第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì) 熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理

1、1熱統(tǒng)2熱統(tǒng)定域粒子組成的系統(tǒng)，滿(mǎn)足經(jīng)典極限條件（非簡(jiǎn)并條件）的近定域粒子組成的系統(tǒng)，滿(mǎn)足經(jīng)典極限條件（非簡(jiǎn)并條件）的近獨(dú)立粒子系統(tǒng)獨(dú)立粒子系統(tǒng) 玻耳茲曼系統(tǒng)（玻耳茲曼分布）玻耳茲曼系統(tǒng)（玻耳茲曼分布）1)2(2/32 hmkTNVe 23/23()12NhenVmkT2/321)2( hmVZ 經(jīng)典極限條件經(jīng)典極限條件（非簡(jiǎn)并條件）（非簡(jiǎn)并條件）1ZNe 一、從非簡(jiǎn)并到簡(jiǎn)并一、從非簡(jiǎn)并到簡(jiǎn)并1leall 1 eleall 玻色分布和費(fèi)米分布玻色分布和費(fèi)米分布 趨向于玻耳茲曼分布。趨向于玻耳茲曼分布。100lllllaZee 孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)3熱統(tǒng)1 leall 玻色統(tǒng)計(jì)玻色統(tǒng)計(jì)費(fèi)米統(tǒng)計(jì)費(fèi)米統(tǒng)

2、計(jì)llelll )1()1ln(lnlell 不滿(mǎn)足非簡(jiǎn)并條件氣體稱(chēng)為不滿(mǎn)足非簡(jiǎn)并條件氣體稱(chēng)為簡(jiǎn)并氣體：簡(jiǎn)并氣體：無(wú)相互作用無(wú)相互作用采用玻色分布或費(fèi)米分布采用玻色分布或費(fèi)米分布二、巨配分函數(shù)二、巨配分函數(shù)1 leaUllllll 1lllllNae對(duì)比對(duì)比玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布leZll 01 第九章推導(dǎo)開(kāi)放系統(tǒng)，與源達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，粒子數(shù)在能級(jí)上的平均分布。第九章推導(dǎo)開(kāi)放系統(tǒng)，與源達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，粒子數(shù)在能級(jí)上的平均分布。 全同性原理帶來(lái)的量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)對(duì)簡(jiǎn)并氣體的宏觀性質(zhì)有決定性影響全同性原理帶來(lái)的量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)對(duì)簡(jiǎn)并氣體的宏觀性質(zhì)有決定性影響然后確定粒子數(shù)和內(nèi)能4熱統(tǒng))1ln(lnlell

3、1lllllNae)1ln(lnlell llllee 1)1( llle1 NlnN 1 平均粒子數(shù)平均粒子數(shù) eZN1對(duì)比對(duì)比玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布三、用巨配分函數(shù)表示熱力學(xué)量三、用巨配分函數(shù)表示熱力學(xué)量 ：開(kāi)系：開(kāi)系N5熱統(tǒng)1 leaUllllll )1ln(lnlell lllllee 1)( lllle1 U ln U2 內(nèi)能內(nèi)能)1ln(lnlell 對(duì)比對(duì)比玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布1lnZUN 6熱統(tǒng)3 廣義力廣義力)1ln(1ln1leyyll yeelllll 1)1(yellll 1Y ln1yY yalll 壓強(qiáng)壓強(qiáng) ln1Vp )1ln(lnlell lllYay對(duì)比

4、對(duì)比玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布1ln1ZYNy VZNp 1ln 7熱統(tǒng)4 其它熱力學(xué)函數(shù)：熵其它熱力學(xué)函數(shù)：熵()(ln)ln(ln)dUYdydNddydy dddyydd ln)ln(lnln)ln(*)(ln)ln()ln( ddd *)lnln(ln dTdSTdSdNYdydU 由開(kāi)系的熱力學(xué)公式由開(kāi)系的熱力學(xué)公式8熱統(tǒng))lnln(ln dTdS)lnln(ln kS熵熵kT1 kT (ln)SkUN lnkS()dUYdydN(lnlnln)dSkd ln UlnN 與玻耳茲曼關(guān)系比較與玻耳茲曼關(guān)系比較TdSdNYdydU kT1 kT 9熱統(tǒng))(lnNUkS lllllEBaa)

5、!1( !)!1(.ln()ln()lnln(6.7.4)B Elllllllllllaaaa對(duì)于玻色分布對(duì)于玻色分布.ln()ln()lnln )B ElllllllllllSkkaaaa.ln()ln()lnln )B Elllllllllllkkaaaa能否推導(dǎo)出10熱統(tǒng)lnln(1)(8.1.3)llle 1 leall lllaael llllaa lnlllael1lnlllla llaUlaN()ln()lllllllllaUNaaaaa(ln)(lnln()llllllllaSkUNkaaa.lnB Ek)(lnNUkS 11熱統(tǒng))(lnNUkS .!()!lF Dllllaa

6、.lnlnln()ln()F Dlllllllllllaaaa對(duì)于費(fèi)米分布對(duì)于費(fèi)米分布.ln(lnln()ln()F DlllllllllllSkkaaaa.ln(lnln()ln()F Dlllllllllllkkaaaa？12熱統(tǒng)lnln(1)llle 1lllaellllaealnllllaa1llllea lnllllallaUlaN()ln()lllllllllaUNaaaa aaa(ln)(lnln()llllllllaSkUNkaaa.lnF Dk13熱統(tǒng))(lnNUkS 1(ln)(ln)SkUNkUNkTkTkT1 kT lnlnkTUNTSkTUNTS 14熱統(tǒng)勒讓德變換1

7、5熱統(tǒng) 玻色統(tǒng)計(jì)與費(fèi)米統(tǒng)計(jì)描述不可區(qū)分的粒子系統(tǒng)。主要是空間中不可玻色統(tǒng)計(jì)與費(fèi)米統(tǒng)計(jì)描述不可區(qū)分的粒子系統(tǒng)。主要是空間中不可區(qū)分。但當(dāng)粒子在空間可以區(qū)分時(shí)（稀薄氣體），應(yīng)該由描述可區(qū)分區(qū)分。但當(dāng)粒子在空間可以區(qū)分時(shí)（稀薄氣體），應(yīng)該由描述可區(qū)分粒子系統(tǒng)的理論玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)描述。粒子系統(tǒng)的理論玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)描述。1leall leall 1 e一、一、 弱簡(jiǎn)并氣體弱簡(jiǎn)并氣體1 leall (1)lllee 雖小但不可忽略雖小但不可忽略 e)1(111llleee 111llee xxxeee2111進(jìn)一步保留到第三項(xiàng)做論文16熱統(tǒng)考慮平動(dòng)考慮平動(dòng)mp22 dmhVgdD2/12/33)2(2)( d

8、aDN)()(0 1)2(22/102/33 ledmhVg 3/21/2302(2 )(1)llVgmeedh )()2(2202/102/12/33 dedeemhVgll )211()2(2/32/32 eVehmkTgN總粒子數(shù)總粒子數(shù)粒子微觀狀態(tài)數(shù)粒子微觀狀態(tài)數(shù)6.2.17式式17熱統(tǒng)0( ) ( )UDad )211 ()2(232/52/32ekTVehmkTg兩式相除得到兩式相除得到5/231(1)22UNkTe內(nèi)能內(nèi)能)211()2(2/32/32 eVehmkTgN又又xxxeee211118熱統(tǒng)23/21/21/23002(2 )()llVNgmeededhdel02/1

9、23202/1202/122edeedel,t令dtdt1,1212121則232302230212302/1242212dyeydtetdeytl附錄附錄 C.15)21 ()2()21 (2)2(2)()2(22323223232/33202/102/12/33eVehmkTgeemhVgdedeemhVgll近似求解過(guò)程：近似求解過(guò)程：19熱統(tǒng)xe2321令eeeeeeeeexxxxxx2522232521121211)1)(211 (1211211211)211()2(2/32/32 eVehmkTgN)211 ()2(232/52/32ekTVehmkTgUxxxeee2111)21

10、1(232/5 eNkTU20熱統(tǒng)二、二、 弱簡(jiǎn)并條件物理含義弱簡(jiǎn)并條件物理含義利用玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)的結(jié)果利用玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)的結(jié)果1ZNe2/32)2(1mkThgVN1)2(1211 (232/322/5mkThgVNNkTU第二項(xiàng)：微觀粒子全同性引起的量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)導(dǎo)致的第二項(xiàng)：微觀粒子全同性引起的量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)導(dǎo)致的 附加內(nèi)能附加內(nèi)能費(fèi)米粒子費(fèi)米粒子相互排斥相互排斥；玻色粒子；玻色粒子相互吸引相互吸引。第一項(xiàng)：根據(jù)玻耳茲曼分布得到的內(nèi)能第一項(xiàng)：根據(jù)玻耳茲曼分布得到的內(nèi)能5/231(1)22UNkTe21熱統(tǒng)一、玻色氣體的化學(xué)勢(shì)一、玻色氣體的化學(xué)勢(shì)11kTllllleea玻色分布下一個(gè)能級(jí)玻色分布下

11、一個(gè)能級(jí)的粒子數(shù)的粒子數(shù)01lllkTae取最低能級(jí)取最低能級(jí) 000),(VTN11 kTllleVVNn 在粒子數(shù)給定情況下，在粒子數(shù)給定情況下， 與與T T的關(guān)系的關(guān)系 隨溫度的升高而降低隨溫度的升高而降低kT 1kTle0T0cT22熱統(tǒng)連續(xù)化連續(xù)化1)2(22/102/33 kTedmhn .)2(2)(2/12/33 dmhVdD 11 kTllleVVNn 001( )1( ) ( )llNDna dDadVVV1)2(22/102/33 ckTedmhn 臨界溫度臨界溫度Tc：所有玻色粒子都在：所有玻色粒子都在非零能級(jí)的最低溫度非零能級(jí)的最低溫度1)2(22/102/330 k

12、Tedmhnn 0能級(jí)能級(jí)0能級(jí)能級(jí)cTT 0n可以忽略可以忽略cTT n0可以和所有激發(fā)態(tài)能級(jí)上粒子數(shù)相比較，可以和所有激發(fā)態(tài)能級(jí)上粒子數(shù)相比較，即粒子都往即粒子都往 能級(jí)聚集。能級(jí)聚集。023熱統(tǒng)用8.3.5式的積分替代8.3.4式的求和時(shí)，由于狀態(tài)密度中含有因子 ，在改寫(xiě)時(shí)能量為零的項(xiàng)被丟掉了。 與8.3.6式相比1/23/2302(2 )(8.3.6)1ckTdnmhe24熱統(tǒng)0, cTT1)2(22/102/330 kTedmhn 0 1)2(22/102/33 xedxxmkTh 3/223/2)612. 2(2nmkTc ckTx 1)2(22/102/33 xcedxxmkTh

13、 1)2(2)(2/102/332/3 xccedxxmkThTT 2/3)(cTTn )(1 2/30cTTnn nn0TcTT0cT1)2(22/102/33 ckTedmhn 令令1/202.61212xxdxe1 / 23 / 20302:(2)1ckTdTTnnmhe0/nn25熱統(tǒng)0)(1 2/30 cTTnn0 0 nTTnnc 2/30)( cTT 玻色粒子都在高能級(jí)。玻色粒子都在高能級(jí)。0)(1 2/30 cTTnn0 0 nTTnnc 2/30)( cTT 高能級(jí)裝不下所有玻色粒子，高能級(jí)裝不下所有玻色粒子，必有可觀數(shù)目粒子出現(xiàn)在零能必有可觀數(shù)目粒子出現(xiàn)在零能級(jí)。級(jí)。 玻色

14、玻色愛(ài)因斯坦凝聚愛(ài)因斯坦凝聚。26熱統(tǒng)27熱統(tǒng)因此，為了容易實(shí)現(xiàn)玻色愛(ài)因斯坦因此，為了容易實(shí)現(xiàn)玻色愛(ài)因斯坦凝聚，需要提高臨界溫度。凝聚，需要提高臨界溫度。為此，要提高氣體密度，減小氣體粒為此，要提高氣體密度，減小氣體粒子質(zhì)量。子質(zhì)量。二、熱力學(xué)量二、熱力學(xué)量1)2(22/102/33 kTedmhn 1)2(22/302/33 kTedmhU 2/3)(770. 0cTTNkT 2/3)(925. 1cVTTNkC 3/223/2)612. 2(2nmkTc TTc，理想玻色氣體的，理想玻色氣體的Cv與與T3/2成正比，成正比， T=T c達(dá)極大值。達(dá)極大值。 高溫時(shí)趨于經(jīng)典值高溫時(shí)趨于經(jīng)典值

15、Nk23TT2T146熱統(tǒng)3. 壓強(qiáng)、輻射通量密度壓強(qiáng)、輻射通量密度223Vdc d 中量子態(tài)數(shù)中量子態(tài)數(shù) 0232)1ln()1ln(ln decVelllkTx/ 02332)1ln()(1lndxexcVx 分部積分分部積分 030302131)1ln(3)1ln(xxxedxxexdxex33203332)(1451)(13ln cVedxxcVx l47熱統(tǒng)332)(145ln cV 4334215lnTcVkU 4334245ln1TckVp VUp31 44cc UJuV33342454)(ln)ln(lnTcVkUkkS 平衡輻射通量密度平衡輻射通量密度2442360kTc習(xí)題

16、習(xí)題7.2結(jié)果結(jié)果習(xí)題習(xí)題8.11結(jié)果結(jié)果48熱統(tǒng)NkTU3 NkCV3 每個(gè)原子貢獻(xiàn)一個(gè)電子，每個(gè)原子貢獻(xiàn)一個(gè)電子，晶格中的自由電子氣體。晶格中的自由電子氣體。近獨(dú)立，高電導(dǎo)率高熱導(dǎo)率近獨(dú)立，高電導(dǎo)率高熱導(dǎo)率晶格晶格三維線性振子三維線性振子電子對(duì)熱容量的電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)未計(jì)！貢獻(xiàn)未計(jì)！一、固體一、固體49熱統(tǒng)量子性質(zhì)：金屬中的自由電子形成強(qiáng)簡(jiǎn)并的費(fèi)米氣體量子性質(zhì)：金屬中的自由電子形成強(qiáng)簡(jiǎn)并的費(fèi)米氣體例例Cu：3.9.8cmg 密密度度63 原原子子量量628-3008.910nNN8.51063mmMkgm31101.9 32723323.5410340012NhenVmkTT31n非簡(jiǎn)并

17、條件非簡(jiǎn)并條件弱簡(jiǎn)并弱簡(jiǎn)并強(qiáng)簡(jiǎn)并強(qiáng)簡(jiǎn)并室溫300K50熱統(tǒng)二、二、T=0K1. 費(fèi)米氣體費(fèi)米氣體一個(gè)量子態(tài)的平均費(fèi)米粒子數(shù)一個(gè)量子態(tài)的平均費(fèi)米粒子數(shù)電子電子 g=2； d 間粒子數(shù)間粒子數(shù)1/23/234(2 )1kTVdmhe11 kTef 每個(gè)量子態(tài)上最多能容納一個(gè)粒子（費(fèi)米子遵從泡利原理）。每個(gè)量子態(tài)上最多能容納一個(gè)粒子（費(fèi)米子遵從泡利原理）。1llkTae服從費(fèi)米分布服從費(fèi)米分布3/21/23/21/23324( )(2 )(2 )VVDdgmdmdhh粒子微觀狀態(tài)數(shù)粒子微觀狀態(tài)數(shù)6.2.17式式( )fDd51熱統(tǒng)NedmhVkT 1)2(42/102/33 ),(VTN 對(duì)能量積分

18、得到粒子數(shù)總數(shù)對(duì)能量積分得到粒子數(shù)總數(shù)2. 化學(xué)勢(shì)化學(xué)勢(shì)111kTfe kTT1, 0)0( 0 f)0( 1 ff1NdmhV )0(02/12/33)2(4 NmhV 2/32/33)0()2(38 泡令不相容原理泡令不相容原理1/23/2304(2 )1kTVdmhe52熱統(tǒng)3/222)3(2)0(VNm 費(fèi)米能級(jí)費(fèi)米能級(jí)mp2)0()0(2 費(fèi)米動(dòng)量費(fèi)米動(dòng)量3/12)3()0(VNp NmhV 2/32/33)0()2(38 能量能量53熱統(tǒng)(0)3/23/2304(2 )Vmdh內(nèi)能內(nèi)能2/52/33)0()2(58 mhV )0(53 N 例例Cu328105 . 8 mVNeVJVNm0 .