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文檔簡介
1、第九章第九章 排隊論排隊論 Queuing Theory排隊論(Queuing TheoryQueuing Theory),又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論(Random Service System Theory),是一門研究擁擠現(xiàn)象(排隊、等待)的科學(xué)。具體地說,它是在研究各種排隊系統(tǒng)概率規(guī)律性的基礎(chǔ)上,解決相應(yīng)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計和最優(yōu)控制問題。主要內(nèi)容:1、排隊論的基本概念 排隊系統(tǒng)的3個部分、模型表示、數(shù)量指標(biāo)2、單服務(wù)臺排隊模型(負(fù)指數(shù)分布) 標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1或M/M/1/ 系統(tǒng)容量有限制的情形 M/M/1/N/ 顧客源為有限的情形 M/M/1/m 3、多服務(wù)臺排隊模型(負(fù)指數(shù)分布) 標(biāo)準(zhǔn)的 M
2、/M/c或M/M/c/ 重點、難點背景:日常生活中存在大量有形和無形的排隊或擁擠現(xiàn)象,如旅客購票排隊,市內(nèi)電話占線等現(xiàn)象, 電話局的占線問題,車站、碼頭等交通樞紐的堵塞和疏導(dǎo),故障機(jī)器的停機(jī)待修,水庫的存貯調(diào)節(jié)等都是有形或無形的排隊現(xiàn)象。由于顧客到達(dá)和服務(wù)時間的隨機(jī)性,可以說排隊現(xiàn)象幾乎是不可避免的。隨著排隊問題而產(chǎn)生的就是擁擠現(xiàn)象。- 造成整個社會效率的損失。 如何避免或減少排隊時間?人們總是希望盡量設(shè)法減少排隊,通常的做法是增加服務(wù)設(shè)施。但是增加的數(shù)量越多,人力、物力的支出就越大,甚至?xí)霈F(xiàn)空閑浪費,如果服務(wù)設(shè)施太少,顧客排隊等待的時間就會很長,這樣對顧客會帶來不良影響。于是,顧客排隊時間
3、的長短與服務(wù)設(shè)施規(guī)模的大小,就構(gòu)成了設(shè)計隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的一對矛盾。排隊論提供了既保證一定的服務(wù)質(zhì)量,又使服務(wù)設(shè)施費用經(jīng)濟(jì)合理的方法。排隊論研究的問題排隊論研究的問題排 隊 論 是 1 9 0 9 年 由 丹 麥 工 程 師 愛 爾 朗(A.K.Erlang)在研究電話系統(tǒng)時創(chuàng)立的。幾十年來排隊論的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛,理論也日臻完善。特別是自二十世紀(jì)60年代以來,由于計算機(jī)的飛速發(fā)展,更為排隊論的應(yīng)用開拓了寬闊的前景。排隊論的創(chuàng)立和發(fā)展排隊論的創(chuàng)立和發(fā)展9.1 排隊論的基本概念9.1.1 排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的例子顧客顧客要求的服務(wù)要求的服務(wù)服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)1借書的學(xué)生借書的學(xué)生2打電話打電話
4、3提貨者提貨者4待降落的飛行器待降落的飛行器5儲戶儲戶6河水進(jìn)入水庫河水進(jìn)入水庫7購票旅客購票旅客8十字路口的汽車十字路口的汽車9.不能運轉(zhuǎn)的機(jī)器不能運轉(zhuǎn)的機(jī)器10.來到路口的汽車來到路口的汽車借書借書通話通話提貨提貨降落降落存款、取款存款、取款放水、調(diào)整水位放水、調(diào)整水位購票購票通過路口通過路口修理修理通過路口通過路口圖書管理員圖書管理員交換臺交換臺倉庫管理員倉庫管理員指揮塔臺指揮塔臺儲蓄窗口、儲蓄窗口、ATMD取款機(jī)取款機(jī)水庫管理員水庫管理員售票窗口售票窗口紅綠燈或交警紅綠燈或交警修理技工修理技工交通管理員或紅綠燈交通管理員或紅綠燈排隊過程可表示為:根據(jù)服務(wù)臺的數(shù)量及排隊方式,排隊系統(tǒng)可以
5、分為 (1)單服務(wù)臺單隊(2)多服務(wù)臺單隊圖9-2單服務(wù)臺單隊系統(tǒng) 顧客到達(dá)進(jìn)入隊列服務(wù)臺接受服務(wù)顧客離去顧客到達(dá)服務(wù)臺顧客離去服務(wù)臺服務(wù)臺圖9-3 多服務(wù)臺單隊系統(tǒng)銀行銀行、(3)多隊多服務(wù)臺(4)多服務(wù)臺串聯(lián)服務(wù) 圖9-4 多服務(wù)臺多隊系統(tǒng)圖9-5 多服務(wù)臺串聯(lián)系統(tǒng)顧客到達(dá)服務(wù)臺顧客離去服務(wù)臺服務(wù)臺顧客到達(dá)服務(wù)臺顧客離去服務(wù)臺超市結(jié)賬、學(xué)校餐廳就餐.醫(yī)院體檢.9.1.2 排隊系統(tǒng)的基本組成排隊系統(tǒng)由輸入過程、排隊規(guī)則和服務(wù)臺三個部分組成 這是指要求服務(wù)的顧客按怎樣的規(guī)律到達(dá)排隊系統(tǒng)的過程,有時也稱之為顧客流。(1)顧客總體數(shù),又稱顧客源、輸入源。顧客源可以是有限的,也可以是無限的。(2)顧
6、客到達(dá)的形式。這是描述顧客是怎樣來到系統(tǒng)的,是單個到達(dá),還是成批到達(dá)。(3)顧客流的概率分布,或稱顧客相繼到達(dá)的時間間隔分布。這是首先需要確定的指標(biāo)。(4)顧客的到達(dá)可以是相互獨立的,1.輸入過程(1)先到先服務(wù)(FCFS,F(xiàn)irst Come First Serve);(2)后到先服務(wù)(LCFS,Last Come First Serve);(倉庫中疊放 的鋼材)(3)有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)(PR,Priority)(4)隨機(jī)服務(wù)(SIRO,Service in Random Order)2.排隊規(guī)則(1)等待制 指顧客到達(dá)系統(tǒng)后,所有服務(wù)臺都不空,顧客加入排隊行列等待服務(wù),一直等到服務(wù)完畢以后才離
7、去 ;(排隊等候售票、故障設(shè)備等待維修)(2)損失制 指當(dāng)顧客到達(dá)系統(tǒng)時,所有服務(wù)臺都已被占用,顧客不愿等待而離開系統(tǒng)。(例如停車場) 服務(wù)臺在選擇顧客進(jìn)行服務(wù)時,常有如下4種規(guī)則:(3)混合制 這是等待制與損失制相結(jié)合的一種服務(wù)規(guī)則,一般是指允許排隊,但又不允許隊列無限長下去。大體有以下三種: 隊長有限。當(dāng)?shù)却?wù)的顧客人數(shù)超過規(guī)定數(shù)量時,后來的顧客就自動離去,另求服務(wù),即系統(tǒng)的等待空間是有限的。 等待時間有限。即顧客在系統(tǒng)中的等待時間不超過某一給定的長度T,當(dāng)?shù)却龝r間超過時間T時,顧客將自動離去,并不再回來。 逗留時間(等待時間與服務(wù)時間之和)有限。(1) 服務(wù)臺數(shù)量及構(gòu)成形式 從數(shù)量上說
8、,服務(wù)臺有單臺和多臺之分。從構(gòu)成形式上看,有單隊單服務(wù)臺式、單隊多服務(wù)臺并聯(lián)式、多隊多服務(wù)臺并聯(lián)式、單隊多服務(wù)臺串聯(lián)式等等,如圖9-2到9-5所示;(2) 服務(wù)方式 指在某一時刻接受服務(wù)的顧客數(shù),有單個服務(wù)和成批服務(wù)兩種;(我們只考慮單個服務(wù))(3) 服務(wù)時間的分布在多數(shù)情況下,對某一個顧客的服務(wù)時間是一隨機(jī)變量,與顧客到達(dá)的時間間隔分布一樣,服務(wù)時間的分布有定長分布、負(fù)指數(shù)分布、愛爾朗分布等等。3.服務(wù)臺服務(wù)臺可以從以下三個方面來描述:1.排隊系統(tǒng)的符號根據(jù)不同的 輸入過程、排隊規(guī)則和服務(wù)臺數(shù)量,可以形成不同的排隊模型。一個排隊系統(tǒng)的特征可以用六個參數(shù)表示,形式為:XYZ:ABC 或 X/Y
9、/Z/A/B/C其中X 顧客到達(dá)的概率分布,可取M、D、Ek、G等;Y 服務(wù)時間的概率分布,可取M、D、Ek 、G等;Z 服務(wù)臺個數(shù),取正整數(shù);A 排隊系統(tǒng)的最大容量,可取正整數(shù)或;B 顧客源的最大容量,可取正整數(shù)或;C 排隊(服務(wù))規(guī)則,可取FCFS、LCFS等。例如M/M/1:/FCFS表示顧客到達(dá)的時間間隔是負(fù)指數(shù)分布,服務(wù)時間是負(fù)指數(shù)分布,一個服務(wù)臺,排隊系統(tǒng)和顧客源的容量都是無限,實行先到先服務(wù)的一個服務(wù)系統(tǒng)。9.1.3 排隊模型的概述表示相繼達(dá)到間隔時間和服務(wù)時間的各種分布的符號如下:M-負(fù)指數(shù)分布(Markov, 具有無記憶性)D- 確定型(deterministic)Ek- k
10、 階愛爾朗(erlang)分布G- 一般(general)服務(wù)時間的分布:顧客到達(dá)的平均速率,即單位時間內(nèi)平均到達(dá)的顧客數(shù);1/:平均到達(dá)時間間隔;:平均服務(wù)速率,即單位時間內(nèi)服務(wù)完畢離去的顧客數(shù);1/:平均服務(wù)時間; s :系統(tǒng)中服務(wù)臺的個數(shù);:服務(wù)強(qiáng)度,即每個服務(wù)臺單位時間內(nèi)的平均服務(wù)時間,一般有/(s);N:穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻的狀態(tài)(即系統(tǒng)中所有顧客數(shù));U:任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的逗留時間;Q:任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的等待時間;PnPN=n:穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻狀態(tài)為n的概率;特別當(dāng)n=0時,PnP0,即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)所有服務(wù)臺全部空閑的概率;e:有效平均到達(dá)率,即單位時間內(nèi)到達(dá)并能進(jìn)入隊列的平均顧客
11、數(shù)。 2. 一些常用記號(1)隊長和隊列長(排隊長)隊長 是指系統(tǒng)中的顧客數(shù)(排隊等待的顧客數(shù)與正在接受服務(wù)的顧客數(shù)之和)隊列長 是指系統(tǒng)中正在排隊等待服務(wù)的顧客數(shù)。隊長和隊列長一般都是隨機(jī)變量(2)等待時間和逗留時間 從顧客到達(dá)時刻起到他開始接受服務(wù)止這段時間稱為等待時間。從顧客到達(dá)時刻起到他接受服務(wù)完止這段時間稱為逗留時間。兩種時間都是隨機(jī)變量(3)忙期和閑期 忙期是指從顧客到達(dá)空閑著的服務(wù)機(jī)構(gòu)起,到服務(wù)再次成為空閑止的這段時間,服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)忙的時間。這是個隨機(jī)變量。與忙期相對的是閑期,即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)保持空閑的時間。3. 排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)研究評價和優(yōu)化隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)需要通過一定的數(shù)量指
12、標(biāo)來反映。(4)顧客損失率在損失制或系統(tǒng)容量有限的情況下,由于顧客被拒絕而使系統(tǒng)受到損失的顧客比率稱為顧客損失率。(5)服務(wù)強(qiáng)度為反映服務(wù)效率和服務(wù)臺的利用率,引入服務(wù)強(qiáng)度,常用 來表示,它是衡量系統(tǒng)性能的指標(biāo),其值為平均達(dá)到率 和平均服務(wù)率 s 之比。即 = / (s),s 表示服務(wù)臺數(shù)。排隊論研究的首要問題是排隊系統(tǒng)主要數(shù)量指標(biāo)的概率規(guī)律,及研究系統(tǒng)的整體性質(zhì),然后進(jìn)一步研究系統(tǒng)的優(yōu)化問題。對系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)整和控制,使系統(tǒng)處于最優(yōu)運行狀態(tài)。上面給出的這些數(shù)量指標(biāo)一般都是和系統(tǒng)運行的時間有關(guān)的隨機(jī)變量,求這些隨機(jī)變量的瞬時分布一般是很困難的。相當(dāng)一部分排隊系統(tǒng)在運行了一定時間后,都會趨于一個平穩(wěn)
13、狀態(tài)。在平穩(wěn)狀態(tài)下,隊長的分布、等待時間的分布和忙期的分布都和系統(tǒng)所處的時刻無關(guān),而且系統(tǒng)的初始狀態(tài)的影響也會消失。因此,我們在本章中將主要討論與系統(tǒng)所處時刻無關(guān)的性質(zhì),即統(tǒng)計平穩(wěn)性質(zhì)。4. 平穩(wěn)狀態(tài)Ls:平均隊長,即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻顧客數(shù)的期望值;Lq:平均等待隊長,即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻等待服務(wù)的顧客數(shù)的期望值;Ws:平均逗留時間,即在任一時刻進(jìn)入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客逗留時間的期望值;Wq:平均等待時間,即在任一時刻進(jìn)入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客等待時間的期望值;在平穩(wěn)狀態(tài)下: 5. 排隊系統(tǒng)常用分布 負(fù)指數(shù)分布隨機(jī)變量T服從負(fù)指數(shù)分布,其分布函數(shù)為 1,0( )0,0tTetFtt密度分布函數(shù)為tTetf)(
14、T的期望值為001)()(dtetdtttfTEtTT的方差為21)(TVar若隨機(jī)變量X的概率密度為(0,0,1,2,)!neP Xnnn則稱X服從參數(shù)為的泊松(Poisson)分布,記為XP()。其均值和方差分別為 )(XE)(XVar泊松分布9.2 單服務(wù)臺負(fù)指數(shù)分布排隊系統(tǒng)的分析9.2.1 標(biāo)準(zhǔn)的 M/M/1或M/M/1/ 圖9-6設(shè)顧客到達(dá)的時間間隔服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布 ,服務(wù)臺的服務(wù)時間服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布。單服務(wù)臺,且顧客源無限,先到先服務(wù)。系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖9-6所示 0 1 2n-1 nn+1P0 P1 P2 Pn-1 Pn Pn+1 1 系統(tǒng)狀態(tài)概率Pn
15、(t)的計算根據(jù)以上狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖,可以得出如下平衡方程 001 PP0)(11nnnPPP), 2 , 1(n(91)(92)Pn(t) 指在任意時刻 t 的狀態(tài)(系統(tǒng)中有n個顧客)的概率,它決定了系統(tǒng)運行的特征。(求 Pn(t) 的瞬時分布一般是很困難的,P263)我們只考慮穩(wěn)態(tài)的情況,此時Pn(t)與時刻t 無關(guān),直接記為 Pn 表示系統(tǒng)中有n個顧客,服務(wù)臺忙,有n-1個顧客排隊時的概率。當(dāng)系統(tǒng)運行相當(dāng)時間而達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)后,對任一狀態(tài) n來說,單位時間內(nèi)進(jìn)入該狀態(tài)和離開該狀態(tài)的平均次數(shù)應(yīng)相等。這就是系統(tǒng)在統(tǒng)計平衡下的“流入=流出”原理。設(shè)系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)時系統(tǒng)中的顧客數(shù)為N(是一個隨機(jī)變量)
16、,此時系統(tǒng)狀態(tài)分布已不依賴于時間 t。推導(dǎo)過程省略P262-263由(91)和(92)可以遞推求解P1,P2,Pn,得到 01PP02102)1 (PPPP0PPnn), 2 , 1(n1設(shè)210200,nnPP PPPP10PnnP)1 ( 1n01nnP由,有(93) (94) 表示平均到達(dá)率與平均服務(wù)率之比,稱為服務(wù)強(qiáng)度 注:9-3和9-4只有當(dāng) 1時成立【例(補(bǔ))】高速公路收費處設(shè)有一個收費通道,汽車到達(dá)服從泊松分布,平均到達(dá)速率為150輛小時,收費時間服從負(fù)指數(shù)分布,平均收費時間為15秒輛。求(1)收費處空閑的概率;(2)收費處忙的概率;(3)系統(tǒng)中分別有1,2,3輛車的概率?!窘狻?/p>
17、根據(jù)題意, =150輛/小時, 1/=15秒=1/240(小時/輛),即240(輛/小時)。/=150/240=5/8,則有(1)系統(tǒng)空閑的概率為:P0=1=1(5/8)=3/8=0.375(2)系統(tǒng)忙的概率為:1-P0=5/8=0.625(3)系統(tǒng)中有1輛車的概率為:P1=(1)= 0.6250.375=0.234系統(tǒng)中有2輛車的概率為:P2= 2(1)= 0.2340.625=0.146系統(tǒng)中有3輛車的概率為:P3=3(1)= 0.1460.625=0.0912. 系統(tǒng)的運行指標(biāo)(1)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)(系統(tǒng)中顧客數(shù)的期望值)Ls 0002(1)(1)(1)(1)1kkskkkkLkPkk
18、即平均隊長為系統(tǒng)中顧客數(shù)的期望值(系統(tǒng)中各種狀態(tài)的加權(quán)平均值) (2)隊列中的平均顧客數(shù) (排隊顧客一定比總顧客少1個)qL111222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1kkqkskkkLkPLkk(3) 顧客在隊列中的平均逗留時間 Wq (平均等待時間),當(dāng)顧客進(jìn)入系統(tǒng)時,如果系統(tǒng)中已有n個顧客,則他排隊等待的時間就是n個顧客的平均服務(wù)時間之和。(95) 111()sqWW (96) (4) 顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間Ws為平均等待時間與平均服務(wù)時間之和 101111()qkkskkWkPkPL 注:在M/M/1情形下,可以證明逗留時間W 服從參數(shù)為-的負(fù)指數(shù)分布。Ws =EW=1
19、/(-), Wq = Ws 1/ =/(-)1ssqqsqsqqLWLWWWLLL李特爾(John D. C. Little)公式: 它們之間的相互關(guān)系如下:(98) (97) 歸納如下1sqsqLLWW M / M / 1 / / 模型 總結(jié)單位時間顧客平均到達(dá)數(shù) ,單位平均服務(wù)顧客數(shù) (3 0123313110.07480.16830.18930.1420.4256P nP nPPPP作業(yè): P283,1 P284, 4補(bǔ)充:某銀行有3個出納員,顧客以平均速度為4人/分鐘的泊松流到達(dá),所有顧客排成一隊,出納員與顧客的交易時間服從平均數(shù)為1/2分鐘的負(fù)指數(shù)分布,試求:(1)銀行內(nèi)空閑的概率;
20、(1/9)(2)平均隊列長;(8/9)(3)銀行內(nèi)的顧客平均數(shù);(26/9)(4)在銀行內(nèi)的平均逗留時間;(13/18)(5)等待服務(wù)的平均時間。(2/9)P283.5 在第1題中,若顧客平均到達(dá)率增加到每小時12人,服務(wù)時間不變,這時增加一個工人。試求 (1) (2)(3)(4)/ :/MMcNFCFS 0 1 2c-1c2cccc+1N-1 N(1)c圖9-10 有限隊列模型狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖設(shè)系統(tǒng)容量為N(Nc),當(dāng)系統(tǒng)中的顧客數(shù)nN時,到達(dá)的顧客進(jìn)入系統(tǒng);當(dāng)nN時,到達(dá)的顧客就被拒絕。設(shè)顧客到達(dá)的速率為,每個服務(wù)臺服務(wù)的速率為, / c系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖見圖9-10 9.3.2 系統(tǒng)容量有限制的
21、情形穩(wěn)定狀態(tài)的狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移方程為: 10PP120)(2PPP(938) (939) 21(1) cccPc PcP(940) 11()cccPc PcP21()cccPc PcP (941) (942) 1NNPc P (943) 01NnnP得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的狀態(tài)概率 由100()()1!1kccNckccPkc (944) 11001(1)1!kcckcPNckc00()(0)!()!nncncPncnPcPcnNc (945) 系統(tǒng)的運行指標(biāo): 02()1()(1)!(1)cNcNqcLNccPc(1)qNLLcP)1 (NqqPLW1qWW(946) (947) (948) (949)
22、【例9.6】某旅館有10個床位,旅客到達(dá)服從泊松流,平均速率為6人天,旅客平均逗留時間為2天,求:(1)旅館客滿的概率;(2) 每天客房平均占用數(shù). 【解】這是一個即時制的 /2:10/M MFCFS系統(tǒng),其中 1610,6,0.5,2,120.5Ncc()01sN 10123100(12)(12)(12)(12)(12)0.00180!1!2!3!10!P10100()(12)(1)0.00180.3019!10!NcPPN旅館10個床位全滿的概率為0.3019(2)(1)12(10.3019)8.3772cLcP平均占用8.377個床位??头空加寐蕿?3.77%。9.3.3顧客源為有限的情
23、形 / :/MMcm FCFS設(shè)顧客源為有限數(shù)m,服務(wù)臺個數(shù)為c,且mc。這個模型的典型例子是機(jī)器維修問題,機(jī)器數(shù)量為m臺,修理工數(shù)量為c人 狀態(tài)概率: 00111!11!()!()!kkccmkk cPmcckmkmcmkm mc00!0()! !1()! !nnnn cmPncmn nPmPcnmmn c c 式中: (951) (950) 運行指標(biāo) mnnnPL11()mqnn cLnc P )(LmLLLqeqeLW/eqqLW/)(Lme為有效到達(dá)速率 式中【例9.7】車間有5臺機(jī)器,每臺機(jī)器的故障率為1次小時,有2個修理工負(fù)責(zé)修理這5臺機(jī)器,工作效率相同,為4臺小時。求:(1)等待
24、修理的平均機(jī)器數(shù);(2)等待修理及正在修理的平均機(jī)器數(shù);(3)每小時發(fā)生故障的平均機(jī)器數(shù);(4)平均等待修理的時間;(5)平均停工時間。 【解】這是一個 模型/2:/5/M MFCFS115,1,4,2,48mcmscmm001101234522211!11!()!()!11111112112112110.31495!0!5! 41!4! 42!3! 42! 2! 82! 1! 82! 0! 8kkccmkk cPmcckmkmcmkm P1=0.394, P2=0.197 ,P3=0.074, P4=0.018, P5=0.0023451(1)()230.118mqnn cLns PPPP
25、092. 15432)2(543211PPPPPnPLmnn908. 3)092. 15(1)()3(Lme)(8 . 1)(03. 0908. 3118. 0)4(分小時 eqqLW)(8 .16)(28. 0908. 3902. 1)5(分小時 eLW由式(951)可以計算得到 【定義9.1】對于隨機(jī)過程 ,若滿足Poisson流的定義0),(ttN(1)獨立增量性(無后效性) 即對任意n個參數(shù) 增量 相互獨立 或者說不相交的時間區(qū)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)互相獨立。0121ttttnnn)()(,),()(),()(12312nntNtNtNtNtNtN(2)增量平穩(wěn)性 即在長度為 t 的時間區(qū)間
26、內(nèi)恰好到達(dá)k個顧客的概率僅與區(qū)間長度t有關(guān),而與區(qū)間起始點無關(guān) (3)普遍性 即當(dāng)t充分小時,有( )2( )P N to t稱 為Poisson過程,N(t)服從泊松分布 ( ),0N tt 排隊系統(tǒng)與泊松過程 若N(t)為時間區(qū)間0,t)(t0)內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客數(shù),則N(t)是一個隨機(jī)變量,且 N(t)|t(0,T)為一個隨機(jī)過程。若該隨機(jī)過程滿足 (1)在不相重疊的區(qū)間內(nèi),顧客的到達(dá)數(shù)是相互獨立的;(2)在時間區(qū)間t,t+t)內(nèi)有顧客的到達(dá)數(shù)只與區(qū)間長度t有關(guān),而與區(qū)間起始點t無關(guān);(3)對于充分小的t,在時間區(qū)間t,t+t)內(nèi)有2個或2個以上的顧客到達(dá)的概率極小,以致于可以忽略 則認(rèn)為
27、顧客到達(dá)系統(tǒng)的過程是泊松過程,且 ()( )!kttP N tkek0,1,2,;0kt( )E N tt( )Var N tt【定理9.1】在排隊系統(tǒng)中,如果到達(dá)的顧客數(shù)服從以t為參數(shù)的泊松分布,則顧客相繼到達(dá)的時間間隔服從以為參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布. pn=PN=n:穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)為n的概率。特別當(dāng)n=0時,p0即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)所有服務(wù)臺全部空閑(系統(tǒng)中顧客數(shù)為0)的概率。 穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻狀態(tài)穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻狀態(tài)設(shè)N(t), t 0為一個隨機(jī)過程,若N(t)的概率分布具有以下性質(zhì):(1)假設(shè)N(t)=n,則從時刻t起到下一個顧客到達(dá)止的時間服從參數(shù)為n的負(fù)指數(shù)分布,n=0,1,2,。(2)假設(shè)N(t)=n,則從時刻t起到下一個顧客離去止的時間服從參數(shù)為n的負(fù)指數(shù)分布,n=1,2,3,。(3)同
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