$20，三個月后的價格將可能為$22或$18。假設(shè)股票三個月內(nèi)不付紅利。有效期為3個月的歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價格為$21。如何對該期權(quán)進行估值？實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型解決思路解決思路-動態(tài)復制技術(shù)動態(tài)復制技術(shù) 如果能夠用這種股票和期權(quán)構(gòu)造一個組合，使得在三個月末該組合的價值是確定的，那么，根據(jù)該組合的收益率等于無風險收益率（無套利假設(shè)），可以得到構(gòu)造該組合所需成本（現(xiàn)值），而組合中股票的價格是已知的，于是可以得出期權(quán)的價格。 構(gòu)造一個證券組合，該組合包含一個股股票多頭頭寸和一個看漲期權(quán)的

11、空頭頭寸。 計算過程計算過程-動態(tài)復制技術(shù)動態(tài)復制技術(shù) 當股票價格從$20上升到$22時，該證券組合的總價值為22-1；當股票價格從$20下降到$18時，該證券組合的總價值為18。完全可以選取某個值，使得該組合的終值對在上述兩種情況下是相等的。這樣，該組合就是一個無風險組合。 由 221=18 得 =0.25 因此，一個無風險的組合由0.25股股票和一個看漲期權(quán)空頭構(gòu)成。通過計算可知，無論股票價格是上升還是下降，在期權(quán)有效期的末尾，該組合的價值總是$4.5實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型計算過程計算過程-動態(tài)復制技術(shù)動態(tài)復制技術(shù) 在無套利假設(shè)下，無風險證券組合的盈利必定為無風險利率。假

12、設(shè)無風險利率為年率12。則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 4.5e-0.120.25=4.3674股票現(xiàn)在的價格已知為$20。用f表示期權(quán)的價格。組合現(xiàn)在的價值=有效期結(jié)束時的價值按無風險利率貼現(xiàn)因此，由 200.25f=4.3674 得 f=0.633 如果期權(quán)價格偏離0.633，則將存在套利機會實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型CRR模型估值方法模型估值方法 2)、風險中性估值 風險中性假設(shè)假定管理者對不確定性持風險中性態(tài)度,其核心環(huán)節(jié)是構(gòu)造出風險中性概率。期權(quán)定價屬于無套利均衡分析,適合于風險中性假。風險中性假設(shè)的核心環(huán)節(jié)是構(gòu)造出風險中性概率和(1-),然后由公式=+(1-)-/(1+)得出期

13、權(quán)的當前價值,風險中性概率為:=(1+)0-/(+-)和(1-),顯然和(1-)并不是真實的概率。由于期權(quán)定價屬于無套利均衡分析,參與者的風險偏好不影響定價結(jié)果,所以可用風險中性概率替代真實概率。實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型實例分析實例分析 假設(shè)一種股票當前價格為$20，三個月后的價格將可能為$22或$18。假設(shè)股票三個月內(nèi)不付紅利。有效期為3個月的歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價格為$21。如何對該期權(quán)進行估值？ 風險中性估值風險中性估值變量p可以解釋為股票價格上升的概率，于是變量1p就是股票價格下降的概率。這樣， pfu+(1-p)fd 就是衍生證券的預(yù)期收益?？梢员硎鰹椋貉苌C券的價值是其

14、未來預(yù)期值按無風險利率貼現(xiàn)的值 實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型風險中性估值風險中性估值股票的預(yù)期收益率一定等于無風險利率12則有： 22p+18(1-p)=20e0.120.25 即 4p=20e0.120.25-18 得 p=0.6523 在三個月末尾:看漲期權(quán)價值為$1的概率為0.6523，價值為零的概率為0.3477。因此，看漲期權(quán)的期望值為： 0.65231+0.34770=$0.6523 按無風險利率貼現(xiàn)得期權(quán)現(xiàn)在的價值： f=0.6523e-0.120.25 =0.633實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型一個應(yīng)用一個應(yīng)用 某公司研制出一項新技術(shù),并獲得專利,現(xiàn)準備將

15、此技術(shù)應(yīng)用于公司一項新產(chǎn)品的生產(chǎn) 預(yù)計建立生產(chǎn)該新產(chǎn)品的設(shè)備需要投入=300萬元,產(chǎn)品投入市場后每年可以產(chǎn)生稅后現(xiàn)金流量100萬元,項目可以在無競爭條件下持續(xù)進行4年,經(jīng)市場部門調(diào)研,該項目最大的不確定性來源于市場對新產(chǎn)品的反應(yīng),估計產(chǎn)品未來現(xiàn)金流量波動率為45%。根據(jù)項目的風險性質(zhì),公司期望投資回報率為15%,4年期國債利率為5% 公司是否對該項目進行投資？ 實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型該項目值-300+100(/,4)=-15.4萬元0根據(jù)傳統(tǒng)判斷規(guī)則,該項目不可行一個應(yīng)用一個應(yīng)用實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型一個應(yīng)用一個應(yīng)用套用二叉樹定價模型計算推遲起期權(quán)的價值模型

16、中的幾個份量的價值如下:0=100(/,15%,4)=285.5萬元+=100(1+45%)(/,15%,4)=413.975萬元-=100(1-45%)(/,15%,4)=157.025萬元+=(+-,0)=113 975萬元-=(-,0)=0實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型VCV一個應(yīng)用一個應(yīng)用實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型1、利用動態(tài)復制技術(shù)確定項目期權(quán)價值,代入數(shù)據(jù)計算得到:=0 444,=695229,從而=60.352萬元即該投資項目的期權(quán)價值(考慮進優(yōu)先選擇權(quán))為60.35萬元CyrVCyrVCyVVCV)1 ()1 (0，一個應(yīng)用一個應(yīng)用2、利用風險中性假設(shè)根

17、據(jù)風險中性假設(shè)分析方法,風險中性概率為:=(1+)0-/(+-)=0.5561-=0.444而+=113.975,-=0故期權(quán)價值為:=+(1-)-/(1+)=60.352萬元兩種假設(shè)計算的結(jié)果一致實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型研究項目總價值：+期權(quán)價值期權(quán)價值=-15.4+60.352=44.952萬元萬元上述結(jié)果表明,在運用傳統(tǒng)判斷方法0的情況下,考慮企業(yè)持有的優(yōu)先選擇權(quán)價值,由于項目總價值大于0,所以該項目值得投資。又因為立刻投資的價值-15.4萬元,因此該公司應(yīng)持有該項期權(quán),即推遲4年進行投資一個應(yīng)用一個應(yīng)用實物期權(quán)的二叉樹模型實物期權(quán)的二叉樹模型蒙蒙特特卡羅模擬法卡羅模擬法

18、n蒙特卡羅模擬法 Monte Carlo Simulation 假設(shè)投資組合的價格變動服從某種隨機過程的型態(tài)，因此可以借由計算機模仿，產(chǎn)生幾百次、幾千次、甚至幾萬次可能價格的路徑，并依此建構(gòu)投資組合的報酬分配，進而推估其風險值。蒙特卡羅模擬法，基本上是一種基于大數(shù)法則的實證方法，當實驗的次數(shù)越多，它的平均值也就會越趨近于理論值。 實物期權(quán)定價方法的相關(guān)討論實物期權(quán)定價方法的相關(guān)討論n期權(quán)的定價模型為期權(quán)的定價奠定來了一個總體性框架，但在實際應(yīng)用中，根據(jù)情況的不同，需要對模型進行進一步的修改，可能碰到的問題是：n1.標的資產(chǎn)的流動性標的資產(chǎn)的流動性。根據(jù)復制組合這一基礎(chǔ)理論的要求，期權(quán)定價理論是建立在可以運用的標的資產(chǎn)和無風險借貸資產(chǎn)構(gòu)造等價資產(chǎn)組合基礎(chǔ)之上的，所以對于上市公司股票的期權(quán)，是成立的；然而對于標的資產(chǎn)沒有交易的實物情況下，套利是不可行的，造成期權(quán)定價成立的條件不充分。實物期權(quán)定價方法的相關(guān)討論實物期權(quán)定價方法的相關(guān)討論n2. 標的資產(chǎn)價格變動的連續(xù)性。標的資產(chǎn)價格變動的連續(xù)性。絕大部分實際資產(chǎn)而言，該條件是