數(shù)學(xué)物理方法課件第七章行波法

1、本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 能夠?qū)С霾⑶矣涀∫痪S波動方程的通解能夠?qū)С霾⑶矣涀∫痪S波動方程的通解（達朗貝爾公式）；（達朗貝爾公式）； 掌握達朗貝爾公式的應(yīng)用和物理意義掌握達朗貝爾公式的應(yīng)用和物理意義; 掌握行波法解題的要領(lǐng)，并且能夠使用掌握行波法解題的要領(lǐng)，并且能夠使用行波法求解定解問題；行波法求解定解問題；第七章第七章 行波法行波法7.1 行波法行波法一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解 考慮如下定解問題（無界弦的自由振動問題）：考慮如下定解問題（無界弦的自由振動問題）： )(| )(| - ,)(002xuxuxuautttxxtt一、達朗貝爾公式一、達朗貝爾公式為已知函數(shù)。和其

2、中)()(xx視為無限或無界。略，可以那弦線的長度遠處的邊界條件可以忽內(nèi)的振動情況，則開邊界很遠的一段范圍又僅僅是在較短的、離長，而需要知道的如果考察的弦線長度很這里“無界”的理解：22121()()0() ()0(), d xad td xd xaad td txa tcxa tcxa txa t解 ：） 做 特 征 變 換 ， 求 定 解 問 題 中 方 程 的 通 解 的 特 征 方 程 為 ：即從 而 得 到 兩 簇 特 征 線積 分 后 得 到如 下 ：做 特 征 變 換一、達朗貝爾公式一、達朗貝爾公式7.1 行波法行波法一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解0aautxt

3、x式算符分解坐標變換：坐標變換： ()xat222222222222222()() 22uuuuuxxxuuuuuxxxuuuuuuuat 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有同理有，一、達朗貝爾公式一、達朗貝爾公式7.1 行波法行波法一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解一、達朗貝爾公式一、達朗貝爾公式的的任任意意函函數(shù)數(shù)。是是積積分分，得得到到兩兩邊邊對對代代入入方方程程中中，得得到到和和把把)( ),(022222ffuuxutu7.1 行波法行波法一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解為任意函數(shù)。和其中，通解為還原自變量，得到的積分，得兩邊再對)()( )()(),()()()

4、()(),(GFatxGatxFtxuGFGdfu一、達朗貝爾公式一、達朗貝爾公式 atxatx7.1 行波法行波法一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解一次，得到積分式兩邊對和式聯(lián)立求解，把為了把和，得。為此，把代入條件和，確定中的任意函數(shù)、利用初始條件和 )(1)()( )( )( )( )()()()20cdaxGxFxxGxFaxxGxFxGFx一、達朗貝爾公式一、達朗貝爾公式 )()(),(atxGatxFtxu7.1 行波法行波法一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解一、達朗貝爾公式一、達朗貝爾公式 )()(),(atxGatxFtxu0011( )( )( )

5、 22211( )( )( ) 22211( , ) ()()( ) 22xxx atx atcF xxdacG xxdaxxatxatu x txatxatda 聯(lián)立和式，可得利用式關(guān)系，把 換成和，并且得，達朗貝爾公式達朗貝爾公式DAlembert7.1 行波法行波法一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解實際上，這里 )(21)()(21)(21)(21)(21)(21)()()()(),(00daatxatxdaatxdaatxatxGatxFGFtxuatxatxatxatx一、達朗貝爾公式一、達朗貝爾公式(11)( )D Alembert式稱為達朗貝爾（）公式。它就是無界弦

6、自由振動的定解問題的解。這種求解方法也稱達朗貝爾法。 atxatx7.1 行波法行波法一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解行波法解題要領(lǐng)行波法解題要領(lǐng) 行波法的提法來自于研究行進波。其解題要領(lǐng)為：行波法的提法來自于研究行進波。其解題要領(lǐng)為： （1 1）引入特征變換，把方程化為變量可積的形式，從）引入特征變換，把方程化為變量可積的形式，從而得到方程的通解；而得到方程的通解； （2 2）使用定解條件確定通解中的任意函數(shù)（對于常微）使用定解條件確定通解中的任意函數(shù)（對于常微分方程為常數(shù)），從而得到其特解。分方程為常數(shù)），從而得到其特解。 注意：由于偏微分方程求解較難，大部分偏微分方程注意

7、：由于偏微分方程求解較難，大部分偏微分方程的通解均不易獲得，使用定解條件確定其任意函數(shù)或的通解均不易獲得，使用定解條件確定其任意函數(shù)或常數(shù)也絕非易事，故行波法也有其較大的局限性。但常數(shù)也絕非易事，故行波法也有其較大的局限性。但是對于研究波動問題，行波法自有其獨特的優(yōu)點是對于研究波動問題，行波法自有其獨特的優(yōu)點( (實際實際上我們主要只使用它研究波動問題上我們主要只使用它研究波動問題) )。因此行波法是求。因此行波法是求解數(shù)學(xué)物理方程的基本的和主要的方法之一。解數(shù)學(xué)物理方程的基本的和主要的方法之一。四、關(guān)于達朗貝爾公式的應(yīng)用四、關(guān)于達朗貝爾公式的應(yīng)用20010, 0 1|cos , |1( )c

8、os ,( ),111( , )cos()cos()22 costtxxtttx atx atua u-x, t uxuexxxeu x txatxatdaeat 例：求解初值問題解：本例題為一維波動方程的標準形式，可以直接使用達朗貝爾公式求解。這里故由達朗貝爾公式得costxe貝爾公式直接求解。貝爾公式直接求解。問題，均可以使用達朗問題，均可以使用達朗夠化為這類夠化為這類的問題，或者變形后能的問題，或者變形后能中的定解問題中的定解問題故只要遇到形如故只要遇到形如，弦的自由振動問題的解弦的自由振動問題的解行波法推得的一維無界行波法推得的一維無界、達朗貝爾公式是根據(jù)、達朗貝爾公式是根據(jù))(1 .

9、 717.1 行波法行波法一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解四、關(guān)于達朗貝爾公式的應(yīng)用四、關(guān)于達朗貝爾公式的應(yīng)用)arctan()arctan(21 1121),(,11)(, 0)(11| , 0| 0 , 02222002atxatxadatxuxxxxuu, tx-uauatxatxtttxxtt故由達朗貝爾公式得這里公式求解。直接使用達朗貝爾方程的標準形式，可以解：本例題為一維波動問題：使用行波法求解定解例7.1 行波法行波法一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解四、關(guān)于達朗貝爾公式的應(yīng)用四、關(guān)于達朗貝爾公式的應(yīng)用)( )()(21)()(21 )( 21)()

10、(21 )( 21)()(21),(),( )(),()()( | ),(| 0 , 0:)( )(3002atxatxatxatxatxdatxatxdaaatxatxtxuxaxxxxauxu, tx-uauxaxatxatxatxatxtttxxtt故由達朗貝爾公式得公式求解。這里直接使用達朗貝爾方程的標準形式，可以解：本例題為一維波動下定解問題。該問題可以歸結(jié)為如初始速度為，題，設(shè)弦的初始位移為：求解弦的自由振動問例7.1 行波法行波法一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解7.2 行波法行波法強迫振動強迫振動強迫振動問題強迫振動問題0| , 0| 0 ),()(,)(| ),

11、(| 0 ),()(1002002tttxxtttttxxttuu, tx-txfuauuuuuuxuxu, tx-txfuau純純強強迫迫振振動動問問題題。，相相當(dāng)當(dāng)于于求求解解下下列列定定；對對其其解解由由達達朗朗貝貝爾爾公公式式確確代代表表自自由由振振動動，其其中中成成。其其解解可可以以分分為為兩兩部部分分組組（非非齊齊次次）定定解解問問題題、對對于于一一般般的的強強迫迫振振動動),(| , 0| 0 , 0);,(,);,(),(0| , 0| 0 ),()(020002xfvv, tx-vavtxvdtxvtxuuu, tx-txfuautttxxttttttxxtt滿足下列定解問題

12、而確定，即其解可以由沖量定理法對于純強迫振動問題：強迫振動問題強迫振動問題達朗貝爾公式直接求解7.2 行波法行波法強迫振動強迫振動)(| ),(| 0 ),()(002xuxu, tx-txfuautttxxtt次）定解問題一般的強迫振動（非齊u（達朗貝爾公式）（達朗貝爾公式）u()()0()()0()1( , )( , )2( )111( , ) ()()( )( , )222tx a tx a ttx atx a tx atx a tu x tfd dau x txatxatdfd daa 這樣就得到了純強迫振動問題 的解為純強迫振動問題的解。從而一般的強迫振動（非齊次）定解問題的解為：五

13、、強迫振動問題五、強迫振動問題7.2 行波法行波法強迫振動強迫振動行波法復(fù)習(xí)小結(jié)行波法復(fù)習(xí)小結(jié)1、一維無界弦自由振動的初值問題、一維無界弦自由振動的初值問題 2 ( ,0)( ),( ,0)( )ttxxtua uxu xxu xx 2、行波法解波動方程的基本思想與關(guān)鍵步驟：、行波法解波動方程的基本思想與關(guān)鍵步驟： 基本思想：基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確 定特解。定特解。 關(guān)鍵步驟：關(guān)鍵步驟：通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊 次二階偏微分方程。次二階偏微分方程。( , )0aau x

14、ttxtx算符分解算符分解xat xat 0),(2u1122( , ) ()()( )x atx atu x txatxatda 12( )( )uff 12( , )()()u x tfxatfxat變量代換變量代換通解通解代入初始條件代入初始條件0( )tux 0( )ttux 特解特解達朗貝爾公式達朗貝爾公式 ( , )0aau x ttxtx3、達朗貝爾解的物理意義、達朗貝爾解的物理意義a達朗貝爾公式表明，弦上任意擾動總是以行波的形式分別向左右兩個方向傳播出去，其傳播速度剛好等于弦振動方程中的常數(shù) ，兩列波的疊加給出了弦上任意時刻、任意位置的位移。正因為如此，本章所使用的方法叫做行波

15、法。4、行波法的應(yīng)用、行波法的應(yīng)用求解一維無界弦的求解一維無界弦的自由振動（齊次）自由振動（齊次）問題問題；（；（7.1）求解一維無界弦的求解一維無界弦的強迫振動（非齊次）強迫振動（非齊次）問題；問題；（7.2）基本思想：利用偏微分方程和定解條件的線性疊加性質(zhì)， 將定解問題分解為自由振動和純強迫振動兩部分。關(guān)鍵步驟：利用沖量原理法求解純強迫振動0| , 0| 0 ),()(| ),(| 0 0,)(| ),(| 0 ),(002002002tttxxtttttxxtttttxxttuu, tx-txfuauuxuxu, tx-uauuuuuuuxuxu, tx-txfuau：相當(dāng)于純強迫振動問

16、題代表自由振動，其中利用線性疊加性質(zhì)：非齊次）定解問題對于一般的強迫振動（),(| , 0| 0 , 0);,(,);,(),(0| , 0| 0 ),(020002xfvv, tx-vavtxvdtxvtxuuu, tx-txfuautttxxttttttxxtt滿足下列定解問題而，即可以由沖量定理法求解對于純強迫振動問題：達朗貝爾公式直接求解)(| ),(| 0 ),(002xuxu, tx-txfuautttxxtt次）定解問題一般的強迫振動（非齊u（達朗貝爾公式）（達朗貝爾公式）u()()0()()01( , )( , )2( )111( , ) ()()( )( , )222tx a

17、 tx a ttx atx a tx atx a tu x tfd dau x txatxatdfd daa 這樣就得到了純強迫振動問題的解為純強迫振動問題的解。從而一般的強迫振動（非齊次）定解問題的解為：4、行波法的應(yīng)用、行波法的應(yīng)用求解一維無界弦的求解一維無界弦的自由振動（齊次）自由振動（齊次）問題；問題； （7.17.1）求解一維無界弦的求解一維無界弦的強迫振動（非齊次）強迫振動（非齊次）問題；問題；（7.27.2） 求解半無界弦的自由振動問題求解半無界弦的自由振動問題端點的反射：端點的反射： 端點固定端點固定22222() (, )0au x ttx (0)x 0( )tux 0( )

18、ttux 邊界條件邊界條件00 xu 達朗貝爾公式是無限長弦的公式。由于自變量限制為達朗貝爾公式是無限長弦的公式。由于自變量限制為x 011( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda 當(dāng)當(dāng)tx/a時，上式后兩項無意義，必須將時，上式后兩項無意義，必須將 u(x,t) 延拓到這個范圍。延拓到這個范圍。初始條件初始條件定解問題定解問題討論：討論：2)(21)(21)(01Cdaxxfxx2)(21)(21)(02Cdaxxfxx)()(21atxfatxfu)0( x)0( x代入初始條件：代入初始條件：延拓方法：首先由泛定方程的通解入手：延拓方法：首先由泛定方程的通解入手：代入邊界條件：代入邊界條件：0)()(21atfatf令令atx 0)()(21xfxf)0( x)()(12xfxf)0( x奇延拓奇延拓)0()(xx)0()(xx)(x)0()(xx)0()(xx)(x)()(12xfxf)0( x所以做奇延拓：所以做奇延拓：(0, )0ut 由邊界條件：由邊界條件：taxtaxdaatxatxu)(21)()(21達朗貝爾解為：達朗貝爾解為：2)(21)(21)(01Cdaatxatxftaxx2)(21)(21)(02Cdaatxatxftaxx（1）x at, 即即