機(jī)械振動基礎(chǔ)第四章多自由度系統(tǒng)

1、將具體的結(jié)構(gòu)簡化成：多個以各種方式相連接的離散將具體的結(jié)構(gòu)簡化成：多個以各種方式相連接的離散質(zhì)量、彈性元件和阻尼元件組成的質(zhì)量、彈性元件和阻尼元件組成的離散振動系統(tǒng)離散振動系統(tǒng)。這種系統(tǒng)稱為多自由度振動系統(tǒng)。描述它振動的運(yùn)動這種系統(tǒng)稱為多自由度振動系統(tǒng)。描述它振動的運(yùn)動微分方程為微分方程為常微分方程組常微分方程組。 第第4章章 多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng) 23231221222222122121111111)()()()()()(xcxkxxcxxktFxmxxcxxkxcxktFxm )(tFxKxCxM 本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：1) 多自由度系統(tǒng)振動的基本理論，多自由度系統(tǒng)的多自由度系統(tǒng)振動的基

2、本理論，多自由度系統(tǒng)的固有固有頻率和振型的理論頻率和振型的理論；2) 分析多自由度系統(tǒng)動力響應(yīng)常用的分析多自由度系統(tǒng)動力響應(yīng)常用的振型迭加方法振型迭加方法；3) 用用變換方法變換方法求多自由度系統(tǒng)求多自由度系統(tǒng)動力（態(tài)）響應(yīng)動力（態(tài)）響應(yīng)的問題。的問題。 4.1 運(yùn)動微分方程運(yùn)動微分方程n個自由度的振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程可以寫為個自由度的振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程可以寫為)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 一般一般 MCK 不會同時為對角矩陣，方程存在耦合。不會同時為對角矩陣，方程存在耦合。解解耦是在時域內(nèi)求解方程的重要一環(huán)。耦是在時域內(nèi)求解方程的重要一環(huán)。 分別叫：分別叫：矩陣矩陣 向量

3、向量在靜力學(xué)中，各自由度的位移在靜力學(xué)中，各自由度的位移x、系統(tǒng)的剛度矩陣、系統(tǒng)的剛度矩陣K、各自由度上所受到的外力關(guān)系為：各自由度上所受到的外力關(guān)系為：剛度矩陣剛度矩陣K的元素的元素kij的意義的意義 ：xKf如系統(tǒng)第如系統(tǒng)第j個自由度沿其坐標(biāo)正方向有一個個自由度沿其坐標(biāo)正方向有一個單位位移單位位移，其余其余各個自由度的位移保持各個自由度的位移保持為零為零，為保持系統(tǒng)這種變形狀，為保持系統(tǒng)這種變形狀態(tài)態(tài)需要在需要在各個自由度各個自由度施加外力施加外力，其中在第其中在第i個自由度上施個自由度上施加的外力就是加的外力就是kij。 11121112122222j 1212 0010jjnjjnjj

4、jjjnjjnnnjnnnjfKekkkkkkkkkkkkkkkkkkkk K的定義：外力的定義：外力f正好是剛度矩陣正好是剛度矩陣K的第的第 j 列。列。 系統(tǒng)第系統(tǒng)第j個自由度有一個正向單位位移，其余自由度位移個自由度有一個正向單位位移，其余自由度位移為零這種變形狀態(tài)可以由向量為零這種變形狀態(tài)可以由向量xej描述。描述。為使系統(tǒng)保持為使系統(tǒng)保持ej的變形狀態(tài)，所加的外力為：的變形狀態(tài)，所加的外力為： 例例 4.1 求圖示的簡化的汽車求圖示的簡化的汽車4自由度模型的剛度矩陣。自由度模型的剛度矩陣。 解：取解：取yA,yB,y1,y2為描述系統(tǒng)運(yùn)動的廣義坐標(biāo)，即為描述系統(tǒng)運(yùn)動的廣義坐標(biāo)，即 x

5、=yA,yB,y1,y2T 各個自由度原點(diǎn)均取靜平衡位置，各個自由度原點(diǎn)均取靜平衡位置，向上為正向上為正。(1) 求求K的第一列：設(shè)的第一列：設(shè)yA沿坐標(biāo)正方向有一個單位位沿坐標(biāo)正方向有一個單位位 移，其余廣義坐標(biāo)位移為零，則只有移，其余廣義坐標(biāo)位移為零，則只有k2被伸長，此時：被伸長，此時：外力外力f=?f1=k2; f2=0;f3=-k2;f4=011121112122222j 1212 0010jjnjjnjjjjjnjjnnnjnnnjfKekkkkkkkkkkkkkkkkkkkk k11=k2; k21=0;k3l=-k2;k41=0(2)求求K的第二列：的第二列：yB k120，

6、k22k4， k32=0， k42=-k4 坐標(biāo)坐標(biāo)x=yA,yB,yl,y2T(3)求求K的第三列。設(shè)的第三列。設(shè)yl k13-k2， k230， k33=k2+k1， k43=0 (4)求求K的第四列。設(shè)的第四列。設(shè)y2 k14=0， k24=-k4， k34=0， k44k2+k4 434212442200000000kkkkkkkkkkK三種求三種求K的方法：？的方法：？牛頓法、求偏倒法（能量法）、定義法。牛頓法、求偏倒法（能量法）、定義法。坐標(biāo)坐標(biāo)x=yA,yB,yl,y2T212121xKxUxCxDxMxETTTTjiTijxxEm 2jiijxxDc2jiijxxUk2 jii

7、jjiijjiijjiijjiijTjiTijkxxUxxUkcxxDxxDcmxxExxEm222222質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣均是對稱矩陣。質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣均是對稱矩陣。 用求偏倒的方法寫用求偏倒的方法寫M C K矩陣：矩陣：定義法和牛頓法比較麻煩，一般用能量法比較方便：定義法和牛頓法比較麻煩，一般用能量法比較方便：1) 寫系統(tǒng)的動寫系統(tǒng)的動能、能量耗散能、能量耗散函數(shù)和勢能函數(shù)和勢能 2) 求求偏導(dǎo)偏導(dǎo)3) 得到矩陣得到矩陣222211222121222ymymLyyIyyMEABBAT針對本例：系統(tǒng)的動能為桿的平動針對本例：系統(tǒng)的動能為桿的平動動能和轉(zhuǎn)動動能與兩個質(zhì)量的

8、動能動能和轉(zhuǎn)動動能與兩個質(zhì)量的動能之和，設(shè)桿的質(zhì)心在桿的中點(diǎn)，質(zhì)之和，設(shè)桿的質(zhì)心在桿的中點(diǎn)，質(zhì)量為量為M。系統(tǒng)的動能為：。系統(tǒng)的動能為： 044434242314132221122222441212332222222211mmmmmLIMyyEmmmyEmmyEmLIMyEmLIMyEmBATTTBTAT21222200000000440044mmLIMLIMLIMLIMM坐標(biāo)系坐標(biāo)系 x=yA,yB,y1,y2TjiTijxxEm 2xKfxCfxMfsim 由系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣可以得到系統(tǒng)由系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣可以得到系統(tǒng)的慣性力、阻尼力和彈性力：的慣性力、阻

9、尼力和彈性力：它們的分量分別為施加于它們的分量分別為施加于各個自由度上各個自由度上的慣性力、阻的慣性力、阻尼力和彈性力。尼力和彈性力。求解方程：求解方程：)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 求解一種方法是尋找一個新廣義坐標(biāo)系，使得系統(tǒng)求解一種方法是尋找一個新廣義坐標(biāo)系，使得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為對角矩陣對角矩陣。也就是。也就是解耦解耦。新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系存在新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系存在線性變換線性變換關(guān)系，因此，要關(guān)系，因此，要尋找一個尋找一個可逆線性變換矩陣可逆線性變換矩陣u，將質(zhì)量矩陣、阻尼矩，將質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣變換為對角矩陣。陣

10、和剛度矩陣變換為對角矩陣。為此，我們討論為此，我們討論線性變換前后線性變換前后多自由度系統(tǒng)運(yùn)動微多自由度系統(tǒng)運(yùn)動微分分方程的關(guān)系方程的關(guān)系。 設(shè)有可逆線性變換設(shè)有可逆線性變換u，使得，使得 yux ,yuxyux 因而有因而有稱稱x為舊坐標(biāo)系，為舊坐標(biāo)系，y為新坐標(biāo)系。為新坐標(biāo)系。 2121)()(21211yCyyuCuyyuCyuxCxDTTTTT2121)()(21211yMyyuMuyyuMyuxMxETTTTTT2121)()(21211yKyyuKuyyuKyuxKxUTTTTT系統(tǒng)的動能、勢能和能量耗散函數(shù)與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，系統(tǒng)的動能、勢能和能量耗散函數(shù)與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，也就是說

11、，它們是坐標(biāo)變換下的不變量也就是說，它們是坐標(biāo)變換下的不變量, 因此有：因此有：111uKuKuCuCuMuMTTT新舊坐標(biāo)系下矩陣的關(guān)新舊坐標(biāo)系下矩陣的關(guān)系：系：兩邊左乘兩邊左乘uT ，根據(jù)：，根據(jù)：111pfuyKyCyMT fyuKyuCyuM 將將x=uy代入方程：代入方程：得到，新坐標(biāo)系得到，新坐標(biāo)系y下的運(yùn)動微分方程：下的運(yùn)動微分方程： fupT111uKuKuCuCuMuMTTT得到：得到：其中：其中：是新坐標(biāo)是新坐標(biāo)y下的下的廣義激勵廣義激勵。 )0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 1yMxMuT此時，方程此時，方程解耦解耦了！了！為求為求x=uy的逆變換，在其兩邊左乘的

12、逆變換，在其兩邊左乘uTM得得 即：即： 11xMuMyT坐標(biāo)系坐標(biāo)系y下的初始條件為：下的初始條件為：)0()0()0()0(1111xMuMyxMuMyTT111pfuyKyCyMT 問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)y 微分方程的定解微分方程的定解 )0()0()0()0(1111xMuMyxMuMyTT思路：思路：x坐標(biāo)系下坐標(biāo)系下的微分方程的微分方程和初試條件和初試條件x坐標(biāo)系下坐標(biāo)系下的微分方程解的微分方程解y坐標(biāo)系下坐標(biāo)系下的微分方程的微分方程和初試條件和初試條件耦合，不能求耦合，不能求解解u坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)轉(zhuǎn)換解耦解耦y坐標(biāo)系下坐標(biāo)系下的微分方程解的微分方程解微分方程相微分方程相互，可求

13、解互，可求解uT坐標(biāo)逆轉(zhuǎn)換坐標(biāo)逆轉(zhuǎn)換4.2 固有頻率與振型固有頻率與振型 系統(tǒng)的系統(tǒng)的固有頻率和振型一一對應(yīng)固有頻率和振型一一對應(yīng)。系統(tǒng)求解的思路：系統(tǒng)求解的思路：1) 設(shè)系統(tǒng)解為簡諧振動：設(shè)系統(tǒng)解為簡諧振動：2) 代入微分方程：代入微分方程：3) 得到廣義特征值問題：得到廣義特征值問題：4) 得到得到特征方程特征方程或或頻率方程：頻率方程：5) 求得求得w w1 1，w w2 2并取并取w w1 1w w2 2 ;6) 代回廣義特征值問題，求得振型代回廣義特征值問題，求得振型u。)cos()(wtAtg0)()(tguKtguM 0)(2uMKw0)(22MKww0 xKxM tuxwcos

14、 無阻尼自由振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為：無阻尼自由振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為：在在特殊初始激勵特殊初始激勵下，系統(tǒng)無阻尼自由振動是下，系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡諧振動簡諧振動，也，也就是固有振動。形式為：就是固有振動。形式為：其中，其中，u和和w w是待求的振型和固有頻率。是待求的振型和固有頻率。0cos)(2tuKuMww0)(2uKMw02ijijmkw這就是這就是頻率方程頻率方程。 0)(2rruMKw nr, 2 , 1 將將代入方程代入方程得到得到 tuxwcos0 xKxM 方程有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的行列式為零，即：方程有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的行列式為零，即： 這是以這是以w

15、 w2 2為未知數(shù)的為未知數(shù)的n次代數(shù)方程次代數(shù)方程，解之可得，解之可得n個根個根，w w1 1， w w2 2 ，. . . w. . . wn 。依次代入廣義特征值問題方程可以得到。依次代入廣義特征值問題方程可以得到n個方程個方程廣義特征值問題廣義特征值問題求出與求出與w w2r相對應(yīng)的非零的相對應(yīng)的非零的ur 。就是與固有頻率。就是與固有頻率對應(yīng)的對應(yīng)的振型。振型。0)(2rruMKw由：由：固有頻率固有頻率振型振型如果如果w w2r是是頻率方程（是是頻率方程（4.13）的）的k重根（重根（k正整數(shù)，正整數(shù)，k0。 這是一個這是一個對稱系統(tǒng)對稱系統(tǒng)，對稱點(diǎn)為彈簧是的中點(diǎn)。它有兩，對稱點(diǎn)為

16、彈簧是的中點(diǎn)。它有兩種固有振動：種固有振動：mmMkkkkK00,1)寫寫K M：mk /2, 021ww2) 由特征方程計(jì)算固有頻率：由特征方程計(jì)算固有頻率： 3) 取取w wr2的正平方根的正平方根w wr，稱為系統(tǒng)的第，稱為系統(tǒng)的第r階固有頻率，而相階固有頻率，而相應(yīng)地稱應(yīng)地稱ur為系統(tǒng)的第為系統(tǒng)的第r階固有振型，簡稱振型。并將固階固有振型，簡稱振型。并將固有頻率按由小到大的順序編號有頻率按由小到大的順序編號nwww21系統(tǒng)的固有頻率和振型與激勵無關(guān)，由系統(tǒng)的固有頻率和振型與激勵無關(guān)，由K和和M決定。決定。 同樣，由能量法可獲得相同的結(jié)果：同樣，由能量法可獲得相同的結(jié)果：0)(22MKw

17、w如果振型如果振型ur 滿足滿足則對任意非零常數(shù)則對任意非零常數(shù)c，cur也滿足上式。也滿足上式。即振型只是給出了振動方向和即振型只是給出了振動方向和相對振幅相對振幅，而振型大小，而振型大小需要人為指定。需要人為指定。稱指定振型的大小為稱指定振型的大小為振型的正規(guī)化振型的正規(guī)化。0)(2rruMKw(1)令令ur滿足滿足 1rTruMu此時在式此時在式(4.14)兩邊左乘兩邊左乘urT可得可得 22rrTrrrTruMuuKuww振型正規(guī)化振型正規(guī)化方案有多種，常用的有以下幾種：方案有多種，常用的有以下幾種：0)(2rruMKw(2)令令ur的某一分量（常取的某一分量（常取絕對值最大絕對值最大

18、的分量的分量 ）為）為1；其他分量等比縮小。其他分量等比縮小。 如：如： ur=2, 1.4, 0.8, 0.6正規(guī)化正規(guī)化 得到：得到：ur=1, 0.7, 0.4, 0.3振型的性質(zhì)：振型的性質(zhì)：屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質(zhì)量屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為權(quán)正交，這個性質(zhì)稱為矩陣和剛度矩陣為權(quán)正交，這個性質(zhì)稱為振型的正交性振型的正交性。 00rTsrTsuKuuMusr srww前提：前提：數(shù)學(xué)表示為：數(shù)學(xué)表示為： 證明過程：證明過程： 由由0)(2rruMKw可得可得2rrruMuKw2sssuMuKwsrww這里這里左乘左乘usT 得：得：2rrruMu

19、Kw2sssuMuKw左乘左乘urT ，再轉(zhuǎn)置得：，再轉(zhuǎn)置得：2rTsrrTsuMuuKuw2rTssrTsuMuuKuw)(022rTssruMuww不為不為0因此：因此：00rTsrTsuKuuMusr srww即：振型的正即：振型的正交性交性振型正交性的物理意義：振型正交性的物理意義： 假定系統(tǒng)的位移可以表示為第假定系統(tǒng)的位移可以表示為第s和第和第r階兩個振型的線性組階兩個振型的線性組合，即：合，即： )()(srutbutax其中：其中：ur、us 對對質(zhì)量矩陣歸一質(zhì)量矩陣歸一；a(t)、b(t)是時間的標(biāo)是時間的標(biāo)量函數(shù)。量函數(shù)。 則系統(tǒng)的動能和勢能為則系統(tǒng)的動能和勢能為 ：)()(

20、21)()()()(212122tbtautbutaMutbutaxMxEsrTsrTT令：令：srTsTrTUUUEEE則：則：)(21),(21)(21),(21222222tbUtaUtbEtaEssrrTsTrww)()(21)()()()(212122tbtautbutaMutbutaxMxEsrTsrTT)()(21)()()()(21212222tbtautbutaKutbutaxKxUsrsrTsrTww它們分別是第它們分別是第r、s階振型單獨(dú)存在時系統(tǒng)的動能和勢能，階振型單獨(dú)存在時系統(tǒng)的動能和勢能，稱為系統(tǒng)的第稱為系統(tǒng)的第r、s階動能和勢能。階動能和勢能。 這個結(jié)論對這個結(jié)論

21、對位移是任意位移是任意k k ( (k kn n) )個振型的線性組合的情況個振型的線性組合的情況也成立。也成立。 更進(jìn)一步：更進(jìn)一步：各個振型之間的動能、勢能不交換各個振型之間的動能、勢能不交換。各振型。各振型在振動時相互獨(dú)立、互不影響，如同一組彼此沒有關(guān)系在振動時相互獨(dú)立、互不影響，如同一組彼此沒有關(guān)系的單自由度系統(tǒng)振動時的情形一樣。的單自由度系統(tǒng)振動時的情形一樣。 mkk122wmk1w由全體振型構(gòu)成的向量組是線性無關(guān)的由全體振型構(gòu)成的向量組是線性無關(guān)的。是一個。是一個基基。 響應(yīng)響應(yīng)x 可以被系統(tǒng)的振型線性表出可以被系統(tǒng)的振型線性表出 ：2211nnuyuyuyx即：即：展開定理展開定

22、理。振動系統(tǒng)響應(yīng)是系統(tǒng)。振動系統(tǒng)響應(yīng)是系統(tǒng)n個振型的線性組合。個振型的線性組合。矩陣形式：矩陣形式：x=uy )0()0()0()0(02xMuyxMuyyyTTr w0 xKxM 振型的正規(guī)正交化條件：振型的正規(guī)正交化條件： 1)先引入符號先引入符號 srsrrs01是單位矩陣是單位矩陣E的元素的元素 )(rsE2)振型的正規(guī)正交化條件可寫為：振型的正規(guī)正交化條件可寫為： nsruKuuMursrrTsrsrTs,12w定義振型矩陣定義振型矩陣u，它的列向量為相應(yīng)的振型它的列向量為相應(yīng)的振型，即，即 ,21nuuuu因此，有因此，有 ,21nuMuMuMuM且且 ,2121nTnTTTuMu

23、MuMuuuuMu212221212111EuMuuMuuMuuMuuMuuMuuMuuMuuMunTnTnTnnTTTnTTTnsruKuuMursrrTsrsrTs,12w同樣同樣 000000222221rnTuKuwwwwnsruKursrrTs,12w因此：屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和因此：屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為權(quán)正交，這就是剛度矩陣為權(quán)正交，這就是振型的正交性振型的正交性。更進(jìn)一步，證明：更進(jìn)一步，證明：由全體振型由全體振型ur構(gòu)成的向量組構(gòu)成的向量組u是線性是線性無關(guān)的無關(guān)的。 1)線性無關(guān)定義：線性無關(guān)定義：如果一組向量如果一組向

24、量x1，x2，xn由方程由方程 02211nnxxx只能得出，只能得出，則向量則向量x1，x2，xn線性無關(guān)線性無關(guān)。也就是說，。也就是說，它們它們是是xx空間的一個正交基。空間的一個正交基。 021n2) 同樣，如果同樣，如果u空間（振型空間）有：空間（振型空間）有：02211nnuuu則方程兩邊左乘則方程兩邊左乘u1TM得：得： 01212111nnuMuuMuuMu由于振型的正交性，有由于振型的正交性，有 0111uMu不為不為0所以有所以有 013)按此方法，依次對按此方法，依次對兩邊左乘兩邊左乘 ，將得到，將得到 MuTr02211nnuuu021n4) 因此振型因此振型u1，u2，

25、un是線性無關(guān)的。是線性無關(guān)的。 振型矩陣振型矩陣u的列向量是線性無關(guān)的；的列向量是線性無關(guān)的； 振型矩陣振型矩陣u為為可逆矩陣可逆矩陣。 振型振型ur是是n維向量空間的一個向量，且維向量空間的一個向量，且n個振型是線性無個振型是線性無關(guān)的，因此：關(guān)的，因此：n個振型構(gòu)成了個振型構(gòu)成了n維向量空間中的一個基維向量空間中的一個基，任何一個向量都可以被這任何一個向量都可以被這n個振型個振型線性表出線性表出。系統(tǒng)系統(tǒng)n個振型構(gòu)成的廣義坐標(biāo)為個振型構(gòu)成的廣義坐標(biāo)為振型坐標(biāo)振型坐標(biāo)，系統(tǒng)所有的響系統(tǒng)所有的響應(yīng)振動，都是這個基的線性組合應(yīng)振動，都是這個基的線性組合。三維向量空間的直角坐標(biāo)基三維向量空間的直

26、角坐標(biāo)基三維向量空間的柱坐標(biāo)基三維向量空間的柱坐標(biāo)基n自由度振動系統(tǒng)的自由度振動系統(tǒng)的響應(yīng)響應(yīng)x也是也是n維向量，可以被系統(tǒng)的維向量，可以被系統(tǒng)的振型振型ur線性表示線性表示，即有，即有:2211nnuyuyuyx這就是這就是展開定理展開定理，其中，其中yr(r1，2，n)是是響應(yīng)響應(yīng)x在第在第r個個基向量基向量ur下的坐標(biāo)（系數(shù)）。下的坐標(biāo)（系數(shù)）。 振動系統(tǒng)的響應(yīng)是系統(tǒng)振動系統(tǒng)的響應(yīng)是系統(tǒng)n個振型的線性組合。個振型的線性組合。 展開定理的矩陣形式為：展開定理的矩陣形式為： x=uy 其中，其中，y的分量為的分量為響應(yīng)響應(yīng) x x 在系統(tǒng)振型在系統(tǒng)振型 u u 下的坐標(biāo)下的坐標(biāo)。以式以式(4

27、.29)取代式取代式(4.5)，可以得到在振型坐標(biāo)下，可以得到在振型坐標(biāo)下n自由自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動的運(yùn)動微分方程。度系統(tǒng)無阻尼自由振動的運(yùn)動微分方程。 在振型在振型u坐標(biāo)下坐標(biāo)下n自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動的運(yùn)動自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動的運(yùn)動微分方程為微分方程為 )0()0()0()0(02xMuyxMuyyyTTr w分量形式分量形式為：為： ), 2 , 1()0()0()0()0(02nrxMuyxMuyyyTrTrrrr wN個獨(dú)立的單自由度方程個獨(dú)立的單自由度方程4.3 動力響應(yīng)分析動力響應(yīng)分析多自由度系統(tǒng)在外部激勵作用下的響應(yīng)分析稱為多自由度系統(tǒng)在外部激勵作用下的響應(yīng)分析稱為動

28、動力響應(yīng)分析力響應(yīng)分析。 常用方法常用方法有有：振型疊加方法和逐步積分方法振型疊加方法和逐步積分方法。特點(diǎn)：適。特點(diǎn)：適于已知系統(tǒng)的于已知系統(tǒng)的M、C、K和激勵和激勵f，求系統(tǒng)響應(yīng)，求系統(tǒng)響應(yīng)x(t)的情況。的情況。 振型疊加方法求解振型疊加方法求解n-DOF的振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程的步的振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程的步驟如下：驟如下： )0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 1) 求出系統(tǒng)的固有頻率和振型矩陣。求出系統(tǒng)的固有頻率和振型矩陣。 2) 做變換做變換 yux 代入式代入式并兩邊左乘并兩邊左乘uT，可得，可得:)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM pfuyKyuCuyMTrTr

29、)0()0(001001yxMuMyyxMuMyTrTr只有當(dāng)只有當(dāng) C C 滿足一定條件滿足一定條件時時uTCu才為才為對角對角矩陣矩陣（對角化）。（對角化）。 3) 方程解耦，采用單自由度系統(tǒng)求解方法。方程解耦，采用單自由度系統(tǒng)求解方法。工程上常設(shè)阻尼為工程上常設(shè)阻尼為Rayleigh阻尼，即：阻尼，即： rrrTCKMuCuCr是對角矩陣，它的第是對角矩陣，它的第r個對角元素為個對角元素為Cr，稱，稱Cr為系統(tǒng)為系統(tǒng)的的第第r階模態(tài)阻尼階模態(tài)阻尼或廣義阻尼。類似于單自由度系統(tǒng)，定或廣義阻尼。類似于單自由度系統(tǒng)，定義義系統(tǒng)的第系統(tǒng)的第r階阻尼比階阻尼比 ：rrrrKMC2此時，式此時，式(

30、4.33)可視為可視為n n個相互獨(dú)立的單自由系統(tǒng)個相互獨(dú)立的單自由系統(tǒng)的運(yùn)動的運(yùn)動微分方程。微分方程。 pyKyuCuyMrTr 寫成分量形式為寫成分量形式為 nryyyypyKyCyMrrrrrrrrrr,.,2 , 1)0(,)0(00 4) 如果振型矩陣如果振型矩陣u不能將阻尼矩陣不能將阻尼矩陣C對角化，即對角化，即uTCu不是對角矩陣，則式不是對角矩陣，則式(4.33)可寫為可寫為 ： pyKyCyMrnr 準(zhǔn)確求解式準(zhǔn)確求解式(4.38)的方法比較復(fù)雜。多數(shù)情況下，的方法比較復(fù)雜。多數(shù)情況下，實(shí)實(shí)踐證明：踐證明：在系統(tǒng)的各階固有頻率間隔較大，阻尼較小的在系統(tǒng)的各階固有頻率間隔較大，

31、阻尼較小的條件下，對阻尼矩陣進(jìn)行簡化處理，以方便計(jì)算。條件下，對阻尼矩陣進(jìn)行簡化處理，以方便計(jì)算。 簡化方法：簡化方法： a) 最簡單的處理方法：把最簡單的處理方法：把Cn的的非對角元素全認(rèn)為是零非對角元素全認(rèn)為是零。如果系統(tǒng)的阻尼較小，各階固有頻率之間的間隙較大，如果系統(tǒng)的阻尼較小，各階固有頻率之間的間隙較大，這種處理方法的精度一般還能滿足工程上的要求。這種處理方法的精度一般還能滿足工程上的要求。b) 有時阻尼矩陣不容易求得，在求得各階固有頻率和振有時阻尼矩陣不容易求得，在求得各階固有頻率和振型后，可以型后，可以按經(jīng)驗(yàn)或規(guī)范給出按經(jīng)驗(yàn)或規(guī)范給出各階的阻尼比各階的阻尼比 r。 c) 在實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)

32、分析中，通過實(shí)驗(yàn)得到的是系統(tǒng)的固有頻在實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析中，通過實(shí)驗(yàn)得到的是系統(tǒng)的固有頻率、振型，阻尼則往往是給出率、振型，阻尼則往往是給出各階的阻尼比各階的阻尼比。在振型。在振型迭加法中，有各階的阻尼比已經(jīng)足夠用。迭加法中，有各階的阻尼比已經(jīng)足夠用。 rrrrKMC2經(jīng)過近似處理后，式經(jīng)過近似處理后，式(4.38) 解耦，可以采用第二章講過的解耦，可以采用第二章講過的任一種方法求解。得到任一種方法求解。得到y(tǒng)，再由，再由展開定理展開定理得到系統(tǒng)響應(yīng)得到系統(tǒng)響應(yīng)x。 pyKyCyMrnr 2211nnuyuyuyx系統(tǒng)的各階系統(tǒng)的各階固有頻率、振型固有頻率、振型、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛

33、度、模態(tài)阻尼和阻尼比稱為系統(tǒng)的模態(tài)阻尼和阻尼比稱為系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)模態(tài)參數(shù)。 當(dāng)系統(tǒng)的當(dāng)系統(tǒng)的M、K和和C確定后，響應(yīng)確定后，響應(yīng)x在系統(tǒng)振型在系統(tǒng)振型u下的下的坐標(biāo)坐標(biāo) y y 大小取決于外載荷大小取決于外載荷 f f 。 對多數(shù)實(shí)際載荷，對多數(shù)實(shí)際載荷， f 中與低階振型有關(guān)的部分大，中與低階振型有關(guān)的部分大，與高階振型有關(guān)的部分小。因而，一般不必求出全部，一與高階振型有關(guān)的部分小。因而，一般不必求出全部，一般取前幾階或十幾階固有頻率和振型已足夠。般取前幾階或十幾階固有頻率和振型已足夠。復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)簡化簡化模型誤差模型誤差高階振型的可靠高階振型的可靠性較差性較差。多計(jì)入高階振

34、型不一定會得到更好的結(jié)果。多計(jì)入高階振型不一定會得到更好的結(jié)果。 例例4.3 設(shè)多自由度系統(tǒng)在設(shè)多自由度系統(tǒng)在t=0時在第時在第j個自由度受到一個單個自由度受到一個單位脈沖力作用，位脈沖力作用，初始條件為零初始條件為零，其他自由度上無激勵。求，其他自由度上無激勵。求系統(tǒng)的響應(yīng)。系統(tǒng)的響應(yīng)。 解：解：考慮考慮阻尼矩陣可以被振型矩陣解耦阻尼矩陣可以被振型矩陣解耦的情況。激勵可寫的情況。激勵可寫為為 )()(tetfj因此因此 )()(,)()(21tutuuuteutpTjnjjjT由于在振型坐標(biāo)下系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程解耦，可得由于在振型坐標(biāo)下系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程解耦，可得到到n個彼此獨(dú)立的單自由度運(yùn)

35、動微分方程：個彼此獨(dú)立的單自由度運(yùn)動微分方程： nryytuyyyrrjrrrrrrr,.2 , 1, 0)0(, 0)0()(22 wwnryytuyyyrrjrrrrrrr,.2 , 1, 0)0(, 0)0()(22 ww上式的解為上式的解為 )0(,.,2 , 1sintnrteuydrtdrjrrrrwww根據(jù)展開定理，系統(tǒng)的響應(yīng)為根據(jù)展開定理，系統(tǒng)的響應(yīng)為 nrrdrtdrjrnrrruteuutyxrr11sin)(www因此，系統(tǒng)因此，系統(tǒng)第第i個自由度個自由度在第在第j個自由度受到一個單個自由度受到一個單位脈沖力作用后的響應(yīng)為位脈沖力作用后的響應(yīng)為 nitteuuxnrdrt

36、drjririrr,.,2 , 1)0(sin1www根據(jù)展開定理，系統(tǒng)的響應(yīng)為根據(jù)展開定理，系統(tǒng)的響應(yīng)為 nrrdrtdrjrnrrruteuutyxrr11sin)(www這個響應(yīng)是由這個響應(yīng)是由n個單自由度系統(tǒng)的阻尼自由振動迭加而成；個單自由度系統(tǒng)的阻尼自由振動迭加而成；定義此時的定義此時的響應(yīng)為脈沖響應(yīng)響應(yīng)為脈沖響應(yīng) ：nitteuuthnrdrtdrjririjrr,.,2 , 1)(sin)(1www下標(biāo)下標(biāo)i表示表示響應(yīng)響應(yīng)的空間位置，的空間位置，j表示表示脈沖力脈沖力的空間位置。的空間位置。 依次取依次取j1，2，n，即對各個自由度依次施加一個單，即對各個自由度依次施加一個單位

37、脈沖力，可以得到位脈沖力，可以得到n2個脈沖響應(yīng)，得到個脈沖響應(yīng)，得到脈沖響應(yīng)矩陣脈沖響應(yīng)矩陣： )()(ththij由于脈沖響應(yīng)矩陣可以由振動試驗(yàn)測得，所以，它常由于脈沖響應(yīng)矩陣可以由振動試驗(yàn)測得，所以，它常常用來識別系統(tǒng)的振動系統(tǒng)。常用來識別系統(tǒng)的振動系統(tǒng)。 04.4 動力響應(yīng)分析中的變換方法動力響應(yīng)分析中的變換方法 用用傅里葉變換和拉普拉斯變換傅里葉變換和拉普拉斯變換求多自由度系統(tǒng)的動求多自由度系統(tǒng)的動力響應(yīng)。力響應(yīng)。1) 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：對向量做傅里葉變換和拉普拉斯變換對向量做傅里葉變換和拉普拉斯變換分分別對向量的各分量別對向量的各分量做傅里葉變換和拉普拉斯變換。做傅里葉變換和拉普

38、拉斯變換。 如，如，x(t)x1(t)，x2(t)，xn(t)T的傅里葉變換為的傅里葉變換為 )(),.,(),()(),.,(),()(1121wwwsTsXXXtxFtxFtxFtxF對多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式對多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式兩邊做拉普拉斯變換，根據(jù)拉普拉斯變換的性質(zhì)有兩邊做拉普拉斯變換，根據(jù)拉普拉斯變換的性質(zhì)有 )0(,)0(00 xxxxfxKxCxM )()()(0002sFxCxMxMssXKCsMs其中：其中：X(s)和和F(s)分別為系統(tǒng)響應(yīng)分別為系統(tǒng)響應(yīng)x(t)和激勵和激勵f(t)的的拉普拉斯變換；拉普拉斯變換；稱稱 為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的機(jī)械阻抗矩陣機(jī)械阻抗矩陣

39、；它的逆；它的逆矩陣為矩陣為 ： 稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的傳傳遞函數(shù)矩陣遞函數(shù)矩陣 )(2KCsMssZ121)()()(KCsMssZsH因此，式因此，式(4.38)()()(000 xCxMxMssFsHsXpyKyCyMrnr 可以改寫為可以改寫為 )()()(0002sFxCxMxMssXKCsMs然后，求出然后，求出X(s)的拉普拉斯逆變換就可以得到響應(yīng)的拉普拉斯逆變換就可以得到響應(yīng)x(t) )0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 思路：思路：)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM nrrdrtdrjrnrrruteuutyxrr11sin)(www困難，復(fù)雜的微困難，復(fù)雜的微分

40、方程求解分方程求解)()()(000 xCxMxMssFsHsX變換變換)()()(0002sFxCxMxMssXKCsMs簡單的代數(shù)方程簡單的代數(shù)方程求解求解逆變換逆變換對于對于初始條件為零初始條件為零的情況，如果激勵的情況，如果激勵f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換存在，則可對式存在，則可對式)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 兩邊做傅里葉變換得到兩邊做傅里葉變換得到)()()(2wwwwFXCiMK稱稱 12)()(CiMKHwww為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣頻響函數(shù)矩陣。 因此：因此： )()()(wwwFHX用變換方法求系統(tǒng)的動力響應(yīng)用變換方法求系統(tǒng)的動力響應(yīng)：得到了系統(tǒng)的傳遞

41、函：得到了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣或頻響函數(shù)矩陣，則數(shù)矩陣或頻響函數(shù)矩陣，則不必考慮方程解耦不必考慮方程解耦的問題，的問題，不不必求必求系統(tǒng)的系統(tǒng)的固有頻率和振型固有頻率和振型。 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣的元素的定義元素的定義（以傳遞函數(shù)矩陣（以傳遞函數(shù)矩陣H(s)的元素的元素Hij(s)為例）為例） 系統(tǒng)的系統(tǒng)的初始條件為零初始條件為零只在第只在第j個自由度上有激勵個自由度上有激勵fj(t)各個自由度各個自由度均會有響應(yīng)均會有響應(yīng)，第，第i個自由度的響應(yīng)為個自由度的響應(yīng)為xi(t)。則：。則： )()()(sFsXsHjiij依次取依次取j=1，2，n，可

42、以得到傳遞函數(shù)矩陣，可以得到傳遞函數(shù)矩陣H(s)的全的全部元素部元素Hij(s) 。nitteuuthnrdrtdrjririjrr,.,2 , 1)(sin)(1www多多自由度系統(tǒng)的自由度系統(tǒng)的響應(yīng)為脈沖響應(yīng)響應(yīng)為脈沖響應(yīng)同樣，可以定義系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣。同樣，可以定義系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣。)()()(wwwjiijFXH因此：因此：系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) hij(t)和和Hij(s)是一對是一對拉普拉斯變換拉普拉斯變換對對，和，和Hij(w w)是一對是一對傅里葉變換對傅里葉變換對。同樣，系統(tǒng)的脈沖響。同樣，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣應(yīng)矩陣h(t)和傳遞函數(shù)矩陣和傳遞函數(shù)矩陣H(s)是一對拉

43、普拉斯變換對，是一對拉普拉斯變換對，和頻響函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣H(w w)是一對傅里葉變換對。是一對傅里葉變換對。 系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣h(t)、傳遞函數(shù)矩陣、傳遞函數(shù)矩陣h(s)和頻和頻響函數(shù)矩陣響函數(shù)矩陣H(w w)都反映了系統(tǒng)的振動特性。都反映了系統(tǒng)的振動特性。 頻響函數(shù)矩陣頻響函數(shù)矩陣H(w w)也可以由也可以由振動試驗(yàn)測得振動試驗(yàn)測得，因而常常用，因而常常用來識別系統(tǒng)的振動參數(shù)：來識別系統(tǒng)的振動參數(shù)： 設(shè)系統(tǒng)的阻尼矩陣可以被設(shè)系統(tǒng)的阻尼矩陣可以被振型矩陣解耦振型矩陣解耦，做變換，做變換 ：yux 在在振型坐標(biāo)振型坐標(biāo)下系統(tǒng)的下系統(tǒng)的阻抗矩陣阻抗矩陣為為 ：)()()

44、(222rrTTrCsEsuKCsMsuusZusZw即即振型坐標(biāo)下振型坐標(biāo)下阻抗矩陣也為阻抗矩陣也為對角矩陣對角矩陣，對角元素為：，對角元素為： nrsCssZrrr,.,2 , 1)(22w)(2KCsMssZ為求傳遞函數(shù)矩陣為求傳遞函數(shù)矩陣H(s)，對，對Zr(s)求逆，有求逆，有 TrusZusZ)()(111TrusZusZsH)()()(11寫成向量形式，有：寫成向量形式，有：nrnrrrTrrTrrrTsTTrnTrsCsuuuusZuuusZuuuusZusH11221211211)()(,.,)()(w同樣，頻響函數(shù)矩陣同樣，頻響函數(shù)矩陣H(w w)也可以寫成也可以寫成 ：nrrrTrrCiuuH122)(wwww這就是這就是：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣與：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣與系系統(tǒng)的統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)模態(tài)參數(shù)的關(guān)系的關(guān)系。它們是。它們是試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的理論基礎(chǔ)的理論基礎(chǔ)之一。試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析專門討論之一。試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析專門討論如何從振動試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如何從振動試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)和物理參數(shù)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)和物理參數(shù)的問題。的問題。 多自由度系統(tǒng)的振動問題，有許多求解方法，并不限多自由度系統(tǒng)的振動問題，有許多求解方法，并不限