第4章 優(yōu)化設計(總結(jié)與工程實例)

1、 總結(jié)與工程實例4.6 優(yōu)化設計中應注意的幾個問題優(yōu)化設計中應注意的幾個問題 通常在選擇優(yōu)化方法時，首先應通常在選擇優(yōu)化方法時，首先應明確數(shù)學模型的特點明確數(shù)學模型的特點。例如優(yōu)化。例如優(yōu)化問題的問題的規(guī)模規(guī)模(即維數(shù)、目標函數(shù)及約束函數(shù)的數(shù)目即維數(shù)、目標函數(shù)及約束函數(shù)的數(shù)目)，目標函數(shù)目標函數(shù)及及約束約束函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)(非線性程度、連續(xù)性及計算時的復雜程度非線性程度、連續(xù)性及計算時的復雜程度)以及以及計算精度計算精度等。這些特點是選擇優(yōu)化方法的主要依據(jù)。等。這些特點是選擇優(yōu)化方法的主要依據(jù)。 選擇優(yōu)化方法時，還要考慮它選擇優(yōu)化方法時，還要考慮它本身及其計算程序的特點本身及其計算程序的特

2、點。例如，。例如，該方法是否已有現(xiàn)成的程序該方法是否已有現(xiàn)成的程序可用可用；編制程序所要花費的；編制程序所要花費的代價代價；程序的；程序的通用性或普遍性通用性或普遍性，即能否用它來解多種類型的問題；，即能否用它來解多種類型的問題；解題規(guī)模解題規(guī)模；使用；使用該程序的簡便性及計算機執(zhí)行該程序需要花費的該程序的簡便性及計算機執(zhí)行該程序需要花費的時間和費用時間和費用，程序的，程序的機動性機動性，優(yōu)化方法的，優(yōu)化方法的收斂速度收斂速度、計算精度計算精度、穩(wěn)定性穩(wěn)定性及及可靠性可靠性等。等。4.6.1 優(yōu)化方法的選擇優(yōu)化方法的選擇 在實際工程設計問題中，有時會遇到離散型設計變量的情況，這在實際工程設計問

3、題中，有時會遇到離散型設計變量的情況，這時可采用下述方法求解。時可采用下述方法求解。1湊整解法湊整解法 這種方法是將離散變量先這種方法是將離散變量先假定為連續(xù)變量假定為連續(xù)變量，在取得最優(yōu)解后，再，在取得最優(yōu)解后，再進行必要的處理，將求得的非離散值進行必要的處理，將求得的非離散值調(diào)整到調(diào)整到離其最近的可行的離其最近的可行的離散值離散值，并計算該值相鄰各點的函數(shù)值，找出其中可行的最小點。并計算該值相鄰各點的函數(shù)值，找出其中可行的最小點。2網(wǎng)格法網(wǎng)格法 網(wǎng)格法是一種最簡單的直接求優(yōu)法，是一種網(wǎng)格法是一種最簡單的直接求優(yōu)法，是一種窮舉法窮舉法。它既可用于。它既可用于連續(xù)設計變量的約束優(yōu)化問題，又可用

4、于具有離散型設計變量問題的連續(xù)設計變量的約束優(yōu)化問題，又可用于具有離散型設計變量問題的求優(yōu)。求優(yōu)。3隨機試驗法隨機試驗法 從規(guī)定離散數(shù)的集合中從規(guī)定離散數(shù)的集合中隨機抽樣隨機抽樣，計算那些可行點的目標函數(shù)值，計算那些可行點的目標函數(shù)值并保留函數(shù)值并保留函數(shù)值最小的點最小的點，也可以尋得離散最優(yōu)解。，也可以尋得離散最優(yōu)解。 除上述方法外，處理離散型設計變量的優(yōu)化設計問題，還可采用除上述方法外，處理離散型設計變量的優(yōu)化設計問題，還可采用離散復合形法離散復合形法和和離散罰函數(shù)法離散罰函數(shù)法等。等。4.6.2 離散變量的處理離散變量的處理 在實際工程設計問題中，常常同時有在實際工程設計問題中，常常同時

5、有幾項設計指標幾項設計指標都希望達到最都希望達到最優(yōu)值，即所謂的優(yōu)值，即所謂的多目標函數(shù)優(yōu)化問題多目標函數(shù)優(yōu)化問題。 多目標函數(shù)優(yōu)化問題的多目標函數(shù)優(yōu)化問題的數(shù)學模型數(shù)學模型為為 4.6.3 多目標函數(shù)優(yōu)化問題的處理多目標函數(shù)優(yōu)化問題的處理 min()(1,2, ).()0,1,2,;()0,1,2,ijjFiqgjmhjmmpXXXs.t（4-63） 在上述目標函數(shù)的最優(yōu)化問題中，各個目標函數(shù)在上述目標函數(shù)的最優(yōu)化問題中，各個目標函數(shù) 12(),(),()qFFFXXX的優(yōu)化往往是的優(yōu)化往往是互相矛盾互相矛盾的，不能同時達到的，不能同時達到最優(yōu)解最優(yōu)解；甚至有時還會產(chǎn)生完；甚至有時還會產(chǎn)生完

6、全全對立對立的情況，即對一個目標函數(shù)是優(yōu)點，對另一目標函數(shù)卻是劣點。的情況，即對一個目標函數(shù)是優(yōu)點，對另一目標函數(shù)卻是劣點。這就需要在各個目標的最優(yōu)解之間進行這就需要在各個目標的最優(yōu)解之間進行協(xié)調(diào)協(xié)調(diào)，以便取得整體最優(yōu)方案。，以便取得整體最優(yōu)方案。由此，多目標函數(shù)的最優(yōu)化問題要比單目標函數(shù)的最優(yōu)化問題復雜得多，由此，多目標函數(shù)的最優(yōu)化問題要比單目標函數(shù)的最優(yōu)化問題復雜得多，求解難度也較大。特別應當指出的是多目標函數(shù)的最優(yōu)化方法雖有不少，求解難度也較大。特別應當指出的是多目標函數(shù)的最優(yōu)化方法雖有不少，但有些方法的效果并不理想，需要進一步研究和完善。下面介紹幾種多但有些方法的效果并不理想，需要進一

7、步研究和完善。下面介紹幾種多目標函數(shù)的最優(yōu)化方法。目標函數(shù)的最優(yōu)化方法。 1 1主要目標法主要目標法 主要目標法的思想是主要目標法的思想是抓住主要目標抓住主要目標，同時，同時兼顧次要目標兼顧次要目標。求解時。求解時將全部目標函數(shù)按其重要程度排列，選擇最重要的作為將全部目標函數(shù)按其重要程度排列，選擇最重要的作為主要目標主要目標，而，而其他目標只需滿足一定要求即可。為此，可將這些目標其他目標只需滿足一定要求即可。為此，可將這些目標轉(zhuǎn)化成約束條轉(zhuǎn)化成約束條件件。也就是用約束條件的形式來保證其他目標不致太差。這樣處理后，。也就是用約束條件的形式來保證其他目標不致太差。這樣處理后，就成為單目標優(yōu)化問題。

8、就成為單目標優(yōu)化問題。 對于式（對于式（4-634-63）的多目標優(yōu)化問題，求解時可在）的多目標優(yōu)化問題，求解時可在 個目標函數(shù)個目標函數(shù)中選擇一個中選擇一個 作為作為主要目標主要目標，則問題變?yōu)?，則問題變?yōu)?q()kF Xminmaxmin().()0,1,2,;()0,1,2,(),1,2, ,kjjiFgjmhjmmpFFFiq ikXXXXs.t（4-64） minFmaxFi式中式中、為第為第個目標函數(shù)的個目標函數(shù)的上、下限上、下限。2 2統(tǒng)一目標法統(tǒng)一目標法 統(tǒng)一目標法又稱統(tǒng)一目標法又稱綜合目標法綜合目標法。它是將原多目標優(yōu)化問題，通過一定。它是將原多目標優(yōu)化問題，通過一定方法轉(zhuǎn)化

9、為方法轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一目標函數(shù)統(tǒng)一目標函數(shù)或或綜合目標函綜合目標函數(shù)作為該多目標優(yōu)化問題的評數(shù)作為該多目標優(yōu)化問題的評價函數(shù)，然后用前述的單目標函數(shù)優(yōu)化方法求解。價函數(shù)，然后用前述的單目標函數(shù)優(yōu)化方法求解。3 3分層序列法及寬容分層序列法分層序列法及寬容分層序列法 分層序列法及寬容分層序列法是將多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列分層序列法及寬容分層序列法是將多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列單目標優(yōu)化單目標優(yōu)化問題的求解方法。問題的求解方法。 基本思想是將多目標優(yōu)化問題式（基本思想是將多目標優(yōu)化問題式（4-634-63）中的目標函數(shù)分）中的目標函數(shù)分清主次清主次，按其重要程度按其重要程度逐一排除逐一排除，然后依次對

10、各個目標函數(shù)求最優(yōu)解，不過后，然后依次對各個目標函數(shù)求最優(yōu)解，不過后一個目標函數(shù)應在前面各目標函數(shù)最優(yōu)解的一個目標函數(shù)應在前面各目標函數(shù)最優(yōu)解的集合域內(nèi)集合域內(nèi)尋優(yōu)。尋優(yōu)。4 4協(xié)調(diào)曲線法協(xié)調(diào)曲線法 在多目標優(yōu)化設計問題中，當各個分目標的最優(yōu)解出現(xiàn)矛盾時，在多目標優(yōu)化設計問題中，當各個分目標的最優(yōu)解出現(xiàn)矛盾時，為了使某個較差的分目標也達到較理想的值，需要以增大其他幾個目為了使某個較差的分目標也達到較理想的值，需要以增大其他幾個目標函數(shù)值為標函數(shù)值為代價代價，這就是說，各分目標函數(shù)值之間需要進行協(xié)調(diào)，以，這就是說，各分目標函數(shù)值之間需要進行協(xié)調(diào)，以便最終取得一個從工程實用觀點上看對各分目標都可以

11、接受的最合理便最終取得一個從工程實用觀點上看對各分目標都可以接受的最合理方案，這種方法稱為方案，這種方法稱為協(xié)調(diào)曲線法協(xié)調(diào)曲線法。對于計算結(jié)果給出的對于計算結(jié)果給出的設計變量值設計變量值，需要核查它們的，需要核查它們的可行性與合理可行性與合理性。性。4.6.4 優(yōu)化結(jié)果的分析優(yōu)化結(jié)果的分析 對于大多數(shù)實際工程設計問題，對于大多數(shù)實際工程設計問題，最優(yōu)解最優(yōu)解往往位于一個或幾個不往往位于一個或幾個不等式約束條件的等式約束條件的約束面約束面上，這時，最優(yōu)解所在的約束面的上，這時，最優(yōu)解所在的約束面的約束函數(shù)值約束函數(shù)值應應等于或接近于等于或接近于0。 如果所有的約束函數(shù)值全不接近于如果所有的約束函

12、數(shù)值全不接近于0 0，則應仔細檢查原因，考慮，則應仔細檢查原因，考慮數(shù)學模型數(shù)學模型或或最優(yōu)化過程最優(yōu)化過程是否是否有誤有誤。為此，可。為此，可改變初始點改變初始點或或重選優(yōu)化方重選優(yōu)化方法法進行計算。進行計算。4.7 工程優(yōu)化設計應用工程優(yōu)化設計應用 介紹了工程優(yōu)化設計的介紹了工程優(yōu)化設計的，本節(jié)本節(jié)以以實例實例闡闡述如何運用這些理論及方法來解決述如何運用這些理論及方法來解決。 4.7.1 工程優(yōu)化設計的一般工作步驟工程優(yōu)化設計的一般工作步驟包含包含兩方面的工作兩方面的工作：根據(jù)具體設計要求，建立工程優(yōu)化設計數(shù)學模型；根據(jù)具體設計要求，建立工程優(yōu)化設計數(shù)學模型； 選擇合適的優(yōu)化方法及程序進行

13、求解。選擇合適的優(yōu)化方法及程序進行求解。進行進行工程問題優(yōu)化設計工程問題優(yōu)化設計時，其一般時，其一般工作步驟工作步驟如下：如下：1. 建立工程優(yōu)化設計數(shù)學模型建立工程優(yōu)化設計數(shù)學模型工程優(yōu)化設計問題的工程優(yōu)化設計問題的，是建立正確的，是建立正確的優(yōu)化數(shù)學模型優(yōu)化數(shù)學模型。 為此，要正確地為此，要正確地設計變量設計變量、目標函數(shù)目標函數(shù)和和約束條件約束條件，并把它們，并把它們組合在一起，成為一組能組合在一起，成為一組能準確地準確地反映工程優(yōu)化設計問題實質(zhì)的反映工程優(yōu)化設計問題實質(zhì)的數(shù)學表數(shù)學表達式達式，同時，要使建立的，同時，要使建立的。 因而，建立因而，建立的的要求要求是是： 一要正確，二要易

14、于求解。一要正確，二要易于求解。2. 選擇合適的優(yōu)化方法和計算程序選擇合適的優(yōu)化方法和計算程序 為為求解求解工程優(yōu)化設計的工程優(yōu)化設計的數(shù)學模型數(shù)學模型，應優(yōu)先，應優(yōu)先選擇選擇可靠性好可靠性好，收斂速收斂速度快度快，算法穩(wěn)定性好算法穩(wěn)定性好及及對參數(shù)敏感性小對參數(shù)敏感性小的的優(yōu)化方法優(yōu)化方法和和計算程序計算程序。 為了便于對工程優(yōu)化問題的求解，目前國內(nèi)外均已開發(fā)出通用的為了便于對工程優(yōu)化問題的求解，目前國內(nèi)外均已開發(fā)出通用的優(yōu)化程序庫優(yōu)化程序庫，使得優(yōu)化方法和計算程序的選擇不再是困難的問題。，使得優(yōu)化方法和計算程序的選擇不再是困難的問題。3. 編寫主程序和函數(shù)子程序，編寫主程序和函數(shù)子程序，

15、上機調(diào)試和計算，求得最優(yōu)解上機調(diào)試和計算，求得最優(yōu)解 一個完整的一個完整的應由如下應由如下組成：組成： 因此，工程優(yōu)化設計人員是在調(diào)用因此，工程優(yōu)化設計人員是在調(diào)用求解自己的實際問題求解自己的實際問題時，應按要求時，應按要求和優(yōu)化問題數(shù)學模型的和優(yōu)化問題數(shù)學模型的函數(shù)子程序函數(shù)子程序，將，將它們它們與與聯(lián)成一個完整的應用軟件系統(tǒng)。聯(lián)成一個完整的應用軟件系統(tǒng)。 然后然后上機調(diào)試和計算，求得優(yōu)化問題的上機調(diào)試和計算，求得優(yōu)化問題的最優(yōu)結(jié)果最優(yōu)結(jié)果。4. 對優(yōu)化結(jié)果進行分析，確定最優(yōu)解對優(yōu)化結(jié)果進行分析，確定最優(yōu)解 求得求得后，應對其進行分析、比較，看其是否符合實際，后，應對其進行分析、比較，看其是

16、否符合實際，是否滿足設計要求，以決定是否采用。若發(fā)現(xiàn)它不符合實際或不滿足是否滿足設計要求，以決定是否采用。若發(fā)現(xiàn)它不符合實際或不滿足設計要求，應考慮修改設計要求，應考慮修改或選擇或選擇求解。求解。為了給為了給提供一個提供一個求解優(yōu)化數(shù)學模型的求解優(yōu)化數(shù)學模型的有力工具有力工具， 目前國內(nèi)、外許多目前國內(nèi)、外許多CAD軟件中均開發(fā)有軟件中均開發(fā)有或或，如：如： 我國我國“六五六五”期間研制的期間研制的 “常用優(yōu)化方法程序庫常用優(yōu)化方法程序庫OPB-1”和和“七五七五” 期間開發(fā)的期間開發(fā)的 “優(yōu)化方法及計算方法軟件庫優(yōu)化方法及計算方法軟件庫OPB-2” 等等。這樣，這樣，工程技術(shù)人員工程技術(shù)人員

17、在掌握工程問題優(yōu)化設計的基礎知識和熟悉在掌握工程問題優(yōu)化設計的基礎知識和熟悉工程優(yōu)化軟件有關(guān)功能的基礎上，調(diào)用優(yōu)化工具箱的函數(shù)，可簡捷方工程優(yōu)化軟件有關(guān)功能的基礎上，調(diào)用優(yōu)化工具箱的函數(shù)，可簡捷方便地處理便地處理。 Pro/Engineer MATLAB4.7.2 工程優(yōu)化設計實例工程優(yōu)化設計實例 已已知知的輸入扭矩的輸入扭矩T1=2674Nm，傳動比，傳動比i=5，現(xiàn)要求確定現(xiàn)要求確定該減速器的結(jié)構(gòu)參數(shù)，在保證承載能力條件下，使減速器的該減速器的結(jié)構(gòu)參數(shù)，在保證承載能力條件下，使減速器的重量最輕。小齒輪擬選用實心輪結(jié)構(gòu)，大齒輪為四孔輻板式結(jié)構(gòu)，其結(jié)重量最輕。小齒輪擬選用實心輪結(jié)構(gòu)，大齒輪為四

18、孔輻板式結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)尺寸如構(gòu)尺寸如圖圖2-43所示，圖中所示，圖中1=280mm，2=320mm。 單級直齒圓柱齒輪傳動減速器的優(yōu)化設計單級直齒圓柱齒輪傳動減速器的優(yōu)化設計圖圖2-43 單級直齒圓柱齒輪減速器結(jié)構(gòu)圖單級直齒圓柱齒輪減速器結(jié)構(gòu)圖(a)傳動圖；傳動圖； (b)小齒輪；小齒輪； (C)大齒輪大齒輪解：解：1. 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型：(1)齒輪幾何計算公式齒輪幾何計算公式211222122012221112222222232022412, , = 5 , 10 , 1.6, 0.25(101.6), 0.2 ,()/4, ()/4,()()/4(4)/4,()/42ggdmzdmz

19、mDmz imdddmz imdcBVddBVddBVDdBcd cVl dd221280/4320/4dd， ， 于是于是的的則為則為 1234VVVVV從上述從上述計算計算齒輪減速器體積齒輪減速器體積（簡化為齒輪和軸的體積簡化為齒輪和軸的體積）的的基本基本公式公式中可知，中可知，體積體積V 取決于：取決于：齒輪寬度齒輪寬度B、小齒輪齒數(shù)、小齒輪齒數(shù)z1、模數(shù)、模數(shù)m、軸的支承跨距、軸的支承跨距 、主動軸直徑主動軸直徑 、從動軸直徑、從動軸直徑 和傳動比和傳動比等等7個參數(shù)。個參數(shù)。其中其中傳動比傳動比 為為常量常量，由已知條件給定。，由已知條件給定。l1d2dii(2) 確定設計變量確定設

20、計變量所以，所以，該優(yōu)化設計問題該優(yōu)化設計問題可取可取設計變量設計變量為為 123456112, , ,TTXXXXXXXB z m l d d以齒輪減速器的以齒輪減速器的重量最輕重量最輕為優(yōu)化目標，而此為優(yōu)化目標，而此減速器的重量減速器的重量可以可以一對齒輪一對齒輪和和兩根軸兩根軸的的近似求出。近似求出。由此，由此，減速器的重量減速器的重量 ， 因鋼的因鋼的密度密度 為常數(shù)，為常數(shù)， 所以可取所以可取減速器的體積減速器的體積為為目標函數(shù)目標函數(shù)。 將將設計變量設計變量代入減速器的代入減速器的體積公式體積公式，經(jīng)整理后得，經(jīng)整理后得目標函數(shù)目標函數(shù)為：為：1234()WVVVV12342222

21、1231231322161512361362222454656() 0.785398(4.758585 0.920.81.6 280320)f XVVVVVx x xx x xx xx xx xx x x xx x xx xx xxx(3) 建立目標函數(shù)建立目標函數(shù) 1）為）為避免發(fā)生根切避免發(fā)生根切，小齒輪的齒數(shù)，小齒輪的齒數(shù) 不應小于最小齒數(shù)不應小于最小齒數(shù) ， 即即 ，于是得，于是得約束條件約束條件 1zminz1min17zz12()170g Xx 2）傳遞動力傳遞動力的齒輪，要求的齒輪，要求齒輪模數(shù)齒輪模數(shù)一般應大于一般應大于2mm，故得，故得23()20gXx本問題本問題的的約束條

22、件約束條件，由，由強度條件強度條件、剛度條件剛度條件、結(jié)構(gòu)工藝條件結(jié)構(gòu)工藝條件和和參數(shù)限制條件參數(shù)限制條件等組成。等組成。(4) 確定約束條件確定約束條件 3）根據(jù)設計經(jīng)驗，主、從動軸的）根據(jù)設計經(jīng)驗，主、從動軸的直徑范圍直徑范圍?。喝。?2150mm100mm, 200mm130mmdd則則軸直徑約束軸直徑約束為為 35455666()1000, ()1500()1300, ()2000gXxgXxgXxgXx4）為了保證齒輪承載能力，且）為了保證齒輪承載能力，且避免載荷沿齒寬分布嚴重不均避免載荷沿齒寬分布嚴重不均， 要求要求 ，由此得，由此得 1635Bm117833()10, ()103

23、516xxgXgXxx 5）根據(jù)）根據(jù)工藝裝備條件工藝裝備條件，要求，要求大齒輪直徑大齒輪直徑不得超過不得超過1500mm， 若若 i =5，則，則小齒輪直徑小齒輪直徑不能超過不能超過300 mm，即，即 ， 寫成寫成約束條件約束條件為為 03001d121(1)670HHiKTBd i6）按齒輪的齒面接觸強度條件，有）按齒輪的齒面接觸強度條件，有式中，式中， 。將以上各參數(shù)代入上式，將以上各參數(shù)代入上式，整理后整理后可得可得接觸應力約束條件接觸應力約束條件21 2674000 N mm, 1.3, 855.5 N/mmHTK取239()10300 x xgX 1102123(1)670()1

24、0855.5()iKTgXx x xi FFmYBdKT112122122674000 N mm, 1.3, 261.7 N/mm , 213.3 N/mmFFTK21, YY7）按齒輪的齒根彎曲疲勞強度條件，有）按齒輪的齒根彎曲疲勞強度條件，有若取若取若大、小齒輪齒形系數(shù)若大、小齒輪齒形系數(shù) 分別按下面分別按下面二式計算二式計算，即，即 ；222221220.28240.0003539 ()0.000001576 ()0.1690.0066660.0000854YixixYxx則得則得小齒輪小齒輪和和大齒輪大齒輪的的彎曲疲勞強度條件彎曲疲勞強度條件為為11121231112212322()1

25、0261.72()10213.3KTgXx x x yKTgXx x x y 2413()1048 0.003nF xgXEJ lEJlFn003. 048311112352441522; coscoscos2 10 N/mm ; 20 ;/64/64tnFTTFmZx xEJdx8）根據(jù)）根據(jù)軸的剛度軸的剛度計算公式計算公式：得得主動軸主動軸的的剛度約束條件剛度約束條件為為式中：式中：。1212)(WTMW9）主、從動軸的彎曲強度條件）主、從動軸的彎曲強度條件對主動軸對主動軸：軸所受彎矩：軸所受彎矩 ；coscos2324111xxxTmZlTlFMn12674000N mm; 20 ; T

26、58. 0133211510.1 0.1 ; 55N/mmWdx扭矩校正系數(shù)扭矩校正系數(shù) ；得得主動軸彎曲強度約束主動軸彎曲強度約束為為對實心軸對實心軸：若?。喝羧。?。22141()()1055MTgXW 33222610.10.1 ; 55N/mmWdx對對從動軸從動軸： 。10）軸的支承跨距按）軸的支承跨距按結(jié)構(gòu)關(guān)系結(jié)構(gòu)關(guān)系和和設計經(jīng)驗設計經(jīng)驗取取 2min25. 02dBl式中，式中， 為箱體內(nèi)壁到軸承中心線的距離，現(xiàn)取為箱體內(nèi)壁到軸承中心線的距離，現(xiàn)取 ，則有則有 ，寫成，寫成約束條件約束條件為為min20mm04025. 02dlBmin14616(0.25)()1040 xxxgX

27、 22152()()1055MTgXW 可得可得從動軸從動軸彎曲強度約束彎曲強度約束：6min (), . . ()0 (1 2 16)uf XXRst gXu， ，即即是是一個具有一個具有16個不等式約束條件的個不等式約束條件的6維約束優(yōu)化問題維約束優(yōu)化問題。 綜上所述，可得綜上所述，可得該優(yōu)化問題該優(yōu)化問題的的數(shù)學模型數(shù)學模型為為16( )( )11(,)()()kkuuX rf XrgX2. 選擇優(yōu)化方法及優(yōu)化結(jié)果選擇優(yōu)化方法及優(yōu)化結(jié)果對對本優(yōu)化問題本優(yōu)化問題，現(xiàn)選用，現(xiàn)選用內(nèi)點罰函數(shù)法內(nèi)點罰函數(shù)法求解。求解?？蓸?gòu)造可構(gòu)造懲罰函數(shù)懲罰函數(shù)為為(5) 寫出優(yōu)化數(shù)學模型寫出優(yōu)化數(shù)學模型(0)

28、(0)(0)(0)(0)(0)(0)123456, , , , , 230, 21, 8, 420, 120, 160TTXxxxxxx(0)3()87139235.1 (mm )f X參考參考同類齒輪減速器的設計參數(shù)，同類齒輪減速器的設計參數(shù)，現(xiàn)取現(xiàn)取原設計方案原設計方案為為，即，即則則為：為： 。采用采用求解求解 的極小點，的極小點， 取懲罰因子遞減系數(shù)取懲罰因子遞減系數(shù) C = 0.5，其中一維搜索選用，其中一維搜索選用二次插值法二次插值法， 收斂精度收斂精度 ；鮑威爾法及罰函數(shù)法的；鮑威爾法及罰函數(shù)法的收斂精度收斂精度都取都取 ； 得得最優(yōu)解最優(yōu)解：( )(,)kX r-7210-71

29、10*123456, , , , , 130.93, 18.74, 8.18, 235.93, 100.01, 130.00TTXxxxxxx*3()35334358.3 mmf X比比(按目標函數(shù)簡化計算的部分按目標函數(shù)簡化計算的部分)。*1*12130mm, 19, 8mm236mm, 100mm, 130mmBzmldd*X上述上述并不能直接作為減速器的設計方案，并不能直接作為減速器的設計方案，根據(jù)幾何參數(shù)的標準化，要進行根據(jù)幾何參數(shù)的標準化，要進行，最后得：，最后得：可以驗證，可以驗證， 滿足所有滿足所有，其其較原設計方案的較原設計方案的。實例實例2 圓柱螺旋壓縮彈簧的優(yōu)化設計圓柱螺旋

30、壓縮彈簧的優(yōu)化設計 現(xiàn)設計一內(nèi)燃機用的現(xiàn)設計一內(nèi)燃機用的，如，如圖圖2-47所示。所示。 具體設計要求是具體設計要求是： 在工作載荷在工作載荷P=700N作用下，作用下， 彈簧生產(chǎn)彈簧生產(chǎn)10mm的變形量，的變形量， : : 彈簧的壓并高度彈簧的壓并高度50mm， 彈簧內(nèi)徑彈簧內(nèi)徑D 116mm， 在滿足強度條件的前提下，在滿足強度條件的前提下， 使使的彈簧的彈簧。 圖圖2-47圓柱螺旋壓縮彈簧圓柱螺旋壓縮彈簧 的幾何參數(shù)的幾何參數(shù) 解：解： 1. 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型 1) 確定設計變量確定設計變量 由機械零件彈簧設計可知，圓柱螺旋壓縮彈簧的基本參數(shù)由機械零件彈簧設計可知，圓柱螺旋壓縮彈

31、簧的基本參數(shù)(見見圖圖2-47) 主要有：主要有： 彈簧中徑彈簧中徑 D， 彈簧絲直徑彈簧絲直徑 d， 彈簧總?cè)?shù)彈簧總?cè)?shù) n， 旋繞比旋繞比c ( c=D/d )， 許用剪應力許用剪應力等。等。 由于在由于在 c，D 和和 d 中，只有兩個是中，只有兩個是獨立變量獨立變量， 另外考慮到材料供應的限制，另外考慮到材料供應的限制，也不宜作為也不宜作為設計變量設計變量。 由此，由此，該優(yōu)化問題該優(yōu)化問題的的設計變量設計變量可取為可取為123 , , , , TTXxxxD d n2220.254dWn DDd n 22min ()0.25f XWDd n 2) 建立目標函數(shù)建立目標函數(shù)該問題的該問題的設計目標設計目標是要求是要求彈簧的重量最輕彈簧的重量最輕，故應將，故應將彈簧重量彈簧重量W做為做為目標函數(shù)目標函數(shù)，W 的計算公式的計算公式為為由此，由此，極小化目標函數(shù)極小化目標函數(shù)為為式中式中 ， 彈簧材料的比重，取彈簧材