第六章圖形變換的矩陣方法

1、1第六章第六章 圖形變換的矩陣方法圖形變換的矩陣方法 1 概述概述 2 二維圖形變換二維圖形變換 3 三維圖形變換三維圖形變換 本章小結(jié)本章小結(jié)2mnmmnnxxxxxxxxx212222111211該向量集合實(shí)際上就是一個(gè)矩陣。該向量集合實(shí)際上就是一個(gè)矩陣。 如果這些點(diǎn)代表一個(gè)空間圖形的頂點(diǎn)，也就是說，如果這些點(diǎn)代表一個(gè)空間圖形的頂點(diǎn)，也就是說，我們可以用我們可以用矩陣來描述（表示）空間中的圖形矩陣來描述（表示）空間中的圖形。1 1 概述概述一、空間圖形的矩陣表示一、空間圖形的矩陣表示 若用一個(gè)行向量若用一個(gè)行向量 x1 x2 xn 表示表示n維空間中一個(gè)點(diǎn)維空間中一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，那么坐標(biāo)，那么

2、n維空間中維空間中m個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)就可以表示為一個(gè)向量個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)就可以表示為一個(gè)向量集合：集合： 3 對于二維空間，用對于二維空間，用表示圖形表示圖形( 其中其中xi yi是頂點(diǎn)坐標(biāo)）是頂點(diǎn)坐標(biāo)）。nnyxyxyx2211 例：如圖所示的例：如圖所示的ABC，用矩陣表示為，用矩陣表示為 133311CBA C(3,1)A (1,1)B (3,3)二、圖形變換二、圖形變換 是指對圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、投影（透視）等是指對圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、投影（透視）等變換。變換。 圖形變換的實(shí)質(zhì)是圖形變換的實(shí)質(zhì)是改變圖形的各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)改變圖形的各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。4 因此，圖形變換可以因此，圖形變換可以通過對

3、表示圖形坐標(biāo)的矩陣進(jìn)通過對表示圖形坐標(biāo)的矩陣進(jìn)行運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)行運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)，稱為，稱為矩陣變換法矩陣變換法。 矩陣變換法的一般形式：矩陣變換法的一般形式：坐坐標(biāo)標(biāo)矩矩陣陣圖圖形形頂頂點(diǎn)點(diǎn)原原來來的的 矩陣矩陣變換變換= 坐標(biāo)矩陣坐標(biāo)矩陣圖形頂點(diǎn)圖形頂點(diǎn)變換后的變換后的 本章討論的問題：如何利用變換矩陣實(shí)現(xiàn)對二維、三本章討論的問題：如何利用變換矩陣實(shí)現(xiàn)對二維、三維圖形的各種變換。維圖形的各種變換。52 2 二維圖形變換二維圖形變換 分為兩類：二維基本變換，二維組合變換。分為兩類：二維基本變換，二維組合變換。 二維基本變換二維基本變換：比例變換（縮放）、對稱變換、錯(cuò)切：比例變換（縮放）、對稱變換、錯(cuò)切

4、變換、旋轉(zhuǎn)變換、平移變換。變換、旋轉(zhuǎn)變換、平移變換。 二維組合變換二維組合變換：由多種基本變換組合而成的變換。：由多種基本變換組合而成的變換。一、二維基本變換一、二維基本變換 矩陣變換法的形式為：矩陣變換法的形式為：22211nnnyxyxyx 22dcba= 22211nnnyxyxyx6 通過對變換矩陣通過對變換矩陣 T 中各元素的不同取值，可以實(shí)現(xiàn)中各元素的不同取值，可以實(shí)現(xiàn)各種不同的二維基本變換。各種不同的二維基本變換。比例變換（縮放變換）比例變換（縮放變換） 變換矩陣：變換矩陣： daT00 設(shè)二維平面的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)二維平面的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為x y，對其進(jìn)行矩陣變，對其進(jìn)行矩陣變換：換

5、：dybxcyaxdcbayxdybxycyaxx變換后該點(diǎn)的坐標(biāo)為：變換后該點(diǎn)的坐標(biāo)為：7dyaxdayx00dyyaxx即即比例變換（縮放變換）比例變換（縮放變換）其中，其中，a為為x方向的縮放因子，方向的縮放因子，d為為y方向的縮放因子。方向的縮放因子。 根據(jù)根據(jù)a、d取值的不同，分為幾種情況：取值的不同，分為幾種情況： 當(dāng)當(dāng)a=d，圖形沿，圖形沿x方向和方向和y方向等比例縮放方向等比例縮放 當(dāng)當(dāng)a=d1，圖形沿，圖形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大ABC例：設(shè)例：設(shè)ABC對應(yīng)的矩陣為對應(yīng)的矩陣為122100CBA設(shè)設(shè)2002TCBACBA2442002002122100，對，對AB

6、C進(jìn)行變換：進(jìn)行變換：ABC8byaxdayx00dyyaxx即即比例變換（縮放變換）比例變換（縮放變換） 當(dāng)當(dāng)a=d，圖形沿，圖形沿x方向和方向和y方向等比例縮放方向等比例縮放 當(dāng)當(dāng)a=d1，圖形沿，圖形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大 當(dāng)當(dāng)0a=d1，圖形沿，圖形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大 當(dāng)當(dāng)0a=d0，沿，沿x方向錯(cuò)切（移動(dòng)）；方向錯(cuò)切（移動(dòng)）； cy0，沿，沿y方向錯(cuò)切（移動(dòng)）；方向錯(cuò)切（移動(dòng)）； bx0，沿，沿y方向錯(cuò)切（移動(dòng)）；方向錯(cuò)切（移動(dòng)）； b=0即即bx=0，不錯(cuò)切（恒等變換）。，不錯(cuò)切（恒等變換）。22錯(cuò)切變換（可以理解為沿某個(gè)方向的移動(dòng)）錯(cuò)切變換（可以理

7、解為沿某個(gè)方向的移動(dòng)） 包括兩種：沿包括兩種：沿x方向錯(cuò)切，沿方向錯(cuò)切，沿y方向的錯(cuò)切。方向的錯(cuò)切。 沿沿y方向錯(cuò)切方向錯(cuò)切例：設(shè)矩形例：設(shè)矩形ABCD對應(yīng)的矩陣為對應(yīng)的矩陣為11110101DCBA設(shè)設(shè)T中的中的b2，對矩形，對矩形ABCD進(jìn)行變換：進(jìn)行變換：DCBADCBA31112121102111110101DABC,101bT變換矩陣變換矩陣,bxyxbyx101bxyyxx即即ABCD23DABCABCD錯(cuò)切變換（可以理解為沿某個(gè)方向的移動(dòng)）錯(cuò)切變換（可以理解為沿某個(gè)方向的移動(dòng)） 包括兩種：沿包括兩種：沿x方向錯(cuò)切，沿方向錯(cuò)切，沿y方向的錯(cuò)切。方向的錯(cuò)切。 沿沿y方向錯(cuò)切方向錯(cuò)切變

8、換特點(diǎn)：變換特點(diǎn)： 變換后點(diǎn)的變換后點(diǎn)的x坐標(biāo)不變，坐標(biāo)不變，y坐坐標(biāo)平移了標(biāo)平移了bx； 平行于平行于y軸的直線變換后仍平軸的直線變換后仍平行于行于y軸；軸； 平行于平行于x軸的直線變換后，軸的直線變換后，x=0的點(diǎn)不動(dòng)的點(diǎn)不動(dòng)(不動(dòng)點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn))，x0的點(diǎn)沿的點(diǎn)沿y方向平移了方向平移了bx，形成與，形成與x軸夾角為軸夾角為的直線，且的直線，且 tgbx / xb。,101bT變換矩陣變換矩陣,bxyxbyx101bxyyxx即即bxx24旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)變換變換 二維圖形的旋轉(zhuǎn)，一般是指圖形繞二維圖形的旋轉(zhuǎn)，一般是指圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。的旋轉(zhuǎn)。并規(guī)定：逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)角度并規(guī)定：逆時(shí)針方向旋

9、轉(zhuǎn)時(shí)角度取正值；取正值； 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)角度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)角度取負(fù)值。取負(fù)值。cossinsincosT變變換換矩矩陣陣cossinsincoscossinsincosyxyxyxcossinsincosyxyyxx注意：注意：繞繞非原點(diǎn)非原點(diǎn)的任意一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換屬于組合變換。的任意一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換屬于組合變換。25旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)變換變換 二維圖形的旋轉(zhuǎn)，一般是指圖形繞二維圖形的旋轉(zhuǎn)，一般是指圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。的旋轉(zhuǎn)。并規(guī)定：逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)角度并規(guī)定：逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)角度取正值；取正值； 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)角度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)角度取負(fù)值。取負(fù)值。設(shè)設(shè)=30866050508660303

10、03030.cossinsincosTcossinsincosT變變換換矩矩陣陣?yán)涸O(shè)矩形例：設(shè)矩形ABCD對應(yīng)的矩陣為對應(yīng)的矩陣為5105120200.DCBAABCDDABC旋轉(zhuǎn)變換后的矩陣為旋轉(zhuǎn)變換后的矩陣為DCBA.299175029929820173210026 對上述比例變換、對稱變換、錯(cuò)切變換、旋轉(zhuǎn)變換四對上述比例變換、對稱變換、錯(cuò)切變換、旋轉(zhuǎn)變換四種基本變換進(jìn)行小結(jié)：種基本變換進(jìn)行小結(jié)： 變換矩陣的一般形式為變換矩陣的一般形式為dcbaTdaT00 比例變換比例變換v 當(dāng)當(dāng)a=d，圖形等比例縮放，圖形等比例縮放 對稱變換對稱變換v 對坐標(biāo)軸的對稱變換對坐標(biāo)軸的對稱變換v 對直線

11、的對稱變換對直線的對稱變換v對坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱變換對坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱變換v 當(dāng)當(dāng)ad，圖形畸變，圖形畸變1001Tx:軸軸1001Ty:軸軸0110Txy:0110Txy:1001T27 對上述比例變換、對稱變換、錯(cuò)切變換、旋轉(zhuǎn)變換四對上述比例變換、對稱變換、錯(cuò)切變換、旋轉(zhuǎn)變換四種基本變換進(jìn)行小結(jié)：種基本變換進(jìn)行小結(jié)： 變換矩陣的一般形式為變換矩陣的一般形式為dcbaT 錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換v 沿沿x方向錯(cuò)切方向錯(cuò)切 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換101cT101bTcossinsincosTv 沿沿y方向錯(cuò)切方向錯(cuò)切28 （五）齊次坐標(biāo)表示法和平移變換（五）齊次坐標(biāo)表示法和平移變換 1. 齊次坐標(biāo)表示法齊次坐標(biāo)表

12、示法 在變換矩陣在變換矩陣 的條件下，討論了的條件下，討論了平面圖形的比例、平面圖形的比例、對稱和旋轉(zhuǎn)變換對稱和旋轉(zhuǎn)變換，為何沒有，為何沒有討論圖形的討論圖形的平移變換平移變換呢？原因呢？原因是是T T 不具備對圖形進(jìn)行平移變換的功能。不具備對圖形進(jìn)行平移變換的功能。 欲想實(shí)現(xiàn)平面圖形的平移，那么圖形上任意一點(diǎn)的坐欲想實(shí)現(xiàn)平面圖形的平移，那么圖形上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，平移前后的必須滿足：標(biāo)，平移前后的必須滿足：22Tmyylxx29從矩陣的乘法可知，要想得到從矩陣的乘法可知，要想得到 myylxx那么，平移變換應(yīng)具有如下形式：那么，平移變換應(yīng)具有如下形式：令：令： ， ，則有，則有1, 0bc1

13、damldcbayxmdybxlcyax為了得到為了得到myylxx30mylxmlyx10011 由上可知，把向量由上可知，把向量x y 改寫為改寫為x y 1，就可進(jìn)行平移，就可進(jìn)行平移變換了。變換了。 在此將在此將 x y 1 稱為平面坐標(biāo)點(diǎn)稱為平面坐標(biāo)點(diǎn)x y的齊次坐標(biāo)表示法。的齊次坐標(biāo)表示法。一般情況下：一般情況下：用用n+1維向量表示維向量表示n維向量，第維向量，第n+1個(gè)分量取個(gè)分量取為常數(shù)（齊次項(xiàng)）的表示方法為齊次坐標(biāo)表示法。為常數(shù)（齊次項(xiàng)）的表示方法為齊次坐標(biāo)表示法。 標(biāo)準(zhǔn)化齊次坐標(biāo)表示法：標(biāo)準(zhǔn)化齊次坐標(biāo)表示法：若齊次項(xiàng)為若齊次項(xiàng)為1，則為標(biāo)準(zhǔn)化齊，則為標(biāo)準(zhǔn)化齊次坐標(biāo)表示法。

14、次坐標(biāo)表示法。31 變換矩陣 ，其中其中l(wèi)、m為平移參數(shù)為平移參數(shù)。mlT1001 2. 2.平移變換平移變換 對任意一點(diǎn)對任意一點(diǎn)x y 1，則，則x y 1 =x+l y+m （注意：形式上與（注意：形式上與x y 1并不統(tǒng)一）。并不統(tǒng)一）。 一般將變換矩陣擴(kuò)充為一般將變換矩陣擴(kuò)充為T33，使其具備更多的功能，使其具備更多的功能，它的一般形式為：它的一般形式為：ml100132smlqdcpbaT33(比例、對稱、錯(cuò)切和旋轉(zhuǎn)變換比例、對稱、錯(cuò)切和旋轉(zhuǎn)變換)(透視變換透視變換)(全比例變?nèi)壤儞Q換)(平移變換平移變換)相應(yīng)的平移矩陣：相應(yīng)的平移矩陣： 101000133mlT 110100

15、01 1mylxmlyx， 引入引入 后，不僅增加了功能，而且使變換前后的坐標(biāo)后，不僅增加了功能，而且使變換前后的坐標(biāo)形式統(tǒng)一。形式統(tǒng)一。33T33 如果坐標(biāo)變換結(jié)果是非標(biāo)準(zhǔn)化齊次坐標(biāo)表示，應(yīng)將其化如果坐標(biāo)變換結(jié)果是非標(biāo)準(zhǔn)化齊次坐標(biāo)表示，應(yīng)將其化為標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)齊次坐標(biāo)表示。方法是所有項(xiàng)都除以齊次項(xiàng)準(zhǔn)齊次坐標(biāo)表示。方法是所有項(xiàng)都除以齊次項(xiàng)。如：。如： 100010001 1sysxsyxsyx由此可知，當(dāng)： sss11(全比例縮小全比例縮小)；(全比例放大全比例放大)；(縮至原點(diǎn)縮至原點(diǎn))。34二、二維組合變換二、二維組合變換 在圖形變換中，往往需要一些比基本變換更復(fù)雜的變在圖形變換中，往往需要一些

16、比基本變換更復(fù)雜的變換。我們稱換。我們稱由多個(gè)二維基本變換組成的復(fù)雜變換為二維組由多個(gè)二維基本變換組成的復(fù)雜變換為二維組合變換合變換（二維基本變換的級(jí)聯(lián)）。（二維基本變換的級(jí)聯(lián)）。 已經(jīng)證明：已經(jīng)證明：任何二維組合變換均可分解為多個(gè)基本變?nèi)魏味S組合變換均可分解為多個(gè)基本變換的乘積換的乘積。 二維組合變換矩陣二維組合變換矩陣TT1T2Tm（Ti 是基本變是基本變換矩陣，具不可交換性）。由此可知，進(jìn)行二維組合變換換矩陣，具不可交換性）。由此可知，進(jìn)行二維組合變換的關(guān)鍵問題是求的關(guān)鍵問題是求T（m個(gè)基本變換矩陣）。個(gè)基本變換矩陣）。 下面通過兩個(gè)例子介紹組合變換：下面通過兩個(gè)例子介紹組合變換： 繞

17、坐標(biāo)原點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)P(x0 y0)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換變換35 繞坐標(biāo)原點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)P(x0 y0)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換變換 可分解為：可分解為：P(x0 y0)ABCDABCD 平移變換平移變換 使旋轉(zhuǎn)中心使旋轉(zhuǎn)中心P平移到坐平移到坐標(biāo)原點(diǎn)。標(biāo)原點(diǎn)。1010001001yxTP(0 0)ABCDABCD 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角。角。100002cossinsincosT36 繞坐標(biāo)原點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)P(x0 y0)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換變換 可分解為：可分解為：P(

18、x0 y0)ABCD 平移變換平移變換 使旋轉(zhuǎn)中心使旋轉(zhuǎn)中心P回到原來回到原來的位置。的位置。1010001003yxTP(0 0)ABCD 組合變換矩陣組合變換矩陣TT1 T2 T3ABCDP(x0 y0)111000000)cos(sinsin)cos(cossinsincosyxyxT37 2. 對任意直線的對稱變換對任意直線的對稱變換 設(shè)直線方程為：設(shè)直線方程為：AxByC0 (A0，B0)，直線在，直線在x軸上的截距為軸上的截距為C / A，在，在y軸上的截距為軸上的截距為C / B , 直線與直線與x軸的夾角軸的夾角= arctg( A / B) 。 可分解為：可分解為： 平移變換

19、平移變換 沿沿x軸方向平移軸方向平移 C / A，使直，使直線通過坐標(biāo)原點(diǎn)。線通過坐標(biāo)原點(diǎn)。ABCoxyABCC / BC / A100100011ACT/38 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)-角，使直線與角，使直線與x軸重合。軸重合。100002)cos()sin()sin()cos(T 對對x軸進(jìn)行對稱變換軸進(jìn)行對稱變換1000100013T 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)+角。角。 100004cossinsincosT39 平移變換平移變換 沿沿x方向平移方向平移C / A，使直線回到原位置。，使直線回到原位置。100100015ACT/ 因此，因此，對

20、任意直線的對稱變換矩陣對任意直線的對稱變換矩陣TT1 T2 T3 T4 T5，即：，即：12sin) 12(cos02cos2sin02sin2cosACACT40 二維組合變換二維組合變換 1. 繞坐標(biāo)原點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換。繞坐標(biāo)原點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換。 2. 對任意直線的對稱變換。對任意直線的對稱變換。注意：注意： 1. 二維組合變換可分解為多個(gè)二維基本變換，組合變二維組合變換可分解為多個(gè)二維基本變換，組合變換矩陣是基本變換矩陣的乘積；換矩陣是基本變換矩陣的乘積； 2. 分解時(shí)，使用的基本變換類型及其組合順序并不唯分解時(shí)，使用的基本變換類型及其組合順序并不唯一。一。41snm

21、lrjihqfedpcbaT443 3 三維圖形變換三維圖形變換 三維圖形變換是二維圖形變換在三維空間中的擴(kuò)展，三維圖形變換是二維圖形變換在三維空間中的擴(kuò)展，因此，它和二維圖形變換類似。因此，它和二維圖形變換類似。 仿照二維圖形變換，用仿照二維圖形變換，用四維齊次坐標(biāo)四維齊次坐標(biāo)x y z 1表示三表示三維空間的點(diǎn)維空間的點(diǎn)x y z，其變換形式為：，其變換形式為：三 維 基 本 變 換三 維 基 本 變 換（比例、對稱、（比例、對稱、錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)）錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)）透視變換透視變換平移變換平移變換全比例變換全比例變換1144zyxTzyx42一、三維基本變換一、三維基本變換 1. 比例變換比例變換1

22、00000000000044jeaT1144jzeyaxTzyx 當(dāng)當(dāng) a=e=j1，各向等比例縮放，各向等比例縮放 a=e=j=1，恒等變換，恒等變換aej，各向縮放比例不同，產(chǎn)生形變，各向縮放比例不同，產(chǎn)生形變(畸變畸變)0s1，全比例縮小，全比例縮小;s0）。）。 1-2 對對yoz平面投影平面投影xyz1-2 對對yoz平面投影平面投影最終最終圖形圖形旋轉(zhuǎn)平移前旋轉(zhuǎn)平移前xyz65zzylyx0因此側(cè)視投影的變換矩陣為：因此側(cè)視投影的變換矩陣為：10001000001000010001000010000110000100000100101000010000100000llT側(cè)視側(cè)視yo

23、z投影變換投影變換 繞繞z旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)90o沿沿x平移變換平移變換11zyxTzyx側(cè)視側(cè)視66 ， 俯視投影俯視投影 視點(diǎn)位于物體的正上方，視點(diǎn)位于物體的正上方， 向向xoy坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面進(jìn)行投影。進(jìn)行投影。各點(diǎn)的各點(diǎn)的z坐標(biāo)變?yōu)樽鴺?biāo)變?yōu)? ， x、y坐標(biāo)不變坐標(biāo)不變。 考慮繪圖時(shí)的統(tǒng)一性，考慮繪圖時(shí)的統(tǒng)一性，將圖形繪在同一個(gè)坐標(biāo)平面將圖形繪在同一個(gè)坐標(biāo)平面上，作如下處理：上，作如下處理：1-3對對xoy平面投影平面投影xyz 將將xoy平面上的俯視圖繞平面上的俯視圖繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)-90度。度。 為了與為了與xoz平面上已有的圖形保持一定的間距，再平面上已有的圖形保持一定的間距，再沿沿z軸平

24、移軸平移-n（n0）。）。67nyzyxx010000000100000110001000010000110000010010000011000000000100001nnT俯視俯視xoy投影變換投影變換 繞繞x旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)-90o沿沿z平移變換平移變換因此俯視投影的變換矩陣為：因此俯視投影的變換矩陣為：11zyxTzyx側(cè)視側(cè)視68投投影影平行投影平行投影透視投影透視投影一點(diǎn)透視一點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視三點(diǎn)透視三點(diǎn)透視斜平行投影斜平行投影斜軸側(cè)斜軸側(cè)斜二軸側(cè)斜二軸側(cè)斜等軸側(cè)斜等軸側(cè)正平行投影正平行投影正軸側(cè)投影正軸側(cè)投影正投影正投影(正視、側(cè)視、俯視正視、側(cè)視、俯視)正三軸側(cè)正三軸側(cè)正等軸側(cè)正等

25、軸側(cè)正二軸側(cè)正二軸側(cè)69 2. 軸測投影變換軸測投影變換 使正視圖、側(cè)視圖、俯視圖投影到同一個(gè)投影平面上使正視圖、側(cè)視圖、俯視圖投影到同一個(gè)投影平面上稱為軸側(cè)投影。稱為軸側(cè)投影。 包括包括正軸側(cè)投影正軸側(cè)投影和和斜軸側(cè)投影斜軸側(cè)投影兩種方式。兩種方式。 正軸測投影變換正軸測投影變換 該變換是使物體該變換是使物體先繞先繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角角，再繞再繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)- (0 )角角，最后向最后向xoz平面投影平面投影。因此，其變換矩陣為三個(gè)。因此，其變換矩陣為三個(gè)基本變換矩陣的乘積：基本變換矩陣的乘積：1000010000000001100000000001100001000000cossins

26、incoscossinsincos正正T繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)向向xoz面投影面投影7010000000000cossincossinsinsincos正正T 例：設(shè)例：設(shè) 、 ，對單位立方體進(jìn)行正軸測投影，對單位立方體進(jìn)行正軸測投影變換。變換。o60o3011111011110110011110101011001000HGFEDCBAS單位正方體各單位正方體各頂點(diǎn)齊次坐標(biāo)頂點(diǎn)齊次坐標(biāo)矩陣：矩陣：xyzABCDEFGH711000086600002500866004330050.正正THGFEDCBA.118300366016830036601433005014330050161

27、600866012500866018660001000SxyABCDEFGHzA單位立方體正軸測投影單位立方體正軸測投影xBzCDGEFH72xyABCDEFGHzA單位立方體正軸測投影單位立方體正軸測投影xBzCDGEFH 軸側(cè)投影的圖形會(huì)產(chǎn)生形變，軸側(cè)投影的圖形會(huì)產(chǎn)生形變，形變程度用變形系數(shù)衡量。形變程度用變形系數(shù)衡量。 各軸的各軸的軸向變形系數(shù)軸向變形系數(shù)如下：如下：222sinsincosAEEAx222sincossinACCAycosABBAz 根據(jù)軸向變形系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)軸向變形系數(shù)之間的關(guān)系，軸側(cè)投影可分為軸側(cè)投影可分為等軸側(cè)等軸側(cè)、二軸側(cè)二軸側(cè)等等投影方式。投影方式。73

28、222sinsincosx222sincossinycosz 正等軸測投影：正等軸測投影： 由由x=y=z 可求得可求得= 45o、= = 35o16，代入正軸，代入正軸測投影變換矩陣測投影變換矩陣 T正正，得：，得：當(dāng)當(dāng)x=y=z 時(shí)時(shí)1000081600004080070700408007070.正等正等TxyABCDEFGHz單位立方體正等軸測投影單位立方體正等軸測投影xz74222sinsincosx222sincossinycosz 正二軸測投影：正二軸測投影： 由由x=2y=z 可求得可求得= 20o42、= = 19o28，代入正，代入正軸測投影變換矩陣軸測投影變換矩陣T正正 ，

29、得：，得：當(dāng)當(dāng)x=2y=z 時(shí)時(shí)1000000094300000003120035400118009350.正正二二TxyABCDEFGHz單位立方體正二軸測投影單位立方體正二軸測投影xzo75 2. 軸測投影變換軸測投影變換 正軸測投影變換正軸測投影變換 斜軸測投影變換斜軸測投影變換 如何將正視圖、側(cè)視圖、俯視圖投影到同一個(gè)投影平如何將正視圖、側(cè)視圖、俯視圖投影到同一個(gè)投影平面上呢？面上呢？ 該變換是使物體該變換是使物體先沿先沿x含含y錯(cuò)切錯(cuò)切，再沿再沿z含含y錯(cuò)切錯(cuò)切，最后最后向向xoz平面投影平面投影。因此，其變換矩陣也是三個(gè)基本變換矩。因此，其變換矩陣也是三個(gè)基本變換矩陣的乘積：陣的乘

30、積：錯(cuò)切錯(cuò)切含含沿沿斜斜yxdT100001000010001錯(cuò)切錯(cuò)切含含沿沿yzf10000100010000110000100000001fd面投影面投影向向xoz100001000000000176 在變換矩陣在變換矩陣T斜斜中，當(dāng)中，當(dāng)d、f 取不同的值時(shí)可得到各種取不同的值時(shí)可得到各種不同的斜軸側(cè)透視圖：不同的斜軸側(cè)透視圖： 同樣，斜軸側(cè)投影的圖形也會(huì)產(chǎn)生形變。各軸的同樣，斜軸側(cè)投影的圖形也會(huì)產(chǎn)生形變。各軸的軸向軸向變形系數(shù)變形系數(shù)如下：如下：221fdyzx, 根據(jù)軸向變形系數(shù)之間的關(guān)系，斜軸側(cè)投影也可分為根據(jù)軸向變形系數(shù)之間的關(guān)系，斜軸側(cè)投影也可分為斜等軸側(cè)斜等軸側(cè)、斜二軸側(cè)斜二

31、軸側(cè)(常用形式常用形式)等投影方式。等投影方式。（a）d=1，f=1；（；（b）d=1，f=-1；（；（c）d=-1，f=-1；（；（d）d=-1，f=177221fdyzx, 斜二軸測投影：斜二軸測投影： 由由x=2y=z 可求得可求得d = f = = 0.354，代入斜軸測投，代入斜軸測投影變換矩陣影變換矩陣T斜斜 ，得：，得：當(dāng)當(dāng)x=2y=z 時(shí)時(shí)1000010003540035400001.斜斜T78投投影影平行投影平行投影透視投影透視投影一點(diǎn)透視一點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視三點(diǎn)透視三點(diǎn)透視斜平行投影斜平行投影斜軸側(cè)斜軸側(cè)斜二軸側(cè)斜二軸側(cè)斜等軸側(cè)斜等軸側(cè)正平行投影正平行投影正軸側(cè)投影正軸

32、側(cè)投影正投影正投影(正視、側(cè)視、俯視正視、側(cè)視、俯視)正三軸側(cè)正三軸側(cè)正等軸側(cè)正等軸側(cè)正二軸側(cè)正二軸側(cè)79 3. 透視投影變換透視投影變換 對于一個(gè)空間物體，若用軸測投影，物體的平行邊投對于一個(gè)空間物體，若用軸測投影，物體的平行邊投影后仍然保持平行，這與人的視覺是有差異的。影后仍然保持平行，這與人的視覺是有差異的。 為解決視覺差異，提出透視投影。為解決視覺差異，提出透視投影。 透視投影后物體的平行邊不一定保持平行，這些不平透視投影后物體的平行邊不一定保持平行，這些不平行的邊延長后將匯聚于一點(diǎn)，稱之為行的邊延長后將匯聚于一點(diǎn)，稱之為滅點(diǎn)滅點(diǎn)。 根據(jù)滅點(diǎn)的個(gè)數(shù)，透視投影可分為根據(jù)滅點(diǎn)的個(gè)數(shù)，透視投

33、影可分為一點(diǎn)透視、二點(diǎn)透一點(diǎn)透視、二點(diǎn)透視、三點(diǎn)透視視、三點(diǎn)透視。 一點(diǎn)透視投影變換一點(diǎn)透視投影變換 先對物體作透視變換先對物體作透視變換，然后向然后向xoz平面投影平面投影。變換矩。變換矩陣為：陣為：80透視變換透視變換1000010001000011qT其中：其中：q滅點(diǎn)到投影面垂直距離的倒數(shù)。滅點(diǎn)到投影面垂直距離的倒數(shù)。 q0，滅點(diǎn)位于物體內(nèi)側(cè)。，滅點(diǎn)位于物體內(nèi)側(cè)。為符合人們的視覺習(xí)慣，一般取為符合人們的視覺習(xí)慣，一般取q0。 一點(diǎn)透視投影變換一點(diǎn)透視投影變換 先對物體作透視變換先對物體作透視變換，然后向然后向xoz平面投影平面投影。變換矩。變換矩陣為：陣為：面投影面投影向向xoz100

34、0010000000001100001000000001q81 另外，在畫透視圖時(shí)，若物體的空間位置不足以反映另外，在畫透視圖時(shí)，若物體的空間位置不足以反映物體的空間形態(tài)，常常物體的空間形態(tài)，常常先把物體平移到合適的位置先把物體平移到合適的位置，然后然后再進(jìn)行投影變換再進(jìn)行投影變換。 這時(shí)，一點(diǎn)透視的變換矩陣為：這時(shí)，一點(diǎn)透視的變換矩陣為：透視投影內(nèi)外側(cè)滅點(diǎn)透視投影內(nèi)外側(cè)滅點(diǎn)滅點(diǎn)滅點(diǎn)( q0)82平移變換平移變換10100001000011nmlT 例：取例：取l = 1，m = -1，n = -2，q = -0.35，對單位立方體，對單位立方體作一點(diǎn)透視投影。作一點(diǎn)透視投影。35120101

35、0035000000011.T1011111111011001101011101100100087654321一點(diǎn)透視投影一點(diǎn)透視投影100001000000001q平移下的一點(diǎn)透視投影平移下的一點(diǎn)透視投影1001000000001mqnlq12 34 56 7 8單位立方體單位立方體一點(diǎn)透視投影圖一點(diǎn)透視投影圖xzo83 兩點(diǎn)透視投影變換兩點(diǎn)透視投影變換 先使物體繞先使物體繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角角，并考慮物體的平移并考慮物體的平移，最后作最后作一點(diǎn)透視投影一點(diǎn)透視投影。因此，二點(diǎn)透視投影的變換矩陣為：。因此，二點(diǎn)透視投影的變換矩陣為： 角角軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞zT1000010000002cossinsincos平移變換平移變換1010000100001nml一點(diǎn)透視投影一點(diǎn)透視投影100001000000001q)(cossinsincos01001000000qmqnlqq一般取一