西安電子科技大學 物理光學與應用光學 ppt 14

1、第第4章章 光在各向異性介質中的傳播光在各向異性介質中的傳播4.1 晶體的光學各向異性晶體的光學各向異性4.2 理想單色平面光波在晶體中的傳播理想單色平面光波在晶體中的傳播4.3 平面光波在晶體表面上的反射與折射平面光波在晶體表面上的反射與折射4.4 晶體光學元器件晶體光學元器件4.1 晶體的光學各向異性晶體的光學各向異性4.1.1 張量的基礎知識張量的基礎知識4.1.2 晶體的介電張量晶體的介電張量4.1.1 張量的基礎知識張量的基礎知識1. 張量的概念張量的概念2. 張量的變換張量的變換3. 對稱張量對稱張量1. 張量的概念張量的概念 （1 1）把一個）把一個標量標量與一個或者多個與一個或

2、者多個矢量矢量以等式的形式關以等式的形式關聯(lián)起來，等式的關聯(lián)因子就是張量。聯(lián)起來，等式的關聯(lián)因子就是張量。 （2 2）把一個）把一個標量標量與一個與一個張量張量以等式的形式關聯(lián)起來，以等式的形式關聯(lián)起來，其中的關聯(lián)因子就是張量。其中的關聯(lián)因子就是張量。 （3 3）把一個）把一個矢量矢量與一個或者多個與一個或者多個矢量矢量以等式的形式關以等式的形式關聯(lián)起來，其中的關聯(lián)因子就是張量。聯(lián)起來，其中的關聯(lián)因子就是張量。 （4 4）把一個）把一個矢量矢量與一個與一個張量張量以等式的形式關聯(lián)起來，以等式的形式關聯(lián)起來，其中的關聯(lián)因子就是張量。其中的關聯(lián)因子就是張量。 張量就是使一個矢量（或者標量）與另一個

3、及多個張量就是使一個矢量（或者標量）與另一個及多個其它矢量（或者張量）相關聯(lián)的物理量其它矢量（或者張量）相關聯(lián)的物理量，張量又稱為并矢。，張量又稱為并矢。qTp式中，式中， 是關聯(lián)是關聯(lián) 和和 的二階張量。的二階張量。Tpqpq 例如，矢量例如，矢量 與矢量與矢量 有關，則其一般關系應為：有關，則其一般關系應為： 321333231232221131211321qqqTTTTTTTTTppp 二階張量有九個分量，每個分量都與一對坐標二階張量有九個分量，每個分量都與一對坐標(按一定順按一定順序序)相關。相關。在直角坐標系在直角坐標系 O - x1x2x3 中，中， 可表示為矩陣形式可表示為矩陣形

4、式 ：qTp分量形式：分量形式：333232131332322212123132121111qTqTqTpqTqTqTpqTqTqTp一般形式：一般形式：3 , 2 , 1,jiqTpjjiji 按照愛因斯坦求和規(guī)則：若在同一項中下標重復兩次，按照愛因斯坦求和規(guī)則：若在同一項中下標重復兩次，則可自動地按該下標求和，上式簡化為則可自動地按該下標求和，上式簡化為 pi =Tij qj i,j =1, 2, 3 可以看出：如果可以看出：如果 是張量，則是張量，則 矢量的某坐標分量不矢量的某坐標分量不僅與僅與 矢量同一坐標分量有關，還與其另外兩個分量有關。矢量同一坐標分量有關，還與其另外兩個分量有關。

5、Tqp321312313331332323333322311221212213231232223233222211121112113131132123133122111TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTijkpi=Tijkujvk i, j, k =1, 2, 3 分量表示式為：分量表示式為：vuTp: 為三階張量，包含為三階張量，包含 27 個張量元素，其矩陣形式為：個張量元素，其矩陣形式為：Tuvp如果矢量如果矢量 與兩個矢量與兩個矢量 和和 相關，其一般關系式為：相關，其一般關系式為：標量可看作是零階張量；矢量可看作是一階張量。標量可看作是零階張量；矢量可看作是一階

6、張量。標記方法：標記方法： 標量無下標；標量無下標； 矢量有一個下標；矢量有一個下標； 二階張量有兩個下標；二階張量有兩個下標； 三階張量有三個下標。三階張量有三個下標。因此，因此，下標的數(shù)目等于張量的階數(shù)下標的數(shù)目等于張量的階數(shù)。2. 張量的變換張量的變換 由于張量的分量與坐標有關，所以當坐標系發(fā)生變化由于張量的分量與坐標有關，所以當坐標系發(fā)生變化時，張量表示式也將發(fā)生變化。時，張量表示式也將發(fā)生變化。 若在原坐標系中，某張量表示式為若在原坐標系中，某張量表示式為Tij，在新坐標系中，在新坐標系中，該張量表示式為該張量表示式為Tij ，則當原坐標系，則當原坐標系O-x1x2x3與新坐標系與新

7、坐標系O-x 1x 2x 3 的坐標變換矩陣為的坐標變換矩陣為aij時，時，Tij 與與 Tij的關系為的關系為332313322212312111333231232221131211333231232221131211333231232221131211aaaaaaaaaTTTTTTTTTaaaaaaaaaTTTTTTTTT 其分量表示形式為其分量表示形式為:i, j, k, l=1, 2, 3 張量變換定律。張量變換定律。kljlikijTaaT klljkiijTaaT 逆變換逆變換:i, j, k, l=1, 2, 3 i, j =1, 2, 3 如果是矢量，則新坐標系矢量表示式如果是

8、矢量，則新坐標系矢量表示式 A 與原坐標系表與原坐標系表示式示式 A 間的矩陣變換關系間的矩陣變換關系:其分量變換公式其分量變換公式: :321333231232221131211321AAAaaaaaaaaaAAAjijiAaA 3. 對稱張量對稱張量 一個二階張量一個二階張量Tij，如果有，如果有Tij=Tji，則稱為對稱張量，則稱為對稱張量，只有六個獨立分量。只有六個獨立分量。 與任何二次曲面一樣，二階對稱張量存在著一個主軸與任何二次曲面一樣，二階對稱張量存在著一個主軸坐標系，在該主軸坐標系中，張量只有三個對角分量非零。坐標系，在該主軸坐標系中，張量只有三個對角分量非零。于是，當坐標系進

9、行主軸變換時，二階對稱張量可對角化。于是，當坐標系進行主軸變換時，二階對稱張量可對角化?？杀硎緸榭杀硎緸?, 0,322331132112333222111TTTTTTTTTTTT321000000TTT332313232212131211TTTTTTTTT例如一對稱張量例如一對稱張量: :經主軸變換經主軸變換張量與矩陣的區(qū)別張量與矩陣的區(qū)別：張量代表一種物理量，因此在坐標變：張量代表一種物理量，因此在坐標變換時，改變的只是表示方式，其物理量本身并不變化；而換時，改變的只是表示方式，其物理量本身并不變化；而矩陣則只有數(shù)學意義。因此，有時把張量寫在方括號內，矩陣則只有數(shù)學意義。因此，有時把張量寫

10、在方括號內，把矩陣寫在圓括號內，以示區(qū)別。把矩陣寫在圓括號內，以示區(qū)別。4.1.2 晶體的介電張量晶體的介電張量EDr0 = 0 r 是標量，是標量， 與與 的方向相同，即的方向相同，即 的每個分量只的每個分量只與與 的的相應分量相應分量線性相關線性相關。DEED 介電常數(shù)介電常數(shù) 是表征介質電學特性的參量。是表征介質電學特性的參量。 在各向同性介質中在各向同性介質中，電位移矢量，電位移矢量 與電場矢量與電場矢量 滿足滿足關系：關系： DEi, j =1, 2, 3jijiED0r0介電常數(shù)介電常數(shù) 是二階張量。其分量形式為：是二階張量。其分量形式為：即即 的每個分量均與的每個分量均與 的的各

11、個分量各個分量線性相關線性相關。在一般情況。在一般情況下，下， 與與 的方向不同。的方向不同。DEDEEDr0 對于各向異性介質對于各向異性介質 ( 如晶體如晶體 ) :rn在主軸坐標系，電位移矢量的分量形式：在主軸坐標系，電位移矢量的分量形式：3 , 2 , 10iEDiii 晶體的介電張量晶體的介電張量 是對稱張量，有六個獨立分量。是對稱張量，有六個獨立分量。 經經主軸變換后為對角張量，只有三個非零對角分量：主軸變換后為對角張量，只有三個非零對角分量： 1, 2, 3 稱為主介電系數(shù)。稱為主介電系數(shù)。321000000由麥克斯韋關系式：由麥克斯韋關系式：可相應定義三個主折射率可相應定義三個

12、主折射率 n1, n2 , n3。 此外，由固體物理學知道，不同晶體的結構此外，由固體物理學知道，不同晶體的結構具有不同的空間對稱性，自然界中存在的晶體按具有不同的空間對稱性，自然界中存在的晶體按其空間對稱性的不同，分為七大晶系：其空間對稱性的不同，分為七大晶系：立方晶系；四方晶系；六方晶系；三方晶系；正立方晶系；四方晶系；六方晶系；三方晶系；正方晶系；單斜晶系；三斜晶系。方晶系；單斜晶系；三斜晶系。七大晶系的光學性質簡介七大晶系的光學性質簡介晶 系主軸坐標系非主軸坐標系光學分類三斜雙軸單斜正交三方四方六方單軸立方各向同性332211000000333213232212131211331322

13、13110000332211000000331111000000111111000000111111000000331111000000 由于它們的對稱性不同，所以在主軸坐標系中介電張量由于它們的對稱性不同，所以在主軸坐標系中介電張量的獨立分量數(shù)目不同。的獨立分量數(shù)目不同。 由該表可見，三斜、單斜和正交晶系中，主介電系數(shù)由該表可見，三斜、單斜和正交晶系中，主介電系數(shù) 1 2 3 ，這幾類晶體在光學上稱為雙軸晶體；，這幾類晶體在光學上稱為雙軸晶體； 三方、四方、六方晶系中，主介電系數(shù)三方、四方、六方晶系中，主介電系數(shù) 1= 2 3 ，這幾，這幾類晶體在光學上稱為單軸晶體；類晶體在光學上稱為單軸晶

14、體； 立方晶系在光學上是各向同性的，立方晶系在光學上是各向同性的， 1= 2= 3 。4.2 理想單色平面光波在晶體中的傳播理想單色平面光波在晶體中的傳播4.2.1 光在晶體中傳播的解析法描述光在晶體中傳播的解析法描述4.2.2 光在晶體中傳播的幾何法描述光在晶體中傳播的幾何法描述4.2.1 光在晶體中傳播的解析法描述光在晶體中傳播的解析法描述1. 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組2. 光波在晶體中傳播特性的一般描述光波在晶體中傳播特性的一般描述3. 光在幾類特殊晶體中的傳播規(guī)律光在幾類特殊晶體中的傳播規(guī)律1. 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 根據(jù)光的電磁理論，光在晶體中的傳播特性由麥克斯韋根據(jù)光的

15、電磁理論，光在晶體中的傳播特性由麥克斯韋方程組描述。方程組描述。 在均勻、不導電、非磁性的各向異性介質在均勻、不導電、非磁性的各向異性介質( (晶體晶體) )中，若中，若沒有自由電荷存在，麥克斯韋方程組為：沒有自由電荷存在，麥克斯韋方程組為：tDH00DBtHE0 為簡單起見，只討論為簡單起見，只討論單色平面光波在晶體中的傳播單色平面光波在晶體中的傳播特性。特性。 這樣處理，可不考慮介質的色散特性；同時，任意復雜這樣處理，可不考慮介質的色散特性；同時，任意復雜光波可分解為許多不同頻率的單色平面光波的疊加，所以也光波可分解為許多不同頻率的單色平面光波的疊加，所以也不失其普遍性。不失其普遍性。物質

16、方程物質方程EDHB02. 光波在晶體中傳播特性的一般描述光波在晶體中傳播特性的一般描述(1) 單色平面光波在晶體中的傳播特性單色平面光波在晶體中的傳播特性(2) 光波在晶體中傳播特性的描述光波在晶體中傳播特性的描述（1）單色平面光波在晶體中的傳播特性）單色平面光波在晶體中的傳播特性A. 晶體中光電磁波的結構晶體中光電磁波的結構B. 能量密度能量密度C. 相速度和光線速度相速度和光線速度A. 晶體中光電磁波的結構晶體中光電磁波的結構是波法線方向的是波法線方向的單位矢量單位矢量k麥克斯韋方程組變?yōu)椋蝴溈怂鬼f方程組變?yōu)椋?(i000e )(rkcntHDEHDE、DnckHHnckE000HkDk

17、設晶體中傳播的單色平面波為：設晶體中傳播的單色平面波為：平面光波的電磁結構平面光波的電磁結構DskEHvpvr波陣面波陣面重要結論：重要結論：在晶體中，光的能量傳播方向通常與光波法在晶體中，光的能量傳播方向通常與光波法線方向不同。線方向不同。即即 共面。一般情況下，共面。一般情況下， 與與 不在同一方向。不在同一方向。DEkDE、kHD、kEH、kDEH、，所以，所以；一般情況下，一般情況下， 和和 不在同一方向。不在同一方向。sk間夾角與間夾角與 間夾角相同。間夾角相同。DE、ks、HESsEH、ksDE、；，即，即 共面。共面。B. 能量密度能量密度 根據(jù)電磁能量密度公式有：根據(jù)電磁能量密

18、度公式有：| Scnw對于各向同性介質：對于各向同性介質：kHEcnkHEcnDEwe)(2)(221kkEcnkEHcnHBwm)(2)(221ksScnwwwme|C. 相速度和光線速度相速度和光線速度關系：關系：光線速度光線速度光波能量的傳播速度光波能量的傳播速度相速度相速度光波等相位面的傳播速度光波等相位面的傳播速度knckvvppswSsvv|rrcosrrpvksvvvp與與 vr 的關系的關系AvpvrksBAB結論：結論： 在一般情況下，在一般情況下，光在晶體中的相速度和光線光在晶體中的相速度和光線速度分離，其大小和方向均不相同。速度分離，其大小和方向均不相同。 在各向同性介質

19、中，在各向同性介質中，單色平面波的相速度即單色平面波的相速度即是其能量傳播速度（光線速度）。是其能量傳播速度（光線速度）。(2) 光波在晶體中傳播特性的描述光波在晶體中傳播特性的描述A. 晶體光學的基本方程晶體光學的基本方程B. 菲涅耳方程菲涅耳方程A.晶體光學的基本方程晶體光學的基本方程由矢量恒等式由矢量恒等式ACBBCACBA)()()(HnckEDnckH0得：得：)(20EkkEnD（4.2-20）所以所以EnD20（4.2-21）kkEnkkEcnD)()(20202EEkkE)(因為：因為：E和和D的定義的定義 EE D (s D)sskD(k E)k由折射率的定義由折射率的定義

20、類似地定義類似地定義“光線折射率光線折射率”：coscosprrnvcvcnpvcn 202020)cos()cos(coscoscosnDnDnDEE又：又：則：則：DnE2r01（4.2-26）)(120DssDnEr或或（4.2-27） 給出了沿某一給出了沿某一 方向傳播的光波電場方向傳播的光波電場 與晶與晶體體特性特性 n(nr) 的關系，是描述晶體光學性質的基本方程。的關系，是描述晶體光學性質的基本方程。)(sk)(EDB. 菲涅耳方程菲涅耳方程 波法線菲涅耳方程波法線菲涅耳方程 ( (波法線方程波法線方程) ) 光線菲涅耳方程光線菲涅耳方程( (光線方程光線方程) ) 波法線菲涅耳

21、方程（波法線方程）波法線菲涅耳方程（波法線方程）)(20EkkEnD3 , 2 , 10iEDiii2011)(nEkkDiii（4.2-30）選取主軸坐標系選取主軸坐標系3, 2, 1)(20iEkkEnDiiiiiiED00332211kDkDkD2011)(nEkkDiii0kD 描述了晶體中傳播的光波法線方向描述了晶體中傳播的光波法線方向 與相應折射率與相應折射率 n和晶體光學參量（主介電張量）和晶體光學參量（主介電張量） 之間的關系。之間的關系。k（4.2-31）0111111322322221221nknknk即光波場沿即光波場沿 x1、x2 、x3 三個主軸方向的相速度。三個主軸

22、方向的相速度。332211,cvcvcv定義定義ncvp/因為因為（4.2-33）則則0232232222221221vvkvvkvvkppp 描述了晶體中傳播的光波法線方向描述了晶體中傳播的光波法線方向 與相應相速度與相應相速度 vp和晶體光學參量（主速度）和晶體光學參量（主速度） vp1 、v2 、v3 之間的關系。之間的關系。k 由波法線菲涅耳方程可見，對于一定的晶體，光的折射由波法線菲涅耳方程可見，對于一定的晶體，光的折射率率(或相速度或相速度) 隨隨 方向變化。方向變化。k 波法線方程是波法線方程是 n2 或或 的二次方程，一般有兩個獨立的二次方程，一般有兩個獨立實根實根 n、n 或

23、或 ，因而對應每一個波法線方向，因而對應每一個波法線方向 ，有兩個具有不同的折射率或不同相速度的光波。有兩個具有不同的折射率或不同相速度的光波。kppvv 、2pv 波法線菲涅耳方程確定了波法線方向波法線菲涅耳方程確定了波法線方向 上，特許的兩上，特許的兩個線偏振光（本征模式）的折射率（或相速度）和偏振態(tài)。個線偏振光（本征模式）的折射率（或相速度）和偏振態(tài)。k 這種沿不同方向傳播的光波具有不同的折射率這種沿不同方向傳播的光波具有不同的折射率(或相速或相速度度)的特性就是晶體的的特性就是晶體的光學各向異性光學各向異性。 確定與確定與 相應的光波場相應的光波場 和和 ：kDE0)1 (0)1 (0)1 (323232232113233222222211223312221212121EknEkknEkknEkknEknEkknEkknEkknEkn（4.2-