104重積分的幾何應(yīng)用ppt課件

1、第四節(jié)一、立體體積一、立體體積 二、曲面的面積二、曲面的面積 重積分的應(yīng)用 1. 能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn)所求量是 對區(qū)域具有可加性 從定積分定義出發(fā) 建立積分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點(diǎn) 畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、 定出積分限、計(jì)算要簡便 2. 用重積分解決問題的方法 一、立體體積一、立體體積 曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域 的立體的體積為zyxVddd1:221yxzS任一點(diǎn)的切平面與曲面222:yxzS所圍立體的體積 V . 解解: 曲面曲面1S的切平面方程為

2、202000122yxyyxxz它與曲面22yxz的交線在 xoy 面上的投影為1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(記所圍域?yàn)镈 ),(000zyx在點(diǎn)Drrrdd2例例1. 求曲面求曲面rr dd10320 xoyza2例例2. 2. 求半徑為求半徑為a a 的球面與半頂角為的球面與半頂角為 的的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解解: 在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)樵谇蜃鴺?biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)?則立體體積為zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1

3、(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rMMAdzdn二、曲面的面積二、曲面的面積xyzSo設(shè)光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn)),(zyxM處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(稱為面積元素)那么Mnd故有曲面面積公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有zyD即xzx

4、yzyAdd)()(122若光滑曲面方程為 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程為隱式,0),(zyxF那么則有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd例例3. 計(jì)算雙曲拋物面計(jì)算雙曲拋物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影為面上投影為,:222RyxD那么yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面積 A .例例4. 計(jì)算半徑為計(jì)算半徑為 a 的球的表面積的球的表面積.解解:設(shè)球面方程為 ar球面面積元素為ddsind2aA0202

5、dsindaA24asinada方法方法2 利用直角坐標(biāo)方程利用直角坐標(biāo)方程. (見書見書 P167)方法方法1 利用球坐標(biāo)方程利用球坐標(biāo)方程.axyzoddsina)(th( t 為時(shí)間) 的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程,)()(2)(22thyxthz設(shè)長度單位為厘米, 時(shí)間單位為小時(shí), 設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù) 0.9 ),問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小時(shí)? (2019考研)練習(xí)題練習(xí)題提示提示:yxzo記雪堆體積為 V, 側(cè)面積為 S ,那么)(:221220thyxD2221:( )( ) 2zDxyhth t zVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzththS0Dyxzzyxdd)()(1220D)()(162221thyx rrrthd16)(2202)(th)(12132th)(43thyxdd(用極坐標(biāo)) )(2th)(12132thS, )(43thV由