1-8函數(shù)的連續(xù)性與函數(shù)的間斷點(diǎn)ppt課件

1、蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)一、問題的提出一、問題的提出二、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、函數(shù)的間斷點(diǎn)四、小結(jié)與思考判斷題四、小結(jié)與思考判斷題 第一章 蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)一、問題的提出一、問題的提出 0T(時(shí)間）時(shí)間）溫度溫度C41424一天的氣溫是連續(xù)地變化著，體現(xiàn)函數(shù)的連續(xù)性。 連續(xù)性是函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一，在實(shí)重要性態(tài)之一，在實(shí)際問題中普遍存在連際問題中普遍存在連續(xù)性問題，從圖形上續(xù)性問題，從圖形上看，函數(shù)的圖象連綿看，函數(shù)的圖象連綿不斷。不斷。 蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)二、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的連續(xù)性 1.函數(shù)的增量設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義, , ,稱稱為為自自變

2、變量量在在點(diǎn)點(diǎn)的的增增量量. .0000f(x)U(x ,)xU(x ,)xxx ,x.的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xf(x),f(xf(x)y0 xy0 xy00 xxx 0)(xfy x xx00 xx y y )(xfy 蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2、函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義、函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是00( )().yf xf x 就是蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué):)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個(gè)個(gè)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim

3、)3(00 xfxfxx 蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(2處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證, 01sinlim20 xxx, 0)0( f又又由定義知，.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx ”定定義義“ .)()(,0,000 xfxfxx時(shí)時(shí)，恒恒有有當(dāng)當(dāng)蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)3、單側(cè)連續(xù)性、單側(cè)連續(xù)性;)(),()0(,()(0000處左連續(xù)在點(diǎn)則稱且內(nèi)有定義在若xxfxfxfxaxf.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)

4、(0000處右連續(xù)在點(diǎn)則稱且內(nèi)有定義在若xxfxfxfbxxf左連續(xù)右連續(xù)結(jié)論蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)例例2.2.0, 0, 2, 0, 2)(22連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解)2(lim)(lim200 xxfxx2),0(f )2(lim)(lim200 xxfxx2),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)4 4、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)

5、。( , )( ) , ( ) , .a bxaxbf xa bf xC a b( ) 如如果果在在開開區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù), ,且且在在左左端端點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù), ,在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)處處左左連連續(xù)續(xù), ,則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù), ,記記f x注: 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。 有理整函數(shù)在區(qū)間(-,+)內(nèi)是連續(xù)的。 有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)是連續(xù)的。蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)例例3.3.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin

6、2xy 則則,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對對任任意意的的 ,sin 有有,2sin20 xxy 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy(夾逼準(zhǔn)則）夾逼準(zhǔn)則）蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)在在三、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、函數(shù)的間斷點(diǎn) (1)函數(shù))(xf0 x(2)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在 ,但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù) :0 x設(shè)0 x在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 則下列情形這樣的點(diǎn)0 x之一函數(shù) f (x) 在點(diǎn)雖有定義 ,但雖有定義 ,且稱為間斷點(diǎn) . 在無定義 ;蚌埠學(xué)院

7、高等數(shù)學(xué)間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf假設(shè)稱0 x, )()(00 xfxf假設(shè)稱0 x第二類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf中至少一個(gè)不存在 ,稱0 x若其中有一個(gè)為振蕩 ,稱0 x若其中有一個(gè)為,為可去間斷點(diǎn) .為跳躍間斷點(diǎn) .為無窮間斷點(diǎn) .為振蕩間斷點(diǎn)為振蕩間斷點(diǎn) .蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)xytan) 1 (2x為其無窮間斷點(diǎn) .0 x為其振蕩間斷點(diǎn) .xy1sin) 2(1x為可去間斷點(diǎn) .11)3(2xxyxoy1例例4.4.xytan2xyoxyxy1sin0蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去

8、間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn) .蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)例例5.5.01,2,( )11,1,1,1.xxf xxxxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性oxy112xy 1xy2 解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 0.x 為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)注 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)例例6.6.0,0,0,sin)(,處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxbxxxfb解0si

9、nlim)(lim00 xxfxxbxbxfxx )(lim)(lim00,)0(bf ),()()( fff必須必須,0時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) b.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf, 0 b,)(處連續(xù)處連續(xù)在在要使要使 xxf蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型)(. 1xf0 x在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 討論函數(shù)231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)的類型.2. 設(shè)0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a時(shí)提示提示: :,0)0(f)0(f)0(fa03. P64 題 2 , P65 題 5)(xf為連續(xù)函數(shù).答案答案: x = 1 : x = 1 是第一類可去間斷是第一類可去間斷點(diǎn)點(diǎn), ,蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)P65 題5 提示:xxxfsin1sin