第6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計1

1、第第6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念6.2 模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計6.6 IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念 1. 數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器的分類 數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無

2、限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為： 0110( )1( )( )MrrrNkkkNnnb zH za zH zh n z(6.1.1) (6.1.2) 圖6.1.1 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0帶通0帶阻22222222 2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求 我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(e j)用下式表示： 圖6.1.2 低通濾波器的技術(shù)要求()()()jjjH eH eeQ 幅頻特性表示信號通過該濾波器之后各頻率成分衰減情況。 相頻特性反映各頻率成分通

3、過濾波器在時間上的延時情況。 通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，p和s分別定義為：00()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e(6.1.3) (6.1.4) 20lg()20lg()psjpjsH edBH edB (6.1.5) (6.1.6) 通帶內(nèi)允許的最大衰減阻帶內(nèi)允許的最小衰減如將|H(ej0)|歸一化為1，(6.1.3)和(6.1.4)式則表示成： 3. 數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述 IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計方法是很不相同的。IIR濾波器設(shè)計方法有兩類，經(jīng)常用的一類設(shè)計方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法進(jìn)行的。其設(shè)計步驟設(shè)計步驟是：先

4、設(shè)計模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 6.2 模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計 模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如： 圖6.2.1 各種理想濾波器的幅頻特性 )(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c1.模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)及逼近方法 模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)有p, p,s和s。其中：p和s分別稱為通帶截止頻率通帶截止頻率和阻帶截止頻率阻帶截止頻率，p是通帶(=0p)中的最大衰減系數(shù)，s是阻帶s的最小衰減系數(shù)，p和s一般用d

5、B數(shù)表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj(6.2.1) (6.2.2) 如果=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示為 以上技術(shù)指標(biāo)用圖6.2.2表示。2210lg()10lg()papsasHjHj (6.2.3) (6.2.4) 圖6.2.2 低通濾波器的幅度特性()1/2, 20lg()3acacHjHjdB圖中c稱為3dB截止頻率，因 濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計一個傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)p和s，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實數(shù)，因此2()( ) ()()()a

6、asjaaHjHs GsHjHj (6.2.5) 圖6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2用下式表示：221()1()aNcHj(6.2.6) N為濾波器的階數(shù)。 =0時， |Ha(j)|=1； =c時， c時，隨加大，幅度迅速下降，下降速度與N有關(guān)。( ) 1 / 2 ,2 0 lg ( ) 3acacHjHjd B 將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成s的函數(shù)： 21( )()1()aaNcHs Hssj(6.2.7) 此式表明幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點sk用下式表示：1121(

7、)222( 1)()kjNNkccsje (6.2.8) 圖6.2.4 三階巴特沃斯濾波器極點分布 為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)。 Ha(s)的表示式為10( )()NcaNkkHsss設(shè)N=3，極點有6個，它們分別為23012321334135jccjcjccjcsessesesse 23012321334135jccjcjccjcsessesesse 取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)： 32233( )()()()aajjcccHssss10( )()NcaNkkHsss 由于各濾波器的幅

8、頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為 式中，s/c=j/c。 令=/c，稱為歸一化頻率；令p=j，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為101( )()aNkkccHsss(6.2.10) 101( )()aNkkHppp(6.2.11) 10( )()NcaNkkHsss 式中，pk為歸一化極點，用下式表示： 將極點表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N階多項式，用式6.2.13表示。 121()22,0,1,1kjNkpekN(6.2.12)/10/10101()101p

9、sapNas令1010101/,101psaspspspak 則N由下式表示： lglgspspkN (6.2.16) /10/10221()101()10psapNcaNsc/ 10/ 10221()101()10psapNcaNsc221()1()aNcHj階數(shù)N的大小主要影響幅度特性下降速度，N值由p, p,s和s 確定。 用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率c，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到： 10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 由(6.2.15)式得到

10、： (6.2.17)(6.2.18) 總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下： (1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p,p,s和s，用(6.2.16)式求出濾波器的階數(shù)N。 (2)按照(6.2.12)式，求出歸一化極點pk，將pk代入(6.2.11)式，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。 (3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/c代入Ha(p)，得到實際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。 lglgspspkN 121()22,0,1,1kjNkpekNHa(p)表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 例例6.2.1 已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs

11、=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。 解 (1) 確定階數(shù)N。 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN (2) 按照(6.2.12)式，其極點為3455016523754,jjjjjsesesesese按照(6.2.11)式，歸一化傳輸函數(shù)為401( )()akkHppp12 1()2 2, 0 ,1 , , 1kjNkp ekN 101( )()aNkkHppp 上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。這里不如直接查表6.2.1簡單，由N=

12、5，直接查表得到： 極點：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb式中 b0=1.0000, b1=3.2361, b2=5.2361, b3=5.2361, b4=3.2361 (3) 為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率c。 按照(6.2.17)式，得到：10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckrad skrad s 將c代入(6.2.18)式，得到：將p=s/c代入Ha(p)中得到：554233245432( )10cacccccHs

13、sbsbsbsbsb4.模擬濾波器的頻率變換模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計為了防止符號混淆，先規(guī)定一些符號如下： 低通濾波器傳輸函數(shù)為G(s)，歸一化頻率為 ，歸一化拉氏復(fù)變量 p=j 高通、帶通或帶阻濾波器傳輸函數(shù)為H(s)，歸一化頻率 ，歸一化拉氏復(fù)變量q=j11114.模擬濾波器的頻率變換模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計 和之間的關(guān)系為 低通到高通的頻率變換公式如果已知低通G(j)，高通H(j)則用下式轉(zhuǎn)換：1(6.2.41) 1()()H jG j(6.2.40) 圖6.2.9 低通與高通濾波器的幅度特性 模擬高通濾波器的設(shè)計步驟如下： (1)

14、確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶下限頻率p，阻帶上限頻率s，通帶最大衰減p，阻帶最小衰減s。 (2)確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)：按照(6.2.40)式，將高通濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率，各項設(shè)計指標(biāo)為： 低通濾波器通帶截止頻率p=1/p； 低通濾波器阻帶截止頻率s=1/s； 通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減仍為s。 (3)設(shè)計歸一化低通濾波器G(p)。 (4)求模擬高通的H(s)。將G(p)按照(6.2.40)式，轉(zhuǎn)換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/c代入H(q)中，得 例例6.2.3 設(shè)計高通濾波器，fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大

15、衰減為3dB，阻帶最小衰減s=15dB。( )( )cpsH sG p(6.2.42) 解 高通技術(shù)要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 歸一化頻率1,0.5pspsccffff低通技術(shù)要求：11,23,15psspsdBdB 設(shè)計歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp 33223( )( )222cpcccscpsH sG psssf 求模擬高通H(s)： 低通與帶通濾波器的幅度特性如圖6.2.10所示。 112220/,/,/ssssll

16、uuluBBBB 圖6.2.10 帶通與低通濾波器的幅度特性 表6.2.2 與的對應(yīng)關(guān)系 由與的對應(yīng)關(guān)系，得到：2 202 201upu l由表6.2.2知p對應(yīng)u，代入上式中，有 (6.2.43)式稱為低通到帶通的頻率變換公式低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。下面推導(dǎo)由歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式。由于 pj2202201upul 將(6.2.43)式代入上式，得到：220220pjqpq將q=j代入上式，得到：為去歸一化，將q=s/B代入上式，得到：22()()( )( )luulluulspsspsH sG p (6.2.44) (6.2.45)上式就

17、是由歸一化低通直接轉(zhuǎn)換成帶通的計算公式。下面總結(jié)。(1)確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，即：通帶上限頻率u，通帶下限頻率l下阻帶上限頻率s1 ,上阻帶下限頻率s2 通帶中心頻率20=lu，通帶寬度B=ul與以上邊界頻率對應(yīng)的歸一化邊界頻率如下：121220,sslssluuluBBBB (2) 確定歸一化低通技術(shù)要求： s與-s的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的s，這樣保證在較大的s處更能滿足要求。 通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減亦為s。 (3) 設(shè)計歸一化低通G(p)。 (4) 由(6.2.45)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。 22222010211,sspssss22()()()(

18、)luulluulspsspsHsGp 例例6.2.4 設(shè)計模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2200rad/s，中心頻率0=21000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減p=3dB，阻帶s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻帶最小衰減s=15dB。 解 (1) 模擬帶通的技術(shù)要求： 0=21000rad/s,p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s; 0=5,s1=4.15,s2=6 (2) 模擬歸一化低通技術(shù)要求：222220103211,1.833,1.874sspsss 取s=1.833,p=3dB,s=15dB。 (3

19、)設(shè)計模擬歸一化低通濾波器G(p)： 采用巴特沃斯型，有0.10.11010.181011.833lg2.83lgpsspssppspspkkN 取N=3，查表6.2.1，得232()1( )221( )( )luulspsG ppppH sG p (4) 求模擬帶通H(s)： 23652242330042224610000( )2(32)(4)(32)2SH ss B sBBsBB sBsBs 低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖6.2.11所示。 圖6.2.11 低通與帶阻濾波器的幅頻特性l和u分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，s1和s2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，0為阻帶中心頻率，20

20、=ul，阻帶帶寬B=ul，B作為歸一化參考頻率。 相應(yīng)的歸一化邊界頻率為: u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B; 20=ul 表6.2.3 與的對應(yīng)關(guān)系 根據(jù)與的對應(yīng)關(guān)系，可得到： 且ul=1，p=1，(6.2.46)式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。將(6.2.46)式代入p=j，并去歸一化，可得 上式就是直接由歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式。 220(6.2.46) 2220()ululsBspss (6.2.47) 220( )( )sBpsH sG p(6.2.48) 下面總結(jié)：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求，即：下通帶截止頻率l,上通帶截止頻率u阻帶下限頻率

21、s1，阻帶上限頻率s2阻帶中心頻率20=ul，阻帶寬度B=ul它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B; s2=s2/B,20=ul以及通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s。 (2) 確定歸一化模擬低通技術(shù)要求，即： 取s和s的絕對值較小的s；通帶最大衰減為p，阻帶最小衰減為s。 (3) 設(shè)計歸一化模擬低通G(p)。 (4) 按照(6.2.48)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。12222210201,sspssss220( )( )sBpsH sG p例例6.2.5 設(shè)計模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2=

22、21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB, s=25dB。試設(shè)計巴特沃斯帶阻濾波器。 解 (1) 模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求： l=2905,u=21105; s1=2980,s2=21020; 20=lu=4+21000025,B=ul=2200; l=l/B=4.525,u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9,s2=5.1; 20=lu=25 (2) 歸一化低通的技術(shù)要求：222101,4.95,4.953,25spssspsdBdB (3)設(shè)計歸一化低通濾波器G(p):0.10.121010.05621014.95lg1.8,2lg1( )21psspsspps

23、pspkkNNG ppp (4) 帶阻濾波器的H(s)為22042240042222240002( )( )2(2)2sBpssssH sG psBBsBs 6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器 為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 (2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t) ( )( )aaHsLT h t 設(shè)模擬濾波器H

24、a(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss(6.3.1) 式中si為Ha(s)的單階極點。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：1( )( )iNs ntaiih tAeu t(6.3.2) 式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到： 1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT(6.3.3)對上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 11( )1iNis TiAH zez (6.3.4)設(shè)ha(t)的采樣信號用ha(t)表示，( )( ) ()aanh

25、th ttnT 對 進(jìn)行拉氏變換，得到: ( )aht( )( )()()staastansnTHsht edth tnT edtnT e 式中ha(nT)是ha(t)在采樣點t=nT時的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到: ( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH z(6.3.5) 上式表示采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： 我們知道模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信號 的傅里葉變換 之間的關(guān)系滿足(1.5.5)式，重寫如下：sTze(6.3.6) ( )aht(

26、)aHj1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjjkTHsHsjkTHzHsjkT將s=j代入上式，得1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjjkTHsHsjkTHzHsjkT1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjjkTHsHsjkTHzHsjkT由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到: 上式表明將模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期s=2/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè)jsjzre

27、 jTj TreeeTreT 那么 =0,r=1 0,r0,r1另外，注意到z=esT是一個周期函數(shù)，可寫成2(),jM TsTTj TTTeeeeeM為任意整數(shù)圖6.3.1 z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系圖6.3.2 脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象 例例6.3.1 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為 用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解 首先將Ha(s)寫成部分分式：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj極點為12(0.32240.772)

28、,(0.32240.7772)sjsj 那么H(z)的極點為1212,s Ts Tzeze按照(6.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到0.3224110.32240.6449220.3224sin(0.7772 )( )1 2cos(0.7772 )TTTeT zH zz eTez6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字?jǐn)?shù)字低通濾波器低通濾波器 正切變換實現(xiàn)頻率壓縮： 121tan()2TT (6.4.1) 式中T仍是采樣間隔，當(dāng)1從/T經(jīng)過0變化到/T時，則由經(jīng)過0變化到+，實現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有111212 1()21s Ts Te

29、sth jTTTe(6.4.2) 再通過 轉(zhuǎn)換到z平面上，得到：1s Tze112 1122zsTzsTzsT(6.4.3) (6.4.4) 下面分析模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系。 圖6.4.1 雙線性變換法的映射關(guān)系 令s=j,z=e j，并代入(6.4.3)式中，有2 1121tan2jjejTeT (6.4.5) 圖6.4.2 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系圖6.4.3 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射 設(shè) 112012201211120121212( )2( )( ),( )1kkakkazszkkkkAAsA sA sHsBB sB sB sH zHsCTaa za za zH z

30、b zb zb z 表6.4.1 系數(shù)關(guān)系表 例例6.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。 解 首先按照圖6.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為1( ),aHssRC 利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為 11( )1TH zez 利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為 111121212112(1)( )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTTH1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖6.4.5(a),(b)所示。圖6.4.5 例6.4.1圖H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (a)H1

31、(z); (b)H2(z) 總結(jié)總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟數(shù)字低通濾波器的步驟： (1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率p、通帶衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶衰減s。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系：采用脈沖相應(yīng)不變法： 21t a n ()2TT采用雙線性變換法，21t a n ()2TT(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計模擬低通濾波器。 (4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 小 結(jié)例例6.4.2 設(shè)計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于

32、0.2rad時，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3到之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計濾波器。解： (1) 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dB 設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。先計算階數(shù)N及3dB截止頻率c。 0.10.1lglg0.31.50.21010.092101lg0.0925.884lg1.5psspspssppspkNkN 取

33、N=6。為求3dB截止頻率c,將p和p代入(6.2.17)式，得到c=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術(shù)要求，同時給阻帶衰減留一定余量，這對防止頻率混疊有一定好處。 根據(jù)階數(shù)N=6，查表6.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為234561( )13.86377.46419.14167.46413.8637aHppppppp 為去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)中，得到實際的傳輸函數(shù)Ha(s), 62652433425665432( )3.86377.46419.14167.46413.86370.12092.7163.6913.1791.8250.1210.1209accccccHssss

34、sssssssss 用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進(jìn)行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：1112121120.28710.44662.14281.1454( )10.12970.69491 1.06910.36991.85580.630410.99720.2570zzH zzzzzzzz圖6.4.7 例6.4.2圖用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性 (2) 用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬

35、低通的技術(shù)指標(biāo)為21tan,122tan0.10.65/ ,12tan0.151.019/ ,15ppPpssTTrad sdBrad sdB 21121t a n2jjejTeT 設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計算如下：lglg1.0191.5680.650.092lg0.0925.306lg1.568spspssppspkNkN 取N=6。為求c,將s和s代入(6.2.18)式中，得到c=0.7662rad/s。這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求，通帶指標(biāo)已經(jīng)超過。 根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)，得實際的H

36、a(s)， 用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：2220.2024( )(0.3960.5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss111 61212121120.0007378(1)( )( )(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)110.90440.2155azszzH zHszzzzzz圖6.4.8 例6.4.2圖用雙線性變換法設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計高通數(shù)字濾波器。具體設(shè)計步驟如下： (1) 確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 (2)將所

37、需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為21tan2T (3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)(具體轉(zhuǎn)換公式參考本章6.2節(jié))。 (4)設(shè)計模擬低通濾波器。 (5)將模擬低通通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。 (6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。例例6.5.1 設(shè)計一個數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率p=0.8rad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率s=0.44rad，阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。 解 (1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.8rad,p=3dB; s=0.

38、44rad,s=15dB (2) 模擬高通的技術(shù)指標(biāo)計算如下： 令T=1，則有12tan6.155/ ,3212tan1.655/ ,32pppsssrad sdBrad sdB (3)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計算如下：10.163/ ,36.15510.604/ ,151.655ppssrad sdBrad sdB 將p和s對3dB截止頻率c歸一化，這里c=p, (4)設(shè)計歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計算如下：1,3.71spsp0.10.1lglg1010.18031013.711.31,2psspspspssppkNkNN 查表6.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函

39、數(shù)G(p)為22221( )21( )2cccG pppG sss 為去歸一化，將p=s/c代入上式得到： (5) 將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將上式中G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)： 22221( )( )21caccsHsGsss (6)用雙線性變換法將模擬高通H (s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：11121( )( )azszH zHs實際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即1111211 21 21212( )( )0.106(1)0.0653(1)( )1.6241.9470.5661 1.1990.349zszH zG szzH zzzzz例例6.5.2 設(shè)計一個數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3rad到0.4rad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2rad以下和0.5rad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。 解 (1)數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)為 通帶上截止頻率 u=0.4rad 通帶下截止頻率 l=0.3rad 阻帶上截止頻率 s2=0.5rad 阻帶下截止頻率 s1=0.2rad 通帶內(nèi)最大衰減p=3dB，阻帶內(nèi)最小衰減s=18dB。 (2) 模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下： 設(shè)T=1，則有2211012tan1.453/212tan1.019/212tan2/212tan0.650/21.217/0.