向量的線性相關性

1、線性代數(shù)下頁結束返回第七節(jié)第七節(jié) 向量組的線性相關與線性無關向量組的線性相關與線性無關 線性組合與線性表示線性組合與線性表示線性相關與線性無關線性相關與線性無關線性相關性判定定理線性相關性判定定理極大線性無關組的概念極大線性無關組的概念下頁線性代數(shù)下頁結束返回7.1 7.1 線性組合與線性表示線性組合與線性表示 例例1設設 a a1= =(1, 0, 0)，a a2= =(0, 1, 0)，a a3= =(0, 0, 1)， b b= =(2, - -1, 1)，則則b b= =(2, - -1, 1)是向量組是向量組a a1，a a2 ，a a3的線性組合的線性組合. .即即 b b= =(

2、2, - -1, 1)是向量組是向量組a a1，a a2 ，a a3的線性組合，也就是說的線性組合，也就是說b b可由可由a a1，a a2 ，a a3線性表示線性表示. . 因為因為 2a a1- -a a2 + + a a3= =2(1, 0, 0)- -(0, 1, 0)+ +(0, 0, 1) = =(2, - -1, 1)= b b ， 定義定義1 給定給定n維向量維向量b b，a a1，a a2， ，a am，如果存在一組數(shù)，如果存在一組數(shù)k1，k2， ，km，使，使 b b= =k1a a1+ +k2a a2+ + + + kma am，則稱向量則稱向量b b是向量組是向量組a

3、a1，a a2 ， ，a am的線性組合，或稱的線性組合，或稱b b可由向量可由向量組組a a1，a a2 ， ，a am線性表示線性表示. .下頁線性代數(shù)下頁結束返回 例例2任何一個任何一個n維向量維向量a a= =(a1, a2, , an)都是都是n維向量組維向量組 e1= =(1, 0, , 0)，e2= =(0, 1, , 0)， ，en= =(0, 0, , 1)的線性組合的線性組合. . 這是因為這是因為a a= =a1e1+ + a2e2+ + + + an en . .注：注：向量組向量組 e1，e2， ，en稱為稱為 n 維單位（或維單位（或基本基本）向量組）向量組. .下

4、頁7.1 7.1 線性組合與線性表示線性組合與線性表示 定義定義1 給定給定n維向量維向量b b，a a1，a a2， ，a am，如果存在一組數(shù)，如果存在一組數(shù)k1，k2， ，km，使，使 b b= =k1a a1+ +k2a a2+ + + + kma am，則稱向量則稱向量b b是向量組是向量組a a1，a a2 ， ，a am的線性組合，或稱的線性組合，或稱b b可由向量可由向量組組a a1，a a2 ， ，a am線性表示線性表示. .線性代數(shù)下頁結束返回 例例3零向量是任何一組向量的線性組合零向量是任何一組向量的線性組合. . 這是因為這是因為o=0 a a1+ + 0 a a2+

5、 + + + 0 a am . . 例例4向量組向量組a a1，a a2 ， ，a am中的任一向量中的任一向量a ai(1 i m)都是此都是此向量組的線性組合向量組的線性組合. . 這是因為這是因為a ai= =0 a a1+ + + + 1 a ai + + + + 0 a am . .下頁7.1 7.1 線性組合與線性表示線性組合與線性表示 定義定義1 給定給定n維向量維向量b b，a a1，a a2， ，a am，如果存在一組數(shù)，如果存在一組數(shù)k1，k2， ，km，使，使 b b= =k1a a1+ +k2a a2+ + + + kma am，則稱向量則稱向量b b是向量組是向量組a

6、 a1，a a2 ， ，a am的線性組合，或稱的線性組合，或稱b b可由向量可由向量組組a a1，a a2 ， ，a am線性表示線性表示. .線性代數(shù)下頁結束返回例例5線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示(向量方程向量方程)a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm=+-+下頁a11a21am1x1a12a22am2x2+xna1na2namn+ +b1b2bm =1122,nnxxxbaaa+=1122.nnxxxbaaa+=或或即即其中其中,12,1,2,.,;jjjmjaajnaa=12.mbbbb=線性代數(shù)下頁結束返回

7、 定義定義2 設有設有n維向量組維向量組a a1，a a2， ，a am，如果存在一組如果存在一組不全為零的數(shù)不全為零的數(shù) k1，k2， ，km，使使 k1a a1+ +k2a a2+ + + + kma am= =o 成立成立，則稱向量組則稱向量組a a1，a a2， ，a am線性相關線性相關，否則否則，即只有即只有當當k1，k2， ，km全為全為0時時 k1a a1+ +k2a a2+ + + + kma am= =o才成立才成立，則稱向量組則稱向量組a a1，a a2， ，a am線性無關線性無關. .下頁7.2 7.2 線性相關與線性無關線性相關與線性無關線性相關性判定方法線性相關性

8、判定方法 一般方法，用于一般方法，用于m 個個n維向量組的情形維向量組的情形. 一般可通過定義、一般可通過定義、判判定定理及定定理及后面向量組的秩后面向量組的秩等內容進行判定，特別當利用定義時可等內容進行判定，特別當利用定義時可使用觀察法使用觀察法. 特殊方法，用于特殊方法，用于n 個個n維向量組的情形維向量組的情形. 可通過行列式判定可通過行列式判定.線性代數(shù)下頁結束返回例例6.6. 討論下列向量組的線性相關性討論下列向量組的線性相關性. .123102124,113135 = 解解: : 對于向量組，顯然有對于向量組，顯然有 12321( 1), o+ -=即存在一組不全為零的數(shù)即存在一組

9、不全為零的數(shù) 練習：練習：討論下列向量組的線性討論下列向量組的線性 相關性，其中：相關性，其中：下頁3122,=+整理得整理得1232,1,1,kkk= -使得使得112233,kkko+=所以向量組所以向量組a a1 1, , a a2 2, , a a3 3, ,線性相關線性相關. .12341026,.0126 = 一般方法（舉例）一般方法（舉例）線性代數(shù)下頁結束返回 對于對于n個個n維向量組成的向量組維向量組成的向量組a a1，a a2， ，a an，設有一組數(shù)設有一組數(shù) k1，k2， ，kn，使使 k1a a1+ +k2a a2+ + + + kna an= =o 成立成立 . 由向

10、量的運算性質可得由向量的運算性質可得 k1a a1+ +k2a a2+ + + +kn a an=o，即即1112112222121200.0nnnnnnnaaaaaakkkaaa += 從而得向量組從而得向量組a a1，a a2， ，a an，線性無關線性無關(相關相關)的充分必要條件是的充分必要條件是:11 1212112 122221122000nnnnnnnnna ka ka ka ka ka ka ka ka k+=+=+=下頁特殊方法（推導）特殊方法（推導）112112122212( )0.nnnnnnaaaaaaDaaa= =線性代數(shù)下頁結束返回設有一組數(shù)設有一組數(shù)k1，k2，

11、，kn，使使 k1a a1+ +k2a a2+ + + + kna an= =o 成立成立. . (1)通過向量的線性運算通過向量的線性運算, ,將將(1)式化為如下齊次方程組式化為如下齊次方程組(2)11 1212112 122221122000nnnnnnnnna ka ka ka ka ka ka ka ka k+=+=+=下頁特殊方法（解題步驟）特殊方法（解題步驟）判斷上面關于判斷上面關于k1, k2, , kn方程組方程組(2)(2)有無有無非零解非零解?若方程組若方程組(2)(2)有非零解有非零解，則則a a1,a a2, ,a an線性相關；否則線性相關；否則, ,線性無關線性無

12、關. .1121121222120?nnnnnnaaaaaaDaaa=即行列式即行列式1112112222121200.0nnnnnnnaaaaaakkkaaa += 或或核心問題核心問題！線性代數(shù)下頁結束返回例例7 7. . 證明下列單位向量組線性無關證明下列單位向量組線性無關. .123410000100,00100001 = 11223344,kkkko+=即即 從而得從而得 即只有當即只有當k1= =k2= =k3= =k4=0=0時，上時，上 式才成立，所以向量組式才成立，所以向量組a a1 1, , a a2 2, , a a3 3, , a a4 4, ,線性無關線性無關. .下

13、頁特殊方法（舉例）特殊方法（舉例）證證: : 對于向量組對于向量組a a1 1, , a a2 2, , a a3 3, , a a4 4, ,設有設有一組數(shù)一組數(shù)k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立使得下式成立12341000001000,0010000010kkkk += 亦即亦即1122334400000000,00000000kkkkkkkk += 123400,00kkkk = 線性代數(shù)下頁結束返回例例8 8. . 討論下列向量組的線性相關性討論下列向量組的線性相關性. .123410321214,11032317 - = - - 11223344,kkkko+=即方程組即方程組

14、因該方程組的系數(shù)行列式因該方程組的系數(shù)行列式103212140,11032317-=- 所以，線性方程組有非零解所以，線性方程組有非零解， 從而從而，向量組向量組a a1 1, , a a2 2, , a a3 3, , a a4 4, ,線性線性 相關相關. .下頁特殊方法（舉例）特殊方法（舉例） 解解: : 對于向量組對于向量組a a1 1, , a a2 2, , a a3 3, , a a4 4, ,設有一組數(shù)設有一組數(shù)k1,k2 ,k3,k4,使得使得12341032012140,1103023170kkkk - += - - 亦即方程組亦即方程組12341032012140.110

15、3023170kkkk - += - - 解題要點：解題要點：找向量方程的找向量方程的非零解非零解.線性代數(shù)下頁結束返回 例例9設向量組設向量組a a1，a a2，a a3線性無關線性無關，令令 b b1= =a a1+ +a a2，b b2= =a a2+ +a a3，b b3= =a a3+ +a a1 . .試證向量組試證向量組b b1，b b2，b b3也線性無關也線性無關. . 證明證明：設有一組數(shù)設有一組數(shù)k1 ,k2 ,k3 ,使使 k1b b1+ + k2b b2+ +k3 b b3 = =o，即即 k1(a a1+ +a a2)+ + k2(a a2+ +a a3)+ +k3

16、 (a a3+ +a a1)= =o，整理得整理得 (k1+ +k3)a a1+ +(k1+ +k2)a a2+ +(k2+ +k3)a a3= =o . . 因為向量組因為向量組a a1，a a2，a a3線性無關線性無關，所以必有所以必有，k1k1k1x2k2k2k3x3k3000=+ 1 1 0 0 1 1 1 0 1由于由于=20，從而從而b b1，b b2，b b3線性無關線性無關.所以方程組只有零解所以方程組只有零解 k1=k2=k3=0 ，下頁即代數(shù)方程組只有零解： k1=k2=k3=0.亦即向量方程只有零解： k1=k2=k3=0.線性代數(shù)下頁結束返回討論：討論： 3. 3.僅

17、有兩個向量構成的向量組，線性相關的條件僅有兩個向量構成的向量組，線性相關的條件. . 1. 1.含有零向量的向量組是否線性相關含有零向量的向量組是否線性相關. . 2. 2.僅有一個向量構成的向量組，線性相關的條件僅有一個向量構成的向量組，線性相關的條件. .結論：結論：1.1.含有零向量的向量組一定線性相關含有零向量的向量組一定線性相關. . 2. 2.僅有一個向量構成的向量組，線性相關當且僅當該僅有一個向量構成的向量組，線性相關當且僅當該向量為零向量向量為零向量. . 3. 3.僅有兩個向量構成的向量組，線性相關當且僅當這僅有兩個向量構成的向量組，線性相關當且僅當這兩個向量的分量對應成比例

18、兩個向量的分量對應成比例. . 4. 4.單位向量組單位向量組e e1 1，e e2 2， ，e en n是否線性相關？是否線性相關？4.4.單位向量組單位向量組e e1 1，e e2 2， ，e en n線性無關線性無關. .下頁線性代數(shù)下頁結束返回 定理定理1 1 向量組向量組a a1，a a2， ，a am線性相關的充要條件是：向線性相關的充要條件是：向量組中至少有一個向量可以由其余向量線性表示量組中至少有一個向量可以由其余向量線性表示. 定理定理3 3 如果向量組中有一部分向量如果向量組中有一部分向量(稱為部分組稱為部分組)線性相關線性相關,則整個向量組線性相關則整個向量組線性相關.

19、定理定理2 2 設向量組設向量組 a a1，a a2， ，a am ，b b 線性相關線性相關，而而a a1，a a2， ，a am線性無關線性無關，則則b b 可可由由a a1，a a2， ，a am線性表示，線性表示，且表示式是唯一的且表示式是唯一的. 定理定理5 5 若向量組若向量組 a ai=(a ai i1 1, a ai i2, ,a ai in) (i=1,2,m)線性無關，線性無關，則向量組則向量組 b b i=(a ai i1 1, a ai i2, ,a ai in , a ai in+1 ) (i=1,2,m)也線性無關也線性無關. .下頁7.3 7.3 線性相關性判定定

20、理線性相關性判定定理 定理定理4 4 由由n個個n維向量組成的向量組，其線性無關的充分維向量組成的向量組，其線性無關的充分必要條件是矩陣必要條件是矩陣A=(a a1 1, , a a2 2, ., .,a an, ,) 可逆可逆.線性代數(shù)下頁結束返回 證明：證明：必要性必要性. 因為因為a a1，a a2， ，a am線性相關線性相關, 故存在故存在不全為零的數(shù)不全為零的數(shù)l l1，l l2， ， l lm，使使 l l1a a1+ +l l2a a2+ + + + l lma am= =o . . 不妨設不妨設l l1 0，于是于是 mm)()()(13132121llllll-+ +-+-

21、=， 即即a a1為為a a2，a a3， ，a am的線性組合的線性組合. . 充分性充分性. 不妨設不妨設a a1可由其余向量線性表示可由其余向量線性表示, 即即 a a1= =l l2a a2+ +l l3a a3+ + + + l lma am，則存在不全為零的數(shù)則存在不全為零的數(shù)- -1，l l2，l l3， ， l lm，使使 (- -1)a a1+ +l l2a a2+ +l l3a a3+ + + + l lma am= =o ，即即a a1，a a2， ，a am線性相關線性相關.下頁 定理定理1 1 向量組向量組a a1，a a2， ，a am線性相關的充要條件是：向線性相

22、關的充要條件是：向量組中至少有一個向量可以由其余向量線性表示量組中至少有一個向量可以由其余向量線性表示.線性代數(shù)下頁結束返回 先證明先證明b b可由向量組可由向量組a a1，a a2， ，a am線性表示線性表示. . 因為向量組因為向量組a a1，a a2， ，a am，b b線性相關，因而存在一線性相關，因而存在一組不全為零的數(shù)組不全為零的數(shù)l l1，l l2， ， l lm及及l(fā) l，使使 l l1a a1+ +l l2a a2+ + + + l lma am+ + lblb= =o ，這里必有這里必有l(wèi) l 0，否則，上式成為否則，上式成為 l l1a a1+ +l l2a a2+ +

23、 + + l lma am= =o ， 且且l l1，l l2， ，l lm不全為零，這與線性無關矛盾不全為零，這與線性無關矛盾.因此因此l l 0 . .故 mm)()()(2211llllll-+ +-+-=， 即即b b可由向量組可由向量組a a1，a a2， ，a am線性表示線性表示. .證明：證明：下頁 定理定理2 2 設向量組設向量組 a a1，a a2， ，a am ，b b 線性相關線性相關，而而a a1，a a2， ，a am線性無關線性無關，則則b b 可可由由a a1，a a2， ，a am線性表示，線性表示，且表示式是唯一的且表示式是唯一的.線性代數(shù)下頁結束返回再證表

24、示法唯一再證表示法唯一. . 設設b b可表示成以下兩種形式，可表示成以下兩種形式， b b = =l l1a a1+ +l l2a a2+ + + + l lma am， 及及 b b= =m m1a a1+ +m m2a a2+ + + + m mma am，兩式相減得兩式相減得 (l l1- -m m1)a a1+ +(l l2- -m m2)a a2+ + + + (l lm- -m mm)a am = =o ，由由a a1，a a2， ，a am線性無關可知線性無關可知 l l1- -m m1= =l l2- -m m2= = = =l lm- -m mm= =0，從而從而 l l1

25、= =m m1，l l2= =m m2， ，l lm= =m mm，所以表示法是唯一的所以表示法是唯一的.下頁 定理定理2 2 設向量組設向量組 a a1，a a2， ，a am ，b b 線性相關線性相關，而而a a1，a a2， ，a am線性無關線性無關，則則b b 可可由由a a1，a a2， ，a am線性表示，線性表示，且表示式是唯一的且表示式是唯一的.證明：證明：線性代數(shù)下頁結束返回 設向量組設向量組a a1，a a2， ，a am中有中有r個向量的部分組個向量的部分組 線性相關線性相關，不妨設不妨設a a1，a a2， ，a ar線性相關，則存在一組線性相關，則存在一組 不全為

26、零的數(shù)不全為零的數(shù)l l1，l l2， ， l lr使使 l l1a a1+ +l l2a a2+ + + + l lra ar= =o， 因而存在一組不全為零的數(shù)因而存在一組不全為零的數(shù) l l1，l l2， ，l lr，0，0， ，0使使 l l1a a1+ +l l2a a2+ + + + l lra ar + +0 a ar+ +1+ + + + 0 a am= =o，即即a a1，a a2， ，a am線性相關線性相關.證明：證明：下頁 定理定理3 3 如果向量組中有一部分向量如果向量組中有一部分向量(稱為部分組稱為部分組)線性相關線性相關,則整個向量組線性相關則整個向量組線性相關.

27、 定理定理4 4 由由n個個n維向量組成的向量組，其線性無關的充分維向量組成的向量組，其線性無關的充分必要條件是矩陣必要條件是矩陣A=(a a1 1, , a a2 2, ., .,a an, ,) 可逆可逆. 證明：證明：略略.線性代數(shù)下頁結束返回證明：證明：（反證反證） 若向量組若向量組 b b1, b b2, b bm線性相關線性相關，則存在一組不全為零的數(shù)則存在一組不全為零的數(shù)k1, k2, km ,使得使得 k1 b b1 +k2 b b2 +km b bm=o （1 1）即即（2 2）顯然顯然，方程方程(2)的前的前 n 行就是行就是 k1a a1 +k2a a2 +kma am=

28、o ，從而得從而得，a a1 ，a a2 ，a am線性相關，矛盾線性相關，矛盾.證畢證畢.下頁+11112111nnaaaak+12222212nnaaaak+121mnmnmmmaaaak=0000 定理定理5 5 若向量組若向量組 a ai=(a ai i1 1, a ai i2, ,a ai in) (i=1,2,m)線性無關，線性無關，則向量組則向量組 b b i=(a ai i1 1, a ai i2, ,a ai in , a ai in+1 ) (i=1,2,m)也線性無關也線性無關. .線性代數(shù)下頁結束返回例例10. 討論下列向量組的線性相關性討論下列向量組的線性相關性(要求

29、用要求用“觀察法觀察法”).)3 ,2, 1 (1=a)6 ,4,2(,2=a)9 ,8 ,7(,3=a(1)下頁(2)=680011b=33010,2b=33100,3b解：解：對于對于(1)組，顯然有組，顯然有31202aaa+=,由定理由定理1知知(1)組相關組相關. (2)組中每一個向量的前組中每一個向量的前3個分量構成無關組，由定理個分量構成無關組，由定理5知知(2)組無關組無關.線性代數(shù)下頁結束返回練習題練習題 一、填空題：一、填空題：在向量組在向量組a a1 ,a a2 , a ar中，如果有部分向量線中，如果有部分向量線性相關，則向量組必（性相關，則向量組必（ ）二、多選題：二

30、、多選題：下列命題中正確的有（下列命題中正確的有（ ） 非零向量組成的向量組一定線性無關非零向量組成的向量組一定線性無關 含零向量的向量組一定線性相關含零向量的向量組一定線性相關 由一個零向量組成的向量組一定線性無關由一個零向量組成的向量組一定線性無關 由零向量組成的向量組一定線性相關由零向量組成的向量組一定線性相關 線性相關的向量組一定含有零向量線性相關的向量組一定含有零向量三、分析判斷題三、分析判斷題 ：若若a a1不能被不能被a a2 ,a a3 , a ar 線性表示，線性表示，則向量則向量a a1 , a a2 ,a a3 , a ar線性無關（線性無關（）四、證明題：四、證明題：設

31、設b b可由設可由設a a1 ,a a2 , a ar線性表示，但不能線性表示，但不能由由a a1 ,a a2 , a ar-1線性表示，證明線性表示，證明a ar可由可由a a1 ,a a2 , a ar-1 ,b b線性表示線性表示下頁線性代數(shù)下頁結束返回等價向量組等價向量組定義定義3 3 設有兩個向量組設有兩個向量組(I)12,ra aa(II)sbbb,21 如果如果(I)(I)中每一個向量都可由向量組中每一個向量都可由向量組(II)(II)線性表示，則稱線性表示，則稱(I)(I)可由可由(II)(II)線性表示；如果向量線性表示；如果向量(I)(I)與向量組與向量組(II)(II)可

32、以相互線性表示，則稱可以相互線性表示，則稱向量組向量組(I)(I)與向量組與向量組(II)(II)等價等價. .例例11.11. (I) a a=(1, 0) , , a a 2=(0, 1)(II) b b=(1, ) , b b 2=(, -1), b b 3=(, 5)兩組等價兩組等價.因為因為,321102121bbba+=321202121,bbba+-=b b=a aa a所以所以(I)(I)和和(II)(II)可以相互線性表示，可以相互線性表示，, b b 2=a aa a, b b 3=a aa a,即向量組即向量組(I)(I)與向量組與向量組(II)(II)等價等價. .下頁

33、7.4 7.4 極大線性無關組極大線性無關組線性代數(shù)下頁結束返回等價向量組的性質等價向量組的性質（1 1）自反性：向量組與其自身等價；）自反性：向量組與其自身等價；（2 2）對稱性：若向量組）對稱性：若向量組(I)(I)等價于等價于(II)(II)，則向量組，則向量組(II)(II)等價于等價于(I)(I)；（3 3）傳遞性：若向量組）傳遞性：若向量組(I)(I)等價于等價于(II) (II) ，向量組，向量組(II)(II)等價于等價于(III)(III)，則向量組則向量組(I)(I)等價于等價于(III).(III). 引例引例. 向量組向量組a a=(1,1,1), a a2=(0,2,

34、5), a a3=(1,3,6), 等價于其部分向等價于其部分向量組量組a a a a2 . 事實上，事實上，a a，a a，a a3中的每一個向量可由中的每一個向量可由a a，a a線性表示線性表示,即即1122123120,0,.=+=+=+而而 a a，a a中的每一個向量可由中的每一個向量可由a，a，a3線性表示，即線性表示，即1123212300,00.=+=+下頁向量組的極大無關組向量組的極大無關組線性代數(shù)下頁結束返回 例例12在向量組在向量組a a1= =(0, 1)，a a2= =(1, 0)，a a3= =(1, 1)，a a4= =(0, 2)中中，向量組向量組a a1= =(0, 1)， a a2= =(1, 0)線性無關線性無關，且有且有 同樣同樣a a2，a a4也是一個極大無關組也是一個極大無關組. .所以所以a a1，a a2是向量組是向量組a a1，a a2，a a3，a a4的一個極大無關組的一個極大無關組. a a4= =(0, 2)= =2(0, 1)= =2a a1 1+0+0a a2，a a3= =(1, 1)= =(0, 1)+ +(1, 0)= =a a1+ +a a2， 定義定義4 如果向量組如果向量組a a1，a a2 , ,am的一個部分向量向量組的一個部分向量向量組 a a