概率第1、2章

1、概率統(tǒng)計簡明教程概率統(tǒng)計簡明教程課程名稱課程名稱概率統(tǒng)計簡明教程概率統(tǒng)計簡明教程計劃學(xué)時計劃學(xué)時32學(xué)時學(xué)時作業(yè)要求作業(yè)要求用大張的用大張的A4白紙書寫，姓白紙書寫，姓名、班級和序號寫在最上方名、班級和序號寫在最上方章次內(nèi)容講課時數(shù)習(xí)題講評或測驗第一章隨機事件 20第二章事件的概率 21第三章條件概率與事件的獨立性 31第四章隨機變量及其分布 51第五章二維隨機變量及其分布 41第六章隨機變量的函數(shù)及其分布 31第七章隨機變量的數(shù)字特征 51總復(fù)習(xí)30 概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的學(xué)科規(guī)律的學(xué)科, , 理論嚴謹，應(yīng)用廣泛，發(fā)展迅速理論嚴謹，應(yīng)用廣泛，發(fā)展迅速. .

2、不僅高等學(xué)不僅高等學(xué)校各專業(yè)都開設(shè)了本課程校各專業(yè)都開設(shè)了本課程, ,而且在上世紀末，而且在上世紀末，此課程特意被教育部定為本科生考研的數(shù)學(xué)課此課程特意被教育部定為本科生考研的數(shù)學(xué)課程之一。程之一。前前言言 概率統(tǒng)計可分為概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)，概概率統(tǒng)計可分為概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)，概率論嚴格地演繹研究大量隨機現(xiàn)象地數(shù)量關(guān)系，率論嚴格地演繹研究大量隨機現(xiàn)象地數(shù)量關(guān)系，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)則側(cè)重于歸納方法。它們的共同點數(shù)理統(tǒng)計學(xué)則側(cè)重于歸納方法。它們的共同點都是研究隨機現(xiàn)象地統(tǒng)計規(guī)律性。都是研究隨機現(xiàn)象地統(tǒng)計規(guī)律性。概率論在物概率論在物理、化學(xué)、生物、生態(tài)、天文、地質(zhì)、醫(yī)學(xué)等理、化學(xué)、生物、生態(tài)、天文、地質(zhì)、醫(yī)

3、學(xué)等學(xué)科中，在控制論、信息論、電子技術(shù)、預(yù)報、學(xué)科中，在控制論、信息論、電子技術(shù)、預(yù)報、運籌等工程技術(shù)中的應(yīng)用都非常廣泛。運籌等工程技術(shù)中的應(yīng)用都非常廣泛。 本學(xué)科的應(yīng)用本學(xué)科的應(yīng)用法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)說說: “ 生活中最重要的問題生活中最重要的問題 , 其中絕大其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題.”英國的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟學(xué)家杰文斯曾英國的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟學(xué)家杰文斯曾對對概率論概率論大加贊美：大加贊美：“ 概率論是生活真正概率論是生活真正的領(lǐng)路人的領(lǐng)路人, 如果沒有對概率的某種估計如果沒有對概率的某種估計, 那那么我們就寸步難行么我們就寸

4、步難行, 無所作為無所作為.第一章第一章 隨機事件隨機事件第一節(jié)第一節(jié) 樣本空間和隨機事件樣本空間和隨機事件n重點重點 1 1、隨機事件、隨機事件2 2、樣本空間、樣本空間 一般的，稱具有以下三個特點的試驗為一般的，稱具有以下三個特點的試驗為隨機試驗隨機試驗：u 試驗在相同的條件下可重復(fù)進行試驗在相同的條件下可重復(fù)進行u 試驗的所有可能結(jié)果是已知的或者是可以確定的。試驗的所有可能結(jié)果是已知的或者是可以確定的。u每次試驗將會發(fā)生什么結(jié)果是事先無法預(yù)知的。每次試驗將會發(fā)生什么結(jié)果是事先無法預(yù)知的。實例拋一枚硬幣拋一枚硬幣,觀察正面或反面向上觀察正面或反面向上在一條生產(chǎn)線上，檢測在在一條生產(chǎn)線上，檢

5、測在24小時內(nèi)產(chǎn)出次品的數(shù)目小時內(nèi)產(chǎn)出次品的數(shù)目 向一目標射擊，直至擊中為止，記錄射擊的次數(shù)向一目標射擊，直至擊中為止，記錄射擊的次數(shù)在標準大氣壓下，純水加熱到在標準大氣壓下，純水加熱到100 沸騰。沸騰。三角形中，任意兩邊之和一定大于第三邊。三角形中，任意兩邊之和一定大于第三邊。Cn 在隨機試驗中，產(chǎn)生的各種結(jié)果叫做在隨機試驗中，產(chǎn)生的各種結(jié)果叫做隨機事件隨機事件(random Events )，簡稱事件（，簡稱事件（Events) n 隨機事件通常用大寫英文字母、等表示隨機事件通常用大寫英文字母、等表示例： 投擲一個骰子，觀察其朝上的點數(shù)。投擲一個骰子，觀察其朝上的點數(shù)。 都是隨機事件。都

6、是隨機事件。A朝上的點數(shù)為朝上的點數(shù)為2B朝上的點數(shù)為偶數(shù)點朝上的點數(shù)為偶數(shù)點C朝上的點數(shù)不超過朝上的點數(shù)不超過4 如觀察馬路交叉口可能遇上的各種顏色交通燈，如觀察馬路交叉口可能遇上的各種顏色交通燈，這是隨機試驗，而這是隨機試驗，而“遇上紅燈遇上紅燈”則是一個隨機事件。則是一個隨機事件。 隨機試驗的每一個可能的結(jié)果稱為這個試驗的一隨機試驗的每一個可能的結(jié)果稱為這個試驗的一個個 樣本點樣本點 ，記作，記作 全體樣本點組成的集合稱為這個試驗的樣本空間，全體樣本點組成的集合稱為這個試驗的樣本空間，記作記作樣本空間是試驗的所有可能結(jié)果所組成的集樣本空間是試驗的所有可能結(jié)果所組成的集合合. 樣本點與樣本

7、空間樣本點與樣本空間n樣本點樣本點 Sample Pointn 樣本空間樣本空間 Sample Space=|0 寫出下列事件的樣本空間寫出下列事件的樣本空間E4: 在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命E1: 射手向一目標射擊，記錄射擊的次數(shù)射手向一目標射擊，記錄射擊的次數(shù)E3: 擲一顆骰子，觀察向上一面出現(xiàn)的點數(shù)擲一顆骰子，觀察向上一面出現(xiàn)的點數(shù)=1,2,=1,2,3,4,5,6 顯然，每次試驗有且只有一個含在樣本空間中的顯然，每次試驗有且只有一個含在樣本空間中的試驗結(jié)果發(fā)生。試驗結(jié)果發(fā)生。E2: 從四張撲克牌從四張撲克牌J,Q,K,A任意抽取兩張任意

8、抽取兩張。=(J,Q),(J,K),(J,A),(Q,K),(Q,A),(K,A) 事件是由試驗的某些可能結(jié)果構(gòu)成的，因此事件事件是由試驗的某些可能結(jié)果構(gòu)成的，因此事件是樣本空間的子集。僅含一個樣本點的隨機事件稱是樣本空間的子集。僅含一個樣本點的隨機事件稱為基本事件。為基本事件。 如前例：如前例： 投擲一個骰子，觀察其朝上的點數(shù)。投擲一個骰子，觀察其朝上的點數(shù)。記記 “出現(xiàn)點數(shù)為出現(xiàn)點數(shù)為j”（j1,2,3,4,5,6）j則則16, A朝上的點數(shù)為朝上的點數(shù)為2B朝上的點數(shù)為偶數(shù)點朝上的點數(shù)為偶數(shù)點C朝上的點數(shù)不超過朝上的點數(shù)不超過42A246,B 1234,C 必然事件必然事件Certain

9、ty Events “拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)不大于拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)不大于6”n例例 必然事件必然事件樣本空間本身也是事件,它包含了所有可能的試驗結(jié)果，因此不論在哪一次試驗它都發(fā)生，稱為必然事件。也將它記為。不可能事件不可能事件Impossible Event “拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)大于拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)大于6”n例例不可能事件不可能事件不包含任何樣本點的事件,記為 ,每次試驗必定不發(fā)生的事件.拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)例例 隨機試驗隨機試驗n 樣本空間樣本空間 （1，1），（），（1，2）,（1，3），（），（1，4），），（1，5），（），（

10、1，6），），.，（，（6，1），（），（6，2），），.，（，（6，6）拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)A=點數(shù)之和等于點數(shù)之和等于3=（1 1，2 2），（），（2 2，1 1） B=B=點數(shù)之和大于點數(shù)之和大于1111=6=6，66C=C=點數(shù)之和不小于點數(shù)之和不小于22D=D=點數(shù)之和大于點數(shù)之和大于1212 = = =第二節(jié)第二節(jié) 事件的關(guān)系和運算事件的關(guān)系和運算用簡單事件表示復(fù)雜事件用簡單事件表示復(fù)雜事件事件的關(guān)系和運算事件的關(guān)系和運算事件的關(guān)系與運算事件的關(guān)系與運算事件事件事件之間的關(guān)系與事件的運算事件之間的關(guān)系與事件的運算集合集合集合之間的關(guān)系與集合的運

11、算集合之間的關(guān)系與集合的運算u 事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生 1、事件的包含、事件的包含ABBABA( (事件的樣本點都是事件的樣本點事件的樣本點都是事件的樣本點) )例如例如拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)A=A=出現(xiàn)出現(xiàn)1 1點點 B=B=出現(xiàn)奇數(shù)點出現(xiàn)奇數(shù)點 2、事件的相等事件的相等BAAB且A=BBAu 事件事件A A與事件與事件B B至少至少有一個發(fā)生有一個發(fā)生（或）（或）ABAB3、事件的并、事件的并(和和)121nniiAAAA=121niiAAAA=AB( 由事件由事件A A與事件與事件B B所有樣本點組成所有樣本點組成) )u 多個

12、事件的和多個事件的和4、事件的交、事件的交(積積)u 事件和事件事件和事件同時同時發(fā)生發(fā)生（都）（都）BAn1iin21AAAA1iin21AAAAu 多個事件的交多個事件的交( (由事件和事件公共的樣本點組成由事件和事件公共的樣本點組成) ) 5、事件的差、事件的差A(yù)Bu 事件事件A A發(fā)生且事件發(fā)生且事件B B不發(fā)生不發(fā)生（由事件（由事件A A的樣本點去掉事件的樣本點去掉事件B B的樣本點組成）的樣本點組成）ABAAB A 與B 互斥ABA、 B不可能同時發(fā)生（不含公共的樣本點）AB6. 事件的互斥(互不相容) A 與B 互相對立BAAB,AB注意：“A 與B 互相對立”與“A 與B 互斥

13、”是不同的概念7. 事件的對立AAAB 稱B 為A的對立事件(or補事件)，記為 ，可知A u 交換律交換律 ABBAABBAu 結(jié)合律結(jié)合律 ()()()A BC AB CA B CA BC AB CA B C u 分配律分配律 ()()()A BCABAC)CA)(BA()BC(Au 對偶律對偶律 （德摩根律）（德摩根律）BAABBABA運算律運算律對應(yīng)事件運算集合運算某射手向目標射擊三次，用某射手向目標射擊三次，用 表示第表示第 次次擊中目標擊中目標iAi試用試用 及其運算符表示下列事件及其運算符表示下列事件：1,2,3,i iA（1 1） 三次都擊中目標：三次都擊中目標： 123A A

14、 A（2 2） 至少有一次擊中目標：至少有一次擊中目標： 123AAA（3 3）至少有一次沒有擊中目標：）至少有一次沒有擊中目標： 123123AAAA A A（4 4）三次都沒有擊中目標：）三次都沒有擊中目標： 123123A A AAAA例：復(fù)合事件的表示例：復(fù)合事件的表示,kkkkkkkkAAAA可推廣A,B,CA,B,C為同一樣本空間的隨機事件，為同一樣本空間的隨機事件，試用試用A A，B B，C C的運算表示下列事件的運算表示下列事件1 1） A A，B B，C C 都不發(fā)生都不發(fā)生2 2） A A與與B B發(fā)生，發(fā)生，C C不發(fā)生不發(fā)生3 3） A A，B B，C C 至少有一個發(fā)

15、生至少有一個發(fā)生4 4） 事件事件3 3）的對立事件）的對立事件作業(yè) P5 習(xí)題一 2、 3、 4（1）（2）（3）（4） 5（1）（2）（3）（4）第二章第二章 事件的概率事件的概率排列組合有關(guān)知識復(fù)習(xí)排列組合有關(guān)知識復(fù)習(xí)加法原理：完成一件事情有n 類方法，第 i 類方法中有 mi 種具體的方法，則完成這件事情共有 種不同的方法乘法原理：完成一件事情有n 個步驟，第 i 個步驟中有 mi 種具體的方法，則完成這件事情共有 種不同的方法121ninimmmm121ninimmmm排列排列 從 n 個不同的元素中取出 m 個 (不放 回地）按一定的次序排成一排,不同的 排法共有全排列全排列(1)

16、(2)(1)mnAn nnnm(1)(2)2 1!nnAn nnn !nnm種。mn可重復(fù)排列可重復(fù)排列 從 n 個不同的元素中可重復(fù)地 取出 m 個排成一排, 不同的排法有!()!(1)(2)(1)!mnnCm nmn nnnmm組合組合 從 n 個不同的元素中取出 m 個(不放 回地）組成一組， 不同的組合數(shù)記為mnnCm或!mmnnAC m例例1 10人中有人中有6人是男性，問組成人是男性，問組成4人組，三男一人組，三男一女的組合數(shù)。女的組合數(shù)。例例2 兩線段兩線段MN和和PQ不相交，線段不相交，線段MN上有上有6個個點點 ，線段，線段PQ上有上有7 個點個點 。若將每一個若將每一個 和

17、每一個和每一個 連成不作延長的線段連成不作延長的線段 ,則由這些線段則由這些線段 相交而得到的交點最多有相交而得到的交點最多有A 315個個 B 316個個 C 317個個 D 318個個126,A AA127,B BBijABijABjBiAA例例3：3封不同的信，有封不同的信，有4個信箱可供投遞，共有多少個信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？種投信的方法？ 343164C C第一節(jié)第一節(jié) 概率的概念概率的概念歷史上概率的三次定義歷史上概率的三次定義 公理化定義 統(tǒng)計定義 古典定義概率的最初定義基于頻率的定義1930年后由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出設(shè)在 n 次試驗中，事件 A 發(fā)生了m 次

18、， 頻率頻率nmfn則稱 為事件 A 發(fā)生的 頻率頻率 大量試驗表明，在多次重復(fù)試驗中，同一事大量試驗表明，在多次重復(fù)試驗中，同一事件發(fā)生的頻率盡管不一定相同，然而卻在某一固定件發(fā)生的頻率盡管不一定相同，然而卻在某一固定的常數(shù)附近擺動，呈現(xiàn)出相對穩(wěn)定的狀態(tài)。隨著試的常數(shù)附近擺動，呈現(xiàn)出相對穩(wěn)定的狀態(tài)。隨著試驗次數(shù)的增加，這種現(xiàn)象越顯著，我們把這種驗次數(shù)的增加，這種現(xiàn)象越顯著，我們把這種“頻頻率穩(wěn)定性率穩(wěn)定性”稱為統(tǒng)計規(guī)律性。如歷史上，蒲豐、皮稱為統(tǒng)計規(guī)律性。如歷史上，蒲豐、皮爾遜等先后做過拋擲硬幣的試驗：爾遜等先后做過拋擲硬幣的試驗：德.摩 根 試 驗 者 拋 擲 次 數(shù)n 出現(xiàn)正面的次數(shù)m

19、出現(xiàn)正面的頻率m/n 2048 1061 0.518 蒲 豐 4040 2048 0.5069 皮爾遜 12000 6019 0.5016 皮爾遜 24000 12012 0.5005 維 尼 0.4998 14994 30000 拋擲硬幣的試驗拋擲硬幣的試驗Experiment of tossing coinu歷史紀錄歷史紀錄 概率的概率的統(tǒng)計定義統(tǒng)計定義 在大量重復(fù)試驗中，若事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)p附近擺動，則把這個數(shù)p稱為事件 A 的概率, 記作 P(A)p.對本定義的評價對本定義的評價優(yōu)點：直觀 易懂缺點：粗糙 模糊不便使用 當(dāng)試驗次數(shù)足夠大時，可以用事件當(dāng)試驗次數(shù)足夠大時，可

20、以用事件A發(fā)生的頻發(fā)生的頻率近似的代替事件率近似的代替事件A的概率。的概率。從頻率的性質(zhì)可知概率滿足：從頻率的性質(zhì)可知概率滿足： 1 0( )1;P A 21;P 12113,nnnkkkkA AAPAP A互斥，則第二節(jié)第二節(jié) 古典概型古典概型理解概率的古典定義，會計算簡單的理解概率的古典定義，會計算簡單的 古典概率古典概率設(shè)隨機試驗具有如下特征：設(shè)隨機試驗具有如下特征：（1）試驗的可能結(jié)果只有有限個；）試驗的可能結(jié)果只有有限個；（2）各個可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的。）各個可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的。則稱此試驗為古典（等可能）概型。則稱此試驗為古典（等可能）概型。 概率的概率的古典定義古典定義1 n

21、21,2 nPPPn1)()()(21 設(shè)任一事件設(shè)任一事件A，它是由，它是由 組成的，組成的，則有則有m21, 12()()()mP A12()()()mPPPnm基本事件總數(shù)所包含的基本事件數(shù)A例例1 設(shè)有批量為設(shè)有批量為100的同型號產(chǎn)品，其中次品有的同型號產(chǎn)品，其中次品有30件?，F(xiàn)按以下兩種方式隨機抽取件?，F(xiàn)按以下兩種方式隨機抽取2件產(chǎn)品件產(chǎn)品（a）有放）有放回抽取，即先任意抽取一件，觀察后放回批中，再回抽取，即先任意抽取一件，觀察后放回批中，再從中任取一件；（從中任取一件；（b）不放回抽取，即先任抽一件，）不放回抽取，即先任抽一件，抽后不放回，從剩下的產(chǎn)品中再任取一件。試分別抽后不放

22、回，從剩下的產(chǎn)品中再任取一件。試分別按這兩種抽樣方式求按這兩種抽樣方式求（1）兩件都是次品的概率；）兩件都是次品的概率；（2）第一件是次品，第二件是正品的概率。）第一件是次品，第二件是正品的概率。解解 本題為古典概型。記本題為古典概型。記A兩件都是次品兩件都是次品 B第第1件是次品，第二件是次品，第二 件是正品件是正品（a）30 309( )100 100100P A30 7021( )100 100100P B在方式（在方式（b）下，）下，30 2929( )100 99330P A30 707( )100 9933P B例例2 某城市電話號碼升位為六位數(shù)，且第一位某城市電話號碼升位為六位數(shù)

23、，且第一位為為6或或8，求，求（1）隨機抽取的一個電話號碼為不重復(fù)的六位）隨機抽取的一個電話號碼為不重復(fù)的六位數(shù)的概率；數(shù)的概率；（2）隨機抽取的電話號碼末位數(shù)是）隨機抽取的電話號碼末位數(shù)是8的概率。的概率。52 9 8 7 6 5( )0.15122 10P A 452 10( )0.12 10P B例例3 （女士品茶問題）一位常飲牛奶加茶的女士稱：（女士品茶問題）一位常飲牛奶加茶的女士稱：她能從一杯沖好的飲料中辨別出先放茶還是先放牛她能從一杯沖好的飲料中辨別出先放茶還是先放牛奶。并且她在奶。并且她在10次試驗中都正確地辨別出來，問該次試驗中都正確地辨別出來，問該女士的說法是否可信？女士的說

24、法是否可信？分析：判斷分析：判斷10試驗中每一次她都猜對的可能性有試驗中每一次她都猜對的可能性有多大，多大，A在在10次試驗中都能猜出放置牛奶和茶的先后次試驗中都能猜出放置牛奶和茶的先后次序次序每次試驗的結(jié)果：先放牛奶后放茶；先放茶后放每次試驗的結(jié)果：先放牛奶后放茶；先放茶后放牛奶。牛奶。 有兩種可能。有兩種可能。10次試驗結(jié)果的可能性（樣本點總數(shù)）：次試驗結(jié)果的可能性（樣本點總數(shù)）：10210次都猜對的概率為：次都猜對的概率為： 1010.00097662P A 該女士猜對的概率非常小，所以她的說法是該女士猜對的概率非常小，所以她的說法是可信的?？尚诺摹＠?（抽獎問題）設(shè)某超市有獎銷售，投

25、放（抽獎問題）設(shè)某超市有獎銷售，投放n張獎券張獎券只有只有1張有獎。每位顧客可抽一張。求第張有獎。每位顧客可抽一張。求第k位顧客中位顧客中獎的概率獎的概率 。1kn解解 抽獎券是不放回抽樣。記抽獎券是不放回抽樣。記A為所求事件的概率，為所求事件的概率，到第到第k個顧客為止試驗的樣本點總數(shù)為：個顧客為止試驗的樣本點總數(shù)為：(1)(1)n nnkA所包含的樣本點數(shù)為：所包含的樣本點數(shù)為：(1)(2)(1) 1nnnk于是：于是： 11 111nnkP An nnk1n第三節(jié)第三節(jié) 幾何概型幾何概型 古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機試驗古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機試驗的概率模型，下面我們

26、進一步研究樣本空間為一線的概率模型，下面我們進一步研究樣本空間為一線段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機試驗的概段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機試驗的概率模型幾何概型。率模型幾何概型。SA1、設(shè)樣本空間、設(shè)樣本空間S是平面上某個區(qū)域，它的面積記為是平面上某個區(qū)域，它的面積記為 s2、向區(qū)域、向區(qū)域S上隨機投擲一點，這里上隨機投擲一點，這里“隨機投擲一點隨機投擲一點”的含義是指該點落入的含義是指該點落入S內(nèi)任何部分內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關(guān)。區(qū)域的位置和形狀無關(guān)。3、設(shè)事件、設(shè)事件A是

27、是S的某個區(qū)域，它的某個區(qū)域，它的面積為的面積為 ，則向區(qū)域，則向區(qū)域S隨機隨機 A投擲一點，該點落在區(qū)域投擲一點，該點落在區(qū)域A的概率為的概率為 AP AS幾何概率幾何概率 (*)注注 若樣本空間若樣本空間S為一線段或空間立體，則向為一線段或空間立體，則向S“投點投點”的相應(yīng)概率仍可用的相應(yīng)概率仍可用(*)式確定，但式確定，但 應(yīng)理解為長度應(yīng)理解為長度或體積?；蝮w積。 例例1 某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，設(shè)電臺每正點報時一次，他打開收音機聽電臺報時，設(shè)電臺每正點報時一次，他打開收音機時電臺還沒有報時，求他等待時間短于時電臺還

28、沒有報時，求他等待時間短于10分鐘的概率。分鐘的概率。解解 以分鐘為單位，記上一次報時時刻為以分鐘為單位，記上一次報時時刻為0，下一次，下一次報時時刻為報時時刻為60，于是這個人打開收音機的時間必在，于是這個人打開收音機的時間必在(0,60)，記記“等待時間少于等待時間少于10分鐘分鐘”為事件為事件A，則，則有有(0,60),(50,60)SAS于是于是 101606P A 例例2 甲乙兩人相約在甲乙兩人相約在7點到點到8點之間在某地會面，先點之間在某地會面，先到者等待對方到者等待對方20分鐘，過時就離開。如果每個人可分鐘，過時就離開。如果每個人可在一小時內(nèi)的任意時刻到達，求甲乙雙方見面的概在

29、一小時內(nèi)的任意時刻到達，求甲乙雙方見面的概率。率。解解 記記7點為計算時刻的點為計算時刻的0時，以分鐘為單位，時，以分鐘為單位，x，y分分別記為甲乙到達指定地點的時刻，則樣本空間為別記為甲乙到達指定地點的時刻，則樣本空間為,060,060Sx yxy以以A表示事件表示事件“兩人會面兩人會面”，則有，則有 ,20Ax yx yS xy這是一個幾何概型問題，于是：這是一個幾何概型問題，于是： ( )AP AS22260405609練習(xí)練習(xí) 在區(qū)間（在區(qū)間（0，1）中隨機地取兩個數(shù)，則事件）中隨機地取兩個數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于兩數(shù)之和小于6/5”的概率為的概率為。1725第四節(jié)第四節(jié) 概率的公理化

30、定義概率的公理化定義概率的公理化定義概率的公理化定義掌握概率的基本性質(zhì)及概率加法定理掌握概率的基本性質(zhì)及概率加法定理 數(shù)學(xué)上所說的數(shù)學(xué)上所說的“公理公理”，就是一些不加證明，就是一些不加證明而承認的前提，這些前提規(guī)定了所討論對象的一而承認的前提，這些前提規(guī)定了所討論對象的一些基本關(guān)系和所滿足的條件，然后以之為基礎(chǔ)，些基本關(guān)系和所滿足的條件，然后以之為基礎(chǔ)，推演出所討論對象的進一步內(nèi)容。推演出所討論對象的進一步內(nèi)容。 設(shè)隨機試驗的樣本空間為設(shè)隨機試驗的樣本空間為 ，若對每一事件，若對每一事件A，有且只有一個實數(shù)有且只有一個實數(shù)P(A)以之對應(yīng)，滿足如下公理：以之對應(yīng)，滿足如下公理：公理公理1（非負性）（非負性） 0( )1P A公理公理2（規(guī)范性）（規(guī)范性） 1P 公理公理3（完全可加性）對任意一列兩兩互斥事件（完全可加性）對任意一列兩兩互斥事件12,A A 有有11knnnPAP A則稱則稱P(A)為事件為事件A的概率。的概率。概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)q 有限可加性: 設(shè) nAAA,21兩兩互斥,有niiniiAPAP11)( )1( )P AP A q q ()0P )(ABAB( )()( )()P BP ABAP AP BA （）（）（）（）（）（） ABq 若AB()( )( )P BAP BP A( )( )P