2.1求質(zhì)點(diǎn)在中心勢場中運(yùn)動(dòng)的微分方程的解解：由公式ppt課件

1、3.1 求質(zhì)點(diǎn)在中心勢場 中運(yùn)動(dòng)的微分方程的解。解：由公式 ，代入02rV令： 2222rLrVEmdrrL02rV2222221)2(212rLmmErdLrLrEmdrrLru1mEuLmduL2)2(22討論： (1) 當(dāng) 22, 02LmmEcumEmLmLLumLmEdumLL22arccos222222222第第3 3章章 兩體問題兩體問題選適當(dāng)，使c=0, 得 2221cos221LmmLmEru(2) 當(dāng) 22, 02LmmEcumELmarcshLmLLmmEuduLmL22222222222選適當(dāng)，使c=0, 得 1222122LmshLmmEru(3) 當(dāng) 22, 02L

2、mmEcuEmLmarcchLmLLmEmuduLmL22222222222選適當(dāng)，使c=0, 得 1222122LmchLmEmru)(lim,)(limshch第2），（3中情況會(huì)出現(xiàn)r0，即質(zhì)點(diǎn)被力心所俘獲mLmLErmEt2221222 rrrLmmrmEEmmLmrmErdrmLrEmdrt02220222202222)2(4844882當(dāng) ，t值有限0, 022ELm3.2 質(zhì)量相同的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，用一固有長度為l勁度系數(shù)為k，質(zhì)量不計(jì)的彈性棒連接起來，用手握住其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，使另一個(gè)做水平圓周運(yùn)動(dòng)，其速度為V0，然后將手放開，討論這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)以后的運(yùn)動(dòng)情況。解：放手前，體系質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)

3、，放手后質(zhì)心在離心力作用下做拋體運(yùn)動(dòng)。 僅考慮體系的相對運(yùn)動(dòng)，體系勢能 。兩粒子相對運(yùn)動(dòng)可看成質(zhì)量為折合質(zhì)量mr的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為：2)(21lrkV其中： 軌道方程為： rrrrmLlrkEmdrt02222)(212lkmvrmmmmmmr2002121,21rrrrrrLlrkEmdrrLd002222)(2123.3 質(zhì)點(diǎn)在一緯中心引力 的作用下，以速度為0，x=-a處開始運(yùn)動(dòng)，試求該質(zhì)點(diǎn)到達(dá)力心o的時(shí)間。解：設(shè)無窮遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)，那么代入粒子在中心勢的運(yùn)動(dòng)方程：xFxdxxxvxln)(0222lnln2)(2axmdrrmLxVEmdrt3.4 定性的討論粒子在中心勢 中的運(yùn)

4、動(dòng)，式中k和為常數(shù)。解：當(dāng) 1時(shí)，V0，此時(shí)近似做自由粒子的運(yùn)動(dòng)； 當(dāng) 1時(shí)， ，粒子近似做在勢場 中的開普勒運(yùn)動(dòng)； 當(dāng) 1時(shí)， ，粒子近似做開普勒運(yùn)動(dòng)，但勢場減弱為rekVrrrkVrkrrekVerk 1r3.6 求粒子在中心力 的作用下的軌道方程。解：粒子的中心勢場可寫為代入 32rcrkFrcrkV2222221)(221)(2rLmcrmkmErLdrLrVEmdrrLd令： ，ru122222244222)(ABuAADBABudALmEumkuLmcLdumEDmkBmcLA2222222222cos)()(22LmcLmcLmcLmEkmmcLmkucos1cos)(21122

5、2222epLmcLkmmcLmEmkmcLr其中：22222)(21,1,kmmcLmEeLmcmkmcLp3.8 試求粒子在勢場 中運(yùn)動(dòng)且E=0 (拋物線軌道)時(shí)，坐標(biāo)對時(shí)間的依賴關(guān)系。解：粒子在中心勢場 中運(yùn)動(dòng)，代入運(yùn)動(dòng)方程：222222222)(2LrmmrdrrmLrmdrrmLxVEmdrtrVrV令 ，那么2222LrmLmLLr222232)1(221232322323232222mLdmLdmLLdLmLmLLmt假設(shè) ，那么mLp2) 1 (31223mpt)3()1 (4)1(4sin)2()1 (22)1(2)1(cos222222222222pppxrrypppmLp

6、rprx3.11 證明在橢圓軌道情況下，動(dòng)能對時(shí)間的平均值等于勢能對時(shí)間的平均值的一半(位力定理)。證明：在橢圓軌道情況下， 。設(shè) ，a，c分別是半長軸和焦距cos1eprrV有： ，周期VrrmEaE)(21,2222可寫為： ，即arrrm2)(21222armrLrm22212232amTmLarrmrdtdr222122222)(armaLadrmgrdt勢能：amamaarmaLadrmadrVcaca21arcsin4)(212220動(dòng)能：aaadardrrT22)2(1)(21100222VT21證明2：令：rpsTrFrrmrFrprps2經(jīng)過一個(gè)周期：TrF20又： ，在橢圓

7、軌道rVF2)(rFrrV)(22rVrrrT3.13 運(yùn)動(dòng)粒子m1和靜止粒子m2碰撞后，試在實(shí)驗(yàn)室系中用粒子的偏轉(zhuǎn)角來表示粒子碰撞后的速度，即用 和 來表示 和解：設(shè)m1的初速度為可得：01V02V01V2sin2cos22101102012121222101mmVmVVmmmmmmV其中：coscos1cossintan21222121mmmmmm12222)(21代入上式得：011221222112110122101102sin1coscos2VmmmmmmmVmmVmV3.22 設(shè)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在 的中心力場中運(yùn)動(dòng)，試求其在穩(wěn)定平衡位置r0附近做徑向小振動(dòng)的頻率。解：由比耐公式，軌道

8、微分方程為：其中xrF)(FLmududu2222drdvFru,1設(shè)勢場有一微小擾動(dòng)，使粒子軌道0uu代入上式，保留到的一級項(xiàng)，得滿足方程：022Add得軌道穩(wěn)定條件為：0121)(212222224232LrmLrmLrmdrdFrLmrFrLmA 軌道穩(wěn)定 附近徑向振動(dòng)頻率0rLrmLLrmLf221220222023.23 在地球表面A處，一發(fā)射角60和初速 發(fā)射一衛(wèi)星，其中R為地球半徑(自轉(zhuǎn)可略)。(1)試求發(fā)射瞬間衛(wèi)星軌道的曲率半徑和切向加速度 ；(2)試求衛(wèi)星離開地面的最大高度h及在此點(diǎn)的速率 ；(3)如果衛(wèi)星在此最大高度突然分裂成相等的兩半，其一半瞬時(shí)靜止，試問另一半的軌道形狀

9、。解：衛(wèi)星處于重力勢場 中，由重力Fmg,衛(wèi)星的軌道方程可寫為：gRv 0ta1vrVgRmRmRvLmgRrmvEmgRRr32sin,2121,0202cos243Rr32cos1epr其中：12121,43sin222202mELeRmgRmmRvmLp軌道方程為： ，當(dāng) r =R時(shí)(1)受力分析得：RmgFmvn332sin20gamgFmattt21cosv0ARO(2)當(dāng) 時(shí)，有2,23maxmaxRRrhRr由機(jī)械能守恒有：mgRRMmGmvEErMmGmv2121,2120max21即：gRvmgRRmgRmv332123211221(3)當(dāng)一半瞬時(shí)靜止，由動(dòng)量守恒有，12vv 0313122121max2mgRmgRrmGMvmE12222mELme即軌道形狀為拋物線(2)當(dāng) 時(shí)，有2,23maxmaxRRrhRr由機(jī)械能守恒有：mgRRMmGmvEErMmGmv2121,2120max21即：gRvmgRRmgRmv332123211221R/2R/2v0ARO(2)雙曲線軌道 上面式(1), (3), (4), (5)均成立，但) 1(2eap代入(5)得，ararphv121222(3)拋物線軌道 式(1), (3), (4), (5)均成立，但e=1代