伯努利概型與全概公式

1、計算機數(shù)學(xué)1計算機數(shù)學(xué)2定義定義: 若兩個事件若兩個事件 A、B 中中, 任一事件的發(fā)生與否任一事件的發(fā)生與否不影響另一事件的概率不影響另一事件的概率, 則稱事件則稱事件 A 與與 B 是相互獨是相互獨立的，立的，事件的獨立性事件的獨立性.)()()( BPAPABP 且且即即也也都都相相互互獨獨立立與與與與與與則則下下列列三三對對事事件件相相互互獨獨立立與與若若事事件件定定理理.;,BABABABA ; )()(1)()()()1(BPAPBPAPBAP ;)(1)()()()()2(BPAPBPAPBAP .)(1)(1)()()()3(BPAPBPAPBAP 計算機數(shù)學(xué)3)(1)(BAP

2、BAP 若事件若事件 A 與與 B 相互獨立相互獨立?)( BAP)(1BAP ).()(1BPAP BABA )()()(BPAPBAP ).()(1)(BPAPBAP 計算機數(shù)學(xué)4. )()()(1)(. )()()()(,321321321321321APAPAPAAAPAPAPAPAAAPAAA 則則相相互互獨獨立立如如果果事事件件 以上兩個公式還可以推廣到有限個事件的情以上兩個公式還可以推廣到有限個事件的情 形形:計算機數(shù)學(xué)5分析分析1：分析分析2： 思考：從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，A=抽到K，B=抽到的是紅色的，問事件A,B是否獨立？相相互互獨獨立立。，故故從從而而BAA

3、BPBPAPABPBPAP,)()()(,261522)(,215226)(,131524)( 相相互互獨獨立立。，故故從從而而BABAPAPBAPAP,)|()(,131262)|(,131)( 計算機數(shù)學(xué)6設(shè)設(shè)一枚硬幣獨立擲兩次，一枚硬幣獨立擲兩次，1第第一一次次出出現(xiàn)現(xiàn)正正面面 A2第二次出現(xiàn)正面第二次出現(xiàn)正面 A3正、反面各一次正、反面各一次 A4正面出現(xiàn)兩次正面出現(xiàn)兩次 A)(則事件則事件兩兩獨立兩兩獨立、兩兩獨立兩兩獨立、相互獨立相互獨立、相互獨立相互獨立、432321432321)()()()(AAADAAACAAABAAAA計算機數(shù)學(xué)7 某人應(yīng)聘某人應(yīng)聘甲甲公司品公司品酒酒師職

4、位師職位,該應(yīng)聘者聲該應(yīng)聘者聲稱能以稱能以90%的準(zhǔn)確性判別出兩種不同的酒的準(zhǔn)確性判別出兩種不同的酒,并可以依此提出并可以依此提出相相應(yīng)應(yīng)的的推銷建議推銷建議. 為了檢驗為了檢驗應(yīng)聘者的辨酒能力以決定是否錄用應(yīng)聘者的辨酒能力以決定是否錄用, ,甲甲公公司司對該對該應(yīng)聘者進行測試應(yīng)聘者進行測試. .讓他連續(xù)讓他連續(xù)分別分別品品嘗兩種酒嘗兩種酒1010次次, ,二次間的間隔為二次間的間隔為3 3分鐘分鐘. . 若應(yīng)聘者在若應(yīng)聘者在1010次辯別中至少有次辯別中至少有7 7次能準(zhǔn)確判別出兩次能準(zhǔn)確判別出兩種不同的酒種不同的酒, ,則給予錄用則給予錄用, ,否則否則, ,就拒絕錄用就拒絕錄用. .問題

5、問題:(1)上述測試方法使公司被上述測試方法使公司被冒牌者蒙冒牌者蒙到崗位到崗位的概率有多大的概率有多大? (2)上述測試方法使公司上述測試方法使公司將真正的行家將真正的行家拒之門外拒之門外的概率有多大的概率有多大? (3)能否設(shè)計出能否設(shè)計出測試方法測試方法使使被冒牌者蒙被冒牌者蒙到崗位到崗位的概率的概率及及將真正的將真正的 行家拒之門外行家拒之門外的概率都變小的概率都變小?計算機數(shù)學(xué)8伯努利概型伯努利概型設(shè)隨機試驗滿足設(shè)隨機試驗滿足(1)在相同條件下進行在相同條件下進行n次重復(fù)試驗次重復(fù)試驗;(2)每次試驗只有兩種可能結(jié)果每次試驗只有兩種可能結(jié)果,A發(fā)生或發(fā)生或A不發(fā)生不發(fā)生;(3)在每次

6、試驗中在每次試驗中,A發(fā)生的概率均一樣發(fā)生的概率均一樣,即即P(A)=P;(4)各次試驗是相互獨立的各次試驗是相互獨立的.則稱這種試驗為則稱這種試驗為n重伯努利（重伯努利（Bernoulli）試驗。）試驗。計算機數(shù)學(xué)9定理定理 在伯努利概型中在伯努利概型中,若一次試驗時事件若一次試驗時事件A發(fā)生發(fā)生的概率為的概率為P(0P0, 則稱為在事件則稱為在事件B發(fā)生的發(fā)生的 BAP| 前提下，事件前提下，事件A發(fā)生的條件概率。發(fā)生的條件概率。 APABPABPAP |0,有有若若同理同理條件概率條件概率 BPABPBAP |計算公式：重點回顧計算機數(shù)學(xué)19定理定理 設(shè)設(shè)A、B是隨機試驗是隨機試驗E的兩

7、個隨機事件，的兩個隨機事件， 若若P(B)0,則則 BAPBPABP| 或若或若P(A)0,有有 ABPAPABP| 乘法公式乘法公式計算機數(shù)學(xué)20例例1 某商店倉庫中的某種小家電來自甲、乙、某商店倉庫中的某種小家電來自甲、乙、丙三家工廠。這三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別為丙三家工廠。這三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別為500件、件、300件、件、200件，且它們的產(chǎn)品合格率件，且它們的產(chǎn)品合格率分別為分別為95%、92%、90%?，F(xiàn)從該種小家電產(chǎn)。現(xiàn)從該種小家電產(chǎn)品中隨機抽取品中隨機抽取1件，求恰抽到合格品的概率。件，求恰抽到合格品的概率。全概率公式全概率公式計算機數(shù)學(xué)21并并有有且且互互不不相相容容可可

8、知知由由題題意意個個產(chǎn)產(chǎn)品品是是合合格格品品表表示示抽抽到到的的廠廠的的產(chǎn)產(chǎn)品品丙丙乙乙甲甲分分別別表表示示抽抽到到的的產(chǎn)產(chǎn)品品是是設(shè)設(shè)解解,.1,:321321321 AAAAAABAAA 3 . 01000300, 5 . 0100050021 APAP 2 . 010002003 AP 90. 0|,92. 0|,95. 0|321 ABPABPABP計算機數(shù)學(xué)22根據(jù)乘法定理：根據(jù)乘法定理： .”“|111的可能性概率的可能性概率合格品合格品廠生產(chǎn)的廠生產(chǎn)的抽樣恰好是抽樣恰好是 AABPAP .”“|222的的可可能能性性概概率率合合格格品品廠廠生生產(chǎn)產(chǎn)的的抽抽樣樣恰恰好好是是 AAB

9、PAP .”“|333的的可可能能性性概概率率合合格格品品廠廠生生產(chǎn)產(chǎn)的的抽抽樣樣恰恰好好是是AABPAP 計算機數(shù)學(xué)23根據(jù)加法定理：一件抽樣不可能既是某廠生產(chǎn)的，根據(jù)加法定理：一件抽樣不可能既是某廠生產(chǎn)的，同時又是另一個廠生產(chǎn)的，即三個事件屬互不相容同時又是另一個廠生產(chǎn)的，即三個事件屬互不相容事件（互斥）；不管這件抽樣屬于哪一個廠生產(chǎn)的事件（互斥）；不管這件抽樣屬于哪一個廠生產(chǎn)的合格品，都認定為合格品，都認定為“抽到合格品抽到合格品”，故三個事件的，故三個事件的概率相加就是題目所求。即概率相加就是題目所求。即 iiiABPAPBP|31 90. 02 . 092. 03 . 095. 05

10、 . 0 931. 0 計算機數(shù)學(xué)24定理定理(全概率公式全概率公式) 有有則則對對任任一一事事件件且且即即的的事事件件互互斥斥是是互互不不相相容容若若BniAPAAAjiAAAAAinjin., 2 , 10,2121 iniiABPAPBP|1 完備事件組完備事件組計算機數(shù)學(xué)25例例2 0345. 002. 040. 004. 035. 005. 025. 0)|()()(31 iiiABPApBP計算機數(shù)學(xué)26例例3 人們?yōu)榱肆私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價人們?yōu)榱肆私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化，往往會去分析影響股票的基本因素，格的變化，往往會去分析影響股票的基本因素，比如利率的變化。

11、現(xiàn)在假設(shè)人們經(jīng)分析估計利比如利率的變化?，F(xiàn)在假設(shè)人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的概率為率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率為，利率不變的概率為40%。根據(jù)經(jīng)驗，人們估計，在利率下調(diào)的情況下，根據(jù)經(jīng)驗，人們估計，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價格上漲的概率為該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不，而在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為變的情況下，其價格上漲的概率為40%，求該，求該支股票將上漲的概率。支股票將上漲的概率。64. 0計算機數(shù)學(xué)27練習(xí)、用3個機床加工同一種零件, 零件由各機床加工的概率分別為0.5, 0.3, 0.2, 各機床加工的零件為合格品的概率分別等于0.94, 0.9, 0.9

12、5, 求全部產(chǎn)品中的合格率.解：設(shè)解：設(shè) A、B、C是由第是由第1,2,3個機床加工的零件個機床加工的零件 D為產(chǎn)品合格為產(chǎn)品合格, 且且 A、B、C 構(gòu)成完備事件組構(gòu)成完備事件組. 則根據(jù)題意有則根據(jù)題意有 P(A)=0.5, P(B)=0.3, P(C)=0.2, P(D|A)=0.94, P(D|B)=0.9, P(D|C)=0.95, 由全概率公式得全部產(chǎn)品的合格率由全概率公式得全部產(chǎn)品的合格率 P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C) = 0.93計算機數(shù)學(xué)28解：設(shè)解：設(shè)A=A倉庫保管的麥種倉庫保管的麥種, B=B倉庫保管的麥種倉庫保管的麥種, C=C倉庫保管倉庫保管的麥種的麥種,D=發(fā)芽的麥種發(fā)芽的麥種，則，則P(A)=0.4,P(B)=0.35,P(C)=0.25,P(D|A)=0.95, P(D|B)=0.92, P(D|C)=0.90, P(D)= P(A) P(D|A)+ P(B) P(D|B)+ P(C) P(D|C)=0.927練習(xí)、某村麥種放在A,B,C