探索勾股定理

1、一棵奇妙的樹一棵奇妙的樹也許有人會問：也許有人會問：“它與勾股定理有什么關(guān)系嗎？它與勾股定理有什么關(guān)系嗎？”仔細看看，你會發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹干和樹枝上，整棵樹仔細看看，你會發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹干和樹枝上，整棵樹都是由下方的這個基本圖形組成的：都是由下方的這個基本圖形組成的：一個直角三角形一個直角三角形以及分別以它的每邊為一邊向外所作的正方形以及分別以它的每邊為一邊向外所作的正方形 圖形有什么作用呢？不要小看它哦！它體現(xiàn)了一圖形有什么作用呢？不要小看它哦！它體現(xiàn)了一個古老的定理個古老的定理勾股定理勾股定理 ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖圖1-1圖1-2（

2、1）觀察圖）觀察圖1-1 正方形正方形A中含有中含有 個個小方格，即小方格，即A的面積是的面積是 個單位面積。個單位面積。 正方形正方形B的面積是的面積是 個單位面積。個單位面積。正方形正方形C的面積是的面積是 個單位面積。個單位面積。99918你是怎樣得到上面的結(jié)你是怎樣得到上面的結(jié)果的？與同伴交流交流。果的？與同伴交流交流。123（2）（3）ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖圖1-1圖1-2cS正方形143 3182 分割成若干個直角邊分割成若干個直角邊為整數(shù)的三角形為整數(shù)的三角形（單位面積）（單位面積）ABCABC（圖中每個小方格代表一個單

3、位面積）（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖圖1-1圖1-2cS正方形216218（單位面積）（單位面積）把把C看成邊長為看成邊長為6的的正方形面積的一半正方形面積的一半ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖圖1-1圖1-2（2）在圖）在圖1-2中，正中，正方形方形A，B，C中各含中各含有多少個小方格？它有多少個小方格？它們的面積各是多少？們的面積各是多少？（3）你能發(fā)現(xiàn)圖）你能發(fā)現(xiàn)圖1-1中三個正方形中三個正方形A，B，C的面積之間有什么的面積之間有什么關(guān)系嗎？關(guān)系嗎？ SA+SB=SC 即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于即：兩條直角邊上的正方形

4、面積之和等于 斜邊上的正方形的面積斜邊上的正方形的面積ABC圖圖1-3ABC圖圖1-4（1）觀察圖）觀察圖1-3、圖、圖1-4，并填寫下表：并填寫下表： A的面積的面積（單位面積）（單位面積） B的面積的面積（單位面積）（單位面積） C的面積的面積（單位面積）（單位面積）圖圖1-3圖圖1-4169254913你是怎樣得你是怎樣得到表中的結(jié)到表中的結(jié)果的？與同果的？與同伴交流交流。伴交流交流。做一做做一做幻燈片 9ABC圖圖1-3ABC圖圖1-4分割成若干個直角邊為分割成若干個直角邊為整數(shù)的三角形整數(shù)的三角形cS正方形25144 3 12 （面積單位）（面積單位）幻燈片 7ABC圖圖1-3ABC

5、圖圖1-4（2）三個）三個正方形正方形A，B，C的面的面積之間有什積之間有什么關(guān)系？么關(guān)系？SA+SB=SC即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于 斜邊上的正方形的面積斜邊上的正方形的面積幻燈片 7ABC圖圖1-3ABC圖圖1-4（1）你能用三）你能用三角形的邊長表示角形的邊長表示正方形的面積嗎？正方形的面積嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊直角三角形三邊長度之間存在什長度之間存在什么關(guān)系嗎？與同么關(guān)系嗎？與同伴進行交流。伴進行交流。（3）分別以）分別以5厘米、厘米、12厘米為直角邊作出一厘米為直角邊作出一個直角三角形，并測量斜邊的長度。（個直角三角形

6、，并測量斜邊的長度。（2）中）中的規(guī)律對這個三角形仍然成立嗎？的規(guī)律對這個三角形仍然成立嗎？議一議議一議勾勾股股勾勾股股弦弦 我國早在三千多年就知道了這個定理我國早在三千多年就知道了這個定理, ,人們?nèi)藗儼褟澢芍苯堑氖直鄣纳习氩糠址Q為把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾勾”，下，下半部分稱為半部分稱為“股股”，我國古代學(xué)者把直角三角形，我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為較短的直角邊稱為“勾勾”，較長的直角邊稱為，較長的直角邊稱為“股股”，斜邊稱為，斜邊稱為“弦弦”. .因此就把這一定理稱因此就把這一定理稱為勾股定理為勾股定理. .輝煌發(fā)現(xiàn)輝煌發(fā)現(xiàn) 勾股定理勾股定理直角三角形兩直角邊的平

7、方和等于斜邊的平方。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。222abcabc勾勾股股弦弦在西方又稱畢達在西方又稱畢達哥拉斯定理耶！哥拉斯定理耶！如果用如果用a、b和和c，分別表示直角三角形的直角，分別表示直角三角形的直角邊和斜邊，那么邊和斜邊，那么cabcabcabcab c2=b2-2ab+a2+ 2ab =a2+b2a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 ；也可以表示為也可以表示為c2 該圖2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)示意圖，取材于我國古代數(shù)學(xué)著作勾股圓方圖。abab214)(2證明證明1：abab214)(2勾股定理的驗證勾股定理的驗證ca

8、bcabcabcab (a+b)2 = a2+2ab+b2 = 2ab +c2a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 ；也可以表示為也可以表示為(a+b)224abC2證明證明2：24abC2勾股定理的驗證勾股定理的驗證1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時美國俄亥俄州共中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，和黨議員伽菲爾德他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談

9、論著什么，時而大聲爭論，時而小有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁矗瑫r而大聲爭論，時而小聲探討由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清聲探討由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在楚兩個小孩到底在干什么只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形于是伽菲爾德便問他們在干什么？只地上畫著一個直角三角形于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為條直角邊分別為3和和4，那么斜邊長為多少呢？，那么斜邊長為多少呢？

10、”伽菲爾德答到：伽菲爾德答到：“是是5呀呀”小男孩又問道：小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為如果兩條直角邊分別為5和和7，那么，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答伽菲爾德不加思索地回答到：到：“那斜邊的平方一定等于那斜邊的平方一定等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方”小男孩又小男孩又說道：說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時無語，伽菲爾德一時無語，無法解釋了，心理很不是滋味無法解釋了，心理很不是滋味 于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探

11、討小男孩給他留下的難題他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，下的難題他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法并給出了簡潔的證明方法美國第二十任美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)證法總統(tǒng)證法aabbccADCBE勾股定理的驗證勾股定理的驗證基礎(chǔ)鞏固練習(xí)：基礎(chǔ)鞏固練習(xí)：已知直角三角形兩邊，求第三邊已知直角三角形兩邊，求第三邊.1 1 求下列圖中表示邊的未知數(shù)求下列圖中表示邊的未知數(shù)x x、y y、z z的值的值. .z z3548181144144X 2 直角三角形的兩直角邊為直角三角形的兩直角邊為5、12，則三角形，則三角形 的周長為的周長為 . 3

12、 在在ABC中中,C=90,如果如果c=10, a=6， 那么那么ABC的面積是的面積是 .3024y y16914414422525基礎(chǔ)鞏固練習(xí)：基礎(chǔ)鞏固練習(xí)：簡單應(yīng)用簡單應(yīng)用 例例 1 如圖所示，一棵大樹在一次強烈如圖所示，一棵大樹在一次強烈臺風(fēng)中于離地面臺風(fēng)中于離地面10米處折斷倒下，樹頂米處折斷倒下，樹頂落在離樹根落在離樹根24米處米處. 大樹在折斷之前高多大樹在折斷之前高多少米？少米？ 2 2、如圖，為得到池塘兩岸、如圖，為得到池塘兩岸A A點和點和B B點間的距離，點間的距離， 觀測者在觀測者在C C點設(shè)樁，使點設(shè)樁，使ABCABC為直角三角形，并測得為直角三角形，并測得 AC AC為為100100米，米，BCBC為為8080米米. .求求A A、B B兩點間的距離是多少？兩點間的距離是多少？ABC解：如圖，根據(jù)題意得解：如圖，根據(jù)題意得t ABC中，中，90AC=100米米, BC=80米米 由勾股定理得由勾股定理得:AB+BC =ACAB2 =AC2BC2 =1002 802=602 AB=60（米）（米）答答:A、B兩點間的距離是兩點間的距離是60米米.3 3、如圖，將長為、如圖，將長為1010米的梯子米的梯子ACAC斜靠斜靠 在墻上，在墻上，BCBC長為長為6 6米。米。 （1）求梯子上端）求梯子上端A到墻到墻的底端的底端B的距離的距離AB。（2）若梯子