實(shí)物期權(quán)的定價(jià)模型

1、實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型 n 實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型的種類較多,理論界和實(shí)務(wù)界尚未形成通用定價(jià)模型,主要估值方法有三種。目前實(shí)物期權(quán)定價(jià)的三類方法n偏微分法：偏微分法： Black-Scholes模型。 （通過解析方法直接求解出，期望的表達(dá)式）n動(dòng)態(tài)規(guī)劃法：動(dòng)態(tài)規(guī)劃法：二叉樹定價(jià)模型。 （使用數(shù)值方法求得期望）n模擬法：模擬法： 蒙特卡羅模擬法。 （通過大量模擬的方法求期望）布萊克布萊克-斯科爾斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型斯期權(quán)定價(jià)模型模型假設(shè)條件：金融資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；在期權(quán)有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率和金融資產(chǎn)收益變量是恒定的市場(chǎng)無摩擦，即不存在稅收和交易成本；金融資產(chǎn)在期權(quán)的有效期內(nèi)無紅利及其它利得；該期權(quán)是

2、歐式期權(quán)；布萊克布萊克-斯科斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型爾斯期權(quán)定價(jià)模型 布萊克斯科爾斯期權(quán)定價(jià)方法的基本思想是，衍生資產(chǎn)的價(jià)格及其所依賴的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格都受同一種不確定因素的影響，二者遵循相同的維納過程。如果通過建立一個(gè)包含恰當(dāng)?shù)难苌Y產(chǎn)頭寸和標(biāo)的資產(chǎn)頭寸的資產(chǎn)組合，可以消除維納過程，標(biāo)的資產(chǎn)頭寸與衍生資產(chǎn)頭寸的盈虧可以相互抵消。由這樣構(gòu)成的資產(chǎn)組合為無風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合，在不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)的情況下，該資產(chǎn)組合的收益應(yīng)等于無風(fēng)險(xiǎn)利率，由此可以得到衍生資產(chǎn)價(jià)格的Black-Scholes微分方程。布萊克布萊克-斯科斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型爾斯期權(quán)定價(jià)模型n布萊克-斯科爾斯模型假定期權(quán)的基礎(chǔ)資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格的變動(dòng)

3、是一種隨機(jī)的“布朗運(yùn)動(dòng)”(Brownian Motion)，其主要特點(diǎn)是：每一個(gè)小區(qū)內(nèi)價(jià)格變動(dòng)服從正態(tài)分布，且不同的兩個(gè)區(qū)間內(nèi)的價(jià)格變動(dòng)互相獨(dú)立。nBlackScholes微分方程：rCSSCSCSrtCf222221布萊克布萊克-斯科斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型爾斯期權(quán)定價(jià)模型TTrdKS)()ln(2120n歐式看漲期權(quán)的價(jià)格可通過下式計(jì)算：n其中n n看跌TTrdKS)()ln(2220)()(210dNKedNSCrT)()(102dNSdNKePrT布萊克布萊克-斯科斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型爾斯期權(quán)定價(jià)模型0SK 期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格；0 標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格； 無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)年復(fù)利； 標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，

4、以連續(xù)計(jì)算的年回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差來測(cè)度；T 為離期滿日的時(shí)間，以占一年的幾分之幾（） 正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)。布萊克布萊克斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型n正確使用布萊克斯科爾斯公式必須注意其它幾個(gè)參數(shù)的選擇：n(1)該模型中無風(fēng)險(xiǎn)利率必須是連續(xù)復(fù)利形式。n一個(gè)簡(jiǎn)單的或不連續(xù)的無風(fēng)險(xiǎn)利率(設(shè)為r0)一般是一年復(fù)利一次,而要求利率連續(xù)復(fù)利。 r0必須轉(zhuǎn)化為方能代入上式計(jì)算。兩者換算關(guān)系為:=ln(1+r0 )或r0 =er-1。n(2)期權(quán)有效期應(yīng)折合成年數(shù)來表示,即期權(quán)有效天數(shù)與一年365天的比值。如果期權(quán)有效期為183天,則=183/365=0.501。n(3)對(duì)波動(dòng)率的計(jì)算。通

5、常通過標(biāo)的資產(chǎn)歷史價(jià)格的波動(dòng)情況進(jìn)行估算?；居?jì)算方法為：先取該標(biāo)的資產(chǎn)過往按時(shí)間順序排好的n+1個(gè)歷史價(jià)格（價(jià)格之間的時(shí)間間隔應(yīng)保持一致，如一天、一周、一月等）；布萊克布萊克斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型n利用這一組數(shù)據(jù)計(jì)算n個(gè)連續(xù)復(fù)合收益率，計(jì)算公式為：n r = lnP(st)/P(st-1)n上述公式表示對(duì)時(shí)間間隔內(nèi)的收益取自然對(duì)數(shù)，得到連續(xù)復(fù)合的收益率；n計(jì)算上述n個(gè)收益率的樣本標(biāo)準(zhǔn)差就得到了相應(yīng)時(shí)間跨度的波動(dòng)率，如果時(shí)間跨度為周，便稱為周收益波動(dòng)率，如果時(shí)間跨度為月，便稱為月收益波動(dòng)率，以此類推。但是，在布萊克斯科爾斯公式的計(jì)算中，我們需要的是年收益波動(dòng)率，因此，需要將上

6、述波動(dòng)率轉(zhuǎn)化為年收益波動(dòng)率，轉(zhuǎn)化的方法是：利用下述等式進(jìn)行計(jì)算n年波動(dòng)率的平方 = 某期限收益波動(dòng)率的平方（ 1年中包含的期數(shù)）。布萊克布萊克- -斯科斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型爾斯期權(quán)定價(jià)模型n應(yīng)用n假定有個(gè)6個(gè)月期限（T=6）的股票看漲期權(quán)需要定價(jià)?，F(xiàn)行的股價(jià)（S）為100美元，股票收益率的年度標(biāo)準(zhǔn)差（）為50%，期權(quán)的協(xié)定價(jià)格（K）為100美元，無風(fēng)險(xiǎn)收益率（r）為年率10%。請(qǐng)計(jì)算出期權(quán)價(jià)格。布萊克布萊克- -斯科斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型爾斯期權(quán)定價(jià)模型n計(jì)算過程如下： d1= ln(100/100)+(0.1+0.50.25)0.5 / (0.50.707) =0.318 d2= 0.318-

7、0.50.707 = - 0.0355n查表可知： N(d1)=0.6236 N(d2)=0.4859n帶入公式得到： C=1000.6236-(1000.4859)/(e0.10.5) =16.14元實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型n由三位教授提出的二叉樹模型是一個(gè)重要的概率模型定價(jià)理論,它同-模型在很多方面都十分相似,運(yùn)用這兩個(gè)模型對(duì)期權(quán)定價(jià)的結(jié)果基本上一致。從邏輯原理來看,二叉樹定價(jià)模型可以說是-模型的邏輯基礎(chǔ),雖然-模型是被較早提出。但模型過于抽象,且其中包括所提出的項(xiàng)目未來受益的不確定性服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè),導(dǎo)致模型復(fù)雜求解困難,成為實(shí)物期權(quán)推廣中的最大障礙。而二叉樹定價(jià)模

8、型直觀易懂,優(yōu)點(diǎn)有:適用范圍廣;應(yīng)用方便,仍保留法分析的外觀形式;易于理解,易列出不確定性和或有決策的各種結(jié)果。1、標(biāo)的資產(chǎn)的未來價(jià)格只有上漲或下跌兩種情況2、標(biāo)的資產(chǎn)的未來價(jià)格上漲或下跌的報(bào)酬率己知，且投資人能利用現(xiàn)貨市場(chǎng)及資金借貸市場(chǎng)，建立與期權(quán)報(bào)酬變動(dòng)完全相同之對(duì)沖資產(chǎn)組合3、無摩擦之市場(chǎng)，亦即無交易成本、稅負(fù)等，且證券可以無限分割CRR模型的模型的基本假設(shè)基本假設(shè)實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型4、借貸利率均相等，皆為無風(fēng)險(xiǎn)利率。5、每一期之借貸利率(r)、上漲報(bào)酬率u)及下跌報(bào)酬率(d)均為己知，且存在以下關(guān)系，否則將出現(xiàn)無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。u 1且dRd，其中R= l +r C

9、RR模型的模型的基本假設(shè)基本假設(shè)實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型CRR模型估值方法模型估值方法 1）動(dòng)態(tài)復(fù)制技術(shù)動(dòng)態(tài)復(fù)制技術(shù)是期權(quán)定價(jià)的核心思想,關(guān)鍵是尋找一個(gè)與所要評(píng)價(jià)的實(shí)際資產(chǎn)或項(xiàng)目有相同風(fēng)險(xiǎn)特征的可交易證券,并用該證券與無風(fēng)險(xiǎn)債券的組合復(fù)制出相應(yīng)的實(shí)物期權(quán)的收益特征。動(dòng)態(tài)復(fù)制技術(shù)就是把該項(xiàng)資產(chǎn)或項(xiàng)目看作一項(xiàng)金融資產(chǎn),用份該資產(chǎn)或項(xiàng)目和價(jià)值為的無風(fēng)險(xiǎn)債券來復(fù)制實(shí)物期權(quán)，設(shè)0為項(xiàng)目的當(dāng)前的現(xiàn)金流入價(jià)值,+是項(xiàng)目成功的期望現(xiàn)金流入價(jià)值,-是項(xiàng)目失敗的期望現(xiàn)金流入價(jià)值,是項(xiàng)目的期權(quán)價(jià)值,+是項(xiàng)目成功時(shí)的期權(quán)價(jià)值,-是項(xiàng)目失敗時(shí)的期權(quán)價(jià)值,表示無風(fēng)險(xiǎn)利率。實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉

10、樹模型CyrVCyrVCyVVCV)1 ()1 (0，實(shí)例分析實(shí)例分析 假設(shè)一種股票當(dāng)前價(jià)格為$20，三個(gè)月后的價(jià)格將可能為$22或$18。假設(shè)股票三個(gè)月內(nèi)不付紅利。有效期為3個(gè)月的歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為$21。如何對(duì)該期權(quán)進(jìn)行估值？實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型解決思路解決思路-動(dòng)態(tài)復(fù)制技術(shù)動(dòng)態(tài)復(fù)制技術(shù) 如果能夠用這種股票和期權(quán)構(gòu)造一個(gè)組合，使得在三個(gè)月末該組合的價(jià)值是確定的，那么，根據(jù)該組合的收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率（無套利假設(shè)），可以得到構(gòu)造該組合所需成本（現(xiàn)值），而組合中股票的價(jià)格是已知的，于是可以得出期權(quán)的價(jià)格。 構(gòu)造一個(gè)證券組合，該組合包含一個(gè)股股票多頭頭寸和一個(gè)看漲期權(quán)的

11、空頭頭寸。 計(jì)算過程計(jì)算過程-動(dòng)態(tài)復(fù)制技術(shù)動(dòng)態(tài)復(fù)制技術(shù) 當(dāng)股票價(jià)格從$20上升到$22時(shí)，該證券組合的總價(jià)值為22-1；當(dāng)股票價(jià)格從$20下降到$18時(shí)，該證券組合的總價(jià)值為18。完全可以選取某個(gè)值，使得該組合的終值對(duì)在上述兩種情況下是相等的。這樣，該組合就是一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合。 由 221=18 得 =0.25 因此，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的組合由0.25股股票和一個(gè)看漲期權(quán)空頭構(gòu)成。通過計(jì)算可知，無論股票價(jià)格是上升還是下降，在期權(quán)有效期的末尾，該組合的價(jià)值總是$4.5實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型計(jì)算過程計(jì)算過程-動(dòng)態(tài)復(fù)制技術(shù)動(dòng)態(tài)復(fù)制技術(shù) 在無套利假設(shè)下，無風(fēng)險(xiǎn)證券組合的盈利必定為無風(fēng)險(xiǎn)利率。假

12、設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率12。則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 4.5e-0.120.25=4.3674股票現(xiàn)在的價(jià)格已知為$20。用f表示期權(quán)的價(jià)格。組合現(xiàn)在的價(jià)值=有效期結(jié)束時(shí)的價(jià)值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)因此，由 200.25f=4.3674 得 f=0.633 如果期權(quán)價(jià)格偏離0.633，則將存在套利機(jī)會(huì)實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型CRR模型估值方法模型估值方法 2)、風(fēng)險(xiǎn)中性估值 風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)假定管理者對(duì)不確定性持風(fēng)險(xiǎn)中性態(tài)度,其核心環(huán)節(jié)是構(gòu)造出風(fēng)險(xiǎn)中性概率。期權(quán)定價(jià)屬于無套利均衡分析,適合于風(fēng)險(xiǎn)中性假。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的核心環(huán)節(jié)是構(gòu)造出風(fēng)險(xiǎn)中性概率和(1-),然后由公式=+(1-)-/(1+)得出期

13、權(quán)的當(dāng)前價(jià)值,風(fēng)險(xiǎn)中性概率為:=(1+)0-/(+-)和(1-),顯然和(1-)并不是真實(shí)的概率。由于期權(quán)定價(jià)屬于無套利均衡分析,參與者的風(fēng)險(xiǎn)偏好不影響定價(jià)結(jié)果,所以可用風(fēng)險(xiǎn)中性概率替代真實(shí)概率。實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)例分析實(shí)例分析 假設(shè)一種股票當(dāng)前價(jià)格為$20，三個(gè)月后的價(jià)格將可能為$22或$18。假設(shè)股票三個(gè)月內(nèi)不付紅利。有效期為3個(gè)月的歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為$21。如何對(duì)該期權(quán)進(jìn)行估值？ 風(fēng)險(xiǎn)中性估值風(fēng)險(xiǎn)中性估值變量p可以解釋為股票價(jià)格上升的概率，于是變量1p就是股票價(jià)格下降的概率。這樣， pfu+(1-p)fd 就是衍生證券的預(yù)期收益。可以表述為：衍生證券的價(jià)值是其

14、未來預(yù)期值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值 實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型風(fēng)險(xiǎn)中性估值風(fēng)險(xiǎn)中性估值股票的預(yù)期收益率一定等于無風(fēng)險(xiǎn)利率12則有： 22p+18(1-p)=20e0.120.25 即 4p=20e0.120.25-18 得 p=0.6523 在三個(gè)月末尾:看漲期權(quán)價(jià)值為$1的概率為0.6523，價(jià)值為零的概率為0.3477。因此，看漲期權(quán)的期望值為： 0.65231+0.34770=$0.6523 按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)得期權(quán)現(xiàn)在的價(jià)值： f=0.6523e-0.120.25 =0.633實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型一個(gè)應(yīng)用一個(gè)應(yīng)用 某公司研制出一項(xiàng)新技術(shù),并獲得專利,現(xiàn)準(zhǔn)備將

15、此技術(shù)應(yīng)用于公司一項(xiàng)新產(chǎn)品的生產(chǎn) 預(yù)計(jì)建立生產(chǎn)該新產(chǎn)品的設(shè)備需要投入=300萬(wàn)元,產(chǎn)品投入市場(chǎng)后每年可以產(chǎn)生稅后現(xiàn)金流量100萬(wàn)元,項(xiàng)目可以在無競(jìng)爭(zhēng)條件下持續(xù)進(jìn)行4年,經(jīng)市場(chǎng)部門調(diào)研,該項(xiàng)目最大的不確定性來源于市場(chǎng)對(duì)新產(chǎn)品的反應(yīng),估計(jì)產(chǎn)品未來現(xiàn)金流量波動(dòng)率為45%。根據(jù)項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)性質(zhì),公司期望投資回報(bào)率為15%,4年期國(guó)債利率為5% 公司是否對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行投資？ 實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型該項(xiàng)目值-300+100(/,4)=-15.4萬(wàn)元0根據(jù)傳統(tǒng)判斷規(guī)則,該項(xiàng)目不可行一個(gè)應(yīng)用一個(gè)應(yīng)用實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型一個(gè)應(yīng)用一個(gè)應(yīng)用套用二叉樹定價(jià)模型計(jì)算推遲起期權(quán)的價(jià)值模型

16、中的幾個(gè)份量的價(jià)值如下:0=100(/,15%,4)=285.5萬(wàn)元+=100(1+45%)(/,15%,4)=413.975萬(wàn)元-=100(1-45%)(/,15%,4)=157.025萬(wàn)元+=(+-,0)=113 975萬(wàn)元-=(-,0)=0實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型VCV一個(gè)應(yīng)用一個(gè)應(yīng)用實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型1、利用動(dòng)態(tài)復(fù)制技術(shù)確定項(xiàng)目期權(quán)價(jià)值,代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到:=0 444,=695229,從而=60.352萬(wàn)元即該投資項(xiàng)目的期權(quán)價(jià)值(考慮進(jìn)優(yōu)先選擇權(quán))為60.35萬(wàn)元CyrVCyrVCyVVCV)1 ()1 (0，一個(gè)應(yīng)用一個(gè)應(yīng)用2、利用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)根

17、據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)分析方法,風(fēng)險(xiǎn)中性概率為:=(1+)0-/(+-)=0.5561-=0.444而+=113.975,-=0故期權(quán)價(jià)值為:=+(1-)-/(1+)=60.352萬(wàn)元兩種假設(shè)計(jì)算的結(jié)果一致實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型研究項(xiàng)目總價(jià)值：+期權(quán)價(jià)值期權(quán)價(jià)值=-15.4+60.352=44.952萬(wàn)元萬(wàn)元上述結(jié)果表明,在運(yùn)用傳統(tǒng)判斷方法0的情況下,考慮企業(yè)持有的優(yōu)先選擇權(quán)價(jià)值,由于項(xiàng)目總價(jià)值大于0,所以該項(xiàng)目值得投資。又因?yàn)榱⒖掏顿Y的價(jià)值-15.4萬(wàn)元,因此該公司應(yīng)持有該項(xiàng)期權(quán),即推遲4年進(jìn)行投資一個(gè)應(yīng)用一個(gè)應(yīng)用實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型實(shí)物期權(quán)的二叉樹模型蒙蒙特特卡羅模擬法卡羅模擬法

18、n蒙特卡羅模擬法 Monte Carlo Simulation 假設(shè)投資組合的價(jià)格變動(dòng)服從某種隨機(jī)過程的型態(tài)，因此可以借由計(jì)算機(jī)模仿，產(chǎn)生幾百次、幾千次、甚至幾萬(wàn)次可能價(jià)格的路徑，并依此建構(gòu)投資組合的報(bào)酬分配，進(jìn)而推估其風(fēng)險(xiǎn)值。蒙特卡羅模擬法，基本上是一種基于大數(shù)法則的實(shí)證方法，當(dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)越多，它的平均值也就會(huì)越趨近于理論值。 實(shí)物期權(quán)定價(jià)方法的相關(guān)討論實(shí)物期權(quán)定價(jià)方法的相關(guān)討論n期權(quán)的定價(jià)模型為期權(quán)的定價(jià)奠定來了一個(gè)總體性框架，但在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)情況的不同，需要對(duì)模型進(jìn)行進(jìn)一步的修改，可能碰到的問題是：n1.標(biāo)的資產(chǎn)的流動(dòng)性標(biāo)的資產(chǎn)的流動(dòng)性。根據(jù)復(fù)制組合這一基礎(chǔ)理論的要求，期權(quán)定價(jià)理論是建立在可以運(yùn)用的標(biāo)的資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)借貸資產(chǎn)構(gòu)造等價(jià)資產(chǎn)組合基礎(chǔ)之上的，所以對(duì)于上市公司股票的期權(quán)，是成立的；然而對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)沒有交易的實(shí)物情況下，套利是不可行的，造成期權(quán)定價(jià)成立的條件不充分。實(shí)物期權(quán)定價(jià)方法的相關(guān)討論實(shí)物期權(quán)定價(jià)方法的相關(guān)討論n2. 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的連續(xù)性。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的連續(xù)性。絕大部分實(shí)際資產(chǎn)而言，該條件是