大學物理剛體力學課件

1、返回第二章 剛體定軸轉動 本章將要介紹一種特殊的質(zhì)點系剛體所遵從的力學規(guī)律。剛體可以看成由許多質(zhì)點組成。在外力的作用下各質(zhì)元之間的相對位置保持不變。因此，剛體是固體物件的理想化模型。音樂花徑不曾緣客掃，蓬門今始為君開。名句賞析 內(nèi)內(nèi) 容容 提提 要要 剛體定軸轉動運動學 轉動定律 剛體定軸轉動能定理，功能關系 角動量原理 角動量守恒定律水平面剛體水平面剛體第一節(jié) 剛體的兩種基本運動形式剛體的兩種基本運動形式一 平動 結論：剛體在平動運動中，連接體內(nèi)的直線在空間的指向總保持不變，各點具有相同的速度,相同加速度?？砂促|(zhì)點力學的規(guī)律處理。aMFciVMddtFc合外固定軸剛體二 定軸轉動特點：剛體上

2、各點繞軸在與軸垂直的平面內(nèi)做圓周運動。各質(zhì)點的速度，加速度一般不同,可按前面的質(zhì)點運動學處理. 三 剛體更復雜的運動形式：平面平行運動，定點轉動，舉例說明（略講)。定軸轉動平動一 剛體定軸轉動的運動方程第 二 節(jié) 剛體定軸轉動運動學固定軸剛體 如圖，一剛體定軸轉動，如何確定該剛體的位置。 在固定軸上固結軸。oxox與 的夾角 不斷設想在剛體上有一直線 ，在剛opop體轉動中，ox變化，是時間 的函數(shù)， 一定， 則剛體的位置確定（或曰剛體上的所有質(zhì)點的位置確定）， 變化，說明剛體的位置變化。 因而，用 t可確定剛體的位置。 為剛體定軸轉動的運動方程。如同質(zhì)點一維運動時的 txx t t t t

3、tpt二 角速度 tt ttt設 ttt稱為角位移，代數(shù)量。t則固定軸剛體ox tp平均角速度t瞬時角速度 tttlim0dtd即對運動方程求一階導數(shù)。單位秒弧度或srad矢量性角速度 可以定義為矢量，以 表示，它的方向規(guī)定為沿軸的方向。其指向用右手法則確定。 在定軸轉動中，因為角速度僅有兩個方向，故可用代數(shù)量來表示其矢量性。具體做法是：規(guī)定一轉動方向為正方向，當角速度與其同向時，取正；反之取負，詳見后面例題分析。剛體三 角加速度固定軸剛體ox tp加速轉動減速轉動 若 是變化的，同理得瞬時角加速度.dtddtd22單位秒弧度2或srad2或由運動方程 可得 ， t,均為代數(shù)量。矢量式為dtd

4、同樣，在定軸轉動中，角加速度僅兩個方向，當角加速度與其同向時，取正；反之取負，詳見后面例題分析。對勻變速轉動的特殊情形恒量t0tt20212202若則有質(zhì)點直線運動與剛體定軸轉動運動規(guī)律比較運動方程 txx 速度dtdxV 加速度dtdVa atVV0saVV2202attVs2021其他關系式運動方程 t角速度dtd角加速度dtdt02202tt2021其他關系式 固定軸四 角量和線量的關系 如圖示，剛體上一點繞軸在與剛體的軸相垂直的平面內(nèi)做圓周運動，P半徑為 。rpr加速度法向加速度切向加速度rdtdrdtrddtdVatrrVan22aatanaaant22例題V該點速度為rV 例 21

5、 剛體定軸轉動的運動方程為 ，求: t 4231 時的 和 ； st2 2 時， 處的 ， 和 。st2mr1 . 0anata解：tdtd122tdtd241st2srad48srad2482smrV8 . 4smran22103 . 22smrat28 .4saaatn103 .32222時*矢量關系矢量式rVrooVRVrdtrdrdtdrdtddtVda大小RrVsin方向向內(nèi):剛體上一質(zhì)點的速度r沿 方向.剛體上一質(zhì)點的加速度第二節(jié) 剛體定軸轉動定律 問題的提出：mFa 當質(zhì)點運動或剛體平動時， 是運動狀態(tài)， 是運動狀態(tài)的變化，原因是 即合力 是產(chǎn)生加速度 的原因。 FaVa 在剛體

6、定軸轉動中， 轉動狀態(tài)， 轉動狀態(tài)變化，角加速度 產(chǎn)生的原因是什么呢?本節(jié)回答此問題。rFM oFr定軸o一 力矩力的作用線在軸垂直的平面內(nèi),力對水平軸 的力矩為剛體rFM 1，力對水平軸 的力矩oFr定軸oF1F2分解力Fr，則力矩可記為sinrFM 矢量式FrM方向：沿軸，與 和 均垂直。rFM 若力的作用線不在與軸垂直的平面內(nèi)，則把力沿軸與軸垂直的方向分解：作用線沿軸的分力對軸不產(chǎn)生力矩；而作用線在與軸垂直的平面內(nèi)的力的力矩可用以上方法來分析與計算。平行轉動軸的分力的力矩平行于轉動軸，不會產(chǎn)生軸向力矩。二 剛體定軸轉動定律 設一剛體定軸轉動中，研究力矩 與角加速度 間的定量關系。M在剛體

7、上取一小塊，miri質(zhì)量為 ，到軸的垂直距離為 。 mirifiFifiFi內(nèi)力外力據(jù)牛二律amfFiiii法向分量式：rmamfFiiiniinin2切向分量式：rmamfFiiitiitit 1 2 為簡單其見，設二力的作用線在與軸垂直的平面內(nèi)。 由于本題的討論中心是角加速度與力矩的關系，而第二式含有 ，故僅討論第二式。mirfitFit ri2得rmrfrFiiiitiit2對整個剛體求和rmrfrFiNiiiNiitiNiit2111因01rfiNiit解釋原因則rmrmrFiNiiiNiiiNiit21211令rFMiNiit1合外力矩rmIiNii21 例 131 如圖，體系開始靜

8、止，當擺線由水平擺到豎直時，車及球的速度。 lMm光滑水平面車解：體系機械能守恒。體系水平方向動量守恒。0mvMVvmVMmgl222121glmMMv2vMmV解得如何求物體到達最低點時繩中得張力。 例 132 一質(zhì)量為 的木塊置于光滑的水平面上，其上有一半徑為 的光滑圓弧，如圖示。當質(zhì)量為 的小球沿圓弧由 運動到圓弧的底部 時，二者的速度。MRmBAMmRAB 解：本題的特點是,作用中，體系沿水平方向動量守恒，取向左為正方向。在最底點時，設大木塊及球?qū)Φ鼐蜃筮\動，則有021 MVmVmgRMVmV22212121解（略）過程中，對體系，僅重力作功，故機械能守恒，則V2 * 物體系在豎直方

9、向的動量是否守恒，為什么? 的動能來自何方?哪些力對 做功； 與 間的一對內(nèi)力功之和為多少? MmmM結論IM合外式中 稱為轉動慣量。 為剛體受外力矩的代數(shù)和。IM合上式表示的內(nèi)容為轉動定律。說明：1 該式具有瞬時性（解釋）。2 矢量式為IMMi合外 具體用法是：規(guī)定一轉動方向為正方向，當力矩與規(guī)定正方向一致時，取正；反之取負；當角加速度與規(guī)定正方向同向時，取正；反之取負；通常選擇轉動的方向（角速度方向）為規(guī)定正方向，這樣得到了轉動定律的代數(shù)式。祥見后面例題分析。也為剛體受的外力，但對軸的力矩為零。Ngm,如圖示，規(guī)定力 的力矩方向為正方向時，則有FRFRM12外oRF1F2NgmF2三 轉動

10、慣量1 物理意義牛二律知mFa mIM由轉動定律M 由比較知，當合外力矩 一定時，轉動慣量 越大， 越小，剛體的轉動狀態(tài)即角速度 越難以改變，即剛體維持原有運動狀態(tài)的能力強；反之則弱。因此，轉動慣量是剛體轉動慣性的量度。I在力 一定時， 越大，則加速度 越小，表示物體維持原來運動狀態(tài)的能力越強；反之亦然。 稱為物體平動慣性的量度。簡言之，質(zhì)量越大，其狀態(tài)越難以改變。Fma2 計算轉動慣量rmIiNii21，如圖所示。mirim1m2r1r2定軸oo 其物理意義為：各質(zhì)元的質(zhì)量與到軸的垂直距離的平方之積的和。 考慮到剛體是質(zhì)量分布的連續(xù)體，則dmrI2 1 求均質(zhì)圓環(huán)對中心軸的轉動慣量。 oRm

11、例 22解： dmrmRdmRdmrI222可見，轉動慣量與質(zhì)量的大小有關。 2 求均質(zhì)圓盤對中心軸的轉動慣量。 mR解： 利用上題的結果為基礎，取一圓環(huán)。ordrrrdrRmdI222mRdII221由上可知，轉動慣量與質(zhì)量的分布有關。此結果也適合圓柱體。 解：1 軸過端點。 例 23 求均勻直桿的轉動慣量。 1 軸過端點。2 軸過質(zhì)心。 olmdmrmldrlmrdIIl203122 軸過質(zhì)心。olmdmrmldrlmrdIIl22012122可見，剛體的轉動慣量與軸的位置有關。coICIOdm* 平行軸定理簡介mdIICO2解釋:Ic對過質(zhì)心軸的轉動慣量:Io對與過質(zhì)心軸相平行軸的轉動慣

12、量:d二軸間的距離 （證明略） 例 均質(zhì)桿codlmlmIc2121dmlmI220121 yxmrmIiiiiic222 yxmrmIiiiii2220又xxiizziidyyiidyxmIiiio 22剛體對 軸和 軸的轉動慣量為czzo mi* 平行軸定理證明xzzyymidririco取剛體上的cz過剛體的質(zhì)心c為剛體的質(zhì)心mrrdiii,在同一水平面內(nèi)。它們ymdmdyxmiiiiii 2222myymcii c剛體的質(zhì)心0yc所以mdImdyxmIciiiio2222 * 垂直軸定理簡介薄板yzIIIyxz* 垂直軸定理簡介證明薄板xyzomixiyixmIiiy2ox對 軸的轉動

13、慣量oz對 軸的轉動慣量oy對 軸的轉動慣量ymIiix2yxmIiiiz22則有IIIyxzx結論：轉動慣量2 與質(zhì)量的分布有關, 1 與質(zhì)量有關, 3 與軸的位置有關。 例 2-4求由桿與球組成的體系對軸的轉動慣量。lmMROo1解：轉動慣量具有疊加性。IIIo球桿m1m2oBA 例 25 如圖，半徑為 ，質(zhì)量為 的 均質(zhì)圓盤可繞通過質(zhì)心的水平軸自由轉動。盤上繞一段繩，繩的兩端分別系二物體 和 ，如圖所示。求盤的角加速度 ，二物的加速度及繩內(nèi)的張力。設物體運動中，繩與輪間無相對運動，而且 。Rmmm21AB 解 ：解題思路：本題似曾相識。在高中階段如何求解此題?輪質(zhì)量不計。僅研究 和 二物

14、體，繩僅為連接體。則有m2T2gm2am1T1gm1aABTT21 然而，此處要考慮輪（因給出了質(zhì)量和半徑）-剛體。此為一剛體和二質(zhì)點組成的物體系。如何求解：用隔離體法，分析各物體受力。m1m2oBAomNT1T2gmm2T2gm2am1T1gm1a 此處， ，因 和 質(zhì)量不等，二者會加速運動，它們的加速度大小與輪的邊緣處的切向加速度的大小同值，故按轉動定律，輪所受的合外力矩定不為零，故 。ABTT21TT21omNT1T2gmm2T2gm2am1T1gm1aR轉動的正方向xyAB輪投影式：對輪，運用轉動定律，則RmRTRT22121對二物體 和 ，運用牛二律，則（1）AABBamTgm111

15、（2）amgmT222（3）Ra （4）聯(lián)立可得 （略）。aTT,21Rm1m2o 例 26 如圖，半徑為 ，質(zhì)量為 的 均質(zhì)圓盤可繞通過質(zhì)心 的水平軸自由轉動。盤上繞一長繩，繩另一端系一質(zhì)量為 的物體，求繩中的張力 及 . Rm1, aom2TTRmTRm21121:amTgmm222:Ra 三式聯(lián)立求解得Ta,運動學聯(lián)系m1R解：力圖Ngm1Tm2gm2ax設轉動正方向(略)Rm1m2本題的轉動定律又可寫為RmRgm21221本題的轉動定律又可寫為RmRmRgm2221221oRm1m2討論 1 系統(tǒng)從靜止開時，經(jīng)時間t物體下落的高度及輪轉過的角度。 ath221t221 2 若輪轉動時，

16、軸處的摩擦阻力矩為 （恒力矩），結果如何?M0解：輪：RNTgm1RmMTR21021Tgm2物：amTgm22aM0 x轉動正方向Ra oRm1m2 3 若阻力矩為 ， 為恒量 ，求輪的角速度的表達式。kMrkTgm1dtdRmkTRMTRr2121物：Tgm2dtdRmdtdVmamTgm2222a解： 輪：RN二式聯(lián)立，消去 ，在利用分離變量法，積分求得。（略）T例 27 在外力矩的作用下，物體以速度 上升，撤去外力矩后，物體上升多高時開始下落。并求輪的角加速度。V0oRm1m20V0解：oRm1Tm2gm2TaV減速運動y設轉動正方向HaV220RV00RmTR2121amgmT22R

17、a 聯(lián)立求解，得0, 0a聯(lián)立求解。解：oRm1Tm2gm2TaV減速運動y設轉動正方向aHV220RV00RmTR2121amTgm22Ra 聯(lián)立求解，得0, 0a聯(lián)立求解。m1m2mmRR例 28 求, a.Tmm21mmRRm1m2TTT1T2T1T2gm1gm2a解：RmRTRT2121RmRTRT2221amTgm1111amgmT2222Raaa21例2-9 如圖為一榔頭擊打物體時的情形.相關說明如下:ocmm21,分別為錘柄與錘頭的質(zhì)量;為系統(tǒng)的質(zhì)心;手握錘柄處;b手握錘柄處與錘頭中心的距離;rc手握錘柄處與質(zhì)心中心的距離;L錘柄長,即錘柄端到錘頭中心之距.F2ocF1brcm2

18、m1LF2被擊物對錘頭的作用力. 求打擊時的質(zhì)心加速度及錘柄對手的切向力 . F1F1解 設打擊時手對柄的切向力為 ,由質(zhì)心運動定理,有ammFFc2112(1)以 為軸,由轉動定律,有oIbFo2(2)由角量與線量的關系,有racc(3)據(jù)質(zhì)心定義,有mmLbmbmrc21122(4)ammFFc2112(1)oIbF2(2)racc(3)mmLbmbmrc21122(4)ocF1brcm2m1L對 的轉動慣量為2121212122LbmLmbmIIIO錘柄錘頭(5)以上五式聯(lián)立,解得IFbracc02ammFFc2121(詳見教材討論,略)olm解：桿受力如圖。gmc2lN0lgmllmg

19、IM233122432glat02ran43gaat1 例 29 如圖示，一長為 質(zhì)量為 的均質(zhì)桿可繞過一端的水平軸 自由轉動，開始時，桿水平。若桿突然釋放，求: 1 釋放后瞬時（桿仍水平）的 ， ， ， ， atana2 當桿轉到與水平成 時的上述值。0 質(zhì)心處的 .lmoamgmNcNgm由質(zhì)心運動定理，有mamgNcmggmmgmamgmamgNtc4143c解得 2當桿轉到與水平成某一角 時,由轉動定律,有ogmcos2lcmlmglIM231cos2cos23lg顯然,桿做變角加速度轉動.越來越小.22lan2lataaant22ddIdddtdIdtdIIM000cos2dIdlm

20、gMd結果可得 。質(zhì)心的求 用積分轉動定律。如何求桿轉到 時的角加速度與角速度.0lgmllmgIM2cos331cos2020dIMd得2203121sin2mllmg或積分如何正確地運用轉動定律7 運用運動學條件。轉動定律是剛體定軸轉動時的規(guī)律。運用時：1 選定剛體（盤，柱，桿等）及定軸；2 分析剛體受力，并找出各力的力矩；3 求各力的力矩的代數(shù)和；4 寫出 的具體表述；5 該式具有瞬時性，與剛體的運動狀態(tài)（ 的大小和方向）無關; 6 運用隔離體法,對質(zhì)點運用牛二律;IMi一 力矩的功Fpo 設一剛體繞軸 轉動。一力作用在 點,為簡單起見，設力的作用線在與軸垂直的平面內(nèi)，如圖示。 為 點到

21、軸的垂直距離。roprp 該力的作用點 的軌跡為半徑為 的圓，故該力的元功為prdlFl dFdWcosdMdrFtFtl dd第三節(jié) 力矩的功 轉動動能 功能關系則dMW 由以上看出，功的定義不變，只是用力矩來計算剛體轉動中力的功簡單，當然，仍可用力的功。若力矩是轉角的函數(shù)，用上式積分；若是恒力矩。則上式為是轉角。 MW二 轉動動能mi 在定軸轉動剛體上取一質(zhì)量為 質(zhì)元,其動能為2222212121rmrmVmEiiiiiiki整個剛體的動能為IrmEEiiikk2222121其中rmIii2轉動慣量IEk221轉動動能rimioo 若剛體定軸轉動時僅有保守力(或保守力的力矩)做功，則機械能

22、守恒。 三 動能定理 機械能守恒律ddIdddtdIdddtdIdtdIIMIdMd2212122212121212IIIdMdW即合外力矩的功等與轉動動能的增量。IIW21222121和外力矩的功2 桿轉到與水平成 時的角加速度； 例 2 9 如圖示。1 桿水平時的角加速度；3 桿豎直時的角速度；oml解：cgm1lmmgl23122lmmgl231cos23 利用動能定理021cos2220IdmglMd2212Ilmgogm 例 2 9 如圖示,桿長為 ,質(zhì)量為 ,求桿由水平位置(靜止)轉到豎直位置時的角速度.lmo水平位置(靜止)解法 2 用動能定理求解.0212IMd即223121c

23、os220mldlmg解得lg3gm豎直位置c某瞬時位置解法 3 考慮到僅重力做功,用機械守恒律求解.o水平位置(靜止)豎直位置cc零勢能面機械能01E22231212mllmgEE2E1EE12得lg3或利用機械能守恒定律。lmoc零勢能面c2l如何求桿上各點的速度和加速度?01EmglIE22122EE21E2 例 2-16 如圖，求桿由水平釋放后（仍水平）時,桿的 和 及桿轉到豎直位置時的 ， 。,acacmm21m1m2o2l軸l解：（學生自己做）。 例 2-18 求桿的角加速度，及轉到水平位置時的角速度。lmo解：（學生自己做）。例 2-19 推證轉動的動能定理。第 四 節(jié) 角動量定

24、理 角動量守恒定律 一 角動量定理 轉動定律IM dtdI瞬時性。則IdIdMdt過程性。 該式的物理意義是:瞬時力矩 對微小時間 累積 引起物理量 的變化 。MdtIdIMdt(與 類比)mVdFdt 在一段時間內(nèi)IIIdMdttt122121(與 類比 )mVmVFdt12定義 沖量矩ttMdt21角動量IL IIdtM12合 角動量定理：剛體所受合外力矩的沖量矩等于剛體角動量的增量。實質(zhì)講的力矩的時間累積及效果間的關系。若合外力矩是恒力矩，則上式簡化為IIttM1212 說明 1 角動量是矢量，表示為IL ，方向與 同。 不過，在定軸轉動中， 沿軸，僅有兩個方向，若規(guī)定一方向為正，則另一

25、方向為負，因而，在定軸轉動中，角動量為代數(shù)量既可。LL角動量定理矢量式:IIdtM12合轉動方向 物理意義： 為質(zhì)元 的動量與質(zhì)元到軸的垂直距離的積，稱為其動量矩（與力矩比較）。L為組成剛體的各質(zhì)點動量矩的代數(shù)和。rVmiiimi故rVmILiiNii1又稱動量矩。角動量定理又稱動量矩定理。2 動量矩rmILii2rVmiiNii1rrmrmiiii2rimiVi3 質(zhì)點的動量矩(角動量)mVrL 0Vmro質(zhì)點動量矩(角動量)的普遍定義式大小sinmVrLo矢量式動量在矢徑垂直方向的投影與矢徑大小的積。方向 右手螺旋法則。VmrL0定點矢徑rVm軌跡o例 求一沿直線運動的質(zhì)點的角動量. Vm

26、rmVdmVrLosinVmrL0od大小:方向:垂直平面向外解（合力） 質(zhì)點的角動量定理 質(zhì)點動量的變化率由質(zhì)點受的合力決定。質(zhì)點角動量的變化率由什么決定呢？質(zhì)點角動量對時間的變化率VmdtrddtVmdrVmrdtddtLd0VmVVmdtrd則FrdtVmdrdtLd式中的 稱為質(zhì)點所受合力對此固定點的力矩。 MFr力矩為矢量:方向，右手螺旋法則。大小rFsinrFM 定點矢徑rVm軌跡oFLddtMo0且式中的 為質(zhì)點受外力對定 點的力矩。 為動量矩或角動量的增量MOo或LLLddtMooOO12稱為質(zhì)點的角動量定理.形式同剛體的角動量定理. 質(zhì)點系的角動量定理形式同剛體的角動量定理,

27、因剛體本身為質(zhì)點系.Ld0oRm1m2例 210 體系從靜止開時，經(jīng) 秒后輪的角速度。tRmVmtTgm222解：輪：物：RmITRt2121動量矩定理動量定理二式聯(lián)立得結果或RmRmRtgmMt2221221另一方法M 例 29 一半徑為 ，質(zhì)量為 的均質(zhì)圓盤置于水平桌面上，設盤在桌面上轉動的初角速度為 ，盤和桌面間的摩擦系數(shù)為 ，盤經(jīng)多長時間停止轉動。Rm0解：阻力矩為rdrgrmrrdfdM22RrdrgrmrdfrdMM022tIMt 0MIt0略去數(shù)值例題另一解法RrdrgrmrdfrdMM022RrdrgrmrdfrdMM022IMt0 二 角動量守恒定律II21稱為角動量（或動量

28、矩）守恒律。0M合外對質(zhì)點,因則三 角動量守恒的應用 雖然角動量守恒定律由單一剛體繞定軸轉動時導出的，然而確有更廣泛的應用范圍，歸納如下。對定軸轉動剛體,因IIdtM12合若LLLddtMOO10200Mo質(zhì)點受合外力矩為零時,即LL2010則稱為質(zhì)點的角動量（或動量矩）守恒律。 1 單一質(zhì)點 在很多情形下，一質(zhì)點繞一固定點運動，質(zhì)點受合力的作用線恒過此固定點，即合力的力矩為零，則質(zhì)點對該固定點的動量矩(角動量)守恒。如r1r2rF近日點遠日點太陽地球V1V2V動量不守恒!但機械能守恒。0FrMo據(jù)動量矩(角動量)守恒定律,地球?qū)μ柼幍慕莿恿亢愣?rVmrVm2211CostVmrLO還有電

29、子在原子核的場中運動等。rmMGVmrmMGVm222212112121因 與 共線,對 即太陽處力矩為零,即rF如在地球環(huán)繞太陽做橢圓軌道運動時oo對近日點與遠日點,有而且,機械能守恒 例 一倔強系數(shù)為 ，原長為 的彈性繩一端固定，另一端系一質(zhì)量為 的小球，整個系統(tǒng)在光滑的水平面上，如圖示。開始 時 ，如圖。求物體與O點的最近距離。 0tkl0mV0l0lll0o0t 解：分析：物體繞O運動時，受合力恒指向O點，故對O點動量矩守恒。當物體運動到B點時，彈性繩恢復到原長，但不是最近距離，此后，物體慣性運動，到C點時，為最近距離。BdVVC2 角動量守恒1 機械能守恒mVdlmV0mVmVllk

30、2202212121演示演示032角動量守恒定律T向下拉特點：小球在繩的作用下運動，不斷靠近繩穿過的孔。此過程中，角動量守恒，動能不守恒，機械能不守恒，動量不守恒。小孔o2 物體系如圖為一定軸轉動的剛體，角動量守恒。I恒量0M外 想象把此剛體分為若干塊，它們?yōu)橐晃矬w系（為一些剛體，或剛體與質(zhì)點的組合），則體系受合外力矩仍為零，體系內(nèi)各物體間有內(nèi)力和內(nèi)力矩，但對體系的總角動量無影響。由此推出：當一物體系在相互作用時（即有內(nèi)力和內(nèi)力矩），而體系所受合外力矩為零，則體系的角動量守恒。這樣，把動量矩守恒律推廣到物體系。niiiniiiLL110作用后作用前內(nèi)力矩使體系內(nèi)各物體間的角動量交換。作用中，是

31、否機械能守恒或動量守恒，視是否滿足二者的條件而定。（代數(shù)和） 2 剛體系 例 如圖示，若輪B沿軸移向A輪，當二者接觸后，二者因摩擦最后以相同的角速度轉動，求其值，設 。2112I1I2I1I212 解：當二輪接觸后，因有輪間的內(nèi)摩擦力矩，A輪轉速減慢，而B輪加快。 最后，二者以相同的轉速轉動。12 作用過程中僅內(nèi)力矩做功，故體系的角動量守恒。作用前作用后 據(jù)此得到IIII212211 作用過程中，機械能不守恒，為什么?AB 例 212 如圖示，質(zhì)量為 半徑為 的均質(zhì)盤（砂輪）繞定軸自由轉動，某瞬時，其邊緣處爆列，一質(zhì)量為 的一小塊向上飛去，求余下的盤的角速度。MROO0MROOMRm 解：小塊

32、飛出時，此小塊與余下的盤部分為一物體系，體系的合外力矩為零，故此過程中，體系的角動量守恒。作用前作用后RV0RmRmRMRMR0220221210RmRRmMMR02022121是經(jīng)常犯的錯誤! 3 剛體與質(zhì)點系一均質(zhì)桿自由懸掛，處于靜止的狀態(tài)。一子彈水平的射向桿。lMoVm0Vm0Vm0d當子彈擊中桿后，嵌入桿內(nèi)，使體系獲的角速度。m 作用中，系統(tǒng)的外力矩為零（包括重力矩和軸處約束力）為零，體系的角動量守恒mdMldmV22031lMoVm0作用前作用后桿靜止子彈運動，對軸有動量矩桿與子彈一起轉動但作用中動量不守恒，機械能也不守恒!此后如何運動,遵守什麼守恒率.軸對桿有作用力子彈Vmdmtf

33、000阻沖量矩定理動量定理dVmddmtdf000阻桿0312lmtdf阻角動量原理 推導設子彈擊中桿后與桿的共同角速度為設二者的作用時間為tff阻阻，內(nèi)力二式相加，整理得dmlmdVm2023100補： 設軸處的水平作用力為 f2lmmVtffC阻解釋：桿的動量定理 例 如圖，均質(zhì)桿可繞過質(zhì)心自由轉動的軸在水平面內(nèi)轉動。桿靜止。一剛球垂直射向桿，與桿做完全彈性碰撞。求作用后桿的角速度。l2loMVm作用前解：角動量守恒212122lVmMllmV機械能守恒2222121212121mlVmmVl2loM作用后Vm 動量不守恒：作用中體系所受的外力為軸對體系的作用力LMLVmmVL2312解釋

34、 作用中，體系的機械能不守恒，動量不守恒。在何處有外力，請考慮其計算。例 如圖所示，均勻細棒OA可繞過端點的軸在水平面內(nèi)轉動，開始棒靜止，速率為V的子彈從棒端穿過后的速率為 ，則該棒的角速度為2V A B D COALMmmV2VMLmVMLmV23MLmV35MLmV47 例如圖所示，均勻細棒AB長 ,質(zhì)量為 可繞過質(zhì)心 的豎直軸在水平面內(nèi)轉動，開始棒靜止，速度為 的子彈在棒端擊中桿,并嵌于其中,則桿的角速度為lmoVlo2lmVm.2121222lmmllmVlV2339演示演示角動量守恒定律RMm人相對盤靜止，隨盤一起轉動0VrVr剛體，質(zhì)點系人相對盤沿盤緣跑動過程中，體系的角動量守恒V

35、RRmRMRmRMr22221210Vr為人相對盤的速度 解：設輪的半徑為 ，RRVVmRVmr000 設人向上爬時，物對地速度為 ，體系受合外力矩為零，V020VVr人對地的速度為20VVVrr二者速度大小相同，故同時到達。gmgm01LRVVmRVmLr002作用前，體系的動量矩為作用前，體系的動量矩為據(jù)動量矩守恒定律則有V0mmVro 例 214 如圖，人與物同質(zhì)量 ，開始體系靜止。當人以相對速度 向上爬動時，求二者對地的速度及人與物誰先到達輪處。并討論計論的半徑和質(zhì)量時，及二者質(zhì)量不同時的情形。Vrm* 計輪的質(zhì)量時，由角動量守恒律得0212VVRmRVRmVRmr輪* 若人質(zhì)量為 ，

36、而物體為 。m2m 體系的合外力矩為2mgRM 外體系的角動量為VVRmRVRmVRmLr221輪由角動量原理（或動量矩定理)得dLdtM外或dtdLM 外即dtVVRmRVRmVRmmgRr2212輪注意到 ，得0dtdVr0dtdV此時人和物作加速運動。Vr 人向圓心跑動中，體系的角動量守恒。4 軸位置不變, 轉動中無外力矩作用,但質(zhì)量分布變化 當體系在無外力矩的情形下，對軸的角動量 守恒，若體系的質(zhì)量分布變化，其轉動慣量 相應的改變，因而，角速度 變化。如：花樣滑冰；跳水；跳馬；巴蕾舞等。II（物體在無外力矩的存在下，因內(nèi)力而使質(zhì)量分布改變)生熟雞蛋地判斷宇宙飛船中的宇航員在空中翻轉身體

37、。角動量角動量在廣泛的領域內(nèi)的應用： 天體間，星體的公轉與自轉的動量矩。以及微觀體系內(nèi)粒子的角動量，如電子軌道運動角動量，電子，中子及其它粒子的自旋角動量等。而且，據(jù)近代物理理論，微觀粒子的角動量是量子化的，自旋及自旋角動量是微觀粒子的基本屬性。* 用角動量守恒律解釋科里奧利力ABm當球在光滑的盤面由A向B運動時，其角動量守恒。在A點時mrLAA2球在向外運動時， 增大，故對地的角速度減小，因而，球相對盤面有一與 相反的轉動 （球越向外運動，其值越大），r mrL2LLA球相對盤面的軌跡為曲線。橫向力為科氏力。如何正確地運用角動量守恒定律 關鍵分析出體系（或物體）在作用中，對軸（或一定點）的合

38、外力矩為零（而不是合外力為零）。注意動量守恒律和角動量守恒律的區(qū)別。切無混淆。動力學內(nèi)容比較質(zhì)點一維運動剛體的定軸轉動牛一律0Fi牛二律maFi轉動定律IMi0Mi力矩平衡功FdxWMdW動能定理mVmVW21222121合動能定理IIW21222121合功動量定理角動量原理（沖量矩定理）mVmVFdt12IIMdt12對物體系守恒律條件0F合外0M合外第 五 節(jié) 滾動（略講)一 剛體的平面平行運動:運動學設一圓柱體在地面上滾動ocVcVc 質(zhì)心對地速度:rVr 輪上某點相對質(zhì)心的速度:輪上某點相對地面的速度為rVVcprRVccop輪純滾動:由于圓柱體與平面間無相對滑動。質(zhì)心平動，而輪上各點

39、繞質(zhì)心轉動運動學規(guī)律 在輪純滾動時，輪緣上的一點P轉過角 時，輪的質(zhì)心C移動距離為 ，輪的質(zhì)心速度大小為RsRdtdRdtdsVc二 輪純滾動:運動學RVc即Rac為純滾動的運動學條件。據(jù)速度疊加，輪緣上各點的速度為VVVrcp 不難得出，輪緣上與地面接觸點 的速度為RVccop瞬心質(zhì)心平動，而輪上各點繞質(zhì)心轉動。運動學規(guī)律該點稱為轉動瞬心。o0RRRVVco而輪上不同點速度各異。三 動力學規(guī)律acFFr靜摩擦力瞬心oc質(zhì)心運動規(guī)律amFFcrmRRFr221動能222121ImVEcck如圖繞質(zhì)心轉動規(guī)律 輪做純滾動，與地接觸點速度為零，可取為瞬時轉動中心，可以此為瞬軸，寫出轉動定律。推廣a

40、mFci外maFcxix外maFcyiy外cciIM外聯(lián)合解題。ccOimRIM2外amNgmFcr例 討論圓柱體沿斜面的純滾動，質(zhì)心運動規(guī)律NFrgmcoac解：為何有 ，無 能否純滾動。FrFr分量式：yxomaFmgcrsin0cosmgNNFrgmcoac繞質(zhì)心轉動規(guī)律RamRmRRFcr222121聯(lián)立解得sin32gacsin31mgFrcosmgN 柱與斜面間的最大靜摩擦力為cosmaxmgNF若 FFrmax即sin31cosmgmg或3tg 則圓柱體不可能在斜面純滾動了。因此，圓柱體在斜面上純滾動的條件為3tg功能關系為VmIsmgcc222121sinFr不做功，為什麼演示

41、012圓柱形剛體靜摩擦力純滾動純滾動為質(zhì)心平動和繞質(zhì)心的轉動的合運動靜摩擦力產(chǎn)生對質(zhì)心的力矩重力分力對瞬心產(chǎn)生力矩oc質(zhì)心軌跡amFciNfrgm第六節(jié) 進 動 類比法是學習和研究物理的一種基本方法。 質(zhì)點dtPddtVmddtVdmamF 與 平行，物體做直線運動, 被加速或減速；動量的方向不變，僅改變大小。 與 垂直時，此時，力僅改變動量的方向，而大小不變，如勻速率圓周運動。FPFPopppFFF合力與動量垂直，動量繞 點勻速轉動，而動量的增量與力同向。pFoo 剛體dtLddtIddtdIIM 在定軸轉動中， 和 皆 沿軸，角動量的增量 與力矩 的方向相同。當 與 的方向一致時，剛體加速

42、轉動；反之減速轉動。MLMLLdM 若 與 垂直，剛體做何種運動呢? 此時的剛體不可能再做定軸轉動運動。由物理的規(guī)律的表達式MLIdLddtMM可知，角動量的增量 仍是與力矩 的方向相同，但與角動量 本身的方向垂直，此時，力矩 只會改變角動量 的方向，而不改變其大小。結果，使角動量在空間轉動，剛體繞一點進動。如同勻速率圓周運動中的動量 在空中轉動一樣。LdMLLpLIrgmdtLdgmrM解釋IdLddtM+MML垂直于!LLd的增量 與力矩 同方向MMdtLdIMLMdtd00LtdtMLdLdLddtt 陀螺陀螺gm00IL角動量 繞定點轉動。即進動。應用炮彈運行飛機，艦艇急轉彎自行車轉彎

43、陀螺定向進動應用1 飛機，軍艦行進中的快速轉動。軸承壓力的形成。2 定向。子彈運行。3 電子軌道在外磁場中的進動。4 雙原子分子軌道角動量在繞核間軸的進動。5 自行車的進動。VRgmc進飛行的子彈進動圖（阻力）HLPm（磁矩）進自電子的軌道運動在外磁場中進動示意圖本 章 小 結物理學物理學本章的重點與難點轉動定律角動量原理角動量守恒律一 運動學1 運動方程（運動規(guī)律） t2 角速度3 角加速度dtddtd勻變速時t02202tt20214 角量和線量的關系rV ratran2aaatn22二 轉動定律IMMNii1合力矩瞬時性。代數(shù)和轉動慣量的意義三 功與能力矩的功MdW恒力矩的功 MW12

44、轉動動能221IEk3 功能關系IIW21222121合 如圖示，系統(tǒng)靜止，彈簧處于原長處，不計摩擦，求物體下滑 的速度。l光滑mkoMr零勢能面ImVmglkl2222121sin2104 若僅保守力的力矩做功，則機械能守恒。四 角動量原理 角動量守恒定律 1 角動量原理 IIdtM12合外2 角動量守恒定律 0M合外體系角動量守恒。 這個定律的應用有一定的難度，關健是有哪些物體構成物體系，作用過程中，系統(tǒng)的外力矩為零。該過程中，合力可能不為零，動量不守恒；機械能也可不守恒。角動量IL VmrLmVdL 質(zhì)點剛體下一章返回清明清明時節(jié)雨紛紛，路上行人欲斷魂。借問酒家何處有，牧童遙指杏花村。（唐） 杜牧 例 131 如圖，體系開始靜止，當擺線由水平擺到豎直時，車及球的速度。 lMm光滑水平面車解：體系機械能守恒。體系水平方向動量守恒。0mvMVvmVMmgl222121glmMMv2vMmV解得如何求物體到達最低點時繩中得張力。 例 132 一質(zhì)量為 的木塊置于光滑的水平面上，其上有一半徑為 的光滑圓弧，如圖示。當質(zhì)量為 的