第八章 玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計 熱力學(xué)統(tǒng)計物理

1、1熱統(tǒng)2熱統(tǒng)定域粒子組成的系統(tǒng)，滿足經(jīng)典極限條件（非簡并條件）的近定域粒子組成的系統(tǒng)，滿足經(jīng)典極限條件（非簡并條件）的近獨立粒子系統(tǒng)獨立粒子系統(tǒng) 玻耳茲曼系統(tǒng)（玻耳茲曼分布）玻耳茲曼系統(tǒng)（玻耳茲曼分布）1)2(2/32 hmkTNVe 23/23()12NhenVmkT2/321)2( hmVZ 經(jīng)典極限條件經(jīng)典極限條件（非簡并條件）（非簡并條件）1ZNe 一、從非簡并到簡并一、從非簡并到簡并1leall 1 eleall 玻色分布和費米分布玻色分布和費米分布 趨向于玻耳茲曼分布。趨向于玻耳茲曼分布。100lllllaZee 孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)3熱統(tǒng)1 leall 玻色統(tǒng)計玻色統(tǒng)計費米統(tǒng)計費米統(tǒng)

2、計llelll )1()1ln(lnlell 不滿足非簡并條件氣體稱為不滿足非簡并條件氣體稱為簡并氣體：簡并氣體：無相互作用無相互作用采用玻色分布或費米分布采用玻色分布或費米分布二、巨配分函數(shù)二、巨配分函數(shù)1 leaUllllll 1lllllNae對比對比玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布leZll 01 第九章推導(dǎo)開放系統(tǒng)，與源達(dá)到動態(tài)平衡，粒子數(shù)在能級上的平均分布。第九章推導(dǎo)開放系統(tǒng)，與源達(dá)到動態(tài)平衡，粒子數(shù)在能級上的平均分布。 全同性原理帶來的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)對簡并氣體的宏觀性質(zhì)有決定性影響全同性原理帶來的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)對簡并氣體的宏觀性質(zhì)有決定性影響然后確定粒子數(shù)和內(nèi)能4熱統(tǒng))1ln(lnlell

3、1lllllNae)1ln(lnlell llllee 1)1( llle1 NlnN 1 平均粒子數(shù)平均粒子數(shù) eZN1對比對比玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布三、用巨配分函數(shù)表示熱力學(xué)量三、用巨配分函數(shù)表示熱力學(xué)量 ：開系：開系N5熱統(tǒng)1 leaUllllll )1ln(lnlell lllllee 1)( lllle1 U ln U2 內(nèi)能內(nèi)能)1ln(lnlell 對比對比玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布1lnZUN 6熱統(tǒng)3 廣義力廣義力)1ln(1ln1leyyll yeelllll 1)1(yellll 1Y ln1yY yalll 壓強壓強 ln1Vp )1ln(lnlell lllYay對比

4、對比玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布1ln1ZYNy VZNp 1ln 7熱統(tǒng)4 其它熱力學(xué)函數(shù)：熵其它熱力學(xué)函數(shù)：熵()(ln)ln(ln)dUYdydNddydy dddyydd ln)ln(lnln)ln(*)(ln)ln()ln( ddd *)lnln(ln dTdSTdSdNYdydU 由開系的熱力學(xué)公式由開系的熱力學(xué)公式8熱統(tǒng))lnln(ln dTdS)lnln(ln kS熵熵kT1 kT (ln)SkUN lnkS()dUYdydN(lnlnln)dSkd ln UlnN 與玻耳茲曼關(guān)系比較與玻耳茲曼關(guān)系比較TdSdNYdydU kT1 kT 9熱統(tǒng))(lnNUkS lllllEBaa)

5、!1( !)!1(.ln()ln()lnln(6.7.4)B Elllllllllllaaaa對于玻色分布對于玻色分布.ln()ln()lnln )B ElllllllllllSkkaaaa.ln()ln()lnln )B Elllllllllllkkaaaa能否推導(dǎo)出10熱統(tǒng)lnln(1)(8.1.3)llle 1 leall lllaael llllaa lnlllael1lnlllla llaUlaN()ln()lllllllllaUNaaaaa(ln)(lnln()llllllllaSkUNkaaa.lnB Ek)(lnNUkS 11熱統(tǒng))(lnNUkS .!()!lF Dllllaa

6、.lnlnln()ln()F Dlllllllllllaaaa對于費米分布對于費米分布.ln(lnln()ln()F DlllllllllllSkkaaaa.ln(lnln()ln()F Dlllllllllllkkaaaa？12熱統(tǒng)lnln(1)llle 1lllaellllaealnllllaa1llllea lnllllallaUlaN()ln()lllllllllaUNaaaa aaa(ln)(lnln()llllllllaSkUNkaaa.lnF Dk13熱統(tǒng))(lnNUkS 1(ln)(ln)SkUNkUNkTkTkT1 kT lnlnkTUNTSkTUNTS 14熱統(tǒng)勒讓德變換1

7、5熱統(tǒng) 玻色統(tǒng)計與費米統(tǒng)計描述不可區(qū)分的粒子系統(tǒng)。主要是空間中不可玻色統(tǒng)計與費米統(tǒng)計描述不可區(qū)分的粒子系統(tǒng)。主要是空間中不可區(qū)分。但當(dāng)粒子在空間可以區(qū)分時（稀薄氣體），應(yīng)該由描述可區(qū)分區(qū)分。但當(dāng)粒子在空間可以區(qū)分時（稀薄氣體），應(yīng)該由描述可區(qū)分粒子系統(tǒng)的理論玻耳茲曼統(tǒng)計描述。粒子系統(tǒng)的理論玻耳茲曼統(tǒng)計描述。1leall leall 1 e一、一、 弱簡并氣體弱簡并氣體1 leall (1)lllee 雖小但不可忽略雖小但不可忽略 e)1(111llleee 111llee xxxeee2111進(jìn)一步保留到第三項做論文16熱統(tǒng)考慮平動考慮平動mp22 dmhVgdD2/12/33)2(2)( d

8、aDN)()(0 1)2(22/102/33 ledmhVg 3/21/2302(2 )(1)llVgmeedh )()2(2202/102/12/33 dedeemhVgll )211()2(2/32/32 eVehmkTgN總粒子數(shù)總粒子數(shù)粒子微觀狀態(tài)數(shù)粒子微觀狀態(tài)數(shù)6.2.17式式17熱統(tǒng)0( ) ( )UDad )211 ()2(232/52/32ekTVehmkTg兩式相除得到兩式相除得到5/231(1)22UNkTe內(nèi)能內(nèi)能)211()2(2/32/32 eVehmkTgN又又xxxeee211118熱統(tǒng)23/21/21/23002(2 )()llVNgmeededhdel02/1

9、23202/1202/122edeedel,t令dtdt1,1212121則232302230212302/1242212dyeydtetdeytl附錄附錄 C.15)21 ()2()21 (2)2(2)()2(22323223232/33202/102/12/33eVehmkTgeemhVgdedeemhVgll近似求解過程：近似求解過程：19熱統(tǒng)xe2321令eeeeeeeeexxxxxx2522232521121211)1)(211 (1211211211)211()2(2/32/32 eVehmkTgN)211 ()2(232/52/32ekTVehmkTgUxxxeee2111)21

10、1(232/5 eNkTU20熱統(tǒng)二、二、 弱簡并條件物理含義弱簡并條件物理含義利用玻耳茲曼統(tǒng)計的結(jié)果利用玻耳茲曼統(tǒng)計的結(jié)果1ZNe2/32)2(1mkThgVN1)2(1211 (232/322/5mkThgVNNkTU第二項：微觀粒子全同性引起的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)導(dǎo)致的第二項：微觀粒子全同性引起的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)導(dǎo)致的 附加內(nèi)能附加內(nèi)能費米粒子費米粒子相互排斥相互排斥；玻色粒子；玻色粒子相互吸引相互吸引。第一項：根據(jù)玻耳茲曼分布得到的內(nèi)能第一項：根據(jù)玻耳茲曼分布得到的內(nèi)能5/231(1)22UNkTe21熱統(tǒng)一、玻色氣體的化學(xué)勢一、玻色氣體的化學(xué)勢11kTllllleea玻色分布下一個能級玻色分布下

11、一個能級的粒子數(shù)的粒子數(shù)01lllkTae取最低能級取最低能級 000),(VTN11 kTllleVVNn 在粒子數(shù)給定情況下，在粒子數(shù)給定情況下， 與與T T的關(guān)系的關(guān)系 隨溫度的升高而降低隨溫度的升高而降低kT 1kTle0T0cT22熱統(tǒng)連續(xù)化連續(xù)化1)2(22/102/33 kTedmhn .)2(2)(2/12/33 dmhVdD 11 kTllleVVNn 001( )1( ) ( )llNDna dDadVVV1)2(22/102/33 ckTedmhn 臨界溫度臨界溫度Tc：所有玻色粒子都在：所有玻色粒子都在非零能級的最低溫度非零能級的最低溫度1)2(22/102/330 k

12、Tedmhnn 0能級能級0能級能級cTT 0n可以忽略可以忽略cTT n0可以和所有激發(fā)態(tài)能級上粒子數(shù)相比較，可以和所有激發(fā)態(tài)能級上粒子數(shù)相比較，即粒子都往即粒子都往 能級聚集。能級聚集。023熱統(tǒng)用8.3.5式的積分替代8.3.4式的求和時，由于狀態(tài)密度中含有因子 ，在改寫時能量為零的項被丟掉了。 與8.3.6式相比1/23/2302(2 )(8.3.6)1ckTdnmhe24熱統(tǒng)0, cTT1)2(22/102/330 kTedmhn 0 1)2(22/102/33 xedxxmkTh 3/223/2)612. 2(2nmkTc ckTx 1)2(22/102/33 xcedxxmkTh

13、 1)2(2)(2/102/332/3 xccedxxmkThTT 2/3)(cTTn )(1 2/30cTTnn nn0TcTT0cT1)2(22/102/33 ckTedmhn 令令1/202.61212xxdxe1 / 23 / 20302:(2)1ckTdTTnnmhe0/nn25熱統(tǒng)0)(1 2/30 cTTnn0 0 nTTnnc 2/30)( cTT 玻色粒子都在高能級。玻色粒子都在高能級。0)(1 2/30 cTTnn0 0 nTTnnc 2/30)( cTT 高能級裝不下所有玻色粒子，高能級裝不下所有玻色粒子，必有可觀數(shù)目粒子出現(xiàn)在零能必有可觀數(shù)目粒子出現(xiàn)在零能級。級。 玻色

14、玻色愛因斯坦凝聚愛因斯坦凝聚。26熱統(tǒng)27熱統(tǒng)因此，為了容易實現(xiàn)玻色愛因斯坦因此，為了容易實現(xiàn)玻色愛因斯坦凝聚，需要提高臨界溫度。凝聚，需要提高臨界溫度。為此，要提高氣體密度，減小氣體粒為此，要提高氣體密度，減小氣體粒子質(zhì)量。子質(zhì)量。二、熱力學(xué)量二、熱力學(xué)量1)2(22/102/33 kTedmhn 1)2(22/302/33 kTedmhU 2/3)(770. 0cTTNkT 2/3)(925. 1cVTTNkC 3/223/2)612. 2(2nmkTc TTc，理想玻色氣體的，理想玻色氣體的Cv與與T3/2成正比，成正比， T=T c達(dá)極大值。達(dá)極大值。 高溫時趨于經(jīng)典值高溫時趨于經(jīng)典值

15、Nk23TT2T146熱統(tǒng)3. 壓強、輻射通量密度壓強、輻射通量密度223Vdc d 中量子態(tài)數(shù)中量子態(tài)數(shù) 0232)1ln()1ln(ln decVelllkTx/ 02332)1ln()(1lndxexcVx 分部積分分部積分 030302131)1ln(3)1ln(xxxedxxexdxex33203332)(1451)(13ln cVedxxcVx l47熱統(tǒng)332)(145ln cV 4334215lnTcVkU 4334245ln1TckVp VUp31 44cc UJuV33342454)(ln)ln(lnTcVkUkkS 平衡輻射通量密度平衡輻射通量密度2442360kTc習(xí)題

16、習(xí)題7.2結(jié)果結(jié)果習(xí)題習(xí)題8.11結(jié)果結(jié)果48熱統(tǒng)NkTU3 NkCV3 每個原子貢獻(xiàn)一個電子，每個原子貢獻(xiàn)一個電子，晶格中的自由電子氣體。晶格中的自由電子氣體。近獨立，高電導(dǎo)率高熱導(dǎo)率近獨立，高電導(dǎo)率高熱導(dǎo)率晶格晶格三維線性振子三維線性振子電子對熱容量的電子對熱容量的貢獻(xiàn)未計！貢獻(xiàn)未計！一、固體一、固體49熱統(tǒng)量子性質(zhì)：金屬中的自由電子形成強簡并的費米氣體量子性質(zhì)：金屬中的自由電子形成強簡并的費米氣體例例Cu：3.9.8cmg 密密度度63 原原子子量量628-3008.910nNN8.51063mmMkgm31101.9 32723323.5410340012NhenVmkTT31n非簡并

17、條件非簡并條件弱簡并弱簡并強簡并強簡并室溫300K50熱統(tǒng)二、二、T=0K1. 費米氣體費米氣體一個量子態(tài)的平均費米粒子數(shù)一個量子態(tài)的平均費米粒子數(shù)電子電子 g=2； d 間粒子數(shù)間粒子數(shù)1/23/234(2 )1kTVdmhe11 kTef 每個量子態(tài)上最多能容納一個粒子（費米子遵從泡利原理）。每個量子態(tài)上最多能容納一個粒子（費米子遵從泡利原理）。1llkTae服從費米分布服從費米分布3/21/23/21/23324( )(2 )(2 )VVDdgmdmdhh粒子微觀狀態(tài)數(shù)粒子微觀狀態(tài)數(shù)6.2.17式式( )fDd51熱統(tǒng)NedmhVkT 1)2(42/102/33 ),(VTN 對能量積分

18、得到粒子數(shù)總數(shù)對能量積分得到粒子數(shù)總數(shù)2. 化學(xué)勢化學(xué)勢111kTfe kTT1, 0)0( 0 f)0( 1 ff1NdmhV )0(02/12/33)2(4 NmhV 2/32/33)0()2(38 泡令不相容原理泡令不相容原理1/23/2304(2 )1kTVdmhe52熱統(tǒng)3/222)3(2)0(VNm 費米能級費米能級mp2)0()0(2 費米動量費米動量3/12)3()0(VNp NmhV 2/32/33)0()2(38 能量能量53熱統(tǒng)(0)3/23/2304(2 )Vmdh內(nèi)能內(nèi)能2/52/33)0()2(58 mhV )0(53 N 例例Cu328105 . 8 mVNeVJVNm0 .