勾股定理的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)來(lái)源于生活數(shù)學(xué)來(lái)源于生活 服務(wù)于生活服務(wù)于生活第十八章第十八章 勾股定理勾股定理18.1 18.1 勾股定理勾股定理( (二）二）勾股定理勾股定理：如果直角三角形的兩直角：如果直角三角形的兩直角邊為邊為a,b,a,b,斜邊長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)為c c，那么，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方斜邊的平方復(fù)習(xí) 1abcABC如果在如果在Rt ABC中，中，C=90那么那么222.abc 222.abc 222.abc 結(jié)論變形結(jié)論變形c2 = a2 + b2abcABC（1）求出下列直角三角形中未知的邊）求出下列直角三角形中未知的邊610ACB8A15CB練練

2、 習(xí)習(xí)302245回答：回答：在解決上述問(wèn)題時(shí)，每個(gè)直角三角形需知道幾個(gè)條件？在解決上述問(wèn)題時(shí)，每個(gè)直角三角形需知道幾個(gè)條件？直角三角形哪條邊最長(zhǎng)？直角三角形哪條邊最長(zhǎng)？（2）在長(zhǎng)方形）在長(zhǎng)方形ABCD中，寬中，寬AB為為1m，長(zhǎng)，長(zhǎng)BC為為2m ，求，求AC長(zhǎng)長(zhǎng)1 m2 mACBD2222125ACABBC在在Rt ABC中，中，B=90,由勾股定理可知：由勾股定理可知：探究 1. 小明家裝修時(shí)需要一塊薄木板，已知小明家的門框尺寸是寬1 m，高2 m，如圖所示，那么長(zhǎng)3 m，寬2.2 m的薄木板能否順利通過(guò)門框呢？探究探究2 2例例2如圖，一架如圖，一架2. .6米長(zhǎng)的梯子米長(zhǎng)的梯子AB 斜

3、靠在一豎直斜靠在一豎直的墻的墻AO上，這時(shí)上，這時(shí)AO 為為2. .4米米（1）求梯子的底端）求梯子的底端B距墻角距墻角O多少米？多少米？（2）如果梯子的頂端）如果梯子的頂端A沿墻下滑沿墻下滑0. .5米，米， 那么梯子底端那么梯子底端B也外移也外移0. .5米嗎米嗎？探究探究3:在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)九章算術(shù)中記載了一道有趣的問(wèn)題這中記載了一道有趣的問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為個(gè)問(wèn)題意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形尺的正方形,在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這尺，如果把這根

4、蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，問(wèn)這個(gè)水池根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？DABC 探究探究4.一個(gè)圓柱形紙筒的底面周長(zhǎng)是一個(gè)圓柱形紙筒的底面周長(zhǎng)是40cm，高，高是是30cm，一只小螞蟻在圓筒底的，一只小螞蟻在圓筒底的A處，它想吃處，它想吃到上底與下底面中間與到上底與下底面中間與A點(diǎn)相對(duì)的點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的蜜糖，點(diǎn)處的蜜糖，試問(wèn)螞蟻爬行的最短的路程是多少？試問(wèn)螞蟻爬行的最短的路程是多少？.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為高分別為20dm、3

5、dm、2dm，A和和B是這個(gè)臺(tái)階是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)的最點(diǎn)的最短路程是短路程是_ 3 2 20 B A這節(jié)課你有什么收獲？這節(jié)課你有什么收獲？ 數(shù)學(xué)中的思想： 轉(zhuǎn)化的思想 方程的思想 數(shù)形結(jié)合的思想實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題如何運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題？ 1.審題 分析題目中的已知條件 2.把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 數(shù)學(xué)問(wèn)題 3 .利用勾股定理建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化練習(xí)1.（1）如圖，池塘邊有兩點(diǎn)）如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)，點(diǎn)C是與是與BA方方向成直角的向成直角的AC方向上

6、的一點(diǎn)，測(cè)得方向上的一點(diǎn)，測(cè)得CB= 60m，AC= 20m ，你能求出，你能求出A、B兩點(diǎn)間的距離嗎？?jī)牲c(diǎn)間的距離嗎？ （結(jié)果保留整數(shù)）（結(jié)果保留整數(shù)）練習(xí)練習(xí)2 有一個(gè)邊長(zhǎng)為有一個(gè)邊長(zhǎng)為50dm 的正方形洞口，想用的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，圓的直徑至少多長(zhǎng)？一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，圓的直徑至少多長(zhǎng)？（結(jié)果保留整數(shù)）（結(jié)果保留整數(shù)）50dmABCD22225050500071()ACABBCdm 解：解：在在Rt ABC中，中，B=90, AC=BC=50,由勾股定理可知：由勾股定理可知：如圖，受臺(tái)風(fēng)如圖，受臺(tái)風(fēng)“麥莎麥莎”影響，一棵樹(shù)在離地影響，一棵樹(shù)在離地面面4米處斷裂，

7、樹(shù)的頂部落在離樹(shù)跟底部米處斷裂，樹(shù)的頂部落在離樹(shù)跟底部3米米處，這棵樹(shù)折斷前有多高？處，這棵樹(shù)折斷前有多高？練習(xí)練習(xí)34米米3米米例例2：如圖，鐵路上如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩莊，為兩莊，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得，使得C，D兩村到兩村到E站的距離相等，則站的距離相等，則E站應(yīng)建在離站應(yīng)建在離A站多少站多少km處？處？CAEBDx25-x解：解：設(shè)設(shè)AE= x km，根據(jù)勾股定理，得根據(jù)勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=

8、CE2又又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2即：即：152+x2=102+（25-x)2答：答：E站應(yīng)建在離站應(yīng)建在離A站站10km處。處。 X=10則則 BE=（25-x）km1510例例4:矩形矩形ABCD如圖折疊，使點(diǎn)如圖折疊，使點(diǎn)D落在落在BC邊上的邊上的點(diǎn)點(diǎn)F處，已知處，已知AB=8，BC=10，求折痕，求折痕AE的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。ABCDFE解解:設(shè)設(shè)DE為為X,X(8- X)則則CE為為 (8 X).由題意可知由題意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108 B=90 AB2+ BF2AF282+ BF2102 BF6CFBCBF106464 C=90 CE2+CF

9、2EF2(8 X)2+42=X264 16X+X2+16=X280 16X=016X=80X=5例6： 如圖，邊長(zhǎng)為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是（ ）. （A）3 （B ) 5 （C）2 （D）1ABABC21分析： 由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開(kāi)成平面圖形（如圖）.B活 動(dòng) 3（3）如圖，分別以）如圖，分別以Rt ABC三邊為邊三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，容易得出表示，容易得出S1、S2、S3之間之間有的關(guān)系式為有的關(guān)系式為 123SSS活 動(dòng) 3（3）變式：你還能

10、求出）變式：你還能求出S1、S2、S3之間之間的關(guān)系式嗎？的關(guān)系式嗎？S1S2S3補(bǔ)充練習(xí)及書(shū)后部分習(xí)題補(bǔ)充練習(xí)及書(shū)后部分習(xí)題1在在RtABC中中, C=90,(1) 已知已知: a=5, b=12, 求求c;(2) 已知已知: b=6, c=10 , 求求a;(3) 已知已知: a=7, c=25, 求求b;(4) 已知已知: a=7, c=8, 求求b 2 一直角三角形的一直角邊長(zhǎng)為一直角三角形的一直角邊長(zhǎng)為7, 另兩條另兩條邊長(zhǎng)為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，求這個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，求這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)周長(zhǎng)8.一架一架5長(zhǎng)的梯子，斜立靠在一豎直的墻長(zhǎng)的梯子，斜立靠在一豎直的墻上，這是梯子

11、下端距離墻的底端上，這是梯子下端距離墻的底端3，若梯子，若梯子頂端下滑了頂端下滑了1,則梯子底端將外移（則梯子底端將外移（ ）9.如圖，要在高如圖，要在高3m,斜坡斜坡5m的樓梯表面鋪的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需（地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需（ ）米）米10.把直角三角形兩條直角邊把直角三角形兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，則其倍，則其斜邊（斜邊（ ）A.不變不變 B.擴(kuò)大到原來(lái)的擴(kuò)大到原來(lái)的3倍倍C.擴(kuò)大到原來(lái)的擴(kuò)大到原來(lái)的9倍倍 D.減小到原來(lái)的減小到原來(lái)的1/3ABC17B4如圖如圖:是一個(gè)長(zhǎng)方形零件圖，根據(jù)所給的是一個(gè)長(zhǎng)方形零件圖，根據(jù)所給的尺寸尺寸,求兩孔中心求兩孔中

12、心A、B之間的距離之間的距離ABC409016040應(yīng)用知識(shí)回歸生活應(yīng)用知識(shí)回歸生活 5小明媽媽買了一部小明媽媽買了一部29英寸（英寸（74厘米）的電視厘米）的電視機(jī)小明量了電視機(jī)的屏幕，發(fā)現(xiàn)屏幕只有機(jī)小明量了電視機(jī)的屏幕，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米厘米長(zhǎng)和長(zhǎng)和46厘米寬他覺(jué)得一定是售貨員搞錯(cuò)了厘米寬他覺(jué)得一定是售貨員搞錯(cuò)了，你同意你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？應(yīng)用知識(shí)回歸生活應(yīng)用知識(shí)回歸生活在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風(fēng)吹來(lái)，米，陣風(fēng)吹來(lái)，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距紅蓮被吹到一邊

13、，花朵齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為離為2米，問(wèn)這里水深是米，問(wèn)這里水深是_m。 小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5米后，米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。小東拿著一根長(zhǎng)竹竿進(jìn)一個(gè)寬為小東拿著一根長(zhǎng)竹竿進(jìn)一個(gè)寬為3米的城門，他米的城門，他先橫著拿不進(jìn)去，又豎起來(lái)拿，結(jié)果竹竿比城門先橫著拿不進(jìn)去，又豎起來(lái)拿，結(jié)果竹竿比城門高高1米，當(dāng)他把竹竿斜著時(shí)，兩端剛好頂著城門米，當(dāng)他把竹竿斜著時(shí)，兩端剛好頂著城門的對(duì)角，問(wèn)竹竿長(zhǎng)多

14、少米？的對(duì)角，問(wèn)竹竿長(zhǎng)多少米？解解:設(shè)竹竿長(zhǎng)設(shè)竹竿長(zhǎng)X米米,則城門高為則城門高為 (X1)米米.根據(jù)題意得根據(jù)題意得:32+ (X1) 2 =X29+X2 2X+1=X210 2X=02X=10X=5答答:竹竿長(zhǎng)竹竿長(zhǎng)5米米有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰尺，斜放就恰好等于門的對(duì)角線，已知門寬好等于門的對(duì)角線，已知門寬4尺，求竹竿高與尺，求竹竿高與門高門高.解解:設(shè)竹竿高設(shè)竹竿高X尺尺,則門高為則門高為 (X1)尺尺.根據(jù)題意得根據(jù)題意得:42+ (X1) 2 =X216+

15、X2 2X+1=X217 2X=02X=17X=8.5答答:竹竿高竹竿高8.5尺尺,門高為門高為 7.5尺尺.13在一棵樹(shù)的在一棵樹(shù)的10米高處有兩只猴子，一只米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù)猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù)20米處的池塘的米處的池塘的A處。處。另一只爬到樹(shù)頂另一只爬到樹(shù)頂D后直接躍到后直接躍到A處，距離以直處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹(shù)高則這棵樹(shù)高_(dá)米。米。 15ABCDEF如右圖將矩形如右圖將矩形ABCD沿直線沿直線AE折疊折疊,頂點(diǎn)頂點(diǎn)D恰好落在恰好落在BC邊上邊上F處處,已知已知CE=3,AB=8,則則BF=_

16、。如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直直角邊直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊現(xiàn)將直角邊AC沿沿CAB的的角平分線角平分線AD折疊，使它落在斜邊折疊，使它落在斜邊AB上，且上，且與與AE重合，你能求出重合，你能求出CD的長(zhǎng)嗎？的長(zhǎng)嗎？AECDB一只螞蟻從長(zhǎng)為一只螞蟻從長(zhǎng)為4cm、寬為、寬為3 cm，高是，高是5 cm的的長(zhǎng)方體紙箱的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是它所行的最短路線的長(zhǎng)是_cm。AB.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為高分別為20dm、3d

17、m、2dm，A和和B是這個(gè)臺(tái)階是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)的最點(diǎn)的最短路程是短路程是_ 3 2 20 B A如圖，一個(gè)圓柱形紙筒的底面周長(zhǎng)是如圖，一個(gè)圓柱形紙筒的底面周長(zhǎng)是40cm，高，高是是30cm，一只小螞蟻在圓筒底的，一只小螞蟻在圓筒底的A處，它想吃處，它想吃到上底與下底面中間與到上底與下底面中間與A點(diǎn)相對(duì)的點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的蜜糖，點(diǎn)處的蜜糖，試問(wèn)螞蟻爬行的最短的路程是多少？試問(wèn)螞蟻爬行的最短的路程是多少？在長(zhǎng)長(zhǎng)30cm30cm、寬、寬50 cm50 cm、高、高40 cm40 cm