大學物理課件：機械波

1、 第二章第二章 機械波機械波 波動是一種常見的運動形式。波動以振動為基礎，是振動的傳播。在經(jīng)典物理中，有機械波（如聲波、水波、地震波等）、電磁波包括光波。在近代物理中，有物質(zhì)波。波動有各種具體形式，但它們的基本特征和數(shù)學描述相似。本章主要介紹機械波。 主要內(nèi)容：波的一般概念，波如何描述？波動有什么特征（如干涉、衍射、反射、折射）。 2-1 波的一般概念波的一般概念一、什么是波？一、什么是波？ 波的產(chǎn)生條件波的產(chǎn)生條件所謂波波振動在空間的傳播。機械波機械波機械振動在空間的傳播電磁波電磁波電磁振動在空間的傳播 確切地說，波動是物理量（如位移、壓強、電場和波動是物理量（如位移、壓強、電場和磁場強度等

2、）的周期性變化在空間的傳播磁場強度等）的周期性變化在空間的傳播。機械波產(chǎn)生的條件機械波產(chǎn)生的條件：波源（即做機械振動的物體）彈性媒質(zhì) （因物體（固體、氣體、液體）內(nèi)部傳播機械波靠物體彈性（因物體（固體、氣體、液體）內(nèi)部傳播機械波靠物體彈性才能形成，故這些媒質(zhì)叫才能形成，故這些媒質(zhì)叫彈性媒質(zhì)彈性媒質(zhì)） 如地震波，有震源，地球本身是媒質(zhì)；聲波有發(fā)聲體，空氣是媒質(zhì)；水波，某處擾動是波源，水是媒質(zhì)。由于有空氣，我們生活在充滿音響的世界里。月球上無空氣，因而是一個寂靜的世界。太陽核爆炸聲音巨大，因無媒質(zhì)，地球上不能聽見。 但電磁波和光波的傳播不需要媒質(zhì)。二、波的傳播圖像二、波的傳播圖像1、橫波與縱波、橫

3、波與縱波按振動方向和傳播方向的不同，可以分為橫波和縱波橫波縱波為什么會出現(xiàn)橫波、縱波呢？主要與媒質(zhì)彈性有關。（1）橫波產(chǎn)生原因：）橫波產(chǎn)生原因： 媒質(zhì)可產(chǎn)生切應變媒質(zhì)可產(chǎn)生切應變切應變切應變 媒質(zhì)能產(chǎn)生切應變彈性，切應力可以帶動鄰近質(zhì)點振動。形成橫波。固體固體可以產(chǎn)生切應變傳播橫波傳播橫波液體、氣體液體、氣體不能產(chǎn)生切應變 不傳播橫波不傳播橫波（2）縱波產(chǎn)生原因：）縱波產(chǎn)生原因：媒質(zhì)可產(chǎn)生正應變媒質(zhì)可產(chǎn)生正應變（拉、壓、體變彈性）（拉、壓、體變彈性） 媒質(zhì)產(chǎn)生正應變彈性，能發(fā)生體積膨脹收縮或拉伸壓縮，從而產(chǎn)生正應力，可形成疏密縱波疏密縱波。 固體、液體、氣體固體、液體、氣體均產(chǎn)生正應變傳播縱波

4、傳播縱波正應變正應變問：水面波是縱波還是橫波？水面波是縱波還是橫波？ 內(nèi)部傳播縱波。但水面波容易使人產(chǎn)生橫波假象。 水面波很復雜。既不是縱波，也不是橫波，而是一種非彈性波。是表面張力和重力共同作用結(jié)果 水波傳播時，水的微團繞平衡位置橢圓運動。微團相對于平衡位置的位置矢量轉(zhuǎn)動，沿傳播方向落后一個角度，將矢量尖端連起來，便顯示波形。看起來像橫波，實際上并非橫波，更不是縱波。2、行波傳播圖像、行波傳播圖像以橫波為例說明yt0t 2Tt 34tT4Tt tT可見：質(zhì)點位移質(zhì)點位移（1）傳播有一定速度，T內(nèi)傳播 ；（2）質(zhì)元本身不遷移，位相或狀態(tài)傳播；yt0t 2Tt 34tT4Tt tT質(zhì)點位移質(zhì)點位

5、移（3）沿傳播方向，位相依次落后；（4）能量傳播（質(zhì)元有動能，形變有勢能） 振動狀態(tài)和能量都在傳播的波行波行波3、簡諧波、簡諧波即簡諧振動的傳播。 任何復雜波=簡諧波疊加4、幾何描述（幾個名詞）、幾何描述（幾個名詞）波線波線表示波的傳播方向的線（直線或曲線）波面波面位相相同的點組成的面 波前（波陣面）波前（波陣面）最前方的波面即某時刻振動傳到的各點構(gòu)成的同相面。 按波面形狀：平面波、球面波、柱面波平面波、球面波、柱面波等。波線波線波面波面波前波前平面波平面波球面波球面波遠處的球面波、柱面波的局部可以視為平面波平面波、球面波、柱面波平面波、球面波、柱面波都是真實波動的理想近似都是真實波動的理想近

6、似 各向同性介質(zhì)，波線 波面，波線為直線。非各向同性則不然。三、描述波的特征量三、描述波的特征量 波是周期性振動在空間的傳播。振動是時間周期性的。波必然具有時間和空間兩種周期性波必然具有時間和空間兩種周期性。引入物理量描述波的周期性特征1、波的周期、波的周期T（時間周期性）（時間周期性） T媒質(zhì)中各質(zhì)元振動狀態(tài)復原一次0t tT2tT2、波的頻率、波的頻率1T（即振動頻率）的時間即振動周期或完成一次全振動的時間或一個完整波通過一點的時間 3、波長、波長 （空間周期性）（空間周期性） 波線上位相差為 （相鄰同相點）的兩點間距2一個周期內(nèi)振動傳播的距離一個完整波的長度峰峰-峰、谷峰、谷-谷間距谷間

7、距疏疏-疏、密疏、密-密間距密間距 每隔一個 ，振動狀態(tài)相同即空間周期性。,uuT()uTu位相或振動狀態(tài)傳播速度（1秒內(nèi)傳播的距離）u波每秒通過的距離中包含的完整波的數(shù)目每秒內(nèi)通過某點的完整波的數(shù)目與媒質(zhì)有關；與波源有關uT 2-2 平面簡諧波的描述平面簡諧波的描述 前述，任何復雜波都可以視為簡諧波的疊加，故研究簡諧波的規(guī)律有重要意義。此處，僅討論平面簡諧波。4、波速、波速u 波在傳播過程中，各質(zhì)元都在振動且傳播方向依次落后，能否用一個數(shù)學式將這種情形表達出來？這種描述波的數(shù)學表達式叫波函數(shù)波函數(shù)（或波動方程或波動方程）一、平面簡諧波波函數(shù)一、平面簡諧波波函數(shù)xxO 設平面波在無限大均勻介質(zhì)

8、中傳播，且無吸收。 如圖，一列平面諧波沿 正向傳播，原點o的振動表達式為cos()oyAtPO點的振動以波速u傳到P點，沿x方向位相依次落后，每隔一個 位相落后 。 u2xxOPuP相對于O位相落后：2OPx,22,xx2cos()PyAtx2uTu2cosyAtxP任意，略下標Pcos()cos 2 ()xAtutxAT原點初相振動滯后時間振動滯后時間位相落后數(shù)值位相落后數(shù)值cos()oyAt引入波數(shù)k2ku2cosyAtxcos()xAtucos ()yAtkx復數(shù)形式()()it kxit kxyAeAeiAAe討論：波函數(shù)意義,yy x t2cosyAtx0 xx（1）( )yy t0

9、02cosxyAtx0 x 處振動方程處振動方程0 x處振動初相0 x22abbaxxxxbax落后于原點x0 xO（2）0,( )ttyy x波形方程波形方程002costyAtx0cos()xAtu,yy x t02cos()Axt特定時刻，各質(zhì)點位移特定時刻，各質(zhì)點位移 與坐標與坐標 的關系。的關系。xy0t時刻質(zhì)元位移分布曲線，或波的位形“照相”橫波橫波：波形曲線與位移分布一致縱波縱波：疏密波，波形曲線 位移分布xy xy密部密部密部密部疏部疏部疏部疏部波形曲線波形曲線縱波波形縱波波形橫波波形橫波波形u實際位移實際位移位移大小方向位移大小方向0cos()xyAtu（3） 都變，波形推進

10、都變，波形推進xt、(,)( , )y tt xxy x ttxu t 內(nèi)推進,tttxxx 22cosAtxtx 2cosAtx222=xu ttt 0 處t時刻的位移時刻的位移xxxtttx即內(nèi)推進2cos()yAtx處xyuOtxtt x xu t xyuOtxtt x （4）時空周期性）時空周期性(, )( , )( ,)( , )y xty x ty x tTy x txu t （5）波函數(shù)只有相對意義）波函數(shù)只有相對意義與x坐標和波速的相對取向有關“ ”cos()xyAtuuxuxcos()xyAtu“ ”與計時起點有關。如取位移最大處位計時起點即0時刻：0 xdyuvtdt與不同

11、（6）質(zhì)元振動速度波速即位相傳播速度uv二、波動動力學微分方程二、波動動力學微分方程 一般說來，波動有其特有的微分方程。對于機械波，用動力學方法（牛頓定律、胡克定律）可以得到機械平面波動力學微分方程（推導略）：222221yyxutxycos()xyAtu該方程一般解為 ：(,)xxxxy tt xxfttfttuuu ()xyf tu/()ux “ ”/()ux “ ” 任何物理量只要滿足上述方程，必定以波的形式傳播，傳播速度為u.()( , )xf ty x tuxu t 222221yyxut()xyf tucos()xyAtu特例特例不一定是簡諧波，還有其他形式平面波。在推導微分方程的

12、過程中可以得到不同情況下的波速u：222221yyxutTuml緊繩中橫波緊繩中橫波YuNuY楊氏模量固體中縱波固體中縱波N切變模量固體中橫波固體中橫波BuB體變模量氣體中縱波氣體中縱波液體中縱波液體中縱波質(zhì)量密度VlllSPFFFFFFlYSlFNSVpBV Y、N、B的意義如何？證明：理想氣體聲速證明：理想氣體聲速PRTu摩爾質(zhì)量定壓比熱/定容比熱P壓強證： 聲速快，近似絕熱PVC10VVVPVPPPV BPPu證明：理想氣體聲速證明：理想氣體聲速PRTu摩爾質(zhì)量定壓比熱/定容比熱P壓強VpBV VPBu=PRTRTu MPVRTMRTPRTVPu例題1 已知波函數(shù)0.05cos 2 (

13、- )3yt xm（1）波的振幅、波速、波長、頻率、周期、最大振動速度、最大振動加速度。求： （2）波線上相距2m的兩點間位相差。 （3）x=0.5m 處振動方程（4）t=1s時刻的波形曲線（5）x=1m處質(zhì)點在t=2s時刻的位相與原點在哪一時刻的位相相等。這一位相在t=4s時刻傳到哪一點？cos()xyAtu解0.05cos 2 ( - )3yt xm對照2cosyAtx21/um s1m0.05Am211s11Ts0.05 20.314/mvAm s2220.05 (2 )1.97/maAm s（1）波的振幅、波速、波長、頻率、周期、最大振動速度、最大振動加速度。 （2）波線上相距2m的兩

14、點間位相差。1m2xm 24x （3）x=0.5m 處振動方程0.05cos 2 ( - )3yt xm0.05cos 2 ( -0.5)3ytm20.05cos 23ytm（4）t=1s時刻的波形曲線0.05cos 2 ( - )3yt xm0.05cos 2 (1- )0.05cos 2233yxx0.05cos 23yx0,0.025xy00 xdydxy0.0250.05xo（5）x=1m處質(zhì)點在t=2s時刻的位相與原點在哪一時刻的位相相等？該位相在t=4s時刻傳到哪一點？0.05cos 2 ( - )3yt xm72 ()2 (2 1)333tx 72,133tt 這一位相與原點在t

15、=1s時位相相同72 ()2 (4),3333txxx 該位相在t=4s時刻傳到x=3m處平面波向x正方向傳播，已知原點振動曲線如圖，例題22m寫出波函數(shù)（波動方程）如果平面波向x負方向傳播？yoAt0.02yx0.5uyxuoo解（1）2cosyAtx求出A原點初相即可寫出波函數(shù)yoAt0.02yx0.5uo=0.02mA1sT 122 sT2mcosyAt設原點振動方程0,t 0.02cos0y2 0sin0(,sin0tdyAdt 斜率）2 2cosyAtx0.02cos 22ytxx0.02cos 2)2yt原點振動方程（2m12umsTcos()xyAtu或0.02cos 2 ()2

16、2xyt如果平面波向x負方向傳播：0.02cos 22ytx2cosyAtxyxuox1sT 0.02cos 2)2yt原點振動方程（ 2-3 波的能量及其傳播波的能量及其傳播 波通過介質(zhì)時，質(zhì)元振動且形變，有動能和勢能，所以有能量在介質(zhì)中傳播。如何描述介質(zhì)中波的能量及其傳播？一、能量與能量密度一、能量與能量密度 設平面簡諧波在介質(zhì)中傳播，取質(zhì)元 mxxxxyyyy動能：2211()22kdyEmvVdtcos()xyAtuVS xx2211()22kdyEmvVdt2221sin()2xVAtu可以證明：PkEE 證*： 以縱波為例llFFSFlYSl,xlyl YSFlk ll kFlco

17、s()xyAtusin()dyxAtdtu xxxxyyyyxVS xYSFlk ll ,xlyl llFFSkFl2211()()22PYSEklll21()2lYSll此處：21()2PyEYS xx2,YuYuVS x221()2PyEuVxxxxxyyyyx221()2PyEuVx221()2PyEuVxPkEE cos()xyAtusin()yAxtxuu2222222211sin()sin()22PAxxEuVtVAtuuucos()dyxvAtdtu Vm212PkEmvE 2222sin()kPkxEEEEVAtu 222sin()ExwAtVu能量密度2222201122Tw

18、wdtAAT 說明：22,wEA、（1）PkEE、同步變化，不同于孤立諧振子。（2）（3）E 周期變化。極大，極小，說明能量在傳播質(zhì)元從前方吸收能量 極大，向后方放出能量 極小二、能流與能流密度二、能流與能流密度 為了描述能量傳播特征，引入能流、能流密度 定義定義1：單位時間（每秒）內(nèi)通過某面積的波的能量稱為該面積的能流能流（dt內(nèi)）dE(,)dEJPWsdt籠統(tǒng)但不細致描述波的能量傳播 定義定義2：通過垂直于波傳播方向上單位面積的能流叫做波的強度（能流密度，坡印亭矢量）波的強度（能流密度，坡印亭矢量）dSdPndPIndSdSdS, ,u I ndScosdPIdSIdSI dSdSSISP

19、I dS細致描述能量傳播細致描述能量傳播uPISSSPI dS24PIrr波強度（能流密度）與能量密度關系：wIuSu t()Ew u t S EPwu StpIwuS22212IwuAuA現(xiàn)分析：平面波與球面波振幅平面波與球面波振幅1212,PISPP II12AA平面波平面波12PP22112244r Ir I21Ir 0cos()Axytru 球面波球面波1Ar24PIr2IA球面波函數(shù)三、波的能量吸收三、波的能量吸收 實際上，波傳播時，媒質(zhì)要吸收部分能量，Ax 隨xxO,dAA dxAdAAdx0 xdAdxAA eA 20 xII e2IA 2-3 波的傳播原理與波的特征波的傳播原理

20、與波的特征 波動一種特殊的運動形式，必然具有一些特有的物理現(xiàn)象：包括，波的干涉（駐波）、衍射、反射、折波的干涉（駐波）、衍射、反射、折射、散射。射、散射。這些現(xiàn)象或特征可以用波的傳播原理解釋。一、波的傳播原理一、波的傳播原理1、惠更斯原理、惠更斯原理S1 R1 S2R2 荷蘭的惠更斯在解釋波動現(xiàn)象時，于1690年提出了一個原理：S1 R1 S2R2 波前上的每一點都是一波前上的每一點都是一個新的球面波波源（子波個新的球面波波源（子波源），其后任一時刻的子源），其后任一時刻的子波的包跡便是新的波前。波的包跡便是新的波前。惠更斯原理惠更斯原理 利用該原理，由前一時刻波陣面，作出下一時刻波陣面?？梢?/p>

21、解釋可以解釋：反射、折射、衍射、散射反射、折射、衍射、散射核心思想核心思想：子波概念子波概念；缺陷缺陷：不能說明為什么子波不后退不能說明為什么子波不后退需要惠更斯-菲涅耳原理完善2、波的疊加原理、波的疊加原理理論和實驗證明： （1）媒質(zhì)中每列波都保持各自獨立傳播的特性，不）媒質(zhì)中每列波都保持各自獨立傳播的特性，不因其它波的存在而改變（因其它波的存在而改變（波的獨立性波的獨立性）；）； （2）在波的疊加區(qū)域中，各點的振動都是各波單獨）在波的疊加區(qū)域中，各點的振動都是各波單獨存在時在該點引起的振動合成（存在時在該點引起的振動合成（波的疊加性波的疊加性）；）；波的疊加原理波的疊加原理 例如，音樂會上

22、，各種樂器聲、各種燈光相遇，互不影響和互不改變。 波的疊加原理波的疊加原理可以解釋可以解釋：干涉（駐波），干涉（駐波），但只適應強度不太大的波。線性線性二、波的干涉二、波的干涉1、干涉現(xiàn)象與相干條件、干涉現(xiàn)象與相干條件 實驗證明，當兩列以上的波在某區(qū)當兩列以上的波在某區(qū)域同時傳播時，可能形成有的地方振域同時傳播時，可能形成有的地方振動始終加強、另一些地方振動始終減動始終加強、另一些地方振動始終減弱的現(xiàn)象，弱的現(xiàn)象，稱為波的干涉波的干涉。S1S2強強強強強強弱弱弱弱弱弱弱弱波峰波峰波谷波谷 簡言之，幾列波疊加時產(chǎn)生強度強幾列波疊加時產(chǎn)生強度強弱的穩(wěn)定分布現(xiàn)象弱的穩(wěn)定分布現(xiàn)象叫波的干涉波的干涉。S

23、1S2強強強強強強弱弱弱弱弱弱弱弱波峰波峰波谷波谷水波水波干涉干涉實驗實驗相長相長相消相消相相長長相消相消 能產(chǎn)生干涉的波叫相干波相干波；相應的波源叫相干波源相干波源。 相干條件相干條件：頻率相同；位相：頻率相同；位相差恒定；振動方向相同。差恒定；振動方向相同。否則不相干。否則不相干。為什么要滿足這些條件？為什么要滿足這些條件？2、相干加強、減弱的條件、相干加強、減弱的條件 波程差波程差 設波源 的 相同相同，且兩波在疊加區(qū)域振動方向相同振動方向相同。12SS、 兩波在P點相遇的振動方程為：11112cos()yAtr22222cos()yAtr11S波源 初相22S波源初相12122()()

24、rrP點位相差波源位相差波源位相差傳播路程不同的位相差傳播路程不同的位相差1221rrrr令或叫波程差波程差2212122cosAAAA A按同方向、同頻率振動合成：11112cos()yAtr22222cos()yAtr221212121 22cos2cosAAAA AIIII I2IAcos干涉因子，影響合成的波的強度。如果疊加區(qū)域各點 不變，則各點 不變；如果疊加區(qū)域各點 變化，則各點 變化。干涉干涉無干涉無干涉II保持恒定恒定，則 保持恒定，強度穩(wěn)定分布。I 12122()()rr 哪些地方 最大（干涉相長）？哪些地方 最?。ǜ缮嫦嘞?,0,1,2,3kk (cos1)12121

25、2,2AAAIIII I（1）干涉極大（相長）波峰波峰-波峰、波谷波峰、波谷-波谷相遇波谷相遇II12122()()rr221212121 22cos2cosAAAA AIIII I(21)k 12121 2,2AAAIIII I0,1,2,3k 221212121 22cos2cosAAAA AIIII I(cos1) 干涉極?。ㄏ嘞┎ǚ宀ǚ?波谷相遇波谷相遇12121 2,2AAAIIII I2k 12121 2,2AAAIIII I(21)k 以上滿足了相干條件：以上滿足了相干條件：12121 2,2AAAIIII I2k 12121 2,2AAAIIII I(21)k 12max1,

26、2AAAAmin0Amax14IImin0I頻率相同；位相差恒定；振動方向相同。頻率相同；位相差恒定；振動方向相同。（2）12212,rr時P1S2S1r2r波程差波程差(21)2kk干涉相長干涉相消0,1,2,3k 問：如果兩振動頻率不同？如果位相差問：如果兩振動頻率不同？如果位相差 不恒定？不恒定？如果兩振動方向不同如果兩振動方向不同 ？還有干涉嗎？還有干涉嗎？12122()()rr三、駐波（干涉特例）三、駐波（干涉特例） 特殊情況下，如果兩振幅相同、沿相反方向傳播的相干波疊加，其干涉有何特點？1、駐波方程、駐波方程 駐波駐波同一媒質(zhì)中，兩列振幅相同的相干波在同一直線上沿相反方向傳播時疊加

27、而形成的波。xuuoy 設兩波在原點的振動初相均為0122cosyyyAtx2cosAtx 122cosyyyAtx2cosAtx22coscosyAxt 疊加原理討論：（1）各點都在做同頻率、不同振幅的諧振動）各點都在做同頻率、不同振幅的諧振動2( )2cosA xAx諧振因子xuuoy2( )2cosA xAx22coscosyAxtyxuou/2434544波波腹腹波波節(jié)節(jié)振幅分布222cos1,0,1,22xxkxkk 當( )2 ,2cosA xAyAt 波腹（振幅最大，為波腹（振幅最大，為2A）22cos0,(21),(21)24xxkxk 當0y 0A 波節(jié)（振幅最小，為波節(jié)（振

28、幅最小，為0）波節(jié)（始終不動 ） 波腹駐波形成過程圖駐波形成過程圖( 22 )AyA0y 0t / 4tT/ 2tT3/ 4tT（2）無位相傳播，同段同相，鄰段反相，無波形移動）無位相傳播，同段同相，鄰段反相，無波形移動yxuou/2434544波波腹腹波波節(jié)節(jié)2“駐波駐波”22coscosyAxt2, 2 cos044xAx2()22x32, 2 cos044xAx23()22x0,2 cos;,2 cos2xyAtxyAt cos01cos1 （3）因能流反向，故無能量傳播）因能流反向，故無能量傳播2、“半波損失半波損失”問問題題 當波入射到兩介質(zhì)分界面時，入射波和反射波疊加可以形成駐波。

29、 若反射波不動，反射點是波節(jié)。意味著在反射點，入射波和反射波位相相反，即反射波位相突變 ，相當于波程差 ，或者說波反射時損失半個波長。/2 波在反射點位相突變 的現(xiàn)象半波損失半波損失什么時候有半波損失？什么時候有半波損失？可以證明：當垂直入射時，決定于u 從從 小小 大，反射波有半波損失，界面波節(jié)大，反射波有半波損失，界面波節(jié)uu（波疏）（波疏）（波密）（波密） 從從 大大 小，反射波無半波損失，界面波腹小，反射波無半波損失，界面波腹uu（波密）（波密）（波疏）（波疏）3、“自由端自由端”“”“固定端固定端”問題問題 設x=0處為端點。反射點可能是波腹，也可能是波節(jié)。xo入射波入射波反射波反射

30、波cos()xyAtu入0cosyAt入0cosyAt反cos()xyAtu反22coscosyyyAxt反230,2 222kxx為波腹位置O端端自由端自由端0,1,2k 反射點是波腹反射點是波腹xo入射波入射波反射波反射波 若O端固定不動O端端固定端固定端cos()xyAtu入0cosyAt入0cosyAt反（）cos cos ()xyAtu反22 sinsinyyyAxt 入反230,2 222kxx為波節(jié)位置0,1,2k 反射點是波節(jié)反射點是波節(jié)S1Cvv反射端為固定點反射端為固定點反射端為自由端反射端為自由端反射端為反射端為固定點固定點：波節(jié)波節(jié)。入射波在反射時有。入射波在反射時有

31、的的相位變相位變。反射點為反射點為自由端自由端：波腹波腹。半波損失半波損失 什么是駐波共振？如果將緊弦兩端固定，撥動弦，產(chǎn)生波動，來回反射，合成駐波。 穩(wěn)定駐波條件：2Ln1,2,3n 2nLn2nnunTL能形成穩(wěn)定駐波的那些頻率不連續(xù)：123,n 弦振動本征或固有頻率本征或固有頻率1n 2n 3n 4n 4、駐波共振現(xiàn)象、駐波共振現(xiàn)象1n 2L12uL基頻2n 22L222uL2n 諧頻1nn1n 2n 3n 4n 2nnunTL2Ln2Ln2nnTL123,n 弦振動本征或固有頻率本征或固有頻率 如果外界策動源頻率=某個本征頻率時，將激起強的駐波該現(xiàn)象叫做駐波共振駐波共振。 如果外界策動

32、源頻率=某個本征頻率時，將激起強的駐波該現(xiàn)象叫做駐波共振駐波共振。 駐波有多個固有頻率，與彈簧振子只有一個固有頻率不同。駐波共振舉例：駐波共振舉例： 電動音叉；弦樂（二胡）；激光諧振腔；微波振蕩器；鼓面（二維駐波）；量子力學中一維無限深勢阱等千斤千斤碼子碼子L 四、衍射、散射、反射、折射四、衍射、散射、反射、折射 衍射衍射波在前進中遇到障礙物時，傳播方向發(fā)生波在前進中遇到障礙物時，傳播方向發(fā)生改變，能繞過障礙物邊緣繼續(xù)前進的現(xiàn)象。改變，能繞過障礙物邊緣繼續(xù)前進的現(xiàn)象。 由惠更斯原理，波陣面上的點是子波源。右上圖小孔是子波源。發(fā)出球面子波，能傳到障礙物右邊被擋住部分。這樣，波繞過了障礙物繼續(xù)前進

33、。 右下圖衍射不顯著，孔大，衍射波基本上還是平面波。只孔邊緣衍射。 衍射的顯著程度與障礙物或小孔尺寸d及波長有關。,d衍射顯著；,d衍射不明顯d一定， 大衍射顯著 所以，無線電波波長長，能繞過很大的障所以，無線電波波長長，能繞過很大的障礙物如建筑物、高山，電視信號、電臺信號能礙物如建筑物、高山，電視信號、電臺信號能進入千家萬戶。進入千家萬戶。 光波波長短，很難衍射，需要特殊光學裝置。光波波長短，很難衍射，需要特殊光學裝置。X射線波長更短，一般光學衍射裝置不能使其衍射線波長更短，一般光學衍射裝置不能使其衍射，要晶體才能衍射。射，要晶體才能衍射。 散射散射波傳到媒質(zhì)中懸浮粒子（如塵埃、雜質(zhì)、波傳到

34、媒質(zhì)中懸浮粒子（如塵埃、雜質(zhì)、汽泡、煙霧粒子、密度起伏），這些粒子也成為子波汽泡、煙霧粒子、密度起伏），這些粒子也成為子波源發(fā)射波動。源發(fā)射波動。手電手電光柱光柱 如光在均勻介質(zhì)中直線傳播，由于有如光在均勻介質(zhì)中直線傳播，由于有灰塵等從側(cè)面可看到顯灰塵的光柱灰塵等從側(cè)面可看到顯灰塵的光柱 太陽光通過大氣層，受大氣分子（分子密太陽光通過大氣層，受大氣分子（分子密度起伏）散射，藍色光散射最強，可看到蔚藍度起伏）散射，藍色光散射最強，可看到蔚藍色的天空。色的天空。 因為有散射，能看到明媚柔和的陽光，否因為有散射，能看到明媚柔和的陽光，否則，正對太陽看則，正對太陽看,十分刺眼，而周圍黑洞洞的。十分刺眼

35、，而周圍黑洞洞的。 宇航員在太空正對著星體才看到亮光，周圍黑洞洞的。宇航員在太空正對著星體才看到亮光，周圍黑洞洞的。AABBiiidd12341234 反射反射用惠更斯原理作圖可以得到反射定律反射定律如圖，光線1最先到達A點，發(fā)射反射線球面子波。光線4最后到達B點，剛發(fā)射反射線子波，而A點子波已到達 。2、3光線介于前兩者之間。光線4到達B點時刻，各子波包跡便是該時刻波陣面AAABiiB由于反射波與入射波在同一介質(zhì)，傳播速度相同，故ddABBAA B全等于,ii 且入射線、反射線、法線共面反射定律反射定律AABBiiidd12341234AiiB 折射折射用惠更斯原理作圖可以得到折射定律折射定

36、律ABid1234iBLABAiiiB1234d14波在兩介質(zhì)中速度不同1u2u21uudd1dut2dut sindLisindLi1212sinsinuiniu折射定律折射定律21uuii若，則ii 2-5 多普勒效應多普勒效應一、什么是多普勒效應？一、什么是多普勒效應？ 前面已經(jīng)討論：波源和觀察者相對媒質(zhì)靜止波源頻率=波的頻率=接收頻率 當波源或觀察著相對于媒質(zhì)運動，三頻率還相同嗎？例如，火車鳴笛而來，音調(diào) ，鳴笛而去，音調(diào) 說明：觀察者接收的頻率 波源的頻率 由于波源或觀察者（或兩者）相對于媒質(zhì)運動，使由于波源或觀察者（或兩者）相對于媒質(zhì)運動，使觀察者接收的頻率與波源頻率不同，這種現(xiàn)象

37、稱為觀察者接收的頻率與波源頻率不同，這種現(xiàn)象稱為多多普勒效應普勒效應接收的頻率與波源的頻率究竟存在什么關系？二、多普勒頻移公式二、多普勒頻移公式s波源（source）頻率（發(fā)出振動數(shù)/秒）receiverR接收（)頻率（接收振動數(shù)/秒）(u波的頻率， =媒質(zhì)振動數(shù)/秒）u波在媒質(zhì)中的速度（波速）Rv 觀察者對媒質(zhì)的速度sv 波源對媒質(zhì)的速度討論幾種情況討論幾種情況：R觀察者S波源1、S、R、媒質(zhì)相對靜止、媒質(zhì)相對靜止，Rs2、S不動不動sRvv =0,0SR三個速度，三個頻率R向S運動：RvRSu=uRvu:RRvu“感受”的波速:RRvuR“感受”的頻率u又 =s/RRRssvuuvuuR離

38、S運動：RRssuvu3、S運動運動sRvv 0,=0RS0CABsT 振動周期ssv TsTSSS每隔 發(fā)一個振動第一振動從A發(fā)出經(jīng) 達CsT第二振動將從B發(fā)出波長兩位相差為 兩點間距。2（同相點間距）第二振動從B發(fā)出時，同相點（ ）是B、C（非A、C）2svS向R運動2BC2ACRS0CABsT 振動周期ssv TSSsvS向R運動此時波長 。BC若S不動：0/ssACuTu0()()/ssssssv Tuv Tuv 而媒質(zhì)中u=R不動Rssuvu 第二振動從B發(fā)出時，同相點（ ）是B、C（非A、C）22BCRSssuvuR不動RRsssuuvRSsvsvRsssuuv若S離R運動：RSR

39、vsvRRssuvuvRSRvsvRRssuvuv4、S、R都對媒質(zhì)運動都對媒質(zhì)運動RRsuvuRRsuvuRSRvRSRvRSsvRSsvRssuuvRssuuvv 接收接收2001 February 21 A Sonic BoomF/A-18 Hornet5、電磁波頻移公式、電磁波頻移公式電磁波傳播不需要媒質(zhì)，以光速c傳播 由相對論可以證明得：11Rsvcvc11Rsvcvc波源與觀察者相向波源與觀察者相離所以，光源遠離觀察者， 變長，移向紅端Rs“紅移紅移” 實驗證明：來自星體的光譜較地球上同一元素的光譜，幾乎都有“紅移”。說明星體正遠離地球四面飛去（相互離開）這一結(jié)果支持了這一結(jié)果支持

40、了“宇宙大爆炸宇宙大爆炸”理論理論Rs變長光源遠離觀察者“紅移紅移” “宇宙大爆炸”首先由比利時數(shù)學家勒墨策于1927年提出。1948年，俄國物理學家伽莫夫進行具體化，建立了“大爆炸宇宙模型” 認為宇宙起源于150億年前的一個密度極大、溫度極高的“原始火球”。原因是，既然現(xiàn)在宇宙在膨脹，反推回去，宇宙最初則是一個奇點（密度無限大、溫度無限高），現(xiàn)在的理論無法描述。那時無原子、分子，更談不上星系、恒星。t=0時刻，發(fā)生爆炸，啟動膨脹，密度降低，溫度降低，在這個過程中發(fā)生一系列相變，后來形成了原子、分子、星體、千姿百態(tài)的物質(zhì)世界?，F(xiàn)在星體還在相互遠離。（是否再收縮？不清楚） 大爆炸模型描述了宇宙演

41、化過程，而且有許多實驗證據(jù)。“大爆炸宇宙模型大爆炸宇宙模型”例題： 汽車駛過車站前后，站上觀察者測得其聲音頻率從1200Hz變到1000Hz。已知聲速為330m/s，求車速。解：svsvR不動SS0Rv RRssuvuvRRssuvuv1Rssuuv2Rssuuv11200R21000R330u ?sv 先S向R運動：后S離R運動：svsvR不動SS0Rv 1Rssuuv2Rssuuv11200R21000R330u 先S向R運動： 后S離R運動：12301.2,RssRsuvmvsuv解出 2-6 習題總結(jié)與例題習題總結(jié)與例題一、波函數(shù)的建立一、波函數(shù)的建立 1、已知某點振動（振動方程、振動

42、初始條件、振、已知某點振動（振動方程、振動初始條件、振動圖線等）求波函數(shù)動圖線等）求波函數(shù) 2、由已知波形求波函數(shù)、由已知波形求波函數(shù)基本方法基本方法：設法求出設法求出 ，或?qū)懗鲆稽c振動方程，或?qū)懗鲆稽c振動方程 波函數(shù)波函數(shù), , ,Au cos()xyAtu0cos()yAty, , ,A 2cos()yAtxuu0 xxx0cos()yAt00cos()xxyAtcos()xyAtu00cos()xxxyAtucos()xyAtu00cos()xxxyAtu0cos()yAty00cos()xxyAt2cos()yAtx2cos(+)yAtx二、已知波函數(shù)二、已知波函數(shù) 求求,y x t1

43、、,( , ), ,Tu Axt 2txtxu tT （兩點間）（兩點間）對照標準方程：cos()xyAtu2cos()yAtx2、某點的振動情況：0,y x t0,v x t振動圖線等3、某時刻波形：0,y x tyx 曲線yt曲線三、作圖三、作圖t1時刻波形 t2時刻波形21ttxT 平移某點振動曲線 某時刻波形曲線求波函數(shù)求波函數(shù)或直接畫或直接畫四、波的疊加四、波的疊加1、由分波求相遇點的合振動、判斷干涉強弱221212121 22cos2cosAAAA AIIII I2k 12AAA(21)k 12AAA121 22IIII I121 22IIII I2、駐波： 行波 駐波方程， ，波

44、節(jié)、波腹位置。( )A x駐波 行波A、 等。注意自由端、固定端注意自由端、固定端22coscosyAxt對照xo入射波入射波反射波反射波O自由端自由端cos()xyAtu入cos()xyAtu反cosyAt入0cosyAt反0 xo入射波入射波反射波反射波cos()xyAtu入cos()xyAtu反22coscosyyyAxt反2kx波腹位置O自由端自由端0,1,2k xo入射波入射波反射波反射波O端端固定端固定端cos()xyAtu入cos cos ()xyAtu反22 sinsinyyyAxt 入反2kx波節(jié)0,1,2k cosyAt入0cos+yAt反0（）例題1：求下列波函數(shù) （1）

45、x正向傳播的波，原點在計時起點向y負方向運動且位移為A/2（u=1m/s, ）。11s （2）如右圖 曲線。yt （3）沿x正向傳播的波， 某時刻波形如右圖， 。0,yt0.51( )t s1x( , )y x t1mooAutt（4）沿x正向傳播的波，11ums波形方程：1( , )cos(2)22y xx解：（1）Au、 、 已知，求 即可cos()xyAtu已知設原點cos()yAt0sin0vA 已知：原點在計時起點向y負方向運動且位移為A/20cos2AyAsin03cos()3yAtx11s11umscos()xyAtu故原點振動方程：cos()3yAt波函數(shù)y30,yt0.51(

46、 )t s11mo（2）由原點振動曲線可知(0,0)cos0.5yA1A cos0.53 (0,0)sin0(,sin0vA 斜率）3 0,yt0.5111mo( )t syy由圖,13tt 30,yt0.5111moy( )t sy1A 26T16uTcos()xyAtucos()cos(2)133336xyttx2cosyAtx或cos(2)33tx3 31mx( , )y x toAutt（3） 時刻波形如右圖 tt設原點cos()yAtttcos()0yAt原點sin()0dyAtdt 2t2t題中，Au、 、 已知coscosOy AtAtt點: =+2所以波函數(shù)為cos()xyAt

47、tu2已知（4）沿x正向傳播的波，11ums波形方程：1( , )cos(2)22y xx( , )cos()xy x tAtu12t 111( , )cos()cos()222xy xAAxu1( , )cos(2)cos2222y xxx又312,2 ;,222Axx 3cos 2 ()2ytx例題2：xyab 沿x正向傳播的波，10,Acm17 rad s。1.0ts時，10axcm處 點過平衡位置向y負方向運動，此時，a20bxcm處 點正通過 處向y正方向運動，b5.0ycm（設 ），求波函數(shù)。10cm解： 由題意，10,2ababxcm0.1 , ,7 ,1.0 ,Amtsu求cos()xyAtuxyabcos()xyAtu0.10.1cos 7 (1)0ayu 點過平衡位置點過平衡位置向向y負方向運動負方向運動a0.1 , ,7 ,1.0 ,Amtsu求10.10.7 sin 7 (1)0ax atdyvdtu 0.17 (1)(1)2u2xyab0.20.1cos 7 (1)0.05byu 點正通過點正通過 處向處向y正方向運動，正方向運動，5.0ycmb10.20.7 sin 7 (1)0bx btdyvdtu 0.27 (1)(2)3u 3xyab0.17 (1)(1)2u0.27 (