1-8函數(shù)的連續(xù)性與函數(shù)的間斷點ppt課件

1、蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)一、問題的提出一、問題的提出二、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點三、函數(shù)的間斷點四、小結(jié)與思考判斷題四、小結(jié)與思考判斷題 第一章 蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)一、問題的提出一、問題的提出 0T(時間）時間）溫度溫度C41424一天的氣溫是連續(xù)地變化著，體現(xiàn)函數(shù)的連續(xù)性。 連續(xù)性是函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一，在實重要性態(tài)之一，在實際問題中普遍存在連際問題中普遍存在連續(xù)性問題，從圖形上續(xù)性問題，從圖形上看，函數(shù)的圖象連綿看，函數(shù)的圖象連綿不斷。不斷。 蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)二、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的連續(xù)性 1.函數(shù)的增量設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義, , ,稱稱為為自自變

2、變量量在在點點的的增增量量. .0000f(x)U(x ,)xU(x ,)xxx ,x.的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xf(x),f(xf(x)y0 xy0 xy00 xxx 0)(xfy x xx00 xx y y )(xfy 蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2、函數(shù)在一點連續(xù)的定義、函數(shù)在一點連續(xù)的定義,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是00( )().yf xf x 就是蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué):)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個在在點點函函數(shù)數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim

3、)3(00 xfxfxx 蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(2處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證, 01sinlim20 xxx, 0)0( f又又由定義知，.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx ”定定義義“ .)()(,0,000 xfxfxx時時，恒恒有有當當蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)3、單側(cè)連續(xù)性、單側(cè)連續(xù)性;)(),()0(,()(0000處左連續(xù)在點則稱且內(nèi)有定義在若xxfxfxfxaxf.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)

4、(0000處右連續(xù)在點則稱且內(nèi)有定義在若xxfxfxfbxxf左連續(xù)右連續(xù)結(jié)論蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)例例2.2.0, 0, 2, 0, 2)(22連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解)2(lim)(lim200 xxfxx2),0(f )2(lim)(lim200 xxfxx2),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)4 4、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)

5、。( , )( ) , ( ) , .a bxaxbf xa bf xC a b( ) 如如果果在在開開區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù), ,且且在在左左端端點點處處右右連連續(xù)續(xù), ,在在右右端端點點處處左左連連續(xù)續(xù), ,則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù), ,記記f x注: 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。 有理整函數(shù)在區(qū)間(-,+)內(nèi)是連續(xù)的。 有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點是連續(xù)的。蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)例例3.3.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin

6、2xy 則則,0,時時當當對對任任意意的的 ,sin 有有,2sin20 xxy 故故. 0,0 yx時時當當.),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy(夾逼準則）夾逼準則）蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)在在三、函數(shù)的間斷點三、函數(shù)的間斷點 (1)函數(shù))(xf0 x(2)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在 ,但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù) :0 x設(shè)0 x在點)(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 則下列情形這樣的點0 x之一函數(shù) f (x) 在點雖有定義 ,但雖有定義 ,且稱為間斷點 . 在無定義 ;蚌埠學(xué)院

7、高等數(shù)學(xué)間斷點分類:第一類間斷點:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf假設(shè)稱0 x, )()(00 xfxf假設(shè)稱0 x第二類間斷點:)(0 xf及)(0 xf中至少一個不存在 ,稱0 x若其中有一個為振蕩 ,稱0 x若其中有一個為,為可去間斷點 .為跳躍間斷點 .為無窮間斷點 .為振蕩間斷點為振蕩間斷點 .蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)xytan) 1 (2x為其無窮間斷點 .0 x為其振蕩間斷點 .xy1sin) 2(1x為可去間斷點 .11)3(2xxyxoy1例例4.4.xytan2xyoxyxy1sin0蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去

8、間斷點 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點 .蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)例例5.5.01,2,( )11,1,1,1.xxf xxxxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性oxy112xy 1xy2 解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 0.x 為函數(shù)的可去間斷點注 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)例例6.6.0,0,0,sin)(,處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值值時時當當 xxxbxxxfb解0si

9、nlim)(lim00 xxfxxbxbxfxx )(lim)(lim00,)0(bf ),()()( fff必須必須,0時時故當且僅當故當且僅當 b.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf, 0 b,)(處連續(xù)處連續(xù)在在要使要使 xxf蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在 第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型)(. 1xf0 x在點連續(xù)的等價形式蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)思考與練習思考與練習1. 討論函數(shù)231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點.間斷點的類型.2. 設(shè)0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a時提示提示: :,0)0(f)0(f)0(fa03. P64 題 2 , P65 題 5)(xf為連續(xù)函數(shù).答案答案: x = 1 : x = 1 是第一類可去間斷是第一類可去間斷點點, ,蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)P65 題5 提示:xxxfsin1sin