ch1-3函數(shù)限的概念

1、2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1第第1章章 函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)、極限、連續(xù)第第1節(jié)節(jié) 集合、映射與函數(shù)集合、映射與函數(shù)第第2節(jié)節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限第第3節(jié)節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限第第4節(jié)節(jié) 無(wú)窮小量及無(wú)窮大量無(wú)窮小量及無(wú)窮大量第第5節(jié)節(jié) 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2第第3節(jié)節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限n3.1 函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的概念n3.2 3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)n3.3 3.3 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限n3.4 3.4 函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院

2、數(shù)學(xué)系3 nxf n ,nN .,f na. n nn nn n 實(shí)實(shí)際際上上, ,數(shù)數(shù)列列極極限限可可以以看看作作是是函函數(shù)數(shù)極極限限的的特特殊殊情情況況, ,因因?yàn)闉閿?shù)數(shù)列列 x x可可以以看看作作自自變變量量為為n n的的函函數(shù)數(shù)所所以以數(shù)數(shù)列列 x x的的極極限限為為a a就就是是指指當(dāng)當(dāng)n n取取正正整整數(shù)數(shù)且且無(wú)無(wú)限限增增大大即即n n時(shí)時(shí) 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值x x無(wú)無(wú)限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) ,x,y=f x. 將將上上述述思思想想一一般般化化后后可可考考慮慮所所謂謂的的函函數(shù)數(shù)極極限限問(wèn)問(wèn)題題即即討討論論在在自自變變量量 的的某某個(gè)個(gè)變變化化過(guò)過(guò)程程中中函函數(shù)數(shù)的的極極限

3、限2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4 , 事事實(shí)實(shí)上上 我我們們主主要要討討論論自自變變量量的的兩兩種種變變化化過(guò)過(guò)程程: : 000 2xxxx,f x自自變變量量 任任意意地地接接近近于于定定值值, ,或或者者說(shuō)說(shuō)x x趨趨向向于于記記為為x x時(shí)時(shí) 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì); ; 1x|x|,f x 自自變變量量 的的絕絕對(duì)對(duì)值值無(wú)無(wú)限限增增大大 記記為為x x時(shí)時(shí) 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì). .2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系53.1 3.1 函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的概念1 自變量自變量x趨于趨于時(shí)函數(shù)的極限時(shí)

4、函數(shù)的極限2 自變量自變量x趨于有限值趨于有限值x0時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系61 1、自變量自變量x趨于趨于時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限sin.xxx 觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)xxysin 2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7( )( );f xaf xa 表示任意小表示任意小.xMx 表示的過(guò)程表示的過(guò)程. 0sin)(,無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)題問(wèn)題: 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近無(wú)限接近”.20

5、08年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系8定義1 ( )設(shè) f (x)在 充分大時(shí)有M 定義定義x0,0,( ),MxMf xa當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)使恒有使恒有定義,a是一個(gè)常數(shù).若則稱當(dāng)則稱當(dāng)x趨向于無(wú)窮時(shí)趨向于無(wú)窮時(shí), f (x)的的極限是極限是a, 記作記作lim( )( )().xf xaf xa x 或或0,0,( ).MxMf xa使當(dāng)時(shí) 恒有使當(dāng)時(shí) 恒有l(wèi)im( )xf xa2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系9 x limf xa:,xyaya- , M0,x-MxM,yf x. 的的幾幾何何意意義義 任任意意給給定定正正數(shù)數(shù)作作平平行行于于 軸軸的的兩兩條條直

6、直線線和和介介于于這這兩兩條條直直線線是是一一帶帶形形區(qū)區(qū)域域 由由定定義義知知存存在在一一正正數(shù)數(shù)使使當(dāng)當(dāng)或或時(shí)時(shí) 函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形落落在在這這一一區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)aaMMa2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10 xxysin 例例1 1. 0sinlim xxx證明證明證證sin0 xx 要要使使1x 只須只須1,X 取取xX 當(dāng)當(dāng)則則時(shí)，恒有時(shí)，恒有,sin0 xx . 0sinlim xxx故故:lim( ),( ).xf xcycyf x如果則直線是函數(shù)如果則直線是函數(shù)的圖形的水平的圖形的水平定定漸近線漸近線義義0, 1x 即即2008年10月15日南京航空航天大

7、學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11MM,: 用用方方法法證證題題, ,也也就就是是由由 找找一一般般步步驟驟為為(1)f(x)a( x ),: f(x)a( x ); 將將化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)或或適適當(dāng)當(dāng)放放大大成成即即(2)( x )xM( ); 令令，解解出出(3)MM( )0; 取取(4)M由由語(yǔ)語(yǔ)言言的的敘敘述述可可得得到到證證明明. .2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系12xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,函函數(shù)數(shù)的的極極限限xay )1 , 0( xay)1( 注意：另兩種情形注意：另兩種情形2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系130,0,( ).MxMf xa 使當(dāng)時(shí)

8、 恒有使當(dāng)時(shí) 恒有0,0,( ).MxMf xa 使當(dāng)時(shí) 恒有使當(dāng)時(shí) 恒有l(wèi)im( )lim( )lim( ).xxxf xaf xaf xa定定且且理理lim( )( )()xf xaf xa x 或或lim( )( )()xf xaf xa x 或或:.10情形情形x:.20情形情形x2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14 f x0 00 0設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)x x的的某某一一去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義( (在在x x 處處可可以以無(wú)無(wú)定定義義) )2、自變量、自變量x趨于有限值趨于有限值x0時(shí)的函數(shù)極限時(shí)的函數(shù)極限 00 : 1xx ,xx,f x?問(wèn)問(wèn)題題當(dāng)

9、當(dāng) 任任意意地地接接近近于于即即時(shí)時(shí) 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值是是否否會(huì)會(huì)無(wú)無(wú)限限接接近近于于常常數(shù)數(shù)a a 2 ?如如何何用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)語(yǔ)語(yǔ)言言對(duì)對(duì)上上述述過(guò)過(guò)程程加加以以描描述述2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15 0:xx,f xa, 分分析析 設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)過(guò)過(guò)程程中中對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值無(wú)無(wú)限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) 0 xx, |f xa| 當(dāng)當(dāng)過(guò)過(guò)程程中中能能任任意意地地小小 0 xx,0, f xa 當(dāng)當(dāng)過(guò)過(guò)程程中中對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) 00 xx,xx,f xA 注注意意到到當(dāng)當(dāng)過(guò)過(guò)程程中中只只有有充充分分接接近近 的的那那些些 才才能能使使000 x

10、x:0,0 |x-x |,xx . 充充分分接接近近 的的那那些些存存在在一一個(gè)個(gè)很很小小的的正正數(shù)數(shù)使使得得2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16.000的的過(guò)過(guò)程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰域鄰域的去心的去心點(diǎn)點(diǎn) x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx ( )( );f xaf xa 表示與的接近程度表示與的接近程度2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17 定義定義定義定義2 2( )設(shè)設(shè) f (x)在在x0的附近有定義的附近有定義（在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可能沒(méi)有定義處可能沒(méi)有定義），a是一個(gè)常數(shù)是一個(gè)常數(shù). .若若則稱當(dāng)則稱當(dāng)x趨向于趨向

11、于x0時(shí)時(shí), f (x)的的極限是極限是a, 記作記作00,0,0,( ).xxf xa當(dāng)時(shí) 恒有當(dāng)時(shí) 恒有00lim( )( )()xxf xaf xaxx或當(dāng)或當(dāng)定義定義 00,0,0,( ).xxf xa當(dāng)時(shí) 恒有當(dāng)時(shí) 恒有0lim( )xxf xa.與任意給定的正數(shù) 有關(guān)與任意給定的正數(shù) 有關(guān)注意注意:2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18幾何解釋幾何解釋)(xfy 0 x0 x0 xxyo0,( ),2.xxyf xya 當(dāng) 在 的去心 鄰當(dāng) 在 的去心 鄰域時(shí) 函數(shù)域時(shí) 函數(shù)圖形完全落在以直圖形完全落在以直線為中心線線為中心線寬為的帶形區(qū)域內(nèi)寬為的帶形區(qū)域內(nèi),.

12、顯顯然然 找找到到一一個(gè)個(gè) 后后 比比 更更小小的的正正數(shù)數(shù)也也適適合合 a aa 2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系19例例2 2).(,lim0為為常常數(shù)數(shù)證證明明CCCxx 證證Axf )(CC ,成立成立 , 0 任任給給0 .lim0CCxx , 0 任取任取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx例例3 3.lim00 xxxx 證證明明證證,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf ,成成立立 .lim00 xxxx 2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系20000:(1)f(x)A( xx )(2)( xx )xx( )(

13、3)( );(4) 用用方方法法證證題題，也也就就是是由由 找找 ，一一般般步步驟驟為為將將化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)或或適適當(dāng)當(dāng)放放大大成成；令令，解解出出；令令由由語(yǔ)語(yǔ)言言的的敘敘述述可可下下結(jié)結(jié)論論。2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系21例例4 421231lim1.1xxxx 證證明明證證2231( )11xxf xax 0, ,/2 取取01,x 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x =1處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義. .21x ( ),f xa 要使要使223111,xxx 就就有有21231lim1.1xxxx 21x 即即2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系22例例5 500

14、00,limlimsinsincoscos.xxxxxxxx 證證明明證證sin,xx xR0, , 取取00,xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)先建立如下不等式先建立如下不等式: :0sinsin,xx 要要使使0sinsin,xx 就就有有00limsinsin.xxxx 0000sinsin2 cossin22xxxxxxxx2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系23圓扇形圓扇形AOB的面積的面積證證: : 當(dāng)當(dāng)即即12sin x 12x12tan x 2( 0 ,)x 時(shí)，時(shí)，顯然有顯然有AOB 的面積的面積AOD的面積的面積DCBAx1o2x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)sin1xx0 x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,

15、sin,xx sin,xx 即即綜上有綜上有sin,xx xRx=0時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系24例例6 622lim15.xx證明（）證明（）22lim15.xx（）（）證證0, min1,5, 取取 02,x 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)22154,xx 要要使使24,x 就就有有(-2)(2)xx 即即-21x 限限制制2245xx則則2.x 只只5 5須須2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系25例例7 7.lim00 xxxx 證證0( )f xaxx0, ,min00 xx取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ( ),f xa 要使要使

16、0,xx 就就有有,00 xxx .00且且不不取取負(fù)負(fù)值值只只要要 xxx000:0,lim.xxxxx證明 當(dāng)時(shí)證明 當(dāng)時(shí)2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系26小結(jié)小結(jié).)4(min)()3()()()2()()()1(:000語(yǔ)言的敘述可下結(jié)論語(yǔ)言的敘述可下結(jié)論由由；，或，或令令；，解出，解出令令；化簡(jiǎn)或適當(dāng)放大成化簡(jiǎn)或適當(dāng)放大成將將，一般步驟為，一般步驟為找找方法證題，也是由方法證題，也是由用用 xxxxxxAxf2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2700R,lim( )xxxD x不 ,不 ,EX.EX.用定義證明用定義證明( )D xDiri

17、chlet其中其中為函數(shù).為函數(shù).證明證明*10 ,|,R Q,2ax 對(duì)于任意的若取對(duì)于任意的若取滿足滿足,|00* xx0,xR01,2aR 以及取以及取*01|()| |.2D xaa 則則*01|,Q,0|,2axxx 若若取取滿滿足足則則*01|()| |1|.2D xaa 00lim( ),0,0,(, ),() 不不aaxxaaf xaRxU xf xa2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系28 000 xx00 limf xA,xxxxxx . 在在函函數(shù)數(shù)極極限限的的定定義義中中是是指指 既既從從的的左左側(cè)側(cè)也也從從 的的右右側(cè)側(cè)趨趨近近于于 但但有有時(shí)時(shí)某某

18、些些函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義域域上上某某些些點(diǎn)點(diǎn)左左側(cè)側(cè)與與右右側(cè)側(cè)的的解解析析式式不不同同( (如如分分段段函函數(shù)數(shù)定定義義域域上上的的某某些些點(diǎn)點(diǎn)) ), ,或或函函數(shù)數(shù)在在某某些些點(diǎn)點(diǎn)僅僅在在其其一一側(cè)側(cè)有有定定義義( (如如在在定定義義區(qū)區(qū)間間的的端端點(diǎn)點(diǎn)處處) ), ,這這時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)在在那那些些點(diǎn)點(diǎn)上上的的極極限限只只能能單單側(cè)側(cè)的的給給出出定定義義. .2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系29 22x , x0 f x,x, x 0 x00, f xxx00, f xx 例如函數(shù)例如函數(shù)當(dāng)而趨于 時(shí) 應(yīng)按照來(lái)考慮函數(shù)值的變當(dāng)而趨于 時(shí) 應(yīng)按照來(lái)考慮函數(shù)值的變化趨

19、勢(shì);而當(dāng)而趨于 時(shí) 應(yīng)按照來(lái)考察.化趨勢(shì);而當(dāng)而趨于 時(shí) 應(yīng)按照來(lái)考察. 000:f xx,A. 0,xxx, f(x)A 定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) 的的某某一一左左鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義為為常常數(shù)數(shù) 若若對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)總總存存在在正正數(shù)數(shù)使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有 000 xxAf xxx, limf xA f xA xx. 則則稱稱常常數(shù)數(shù) 為為函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的左左極極限限 記記作作或或 2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系30 000:f xx,A. 0,xxx, f(x)A 定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) 的的某某一一右右鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有

20、定定義義為為常常數(shù)數(shù) 若若對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)總總存存在在正正數(shù)數(shù)使使得得當(dāng)當(dāng)+ + 時(shí)時(shí) 有有 000 xxAf xxx, limf xA f xA xx. 則則稱稱常常數(shù)數(shù) 為為函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的右右極極限限 記記作作或或 00000 xxxx: , fxf x0limf x , f x0 limf x 注注左左極極限限和和右右極極限限統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為單單側(cè)側(cè)極極限限 函函數(shù)數(shù) 在在點(diǎn)點(diǎn) 的的左左、右右極極限限又又分分別別記記為為 = = =2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系31右極限右極限00000,0,( ).xxf xAxxx 當(dāng)時(shí) 恒有當(dāng)時(shí) 恒有（

21、）（）000:000 xxxxxxxxx 注意注意00lim( )(0).xxf xaf xa 記作或記作或左極限左極限00000,0,( ).()xxf xaxxx 當(dāng)時(shí) 恒有當(dāng)時(shí) 恒有00lim( )(0).xxf xaf xa 記作或記作或000lim( )(0)(0).xxf xaf xf xa定理定理2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系320lim0.xxxxx驗(yàn)證不存在 函數(shù)在 處無(wú)定義yx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等, ,.)(lim0不存在不存在xfx例例8 8證證1)1(lim0 xxxxxxx 00liml

22、im11lim0 x000(0)(0)lim( ).xxf xf xf x若不若不注意：注意：2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系33函數(shù)極限的歸并原理函數(shù)極限的歸并原理目的：將目的：將函數(shù)極限函數(shù)極限歸結(jié)為歸結(jié)為數(shù)列極限數(shù)列極限0lim( )xxf xa O00(), lim ()()nnnnxU xxxf xa n 若若就有就有HeineHeine定理：定理：-函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的關(guān)系2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系34(),nf xa 從而有從而有證證0lim( )xxf xa 00,0,0,( ).使使有有xxf

23、xa00lim,nnnxxxx又且又且00,0. 對(duì)對(duì)上上述述使使nNNnNxxlim().nnf xa 故故0o0o00:()lim( )(),(),lim().xxnnnnfU xRf xaxU xxx nf xa 設(shè)為一函數(shù)，則設(shè)為一函數(shù)，則滿足有滿足有定理定理3.1(Heine定理）定理）2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系35證證用反證法！用反證法！00,(),lim()lim( )nnnnxxxxx nf xaf xa 若滿足有，若滿足有，則則o0000,0,(, ),()使使xU xf xa0lim( )xxf xa設(shè)設(shè)o001(),(,),() 取取則則使使n

24、nnnnNxU xf xan o0()nxU x 0()nxx n lim()nnf xa 與條件矛盾！與條件矛盾！即，要證2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系36用Heine定理判斷函數(shù)極限不存在0lim( )xxf xa 000()0, lim()nnnnxD fxxf xa 及滿足且 o(1)(2)(1)(2)(1)(2)00,(, )limlim,limlimnnnnnnnnnnxxU xxxxfxfx 滿足且2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3701limsinxx證明極限不存在證明極限不存在(1)(2)11, 22nnxxnn 分分別別取取 (

25、1)(2)limlimsin0, limlimsin 21.2nnnnnnfxnfxn 則則 例例9 9證明證明limsinxx同理可證證明極限不存在同理可證證明極限不存在：2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系383.2 3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)(1) 唯一性唯一性(2) 有界性有界性(3) 保號(hào)性保號(hào)性(4) 保不等式性保不等式性(5) 夾逼性?shī)A逼性(6) 四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則(7) 復(fù)合函數(shù)極限性質(zhì)復(fù)合函數(shù)極限性質(zhì)2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系39(2) 局部有界性局部有界性() 唯一性唯一性定理定理3.2(1) 3.2(1) (極

26、限的唯一性極限的唯一性) 00lim( )lim( ).xxxxf xaf xbab 若若，00 lim( )0( )xxof xaf xU x若若, ,在 （, )是有界的.在 （, )是有界的.定理定理3.2(2) 2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系40推論推論(3) 局部保號(hào)性局部保號(hào)性00lim( )(0)0( )0(, ),(0).0 xxoafxUxfxx 定定理理3 3. .3 3( (1 1) )若若或或有有或或 ，00( )00,(, ),(0)lim( )(0)0.oxxxUfxf xaxaa 若 若 且且或或推廣推廣000lim( )(lim( )0(

27、, ),( ).( )xxxxof xf xarxUarf xrxf xr 若或，有或2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系41定理定理3.3(2)3.3(2) (4) 保不等式性質(zhì)保不等式性質(zhì)000lim( )lim( )0(,),).( )(xxxxoaf xag xbxU xbf xg x 已已知知，且且有有推論推論 0000,(,),lim( )lim( )( )( ).,oxxxxxU xf xagf xg xabxb 有有且且，2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系42(5) (5) 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則00000,(, ),lim( )( )( )li

28、m()l)im( ).oxxxxxxf xxg xaxU xf xgxaxa （夾逼準(zhǔn)則）（夾逼準(zhǔn)則）若有若有且，且，定理3.3(3)定理3.3(3)2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系43因此由夾逼性得因此由夾逼性得0lim(1 cos )1 ;xx解解 由由22201 cos2sin2.222xxxx 則則0limcos1xx例例 證明證明0limcos1xx2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系44(6) 極限的有理運(yùn)算法則極限的有理運(yùn)算法則00000lim( ),lim( ),(1) lim ( )( );(2) lim ( )( );( )(3) l

29、im,0.( )xxxxxxxxxxf xag xbf xg xabf xg xa bf xabg xb 設(shè)則設(shè)則其中其中定理3.4定理3.42008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系45推論推論1 1000lim( ),lim( )lim( ).xxxxxxf xccf xcf x 如果存在 而 為常數(shù) 則如果存在 而 為常數(shù) 則常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.000lim( ),lim ( )lim( ) .xxnnxxxxf xnf xf x 如果存在 而 是正整數(shù) 則如果存在 而 是正整數(shù) 則推論推論2 22008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理

30、學(xué)院 數(shù)學(xué)系46Z 思考思考 在某個(gè)過(guò)程中，若在某個(gè)過(guò)程中，若 有極限，有極限， 無(wú)極限，那么無(wú)極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系47思考題解答思考題解答沒(méi)有極限沒(méi)有極限假設(shè)假設(shè) 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運(yùn)算法則可知：由極限運(yùn)算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系48例例2 2.531lim232 xxxx求求解解)53(l

31、im22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系49小結(jié)小結(jié): :則有則有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則有則有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )

32、()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則則商商的的法法則則不不能能應(yīng)應(yīng)用用若若 xQ2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系50解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時(shí)時(shí)x.1后后再再求求極極限限因因子子先先約約去去不不為為零零的的無(wú)無(wú)窮窮小小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型0()0型未定式2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系510(1)11.lim()nxxnNx n 31312.lim()11xxx 2331

33、1213(1)(1)(1)limlim(1)(1)(2)lim1xxxxxxxxxxxx 練練 習(xí)習(xí)1 2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系52例例4 4).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設(shè)設(shè)yox1xy 112 xy解解兩個(gè)單側(cè)極限為兩個(gè)單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點(diǎn)是函數(shù)的分段點(diǎn),0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系53() 復(fù)合函數(shù)極限性質(zhì)復(fù)合函數(shù)極限性質(zhì)2008年

34、10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5400lim( ),( )000uufafuuuua 恒恒有有00lim( )xxg xu 又10,0, 對(duì)對(duì)于于上上面面的的0100,( )xxg xu恒有恒有00( )lim ( )lim( )( ),!xxuuf uaf g xf uaf g xa 有有由極限定義得得證由極限定義得得證證明證明1,00000min,(),(00)0(),g xug xugxxux 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)取取有有即即2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5500lim ( )lim( ),xxuuf g xf ua： 復(fù)合函數(shù)求極限性質(zhì)： 復(fù)合函數(shù)求極限性質(zhì)注

35、意注意表明：表明：0000lim ( )( )lim( )lim( )xxuuxxf g xug xf uug x 求可作變量代換：求可作變量代換：將其化為求，這里將其化為求，這里.求極限可作變量代換的理論依據(jù)求極限可作變量代換的理論依據(jù)意義意義2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系56解解: : 令2233lim.9xxx求31lim93lim323 xxxxxux3lim61 原式原式 =162limuu216 136 例例5 523:( )9xug xx 2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系57解解: : 令.93lim23 xxx求求31lim93li

36、m323 xxxxxux3lim61 原式原式 =16limuu16 66 例例6 623:( )9xug xx 2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系583.3 3.3 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限11sinlim0 xxx2exxx )11(lim2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5911sinlim0 xxxsincos1xxx圓扇形圓扇形AOB的面積的面積證證: : 當(dāng)當(dāng)即即12sin x 12x12tan x 2( 0 ,)x 時(shí)，時(shí)，2(0)x 0limcos1 ,xx 0sinlim1xxx顯然有顯然有AOB 的面積的面積AOD的面積的面積DCBA

37、x1o故有故有注注211(0)sincosxxxx (P50,例例3.8)2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系60例例1 10sin 3lim.xxx求求解解0sin3lim33xxx 原式原式0sin33lim3xxx 3 13. 000tansin1limlimlim1.cosxxxxxxxx 類類似似地地，2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系61例例2 2.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 2008年10月15日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系622exxx )11(lim證明思路證明思路: (1)利用數(shù)列極限利用數(shù)列極限 證明證明 1lim(1)xxex ennn )11(lim1lim(1)xx