復(fù)變函數(shù)與積分變換分式線性映射學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)與積分變換分式線性映與積分變換分式線性映射射第一頁，共56頁。一、分式線性映射(yngsh)的一般形式 定義(dngy) ( 為復(fù)數(shù)且 ) dzcbzaw dbca 由分式線性函數(shù) dcba,構(gòu)成的映射，稱為分式線性映射； 特別地，若 ,0 c則稱為(整式)線性映射。 (2) 分式線性映射(yngsh)的逆映射(yngsh)也是一個分式線性映射(yngsh)： (1) 兩個分式線性映射的復(fù)合，仍是一個分式線性映射； 注 第1頁/共55頁第二頁，共56頁。二、分式線性映射(yngsh)的分解 分析(fnx) 分式線性函數(shù) 可改寫為： dzcbzaw dzcbc

2、zcacw 10 c(1) 當(dāng) 時， (2) 當(dāng) 時， 0 c;1dzccdabcca dzcbcaddzcac )(1.)(abzda dbzaw 第2頁/共55頁第三頁，共56頁。二、分式線性映射(yngsh)的分解 分析(fnx) 因此(ync)，一個一般形式的分式線性映射可以由下面四種 最簡單的分式線性映射復(fù)合而成。 ,bzw (1) ( b 為復(fù)數(shù) )； ,0ezwi (2) ( 為實(shí)數(shù) )； 0 , zrw (3) ( r 為正數(shù) )； 復(fù)合成(整式)線性映射。 在后面的討論中，有時會根據(jù)需要，只對(整式)線性映射 和第 (4) 種映射分別進(jìn)行討論。 復(fù)合成分式線性映射。 (4)

3、. wz1第3頁/共55頁第四頁，共56頁。二、分式線性映射(yngsh)的分解 1. 平移(pn y)映射 ,bzw ( b 為復(fù)數(shù) ) ,v iuw ,21bibb ,yixz 令 ,1bxu .2byv 則有 向量 的方向平移一段距離 . b|b 它將點(diǎn)集(點(diǎn) 曲線 區(qū)域等)沿著 、 、 下面分別對四種映射進(jìn)行討論。為了(wi le)比較映射前后的變化， 將 w 平面與 z 平面放在同一個平面上。 第4頁/共55頁第五頁，共56頁。二、分式線性映射(yngsh)的分解 2. 旋轉(zhuǎn)(xunzhun)映射 旋轉(zhuǎn)一個角度 .0 它將點(diǎn)集(點(diǎn) 曲線 區(qū)域等) 、 、 ,0ezwi ( 為實(shí)數(shù) )

4、 0 令 ,|e izz 則有 .|)(0e izw 當(dāng) 時，沿逆時針旋轉(zhuǎn)； 00 當(dāng) 時，沿順時針旋轉(zhuǎn)。 00 第5頁/共55頁第六頁，共56頁。二、分式(fnsh)線性映射的分解 3. 相似(xin s)映射 其特點(diǎn)(tdin)是保持點(diǎn)的輻角不變， , zrw ( r 為正數(shù) ) 令 ,|e izz 則有 .|e izrw 但模擴(kuò)大(或縮小)r 倍。 它將曲線或者區(qū)域相似地擴(kuò)大(或縮小)r 倍。 特別適合于過原點(diǎn)(或含原點(diǎn))的曲線或區(qū)域。 第6頁/共55頁第七頁，共56頁。單位(dnwi)圓外(或內(nèi))，且輻角反號。 二、分式(fnsh)線性映射的分解 4. 反演(fn yn)(或倒數(shù))映射

5、 它將單位圓內(nèi)(或外)的點(diǎn)映射到 令 ,|e izz wz1則有 .)(e i w|z1 如圖，反演(或倒數(shù))映射通常還可以分為兩步來完成： (1) 將 映射為 z,1w滿足 ,|1 w|z1;argarg1zw (2) 將 映射為 1w,w滿足 , |1ww .argarg1ww 第7頁/共55頁第八頁，共56頁。二、分式(fnsh)線性映射的分解 圓周(yunzhu)對稱的概念 定義 設(shè)某圓周 C 的半徑為 R ， 則稱 A 和 A , B 兩點(diǎn)位于(wiy)從圓心 O 5. 兩個特殊的對稱映射 自然地，規(guī)定圓心 O 與無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 關(guān)于該圓周對稱。 C B A R O B 是關(guān)于圓周 C 對

6、稱的。 出發(fā)的射線上(如圖)， 且 ,2ROBOA T P145定義 6.3 第8頁/共55頁第九頁，共56頁。二、分式(fnsh)線性映射的分解 5. 兩個特殊的對稱(duchn)映射 (1) 關(guān)于單位(dnwi)圓周的對稱映射 wz1令 ,|e izz 則有 .e i w|z1,| w|z1;argargzw 即 (2) 關(guān)于實(shí)軸的對稱映射 zw 令 ,|e izz 則有 .|)(e izw, |zw .argargzw 即 zwzz第9頁/共55頁第十頁，共56頁。二、分式(fnsh)線性映射的分解 5. 兩個特殊(tsh)的對稱映射 (1) 關(guān)于單位圓周的對稱(duchn)映射 wz1

7、(2) 關(guān)于實(shí)軸的對稱映射 zw z w共形映射來使用。 注意 上述兩個映射并不是解析的，因此它們不能單獨(dú)地作為 映射的變化過程。 ; z1. w, wz1 即 其主要作用是為了能更好地看清倒數(shù) 第10頁/共55頁第十一頁，共56頁。解 izzw 2iziiz 222izi 22.1222eizi z1ziz 平移 2z1z1倒數(shù) 3z22ezi 旋轉(zhuǎn) 4z32z相似 w24 z平移 比如 0 z;0 w(1) iz ;1 w(2) 2 ii 211 i2i1 i P43 例6.5 第11頁/共55頁第十二頁，共56頁。則點(diǎn) 對應(yīng)于點(diǎn) z.0 記為 , )( 因此，函數(shù) 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 的性態(tài)可由

8、 )(zf z函數(shù) 在原點(diǎn) 的性態(tài)來刻畫。 )( 0 三、保形性 為了在整個擴(kuò)充(kuchng)復(fù)平面上進(jìn)行討論，首先要對無窮遠(yuǎn)點(diǎn)進(jìn)行 某些技術(shù)處理(chl)和補(bǔ)充說明。 z1令 , 即 , z 1則 “認(rèn)為” 函數(shù) 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 也解析。 )(zf z比如 若函數(shù) 在原點(diǎn) 解析， )( 0 (1) 對于函數(shù) , )(zf fzf )( 1則有 思想 (回顧) 其思想(sxing)已在5.2 節(jié)中介紹過。 第12頁/共55頁第十三頁，共56頁。則點(diǎn) 對應(yīng)于點(diǎn) z.0 三、保形性 為了在整個擴(kuò)充(kuchng)復(fù)平面上進(jìn)行討論，首先要對無窮遠(yuǎn)點(diǎn)進(jìn)行 某些(mu xi)技術(shù)處理和補(bǔ)充說明。 z1令

9、, 即 , z 1思想 (回顧) 其思想(sxing)已在5.2 節(jié)中介紹過。 曲線 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 的性態(tài)可由 C z像曲線 在原點(diǎn) 的性態(tài)來刻畫。 0 比如 z 平面上兩曲線在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的交角， (2) 對于 平面上過無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 的曲線 C ， z z它們在映射 下的像曲線在原點(diǎn)的交角。 z1同樣有 可定義為 第13頁/共55頁第十四頁，共56頁。三、保形性 1. 倒數(shù)映射 的保形性 wz1由此，倒數(shù)映射在擴(kuò)充(kuchng)復(fù)平面上是雙方單值的。 (1) 當(dāng) 且 時， z0 z 單值性 當(dāng) 時， 當(dāng) 時， z0 z. w;0 w規(guī)定： 解析性 函數(shù) 解析，且 wz121zdzdw .0 (2)

10、當(dāng) 時， z令 , z1則 )( w, 函數(shù) 在 處 解析，且 1)0( .0 0 )( 倒數(shù)映射 在擴(kuò)充復(fù)平面上除 外是共形映射。 wz10 z第14頁/共55頁第十五頁，共56頁。三、保形性 1. 倒數(shù)(do sh)映射 的保形性 wz1倒數(shù)映射 在擴(kuò)充復(fù)平面上除 外是共形映射。 wz10 z映射 在 w 擴(kuò)充復(fù)平面上除 外是共形映射。 zw10 w同理， 映射 在 處是共形映射， zw1 w特別有， 倒數(shù)映射 在 處是共形映射。 wz10 z結(jié)論 倒數(shù)映射 在擴(kuò)充復(fù)平面上是共形映射。 wz1由此即得： 第15頁/共55頁第十六頁，共56頁。三、保形性 1. 倒數(shù)(do sh)映射 的保形

11、性 wz1由此，線性映射(yngsh)在擴(kuò)充復(fù)平面上是雙方單值的。 當(dāng) 時， z 單值性 當(dāng) 時， z. w規(guī)定： 解析性 2. 線性映射 的保形性 )0( , abzaw函數(shù) 解析，且 adzdw .0 bzaw 線性映射 在擴(kuò)充復(fù)平面上除 外是共形映射。 zbzaw (結(jié)論同上, 跳過?)第16頁/共55頁第十七頁，共56頁。三、保形性 1. 倒數(shù)(do sh)映射 的保形性 wz12. 線性映射(yngsh) 的保形性 )0( , abzaw線性映射 在擴(kuò)充復(fù)平面上除 外是共形映射。 zbzaw 當(dāng) 時， z令 , z1, w1函數(shù) 在 處 解析，且 )0( ,0 0 )( a1則 ,)

12、(ab , w 1;0)0( 且當(dāng) 時， 0 因此， 0 )( 映射 在 處是共形映射, 第17頁/共55頁第十八頁，共56頁。三、保形性 1. 倒數(shù)(do sh)映射 的保形性 wz12. 線性映射(yngsh) 的保形性 )0( , abzaw線性映射(yngsh) 在擴(kuò)充復(fù)平面上除 外是共形映射(yngsh)。 zbzaw 當(dāng) 時， z令 , z1則 ,)(ab , w1, w 1映射 在 處是共形映射, 0 )( ;0)0( 且 又映射 在 處也是共形映射， 0 w 1線性映射 在 處是共形映射。 zbzaw 結(jié)論 線性映射 在擴(kuò)充復(fù)平面上是共形映射。 bzaw 即得： 第18頁/共5

13、5頁第十九頁，共56頁。三、保形性 1. 倒數(shù)(do sh)映射 的保形性 wz12. 線性映射(yngsh) 的保形性 )0( , abzaw3. 分式(fnsh)線性映射的保形性 由于分式線性映射可分解為線性映射和倒數(shù)映射的復(fù)合， 因此就得到了如下定理。 定理 分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是共形映射。 注意 該定理不僅從理論上確保了分式線性映射是共形映射， 而且其中的保角性在分式線性映射的構(gòu)造中非常實(shí)用。 P146 定理6.5 第19頁/共55頁第二十頁，共56頁。四、保圓性 1. 倒數(shù)映射 的保圓性 wz1分析(fnx) ,0)(22 dycxbyxa,0)(22 avcubvud令 ,v

14、iuw ,yixz viuyix 1由 有 zw1,2222vuvivuu .22vuvy ,22vuux ( A ) 將 ( A ) 式代入，即得到其像曲線所滿足(mnz)的方程為： (當(dāng) 時為直線 )， 0 a(當(dāng) 時為直線 )。 0 d對于 平面上一個任意給定的圓： z第20頁/共55頁第二十一頁，共56頁。四、保圓性 1. 倒數(shù)(do sh)映射 的保圓性 wz12. 線性映射 的保圓性 )0( , abzaw由于這三種映射(yngsh)顯然將圓仍然映射(yngsh)為圓， 線性映射可分解為平移映射 旋轉(zhuǎn)映射和相似映射的復(fù)合 , 、3. 分式(fnsh)線性映射的保圓性 約定 將直線看

15、作是半徑為無窮大的圓。 將圓映射為圓。 因此線性映射能 P147 定理6.6 第21頁/共55頁第二十二頁，共56頁。四、保圓性 3. 分式線性映射的保圓性 定理 在擴(kuò)充復(fù)平面上，分式線性映射能把圓變成圓。 約定 將直線看作是半徑為無窮大的圓。 (1) 如果給定的圓(或直線)上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)， 注 則它就映射(yngsh)成半徑有限的圓； (2) 如果給定的圓(或直線)上有一點(diǎn)(y din)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)， 則它就映射成直線； (精彩之處 ) ！(3) 對稱映射 和 也具有保圓性。 wz1zw 第22頁/共55頁第二十三頁，共56頁。四、保圓性 在分式(fnsh)線性映射下，求圓(或圓弧

16、段)的像曲線的方法 方法一 分解為四種簡單映射的復(fù)合。 方法二 利用保圓性，選三點(diǎn)定圓。 對于(duy)圓弧段(或直線段)，兩個端點(diǎn)必須選定。 方法三 綜合利用保圓性與保角性。 (1) 找出原像曲線中的一些(yxi) “特殊點(diǎn)” 所對應(yīng)的像點(diǎn)， 從而能夠大致地確定出像曲線的位置。 (2) 找出一些 “特殊曲線” (如坐標(biāo)軸等)所對應(yīng)的像。 (3) 由原像之間的關(guān)系(如夾角等)確定像之間的關(guān)系。 第23頁/共55頁第二十四頁，共56頁。解 方法一 分解為四種簡單映射 .1222eizwi z1z2z3z4zwiz 32z24 z22ezi 1z1平移 倒數(shù) 旋轉(zhuǎn) 相似 平移 iz 平移 1z1倒

17、數(shù) 32z相似 24 z平移 22ezi 旋轉(zhuǎn) ii21 121i 2P147 例6.6 修改 第24頁/共55頁第二十五頁，共56頁。解 方法二 利用(lyng)保圓性，直接三點(diǎn)定圓 i 1i 1i5256 2 找 三 點(diǎn) i 2i 1i2123 2 另 找 三 點(diǎn) i12i 1i 2 ( 不是(b shi)蠻好直接定圓 ) ( 可以(ky)了，Ok了) 第25頁/共55頁第二十六頁，共56頁。解 方法(fngf)三 借助特殊點(diǎn)和特殊曲線 (3) 由于 和 在 點(diǎn)正交， CCiz (1) 特殊(tsh)點(diǎn) 故 和 在 點(diǎn)正交； 1 w故其像曲線 是經(jīng)過 兩點(diǎn)的圓(或直線)； 2, 1,C將虛

18、軸記為 在直線 C 上取兩點(diǎn) 和 i, ,2, 1 , i由于 (2) 特殊(tsh)線 則其像曲線 為實(shí)軸； CCi21 (?) 第26頁/共55頁第二十七頁，共56頁。解 首先作一個簡單的定性分析 (3) 由于 被映射為 被映射為 0， , i i被映射為從原點(diǎn)出發(fā)且相互(xingh)垂直的兩條射線。 (1) 區(qū)域 D 的邊界 和 是圓弧段， 1C2C且 和 的交角為 90 度； 1C2C(2) 由于所給的映射為分式線性映射， 因此具有保圓性與保角性； 12 21 i 1 i11C2C因此圓弧 和1C2CP148 例6.7 第27頁/共55頁第二十八頁，共56頁。12 21 i i1C2C

19、解 方法一 利用(lyng)保圓性，直接三點(diǎn)定圓 12 i i 1C21 ii )1(ia 0)1(ia 0 2C.1)12()12(22 a其中 1 21 12 1 第28頁/共55頁第二十九頁，共56頁。12 21 i i1C2C2解 方法(fngf)二 利用保圓性，保角性 12 i i)1(ia 0 1C(1) 1(2) 由 和 在 點(diǎn)正交， 1C2Ciz (3) 由 順時針旋轉(zhuǎn) 90 度到 ， 1C2C知 和 在 點(diǎn)正交； 120 w(保大小) 知 順時針旋轉(zhuǎn) 90 度到 。 12(保方向) 1 11 第29頁/共55頁第三十頁，共56頁。12 21 i i1C2C0C2解 方法(fn

20、gf)三 借助特殊曲線 1 0 0(2) 由 與 的交角及位置關(guān)系， 21, CC0C知 與 的交角及位置關(guān)系， 21, 0從而很容易地確定出 和 。 12(1) 將虛軸上從 到 的一段記為 ,0Ci i0ii 0C則 1 10第30頁/共55頁第三十一頁，共56頁。12 21 i i1C2C0C102中一個交點(diǎn) 映射為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)， i 本例的重要(zhngyo)啟示 (1) 區(qū)域(qy) D 很特別！ 圓弧圍成，它們相交于 和 ； i i(2) 映射(yngsh)很特別！ 它的分母 將其 iz 它的分子 將另一個交點(diǎn) 映 iz i射為原點(diǎn)。 頂點(diǎn)在原點(diǎn)的角形域。 1 1 它的邊界由兩段 從而將

21、區(qū)域 D 映射為 第31頁/共55頁第三十二頁，共56頁。五、保對稱點(diǎn)性 引理 擴(kuò)充復(fù)平面上兩點(diǎn) 關(guān)于“圓” C 對稱的充要條件是 過 的任意“圓” 都與 C 正交。 21, zz21, zz(1) 當(dāng) C 為直線時，結(jié)論顯然(xinrn)(?)成立。 (2) 當(dāng) C 為半徑有限的圓， 且在 和 中有一個 1z為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時， 結(jié)論 2z顯然(?)成立。 C1z 2z1z2zCP149 引理6.1 (一道中學(xué)的幾何題，跳過?)證明(zhngmng)第32頁/共55頁第三十三頁，共56頁。五、保對稱點(diǎn)性 引理 擴(kuò)充(kuchng)復(fù)平面上兩點(diǎn) 關(guān)于“圓” C 對稱的充要條件是 過 的任意(rny)

22、“圓” 都與 C 正交。 21, zz21, zz證明(zhngmng) 且 和 均為有限點(diǎn)， (3) 設(shè) C 為半徑有限的圓， 1z2zCR 必要性 “ ” 已知 關(guān)于 C 對稱，且 為過 的任意一個圓， 21, zz21, zz當(dāng) 為直線時， 如圖，設(shè) 與 C 交于 點(diǎn)， z故 與 C 正交。 由切割線定理有， 為的 切線， zO 即 時， 顯然與 C 正交 ,zO 221RzOzO 2則有 zO1z2z第33頁/共55頁第三十四頁，共56頁。且 和 均為有限(yuxin)點(diǎn)， 五、保對稱點(diǎn)性 引理 擴(kuò)充復(fù)平面上兩點(diǎn) 關(guān)于(guny)“圓” C 對稱的充要條件是 過 的任意(rny)“圓”

23、 都與 C 正交。 21, zz21, zz證明 (3) 設(shè) C 為半徑有限的圓， 1z2z充分性 “ ” 已知過 的任意圓都與 C 正交， 21, zz,2R zOzOzO21 由過 的圓 與 C 正交， 21, zz又 與 C 正交，故 為的 切線， zO故 關(guān)于 C 對稱。 21, zz由切割線定理有 CR zO1z2z21, zz故 被 C 隔開， 21, zz知 與圓心 O 共線 第34頁/共55頁第三十五頁，共56頁。五、保對稱點(diǎn)性 的象點(diǎn) 也關(guān)于象曲線 對稱。 設(shè)點(diǎn) 關(guān)于圓周 C 對稱，則在分式線性映射下，它們 21, zzC 定理 21, wwC C證明 (1) 設(shè) 是過點(diǎn) 的

24、任意一個“圓”， 21, ww 由于分式(fnsh)線性映射具有雙方單值性和保圓性， 因此 的原像 一定是過點(diǎn) 的一個“圓”； 21, zz2w1wO 1z2zOP150定理 6.7 第35頁/共55頁第三十六頁，共56頁。五、保對稱點(diǎn)性 (2) 根據(jù)引理的必要性可得， 與 C 正交， 由于分式線性映射具有保角性，故 與 正交， C 再根據(jù)引理的充分性可得，點(diǎn) 關(guān)于 對稱。 21, wwC 的象點(diǎn) 也關(guān)于(guny)象曲線 對稱。 設(shè)點(diǎn) 關(guān)于圓周 C 對稱，則在分式線性映射(yngsh)下，它們 21, zzC 定理(dngl) 21, ww C 1w2wC1z2z 證明 OO 第36頁/共5

25、5頁第三十七頁，共56頁。分析(fnx) 六、唯一決定(judng)分式線性映射的條件 分式線性映射 中含有四個常數(shù) dzcbzaw .,dcba 如果用這四個數(shù)中的一個去除分子和分母，則可以將 分式線性映射中的四個常數(shù)化為三個獨(dú)立的常數(shù)。 由此可見，只需要給定三個條件，就能決定一個分式 線性映射。 P151定理 6.8 第37頁/共55頁第三十八頁，共56頁。六、唯一決定分式(fnsh)線性映射的條件 設(shè)分式線性映射為 ， dzcbzaw 證明 (僅證明存在性) ,111dzcbzaw 代入條件得 ,333dzcbzaw ,222dzcbzaw ,11dzczzdzcbcad dzcbzad

26、zcbzaww 111,222dzczzdzcbcadww 同理 ,122121dzcdzczzzzwwww 第38頁/共55頁第三十九頁，共56頁。設(shè)分式(fnsh)線性映射為 ，六、唯一(wi y)決定分式線性映射的條件 證明(zhngmng) dzcbzaw ,111dzcbzaw (僅證明存在性) 代入條件得 ,333dzcbzaw ,222dzcbzaw ,122121dzcdzczzzzwwww 同理 ,1223132313dzcdzczzzzwwww ,:231321231321zzzzzzzzwwwwwwww 將上式整理后，即得到所要的分式線性映射。 第39頁/共55頁第四十頁

27、，共56頁。注 (1) 由于分式線性映射具有保圓性， 為過 三點(diǎn)的圓。 把過 三點(diǎn)的圓映射 直接應(yīng)用于： 321,zzz321,www(2) 如果 和 中有一個為 321,zzz, 321,www將對應(yīng)點(diǎn)公式中含有 的項(xiàng)換成 1。 因此(ync)對應(yīng)點(diǎn)公式通常 則只需 P152推論 6.1 六、唯一(wi y)決定分式線性映射的條件 第40頁/共55頁第四十一頁，共56頁。特別地， 若 ,)(,0)(21 zfzf.21zzzzkw 則 (k 待定) k1z2z設(shè) 為分式線性映射，且 推論 )(zfw ,)(,)(2211wzfwzf 則它可表示為: ,2121zzzzkwwww ( k 為任

28、意復(fù)常數(shù) )。 非常實(shí)用 k,21zz各有妙用 P152推論 6.2 六、唯一(wi y)決定分式線性映射的條件 第41頁/共55頁第四十二頁，共56頁。例 已知區(qū)域 , 0Im,1|: zzzD求一分式線性映射，將區(qū)域 D 映射 為第一象限。 解 方法一 (1) 令 1)1( zz ,11 zz 11 0 i11 2C01 1 1C則 )( 2i 11 i 0 21 11C2C0)(ziD這個可以沒有)(w1 2 i1(2) 旋轉(zhuǎn) iwe .11 zz可由保角性直接得 ,2P152 例6.9 第42頁/共55頁第四十三頁，共56頁。例 已知區(qū)域(qy) , 0Im,1|: zzzD求一分(y

29、 fn)式線性映射，將區(qū)域 D 映射 1 11C2C解 0)(zi)(w2 為第一(dy)象限。 D1 1故 .11 zzw0 z,1 w再要求將 得 ,1 k方法二 令 ,1)1( zzkwk 待定， k1 1(2) 可否要求將 或者其它點(diǎn)? 0 z2 w思考 (1) 式子 中 各自有何作用? k,1,1 1)1( zzkwk1 1如何進(jìn)一步將其映射到上半平面或者單位圓? 問題 第43頁/共55頁第四十四頁，共56頁。七、兩個(lin )典型區(qū)域間的映射 1. 將上半平面映射(yngsh)成單位圓域 特點(diǎn) 這兩個區(qū)域的邊界都是圓。 求解 方法一 ( 三點(diǎn)定圓 ) 在實(shí)軸上和單位圓周(yunz

30、hu)上分別取三點(diǎn)： ,1,1321 wiww根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)公式有 ,11:10)(1)1(1:)()1( zziiww11.izizw 整理得 顯然，如果取另外的三點(diǎn)則會得到另外的結(jié)果。 )(wi 11 )(zC 10,1,0321 zzz P153 例6.10 第44頁/共55頁第四十五頁，共56頁。七、兩個典型(dinxng)區(qū)域間的映射 1. 將上半平面(pngmin)映射成單位圓域 特點(diǎn)(tdin) 這兩個區(qū)域的邊界都是圓。 求解 方法二 ( 求通式 ) 根據(jù)前面的推論有 在上半平面任取一點(diǎn) 0z,01 w由保對稱點(diǎn)性，則有 ,2 w0z( k 待定 ). ,00zzzzkw )(w11

31、 )(zC00z0z0第45頁/共55頁第四十六頁，共56頁。七、兩個(lin )典型區(qū)域間的映射 1. 將上半平面映射(yngsh)成單位圓域 特點(diǎn)(tdin) 這兩個區(qū)域的邊界都是圓。 求解 方法二 ( 求通式 ) ( k 待定 ). ,00zzzzkw )(w11 )(zC00z0zi0又當(dāng) 在實(shí)軸上取值時，有 z00zzzz ,1 ,1| w,1| k,e ik 即 特別，取 則得到方法一得結(jié)果。 ,0 , iz .00ezzzzwi 故 第46頁/共55頁第四十七頁，共56頁。11 C11 七、兩個典型(dinxng)區(qū)域間的映射 2. 將單位(dnwi)圓域映射成單位(dnwi)圓

32、域 求解 ( 直接求通式 ) 根據(jù)(gnj)前面的推論有 在 內(nèi)任取一點(diǎn) 0z,01 w1| z由保對稱點(diǎn)性，則有 ,2 w0z1( k 待定 ). ,0zzkw z0z1即 ,1001zzzzkw ( 待定 ). 01zkk )(w )(z0z100zP154 例6.11 第47頁/共55頁第四十八頁，共56頁。,1001zzzzkw 七、兩個(lin )典型區(qū)域間的映射 2. 將單位(dnwi)圓域映射成單位(dnwi)圓域)(w11 )(zC11 求解(qi ji) ( 直接求通式 ) 0z0z1當(dāng) 在 上取值時，有 z1| z,1| w,101zzzk 0z z1,1 且 zzz10 0z z10zz 0z z1 00zzzz ,1|1 k,e1 ik 即 故 .100ezzzzwi 第48頁/共55頁第四十九頁，共56頁。C求一共形映射 將區(qū)域 映射為 例 , )(zfw 2| z.0Re w解 方法一 ( 利用三點(diǎn)定圓 ) ,2,2,2321 zizz,0,321 wiww根據(jù)(gnj)對應(yīng)點(diǎn)公式有 ,2222:2200:iizziiww .22 zzw整理后即得 如圖，在 和 上分別取三點(diǎn)： C11)(w 0i)(z22 i2第49