大學(xué)物理剛體力學(xué)

1、第5章 剛體力學(xué)初步前前4章給出了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的有關(guān)規(guī)章給出了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的有關(guān)規(guī)律律. . 本章介紹具有一定形狀和大小物體的機(jī)械本章介紹具有一定形狀和大小物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)規(guī)律. .既然既然任何物體都可看成是由大量質(zhì)點(diǎn)組成任何物體都可看成是由大量質(zhì)點(diǎn)組成的的, 那么前面的理論在本章中依然有效那么前面的理論在本章中依然有效. .5.1 剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)5.2 剛體平動(dòng)動(dòng)力學(xué)剛體平動(dòng)動(dòng)力學(xué)5.3 質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律5.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)5.5 角動(dòng)量定理與角動(dòng)量定理與 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 5.6 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

2、與機(jī)械能守恒定律與機(jī)械能守恒定律1. 剛體剛體物理模型物理模型: : 物體物體在運(yùn)動(dòng)和相互作用過(guò)程中在運(yùn)動(dòng)和相互作用過(guò)程中, 其其大小和形狀都不發(fā)生任何變化大小和形狀都不發(fā)生任何變化. .推論推論: : 剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離不變剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離不變. .2. 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)5.1 剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)=平動(dòng)平動(dòng)+定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)平動(dòng): : 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中, 通過(guò)通過(guò)剛體內(nèi)任一條直線的剛體內(nèi)任一條直線的方位始終保持不變方位始終保持不變.特點(diǎn)特點(diǎn): 剛體平動(dòng)時(shí)剛體平動(dòng)時(shí), 內(nèi)部各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況完全相同內(nèi)部各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況完全相同. . 因此因此, 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

3、的物理量描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量(如位移如位移、速速度和加速度度和加速度)均可用來(lái)描述剛體的運(yùn)動(dòng)均可用來(lái)描述剛體的運(yùn)動(dòng).剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的平動(dòng)可代表整個(gè)剛體的平動(dòng)剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的平動(dòng)可代表整個(gè)剛體的平動(dòng). .轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng): : 剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí), , 各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線(轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)軸軸)作同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)作同角速度的圓周運(yùn)動(dòng). .定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng): : 轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng). .質(zhì)心軸質(zhì)心軸: : 通過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸. .v特點(diǎn)特點(diǎn): : 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), , 剛體轉(zhuǎn)軸上各點(diǎn)保持不動(dòng)剛體轉(zhuǎn)軸上各點(diǎn)保持不動(dòng). . 軸軸外各點(diǎn)在同一時(shí)間間隔外各點(diǎn)在同

4、一時(shí)間間隔 dt 內(nèi)內(nèi), , 移動(dòng)的弧長(zhǎng)移動(dòng)的弧長(zhǎng)雖然不同雖然不同, , 但其角位移但其角位移 d 卻完全一樣卻完全一樣. . 因因此此, 描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可引入新的物理描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可引入新的物理量量, 如如角位移角位移、角速度角速度和和角加速度角加速度. .3. 描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量角位移角位移: : 在時(shí)間間隔在時(shí)間間隔 t 內(nèi)內(nèi), , 剛體上任一點(diǎn)相對(duì)于剛體上任一點(diǎn)相對(duì)于某一特定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度為某一特定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 . .zxo特征特征: : (1)角位移角位移 是相對(duì)于某一特定轉(zhuǎn)軸而言是相對(duì)于某一特定轉(zhuǎn)軸而言的的. . (2)角位移角位移 不是矢量不是矢

5、量, , 它的合成與轉(zhuǎn)它的合成與轉(zhuǎn)動(dòng)的先后次序有關(guān)動(dòng)的先后次序有關(guān), 不符合矢量的加法交換不符合矢量的加法交換律律. xyzxyzxyzxyzxyzxyzki22ik22角角位位移移不不是是矢矢量量(3) 瞬時(shí)角位移瞬時(shí)角位移 d 符合矢量運(yùn)算法則符合矢量運(yùn)算法則, 為矢量為矢量.dxyzo角速度角速度: : 大小為在某一時(shí)刻大小為在某一時(shí)刻 t 附附近的單位時(shí)間間隔內(nèi)近的單位時(shí)間間隔內(nèi), , 剛體上任剛體上任一點(diǎn)角位移的大小一點(diǎn)角位移的大小; ; 其方向在轉(zhuǎn)其方向在轉(zhuǎn)軸方位軸方位, , 可用右手螺旋法則確定可用右手螺旋法則確定. .0dlimd tkktt特征特征: (1) 角速度是矢量角速

6、度是矢量, 它反映了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)它反映了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)角位移隨時(shí)間變化的規(guī)律角位移隨時(shí)間變化的規(guī)律. (2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 轉(zhuǎn)軸的方向已經(jīng)給定轉(zhuǎn)軸的方向已經(jīng)給定, 角角速度的方向可用正負(fù)表示速度的方向可用正負(fù)表示, 即滿足標(biāo)量即滿足標(biāo)量運(yùn)算法則運(yùn)算法則.角加速角加速度度: 在任意時(shí)刻在任意時(shí)刻 t 附近的單位時(shí)間間隔內(nèi)附近的單位時(shí)間間隔內(nèi), 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的變化量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的變化量, 其方向由矢量運(yùn)算法其方向由矢量運(yùn)算法則確定則確定.0dlimdttt 22ddddddtdtddtd對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有:速度和角速度的關(guān)系速度和角速度的關(guān)系:OrROvvP, 以轉(zhuǎn)軸上某點(diǎn)以

7、轉(zhuǎn)軸上某點(diǎn)O 為參考點(diǎn)為參考點(diǎn)vrsinRvrr2dd()dddd()ddRnRtarttrrrrttR eRa ea e ve加速度和加速度和角速度角速度、角加速度的關(guān)系角加速度的關(guān)系:ddRdtR dt1vvRv22ddtnaRtaRR vv對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有: 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng) 角位移 位移位移 x 角速度角速度 速度速度v角加速度角加速度 加速度加速度 a22000000222200112222ttxxtattatax vvvvv = =常數(shù)常數(shù) a = =常數(shù)常數(shù)勻加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 勻加速直線運(yùn)動(dòng)勻加速直線運(yùn)動(dòng)5.2 剛體平動(dòng)動(dòng)力學(xué)剛體剛體: 質(zhì)

8、點(diǎn)間距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系.質(zhì)量元質(zhì)量元 mi : 在在剛體上任取一質(zhì)量元?jiǎng)傮w上任取一質(zhì)量元 mi 視為視為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn).質(zhì)量元外力質(zhì)量元外力F i: 其它物體施于質(zhì)量元其它物體施于質(zhì)量元 mi 的作的作用力用力.質(zhì)量元內(nèi)力質(zhì)量元內(nèi)力f i: 剛體內(nèi)其它部分施于質(zhì)量元?jiǎng)傮w內(nèi)其它部分施于質(zhì)量元 mi 的作用力的作用力.iiiFfmai由牛頓力學(xué)有由牛頓力學(xué)有iiiFfm aiiii對(duì)所有質(zhì)量元求和有對(duì)所有質(zhì)量元求和有12ia = aa = a且平動(dòng)時(shí)有且平動(dòng)時(shí)有考慮到考慮到0if i()Fm am aiiiiii所以所以Fma平動(dòng)運(yùn)動(dòng)定律平動(dòng)運(yùn)動(dòng)定律: 剛體平動(dòng)時(shí)剛體平動(dòng)時(shí),

9、 其運(yùn)動(dòng)規(guī)律與同質(zhì)其運(yùn)動(dòng)規(guī)律與同質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)相同量的質(zhì)點(diǎn)相同, 受力等于剛體所受外力的矢量和受力等于剛體所受外力的矢量和. ()iiiiFm a5.3 質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律對(duì)剛體的任意運(yùn)動(dòng)對(duì)剛體的任意運(yùn)動(dòng), , 由牛頓第二定律有由牛頓第二定律有: :iiiiiFm a剛體任意運(yùn)動(dòng)時(shí)剛體任意運(yùn)動(dòng)時(shí), , 作用在剛體上的合外力等于各作用在剛體上的合外力等于各個(gè)質(zhì)量元的加速度與質(zhì)量元乘積的矢量和個(gè)質(zhì)量元的加速度與質(zhì)量元乘積的矢量和. .剛體任意運(yùn)動(dòng)時(shí)剛體任意運(yùn)動(dòng)時(shí), , 每一質(zhì)量元的加速度不一定相每一質(zhì)量元的加速度不一定相同同, ,故上式無(wú)法確定每一質(zhì)量元的加速度故上式無(wú)法確定每一質(zhì)量元的加速度. .

10、但它可但它可以確定剛體中一特殊點(diǎn)以確定剛體中一特殊點(diǎn)質(zhì)心的加速度質(zhì)心的加速度. . 1. . 剛體的質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律剛體的質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律222222ddddiixiixiiiiiiyiiyiiiiiiziiziiiixFm amtyFm amtd zFm amdt將上式寫(xiě)成直角坐標(biāo)分量形式將上式寫(xiě)成直角坐標(biāo)分量形式: :222222dddiiiixiiiiiyiiiiizim xmFmd tm ymFmd tm zmFmd t這三個(gè)量可確定剛體上某這三個(gè)量可確定剛體上某點(diǎn)點(diǎn) c (xc, yc, zc), , 稱為剛體的質(zhì)稱為剛體的質(zhì)量中心量中心, , 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱質(zhì)心質(zhì)心. .iiciic

11、iicm xxmm yymm zzmiii若令若令cccxdmxdVx =mmydmydVy =mmzdmzdVz =mm若質(zhì)量連續(xù)分布若質(zhì)量連續(xù)分布, , 則有則有其中其中 dV 為質(zhì)量元為質(zhì)量元 dm 的體積的體積. .222222222222iicixcxiiciycyiicizczm xdd xmFmmmadtdtm ydd ymFmmmadtdtm zdd zmFmmmadtdtiiiiiiiciF = ma質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律: 剛體任意運(yùn)動(dòng)時(shí)剛體任意運(yùn)動(dòng)時(shí), 作用在剛體上作用在剛體上的合外力等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積的合外力等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積. 代入分量式

12、可代入分量式可得得2. 剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能piii= Em ghppiiiiiiii= =cEEm ghm hmgmmgh hc為剛體質(zhì)心的高度為剛體質(zhì)心的高度, 剛體的重力勢(shì)能取決于其剛體的重力勢(shì)能取決于其質(zhì)心的高度質(zhì)心的高度.對(duì)任一質(zhì)量元對(duì)任一質(zhì)量元對(duì)整個(gè)剛體對(duì)整個(gè)剛體5.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)1. 1. 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體繞過(guò)剛體繞過(guò)O點(diǎn)且與投影面點(diǎn)且與投影面垂直的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)垂直的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)僅考慮所受的力與轉(zhuǎn)軸垂直的情形僅考慮所受的力與轉(zhuǎn)軸垂直的情形. .im剛體中任一質(zhì)量元?jiǎng)傮w中任一質(zhì)量元iF該質(zhì)量元所受合外力該質(zhì)量元所受合外力fi該質(zhì)量元所受合內(nèi)力該質(zhì)量元所

13、受合內(nèi)力oimiriFifii由牛頓第二定律由牛頓第二定律: :iiiiF + f = m a寫(xiě)成分量形式寫(xiě)成分量形式: :2 (1) (2)iiiiiini iiiiiiiti iFcos + fcos=ma =mrFsin + f sin=ma =mr對(duì)對(duì)(2)式乘以式乘以ri : :2sinsini iii iii iiti iFrf rmramr2sinsini iii iii iiiiFrf rmr對(duì)對(duì) i 求和求和:2sinsini iii iii iiiiFrf rm r0i iiif rsin=2i iii iFrsinm riiii iiM = FrsiniiMI由內(nèi)力的特性

14、知由內(nèi)力的特性知故有故有稱為外力稱為外力Fi 對(duì)轉(zhuǎn)軸的對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力矩稱為剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的稱為剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2i iiI =mr所以所以22ddddMIIItt定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律: 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 作用在剛體作用在剛體上的合外力矩等于剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角上的合外力矩等于剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積加速度的乘積.iiMI以以 表示合外力矩表示合外力矩, , 則有則有 MIiMrFiiiiM2i iImri以矢量形式表示以矢量形式表示其中合外力矩其中合外力矩轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩指向在轉(zhuǎn)軸方位力矩指向在轉(zhuǎn)軸方位2. 力矩力矩MrForFsinF

15、cosFsinrR定義定義: : 力對(duì)某轉(zhuǎn)軸的力矩力對(duì)某轉(zhuǎn)軸的力矩, , 等于等于轉(zhuǎn)軸到轉(zhuǎn)軸到力作用點(diǎn)的矢徑力作用點(diǎn)的矢徑與作用力的叉乘與作用力的叉乘. .M = rFsin= FR特性特性: : 力矩是矢量力矩是矢量; 力矩的和不恒等于合力的力力矩的和不恒等于合力的力矩矩; 每個(gè)分力的力矩與力的作用點(diǎn)有關(guān)每個(gè)分力的力矩與力的作用點(diǎn)有關(guān). .大小大小方向方向: 由由 和和 的右手螺旋法則確定的右手螺旋法則確定.rrFr3. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量222 ddi iiImrrmrV定義定義:特性特性: (1) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是標(biāo)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是標(biāo)量, , 它是反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)它是反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量慣性大小

16、的物理量. (2) 它是相對(duì)于某一特定轉(zhuǎn)軸而言的它是相對(duì)于某一特定轉(zhuǎn)軸而言的. 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸不同軸不同, 同一物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則不同同一物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則不同.(3) 它與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量分布有關(guān)它與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量分布有關(guān). .(4) 它符合加法結(jié)合律和交換律它符合加法結(jié)合律和交換律和的轉(zhuǎn)動(dòng)慣和的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的和量等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的和. .(5) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定律平行軸定律: :2 cIImd(6) 規(guī)則形狀剛體相對(duì)于對(duì)稱軸的規(guī)則形狀剛體相對(duì)于對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可直接計(jì)算求得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可直接計(jì)算求得, , 其它不其它不規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般由實(shí)驗(yàn)規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般由實(shí)驗(yàn)測(cè)定測(cè)定. .

17、dmIIc4. . 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算xdxxo(1) 垂直于細(xì)棒且通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量垂直于細(xì)棒且通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.已知已知: 棒長(zhǎng)棒長(zhǎng) l , 總質(zhì)量總質(zhì)量 m .2Ix dmm l設(shè)棒的線密度為設(shè)棒的線密度為22222232011 21212lllIx dmxdxx dxlml則有則有(2) 均勻細(xì)圓環(huán)繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均勻細(xì)圓環(huán)繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.已知已知: 半徑半徑 R, 總質(zhì)量總質(zhì)量 m .2222 Ir dmR dmRdmmRdmR(3) 空心圓柱繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量空心圓柱繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.已知已知: 內(nèi)半徑內(nèi)半徑 R1, 外半徑外半徑 R2 , 高高 l

18、 , 總質(zhì)量總質(zhì)量 m .2221ml RR（）rdrR1R2oldd2dmVrl r 212344212212d 2d()21 ()2RRIrmllrrRRm RR 該式同樣適用于薄圓盤(pán)該式同樣適用于薄圓盤(pán)設(shè)其密度為設(shè)其密度為在半徑為在半徑為 r 處處, 取厚度為取厚度為 dr 的薄層為質(zhì)量元薄層為質(zhì)量元(4) 均勻球體均勻球體繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.已知已知: 球的半徑為球的半徑為 R , 質(zhì)量質(zhì)量 m .33(4)mR22rRx222dddVrxRxx（)ddmV222 21ddd22IrmRxx（）方法方法1: :取距球心為取距球心為 x 處處, , 厚度為厚度為dx

19、、半徑為半徑為 r 的薄圓盤(pán)為質(zhì)量元的薄圓盤(pán)為質(zhì)量元設(shè)其質(zhì)量密度為設(shè)其質(zhì)量密度為圓盤(pán)半徑圓盤(pán)半徑體積元體積元質(zhì)量元質(zhì)量元此圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量此圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dxxRr22 222 2052dd2 d82 155RRRIIRxxRxxRmR（）（）222 21ddd22IrmRxx（）薄圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量那么那么, , 球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為方法方法2:2dsind d dVrr ddmV24324300052( sin) d sind d d ddsind82 155zRIrmrrrrRmR ddrrxyz在球坐標(biāo)系中取體體積元在球坐標(biāo)系中取體體積元質(zhì)量元質(zhì)量元故球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

20、為故球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算的一般步驟轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算的一般步驟:m VddmVdV22ddIrmrVr=蝌2( , )d d dVIrx y zx y z43sindddVIrr質(zhì)量密度為質(zhì)量密度為取體積元取體積元?jiǎng)t質(zhì)量元?jiǎng)t質(zhì)量元直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常見(jiàn)規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常見(jiàn)規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄圓盤(pán)薄圓盤(pán)212ImrrR1R2l圓柱圓柱22121()2Im RR細(xì)棒細(xì)棒213Iml細(xì)棒細(xì)棒2112Iml球體球體225ImR275ImR例例1. 求半經(jīng)為求半經(jīng)為 R 、質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的均勻圓環(huán)的均勻圓環(huán), 對(duì)于沿直對(duì)于沿直徑轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量徑轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Rdm

21、dr解解: 圓環(huán)的線密度為圓環(huán)的線密度為2mR在環(huán)上取長(zhǎng)度元在環(huán)上取長(zhǎng)度元 dS, 相應(yīng)的相應(yīng)的質(zhì)量元質(zhì)量元 dm , dm 距轉(zhuǎn)軸距轉(zhuǎn)軸 r, 則dm = dS = RdcosrR2222232d 2cosd1 2IrmR R RmR例例4. 在半徑分別為在半徑分別為 R1 和和 R2 的階梯形滑輪上反向的階梯形滑輪上反向繞有兩根輕繩繞有兩根輕繩, 分別懸掛質(zhì)量為分別懸掛質(zhì)量為m1、m2的物體的物體. 如如滑輪與軸間摩擦不計(jì)滑輪與軸間摩擦不計(jì), 滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I. 求滑輪的求滑輪的角加速度角加速度 及兩繩中的張力及兩繩中的張力T1與與T2.1m2m1R2R2mgm22T1mgm

22、11T2T1Ty解解: 取向下為坐標(biāo)軸的正方向取向下為坐標(biāo)軸的正方向, , 相應(yīng)地相應(yīng)地順時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向亦為向亦為正方向正方向. . 隔離體受力分析如圖隔離體受力分析如圖. .由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程如下由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程如下111122221122m gTm am gTm aT RT RI1122aRaR且線量與角量之間的關(guān)系式為且線量與角量之間的關(guān)系式為1m2m1R2Ry22221211221122I +m R +m R RT =m gI +m R +m R21111222221122I +m R +m R RT =m gI +m R +m R1122221122m R -m

23、R=gI +m R +m R聯(lián)立求解得聯(lián)立求解得:例例5. 物體物體 A、B 的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為 m1和和 m2 , 用一輕繩用一輕繩相連相連, 繩子跨過(guò)質(zhì)量為繩子跨過(guò)質(zhì)量為 M、半徑為半徑為 R 的勻質(zhì)定滑輪的勻質(zhì)定滑輪 C. 如如A下降下降, B 與水平桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為與水平桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 , 且繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)且繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng), 求系統(tǒng)的加速度及求系統(tǒng)的加速度及繩中的張力繩中的張力 T1 和和 T2 .ABCyx解解: : 建立如圖坐標(biāo)系建立如圖坐標(biāo)系, , 并取并取順時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檗D(zhuǎn)向?yàn)檎较蛘较? . 隔離物體受力分析如下圖隔離物體受力分析如下圖

24、. . 由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列出動(dòng)力學(xué)方程律列出動(dòng)力學(xué)方程: :Nfgm22TBAgm11T2T1T111 1m gTma22220Tfm am gNfN12212TRT RIIMRxy12aaaR2222111 121122Tm gm am gTm aT RT RMR整理以上方程有整理以上方程有: 又由運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系可得又由運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系可得:211122(1)2()mMTm gmmM122122(1)2()mMTm gmmM聯(lián)立解得聯(lián)立解得: 12122()2()mmagmmM5.5 角動(dòng)量定理與 角動(dòng)量守恒定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有:dd()dddLMIIIttdt令

25、令 , , 稱為剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的稱為剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量角動(dòng)量或或動(dòng)動(dòng)量矩量矩. .LIddM tL00dtM tLL角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理: 剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 角動(dòng)量的增量角動(dòng)量的增量等于外力矩作用在剛體上的沖量矩等于外力矩作用在剛體上的沖量矩.一般地一般地, 有有ddLMt00ddtLLM tL0dtM t稱為力矩對(duì)轉(zhuǎn)軸的稱為力矩對(duì)轉(zhuǎn)軸的沖量矩沖量矩沖量矩沖量矩: 外力矩對(duì)時(shí)間的累積外力矩對(duì)時(shí)間的累積.由角動(dòng)量定理由角動(dòng)量定理:角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律: 剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 若受到的若受到的合外力矩為零合外力矩為零, 則其角動(dòng)量保持不變則其角動(dòng)量保持不變.

26、I11F1I22F2I1+ I200dtM tLL0M,若若0LL 恒矢量恒矢量作用前角動(dòng)量作用前角動(dòng)量 作用后角動(dòng)量作用后角動(dòng)量 0M()I I II112212例例8. 在質(zhì)量為在質(zhì)量為 M、半徑為半徑為 R 的水平圓盤(pán)轉(zhuǎn)臺(tái)上的水平圓盤(pán)轉(zhuǎn)臺(tái)上, 兩兩質(zhì)量均為質(zhì)量均為 m 的電動(dòng)汽車分別沿半徑為的電動(dòng)汽車分別沿半徑為 R 和和 r (Rr) 的圓形軌道轉(zhuǎn)動(dòng)圓形軌道轉(zhuǎn)動(dòng). 最初最初, 小車和轉(zhuǎn)臺(tái)都靜止不動(dòng)小車和轉(zhuǎn)臺(tái)都靜止不動(dòng).若外軌道上的小車沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)若外軌道上的小車沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng), 內(nèi)軌道小車內(nèi)軌道小車順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng), 相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的速率均為相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的速率均為v. 求轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)求轉(zhuǎn)

27、臺(tái)對(duì)地面的角速度地面的角速度.rvRv解解: 設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较蛟O(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较? , 轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)地面的角速度轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)地面的角速度為為 . . 由于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中無(wú)外力矩作用由于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中無(wú)外力矩作用, , 所以系統(tǒng)的所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒. .汽車汽車A相對(duì)于地面的角速度相對(duì)于地面的角速度ARv汽車汽車B相對(duì)于地面的角速度相對(duì)于地面的角速度Brv由角動(dòng)量守恒由角動(dòng)量守恒0AABBI +I +I其中其中2AImR2BI = mr22MRI =代入可得代入可得22202MRmRmRmrmrvv2222()2()mRrm RrMRv所以所以, 轉(zhuǎn)臺(tái)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)臺(tái)順時(shí)針旋轉(zhuǎn).5.6 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)

28、能定理 與機(jī)械能守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 距轉(zhuǎn)軸為距轉(zhuǎn)軸為 r 的質(zhì)量元的質(zhì)量元 dm 的線速線速度為度為 v , 其動(dòng)能為其動(dòng)能為orvdm22211ddd22kEmrmv剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的總剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的總動(dòng)能為動(dòng)能為222221dd211 d22kkEErmrmI1. 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2. 剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能dpch mEmgmghm3. 剛體的平動(dòng)動(dòng)能剛體的平動(dòng)動(dòng)能212kEm v4. . 剛體的總機(jī)械能剛體的總機(jī)械能2211 22kkpcEEEEImmghv5. 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)外力矩所做的功剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)外力矩所做的功oiriFitFinFd剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)

29、的微角位移為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的微角位移為d , 相應(yīng)地相應(yīng)地力矩做功為力矩做功為ddddiitit iiAFsF rMdddiiiiAAM2211dddiiAAMM某一力某一力Fi的元功為的元功為所有外力的元功為所有外力的元功為剛體由角剛體由角 1轉(zhuǎn)到角轉(zhuǎn)到角 2過(guò)程中過(guò)程中, , 外力矩所做的功為外力矩所做的功為6. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有ddddddddItItIIMddIM22112221dd1122MIII 21dkAME21222111d22kAMIIE 動(dòng)能定動(dòng)能定理理: 剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中, 合外力矩所合外力矩所做

30、的功等于轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量做的功等于轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量(力矩的力矩的空間累積效應(yīng)空間累積效應(yīng)).6. 剛體機(jī)械能守恒定律剛體機(jī)械能守恒定律由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理有由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理有:0kKEE 恒量00kpKpEEEE 恒量21d0kAME當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)0M 若存在重力若存在重力, ,且且 , 則則 0M 一般情況下一般情況下000kpkKpkEEEEEE 恒量0 F 若若 則有則有 0,M kE 為為平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能例例1. 質(zhì)量為質(zhì)量為 m1 的小球的小球, 運(yùn)動(dòng)速度為運(yùn)動(dòng)速度為u, 與質(zhì)量為與質(zhì)量為 m2 、長(zhǎng)為長(zhǎng)為 2l 的細(xì)棒作完全彈性碰撞的細(xì)棒作完全彈性碰撞, 棒繞通過(guò)其質(zhì)心棒繞通過(guò)其質(zhì)心的水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖如圖). 求球的反彈速度求球的反彈速度v 和棒的角速度和棒的角速度 . 解：解：小球的重力與沖擊力相比可忽略小球的重力與沖擊力相比可忽略, 且選順時(shí)且選順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎较蜥樲D(zhuǎn)向?yàn)檎较?設(shè)小球反