計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)-課件2教學(xué)內(nèi)容

1、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)-課件201(2.1)yxu 除了除了x之外影響之外影響y的其它因素的其它因素2.1.1 Some Terminology因變量因變量被解釋變量被解釋變量響應(yīng)變量響應(yīng)變量被預(yù)測(cè)變量被預(yù)測(cè)變量回歸子回歸子自變量自變量解釋變量解釋變量控制變量控制變量預(yù)測(cè)元預(yù)測(cè)元回歸元回歸元誤差項(xiàng)誤差項(xiàng)擾動(dòng)項(xiàng)擾動(dòng)項(xiàng)p如果我們假設(shè)其他因素保持不變，則如果我們假設(shè)其他因素保持不變，則 的變化為的變化為0. 即，即， 那么，那么，p ：斜率參數(shù)；：斜率參數(shù)； ：截距參數(shù)：截距參數(shù)u01(2.1)yxu0uxy110主要關(guān)注主要關(guān)注次要關(guān)注次要關(guān)注Example1：A Simple Wage Equation01

2、(2.2)wageeducu 度量了在其他條件不度量了在其他條件不變的情況下，每增加變的情況下，每增加一年的教育所獲得的一年的教育所獲得的小時(shí)工資的增長(zhǎng)小時(shí)工資的增長(zhǎng)包括天生素質(zhì)、工作包括天生素質(zhì)、工作經(jīng)驗(yàn)、工作時(shí)間、工經(jīng)驗(yàn)、工作時(shí)間、工作道德、及其他無數(shù)作道德、及其他無數(shù)因素因素2.1.2 A Simple Assumption1、關(guān)于、關(guān)于u的假定的假定（非限制性假定）（非限制性假定）oWhy is not a restrictive assumption？( )0(2.3)E u 假設(shè)假設(shè) 則式（則式（2.1）可以寫作：）可以寫作：( )5E u 01(5)(5)yxu()(5)0E u

3、E u 5uu 習(xí)題習(xí)題2.1A Simple Assumption2. 零條件均值假定：零條件均值假定：()( )0(2.4)E u xE u 對(duì)于任何給定的對(duì)于任何給定的x值，非觀測(cè)因素的均值值，非觀測(cè)因素的均值都是相等的都是相等的它們必須與整個(gè)總體中的它們必須與整個(gè)總體中的u的均值相等。的均值相等。這意味著，這意味著，u和和x不相關(guān)。不相關(guān)。Questions：o假定期末考試的分?jǐn)?shù)假定期末考試的分?jǐn)?shù)(score)決定于出勤決定于出勤率率(attend)和影響考試成績(jī)的其他非觀和影響考試成績(jī)的其他非觀測(cè)因素：測(cè)因素： 那么這個(gè)模型能滿足零條件均值假定嗎？那么這個(gè)模型能滿足零條件均值假定嗎？

4、01scoreattenduExample1（continue）01(2.5)wageeducu 為了簡(jiǎn)單起見，假定為了簡(jiǎn)單起見，假定u為個(gè)人的天生能力為個(gè)人的天生能力(9)(16)E abilE abil2.1.3 population regression function （PRF） 根據(jù)零條件均值假定，有：根據(jù)零條件均值假定，有：01()(2.6)E y xx總體回歸函數(shù)總體回歸函數(shù)這是一個(gè)線性函數(shù)：這是一個(gè)線性函數(shù)：x增加一單位，增加一單位，將使將使y的期望值改變的期望值改變 之多之多1.x1x2E(y|x) = 0 + 1xyf(y)E(y|x) as a linear funct

5、ion of x, where for any x the distribution of y is centered about E(y|x)2.2 Ordinary Least Squares (OLS)2.2.1 普通最小二乘法的推普通最小二乘法的推導(dǎo)導(dǎo) 為了估計(jì)參數(shù)為了估計(jì)參數(shù) 使用一個(gè)容量為使用一個(gè)容量為n的隨機(jī)樣本：的隨機(jī)樣本：01(2.1)yxu01(,) :1,2, iixyin01(2.7 )iiiyxu 2.2.1 普通最小二乘法的推普通最小二乘法的推導(dǎo)導(dǎo)假定對(duì)于式假定對(duì)于式2.1，我們得到參數(shù)，我們得到參數(shù) 和和 的的估計(jì)值估計(jì)值 和和 ，則定義，則定義 時(shí)時(shí) 的的擬合值

6、為擬合值為 ，第第i次觀測(cè)的次觀測(cè)的殘差殘差： 的實(shí)際值和它的擬合的實(shí)際值和它的擬合值之差，即值之差，即 0101yiy01(2.8)iiyxixxiy(2.9)iiiuyy擬合值和殘差擬合值和殘差.y4y1y2y3x1x2x3x4u1u2u3u4xyE(y|x) = 0 + 1x2.2.1 普通最小二乘法的推普通最小二乘法的推導(dǎo)導(dǎo)o對(duì)于參數(shù)的估計(jì)值，我們希望它們盡可能對(duì)于參數(shù)的估計(jì)值，我們希望它們盡可能的接近真實(shí)值。換言之，希望的接近真實(shí)值。換言之，希望y的擬合值的擬合值和它的實(shí)際值之間的差異盡可能的小，則：和它的實(shí)際值之間的差異盡可能的小，則：220111minmin()(2.10)nni

7、iiiiuyx為什么不直接最小化殘差的和？這就是為什么這就是為什么叫作普通最小叫作普通最小二乘法二乘法（OLS）一階導(dǎo)數(shù)為一階導(dǎo)數(shù)為0，二階導(dǎo)數(shù)大于，二階導(dǎo)數(shù)大于0.一階條件：一階條件：010111( 2)()0()0(2.11)nniiiiiiyxyx010111( 2) ()0()0(2.12)nniiiiiiiix yxx yx二階條件滿足二階條件滿足可得：可得：11112211()(2.13)()nnniiiiiiinniiiinx yxynxx10111(2.14)nniiiiyxnn 111111111222221111111111211()()()1()()()()()nnnnn

8、nnniiiiiiiiiiiiiiiiiiinnnnnniiiiiiiiiiiinnnniiiiiiiiiiniinx yxyx yxyx yyxnnxxxxxxxnx yyxy nxnxx yyxxxnx 11222111222112()()()(2.15)(2)()nniiiniinniiiiiiiinniiiiiy xy xxnxnxx yyxy xy xxxyyxx xxxx11/niixnx11/niiyny令：令：x和和y的的樣本協(xié)樣本協(xié)方差與方差與x的樣本的樣本方差的方差的商商2.2.2 小結(jié)小結(jié)o一旦運(yùn)用一旦運(yùn)用OLSOLS法確定了參數(shù)的估計(jì)值，就建立了法確定了參數(shù)的估計(jì)值，就

9、建立了OLSOLS回歸線：回歸線：01(2.8)iiyx也被叫做樣也被叫做樣本回歸函數(shù)本回歸函數(shù)固定，然固定，然而未知而未知是總體回歸函數(shù)的一是總體回歸函數(shù)的一個(gè)樣本估計(jì)。根據(jù)不個(gè)樣本估計(jì)。根據(jù)不同的樣本會(huì)得到不同同的樣本會(huì)得到不同的參數(shù)估計(jì)值。的參數(shù)估計(jì)值。2.2.3 例子例子 Example 2: CEO Salary and Return on Equity o根據(jù)根據(jù)1990年年209位（位（n=209）CEO的信息（數(shù)據(jù)的信息（數(shù)據(jù)來源于來源于Business Week 5/6/91）o因變量因變量salary衡量了以衡量了以1000美元為單位的年薪，美元為單位的年薪，其最小值，均值

10、和最大值分別如下：其最小值，均值和最大值分別如下： 223, 1281, 14822 。o自變量自變量roe (%)凈收入凈收入/普通凈資產(chǎn)（普通凈資產(chǎn)（%），是），是過去三年（過去三年（1988、1989、1990）里的平均凈資產(chǎn)）里的平均凈資產(chǎn)回報(bào)率，其最小值，均值和最大值分別如下：回報(bào)率，其最小值，均值和最大值分別如下：(0.5, 17.18, 56.3)計(jì)量模型：計(jì)量模型：01(2.16)salaryroeu 運(yùn)用運(yùn)用OLS法，得到法，得到salary對(duì)對(duì)roe的的OLS回歸線：回歸線：963.191 18.501(2.17)salaryroesalary (y)對(duì)對(duì)roe (x)的回

11、歸的回歸解釋：解釋：n963.191: 常數(shù)項(xiàng)的估計(jì)值衡量了當(dāng)常數(shù)項(xiàng)的估計(jì)值衡量了當(dāng)roe為零時(shí)為零時(shí)CEO的薪水為的薪水為963191美元。美元。n18.50: beta1 的估計(jì)值反映了的估計(jì)值反映了ROE若增加一個(gè)若增加一個(gè)百分點(diǎn)，工資將增加百分點(diǎn)，工資將增加18501美元。美元。963.191 18.501(2.17)salaryroe預(yù)測(cè)：預(yù)測(cè)： 如果如果roe=30，salary是多少？是多少？963.191 18.501 301518.221salary 并不是說，在并不是說，在roe=30的公司中，某個(gè)的公司中，某個(gè)特定的特定的CEO就可以賺就可以賺150萬美元，因?yàn)槿f美元，因

12、為還有其他因素會(huì)影響薪水。這只是還有其他因素會(huì)影響薪水。這只是根據(jù)根據(jù)OLS回歸線回歸線(2.12)得到的預(yù)測(cè)值。得到的預(yù)測(cè)值。963.191 18.501salaryroe01()E salary roeroesalaryroe963.191OLSOLS回歸線和未知的總體回歸函數(shù)：回歸線和未知的總體回歸函數(shù)：2.3 Properties of OLS on Any Sample of Data 2.3.1 Algebraic Properties of OLS Statistics (1) OLS 殘差和為零，因而由此得到的殘差的平均值殘差和為零，因而由此得到的殘差的平均值也為零也為零.證明

13、：回憶證明：回憶OLS的一個(gè)一階條件的一個(gè)一階條件011()0(2.11)niiiyx10(2.18)niiu110(2.19)niiun注意：并沒有提到任注意：并沒有提到任何一次觀測(cè)何一次觀測(cè)i的殘差會(huì)的殘差會(huì)是什么是什么(2) 自變量和自變量和OLS殘差的樣本協(xié)方差為殘差的樣本協(xié)方差為0.證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)镋 E（ ）=0=0COVCOV（X X， ）=E(X-E(X) -E( )=E=E(X-E(X) -E( )=E（X X ） 回憶回憶OLS的另一個(gè)一階條件的另一個(gè)一階條件011()0(2.12)niiiix yx10(2.20)niiixuu u u u u (3)點(diǎn)點(diǎn) 總是在總是

14、在OLS的回歸線上：的回歸線上：證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)?那么那么 所以所以(,)x y01(2.21)yx011()0(2.11)niiiyx0111()0niiiyxn（4）擬合值的樣本平均值與觀測(cè)值的樣）擬合值的樣本平均值與觀測(cè)值的樣本平均值相等：本平均值相等：(2.23)yy(2.9)iiiuyy(2.22)iiiyyu被解釋被解釋部分部分未解釋未解釋部分部分證明：證明：根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)(1)(1)：殘差和為：殘差和為0 0。所以，（所以，（2.222.22）兩邊求和取平均得所證結(jié)論。）兩邊求和取平均得所證結(jié)論。（5 5）擬合值和殘差的樣本協(xié)方差為）擬合值和殘差的樣本協(xié)方差為0 0證明：證

15、明：0)()(),(101010iiiiiiiiiiiiiixxxyyEyCOV根據(jù)（根據(jù)（2.182.18）和（）和（2.202.20）(2.22)iiiyyu觀測(cè)值被分解成兩個(gè)部分，而且觀測(cè)值被分解成兩個(gè)部分，而且這兩部分是不相關(guān)的這兩部分是不相關(guān)的2.3.2 更多術(shù)語更多術(shù)語21()(2.25)niiSSTyy21()(2.26)niiSSEyy（1）Total Sum of Squares, SST總平方和是對(duì)總平方和是對(duì)yi圍繞其均值變圍繞其均值變異的度量，即它度量了異的度量，即它度量了yi在樣在樣本中的分散程度本中的分散程度（2）Explained Sum of Squares,

16、SSE解釋平方和度量了解釋平方和度量了擬合值的變異程度擬合值的變異程度（3）Residual Sum of Squares, SSR21(2.27)niiSSRu 殘差平方和度量了殘差平方和度量了殘差的樣本變異殘差的樣本變異y 的總體變異可以表示為解釋變異和未解釋變異之的總體變異可以表示為解釋變異和未解釋變異之和，即，和，即，o證明：證明：(2.28)SSTSSESSR 222222 2iiiiiiiiiiiiyyyyyyuyyuuyyyySSRuyySSE擬合值和殘差的樣本協(xié)方差為擬合值和殘差的樣本協(xié)方差為02.3.3 Goodness-of-Fito如何衡量自變量如何衡量自變量x究竟多好的

17、解釋了因變量究竟多好的解釋了因變量y；或者說如何衡量樣本回歸線是否很好地?cái)M合了或者說如何衡量樣本回歸線是否很好地?cái)M合了樣本數(shù)據(jù)？樣本數(shù)據(jù)？o假定假定SST不為不為0。除非所有的觀測(cè)值都相等，除非所有的觀測(cè)值都相等，否則這個(gè)假定總是成立的。否則這個(gè)假定總是成立的。(2.28)SSTSSESSR1/(2.29)SSE SSTSSR SST2/1/(2.30)RSSE SSTSSR SST 定義：定義：又叫做判定系數(shù)又叫做判定系數(shù) R2是解釋變異與總變異的比值，因而可以是解釋變異與總變異的比值，因而可以看作是看作是y的樣本變異被的樣本變異被x解釋的部分。即用來衡解釋的部分。即用來衡量擬合優(yōu)度。量擬合

18、優(yōu)度。R2：（：（0，1）p =1意味著觀測(cè)值都落在了回歸線上意味著觀測(cè)值都落在了回歸線上完美的擬合；完美的擬合；p 接近接近0，表明，表明OLS給出了一個(gè)糟糕的擬合。給出了一個(gè)糟糕的擬合。p注意：注意： 在社會(huì)科學(xué)中，特別是在截面數(shù)據(jù)分析中在社會(huì)科學(xué)中，特別是在截面數(shù)據(jù)分析中, 回歸方程的回歸方程的R-平方值較低并不罕見。值得強(qiáng)調(diào)的是，一個(gè)顯著低的平方值較低并不罕見。值得強(qiáng)調(diào)的是，一個(gè)顯著低的R-平方平方值不一定說明值不一定說明OLS回歸方程是沒有價(jià)值的?；貧w方程是沒有價(jià)值的。2/1/(2.30)RSSE SSTSSR SST 2RSSE不可能比不可能比SST大大2RExample 2 （c

19、ontinue）963.191 18.501(2.17)salaryroe2209,0.0132nR薪水的變異有多少是被凈資產(chǎn)回報(bào)率所解釋的？薪水的變異有多少是被凈資產(chǎn)回報(bào)率所解釋的？1.32%但是式（但是式（2.17）仍然可能是）仍然可能是salary和和roe之間之間在其他條件不變下的關(guān)系的良好估計(jì)；這是否正在其他條件不變下的關(guān)系的良好估計(jì)；這是否正確并不直接依賴于確并不直接依賴于R2的大小。的大小。2.4 Units of Measurement and Functional Formo理解改變因變量和理解改變因變量和/或自變量單位，將如何或自變量單位，將如何影響影響OLS估計(jì)值；估計(jì)值

20、；o了解如何把在經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用的總體函數(shù)形式了解如何把在經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用的總體函數(shù)形式加入到回歸分析中。加入到回歸分析中。2.4.1The Effects of Changing Units of Measurement on OLS StatisticsoExample 2 （continue）如果凈資產(chǎn)收益率以小數(shù)來表示，即令如果凈資產(chǎn)收益率以小數(shù)來表示，即令roed= roe/100,salary的單位仍為千美元。那么的單位仍為千美元。那么salary對(duì)對(duì)roed回歸，得到回歸，得到963.191 1850.1(2.17 )salaryroe 一般而言，如果自變量乘上某個(gè)非零常數(shù)一般而言，如果

21、自變量乘上某個(gè)非零常數(shù)c，那么那么OLS斜率將乘以斜率將乘以1/c，而截距則不改變。，而截距則不改變。無論因變量或自變量的單位如何改變，無論因變量或自變量的單位如何改變，R2不會(huì)改變。不會(huì)改變。（i）如果因變量與自變量分別乘以非零常數(shù)）如果因變量與自變量分別乘以非零常數(shù)c1、c2，那么那么OLS斜率將乘以斜率將乘以c1/c2，截距將乘以，截距將乘以c1；（ii）如果因變量與自變量分別加上常數(shù)）如果因變量與自變量分別加上常數(shù)c1、c2，那，那么么OLS斜率不變，截距將加上（斜率不變，截距將加上（c1-c2*斜率）；斜率）；習(xí)題習(xí)題2.8中的兩個(gè)有用的結(jié)論：中的兩個(gè)有用的結(jié)論：2.4.2 Inco

22、rporating Nonlinearities in Simple Regressiono線性關(guān)系并不適合所有的經(jīng)濟(jì)學(xué)運(yùn)用線性關(guān)系并不適合所有的經(jīng)濟(jì)學(xué)運(yùn)用o然而，通過對(duì)因變量和自變量進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亩x然而，通過對(duì)因變量和自變量進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亩x, 我們可以在簡(jiǎn)單回歸分析中非常容易地處理許我們可以在簡(jiǎn)單回歸分析中非常容易地處理許多多y和和x之間的非線性關(guān)系之間的非線性關(guān)系o文獻(xiàn)中經(jīng)常有變量以自然對(duì)數(shù)形式（文獻(xiàn)中經(jīng)常有變量以自然對(duì)數(shù)形式（log y，log x）出現(xiàn)的情形）出現(xiàn)的情形Example1（continue）01log()(2.31)wageeducu01(2.5)wageeducuWage=

23、-0.90+0.54educ 多受一年教育，小時(shí)工資可以增加多受一年教育，小時(shí)工資可以增加0.540.54美元。增加第一年的教育和第美元。增加第一年的教育和第2020年教育，小年教育，小時(shí)工資都增加時(shí)工資都增加0.540.54，這是不合理的。，這是不合理的。 所以我們希望得到多受一年教育，小時(shí)所以我們希望得到多受一年教育，小時(shí)工資增長(zhǎng)的百分率。這就需要對(duì)數(shù)函數(shù)。工資增長(zhǎng)的百分率。這就需要對(duì)數(shù)函數(shù)。educwage01exp()wageeduu01log()(2.31)wageeducu educwage1)log(101000log()log()()/(2.34)xxxxxx x 0u 如果如

24、果 則有，則有，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)：1%(100)(2.33)wageeduc則有：則有：對(duì)數(shù)工資方程對(duì)數(shù)工資方程2log()0.5840.083526,0.186wageeducnR增加任何一年的教育，工資會(huì)有增加任何一年的教育，工資會(huì)有8.3%的增長(zhǎng)，的增長(zhǎng)，即增加一年教育的回報(bào)率。即增加一年教育的回報(bào)率。R平方表示教育解釋了平方表示教育解釋了18.6%的的log（wage）。）。o自然對(duì)數(shù)的另一個(gè)重要用途是用于獲得彈性自然對(duì)數(shù)的另一個(gè)重要用途是用于獲得彈性為常數(shù)的模型為常數(shù)的模型 log (y)，log (x) 例子：例子：CEO薪水和公司的銷售額薪水和公司的銷售額0

25、1log()log()(2.35)salarysalesu 薪水對(duì)銷售額的彈性薪水對(duì)銷售額的彈性o估計(jì)結(jié)果：估計(jì)結(jié)果：2log()4.8220.257log()(2.36)209,0.211salarysalesnR銷售額增加銷售額增加1%，CEO的薪水增加大約的薪水增加大約0.257%含對(duì)數(shù)的函數(shù)形式總覽含對(duì)數(shù)的函數(shù)形式總覽彈性彈性半彈性半彈性2.4.3The Meaning of “Linear” Regression01(2.1)yxu 參數(shù)是線參數(shù)是線性的性的并不要求模型關(guān)于變量并不要求模型關(guān)于變量是線性的，自變量和因是線性的，自變量和因變量如何與初始的自變變量如何與初始的自變量和因變

26、量相聯(lián)系沒有量和因變量相聯(lián)系沒有限制限制2.5 Expected Values and Variances of the OLS Estimators 研究研究OLS估計(jì)量在從總體中抽取出的估計(jì)量在從總體中抽取出的不同的隨機(jī)樣本中的分布性質(zhì)不同的隨機(jī)樣本中的分布性質(zhì)2.5.1 Unbiasedness of OLS首先，在一些假定下證明首先，在一些假定下證明OLS的無偏性。的無偏性。o假定假定1：參數(shù)是線性的：參數(shù)是線性的 在總體模型中，因變量在總體模型中，因變量 y 和自變量和自變量 x 和誤差和誤差u 的關(guān)系可寫作的關(guān)系可寫作01(2.37)yxu 總體的截總體的截距參數(shù)距參數(shù)總體的斜總體

27、的斜率參數(shù)率參數(shù)o假定假定2：隨機(jī)抽樣：隨機(jī)抽樣 假定從總體模型隨機(jī)抽取容量為假定從總體模型隨機(jī)抽取容量為n的樣本的樣本, (xi, yi): i=1, 2, , n。 那么可以用隨機(jī)樣本的形式把式那么可以用隨機(jī)樣本的形式把式(2.37)寫為寫為 01,1,2,(2.38)iiiyxuin誤差：是第誤差：是第i次觀測(cè)中影響觀測(cè)值的次觀測(cè)中影響觀測(cè)值的不可觀測(cè)因素。不可觀測(cè)因素。觀測(cè)值觀測(cè)值與擬合與擬合值之間值之間的差異的差異注意：殘差和誤差的區(qū)別注意：殘差和誤差的區(qū)別01 yx1 uxyx101()E y xx1u觀測(cè)值與觀測(cè)值與實(shí)際值之實(shí)際值之間的差異間的差異o假定假定3：零條件均值：零條件

28、均值( | )0(2.39)E u x 對(duì)一個(gè)隨機(jī)樣本，該假定意味著對(duì)一個(gè)隨機(jī)樣本，該假定意味著(|)0,(1,2, )iiE uxi in對(duì)所有的成立o假定假定4：自變量的樣本有變異：自變量的樣本有變異 在樣本中，自變量在樣本中，自變量 xi 為不相同的常數(shù)，即為不相同的常數(shù)，即21()0(2.40)niixx這個(gè)假定一般都會(huì)成立。這個(gè)假定一般都會(huì)成立。o定理定理2.1：OLS的無偏性的無偏性 根據(jù)假定根據(jù)假定14，有，有0011(), ()(2.41)EE 對(duì)對(duì)beta0和和beta1的任何值都成立的任何值都成立o引理：引理： 證明：證明：yxnyxxyyyxxyyxxiiiiiiii)(

29、)()(yxnyxyxnyxnxynyxyxyxxyyxyyxxiiiiiiiiii)(證明定理證明定理2.1：1121()()(2.15)()niiiniixxyyxx2221 where,xxssyxxixxii010101iiiiiiiiiiiiiiixxyxxxuxxxxxxx uxxxx xxx u分母：20,iiiixxxxxxx21, xiisxx u因此，分母可被寫作其中分子：其中分子：注意利用：注意利用：因此，分子可以被寫作因此，分子可以被寫作證明見證明見(A.1)2112111 , 1, 1iiiixiixdxxd usEd E us讓則則2211)(xiixsuxxs給定

30、給定x的條件下，他們都是非隨機(jī)的。的條件下，他們都是非隨機(jī)的。00101101100110()()() ( )yxxuxxuEExE u對(duì)于，有故而o小結(jié)：小結(jié)： 1. 1 和和 0 的的OLS估計(jì)量是無偏的估計(jì)量是無偏的 2. 無偏性的證明依賴于四個(gè)假定無偏性的證明依賴于四個(gè)假定如果如果任何假定不成立，任何假定不成立，OLS未必是無偏的未必是無偏的 3. 記?。簾o偏性是記?。簾o偏性是對(duì)估計(jì)量的描述對(duì)估計(jì)量的描述對(duì)對(duì)于一個(gè)給定的樣本，估計(jì)值可能靠近也可能于一個(gè)給定的樣本，估計(jì)值可能靠近也可能遠(yuǎn)離真實(shí)的參數(shù)值遠(yuǎn)離真實(shí)的參數(shù)值Example3 Student Math Performance an

31、d the School Lunch Programo研究參加學(xué)校的免費(fèi)午餐項(xiàng)目是否能夠提高學(xué)研究參加學(xué)校的免費(fèi)午餐項(xiàng)目是否能夠提高學(xué)生在數(shù)學(xué)考試中的成績(jī)。用生在數(shù)學(xué)考試中的成績(jī)。用Math10來表示來表示10年年級(jí)學(xué)生在一次標(biāo)準(zhǔn)化考試中獲得通過的百分比，級(jí)學(xué)生在一次標(biāo)準(zhǔn)化考試中獲得通過的百分比，用用Lupro表示可以參加學(xué)校的免費(fèi)午餐項(xiàng)目的學(xué)表示可以參加學(xué)校的免費(fèi)午餐項(xiàng)目的學(xué)生的比例（生的比例（%）。）。0110(2.42)mathluprou 21032.140.319(2.43)408,0.171mathlupronRo估計(jì)所得方程說明參加免費(fèi)午餐的學(xué)生的比例估計(jì)所得方程說明參加免費(fèi)午餐

32、的學(xué)生的比例越多，他們的成績(jī)?cè)讲??？尚艈?？越多，他們的成?jī)?cè)讲?。可信嗎？o產(chǎn)生上述結(jié)果的一個(gè)可能是產(chǎn)生上述結(jié)果的一個(gè)可能是u 和和 x是相關(guān)的。比是相關(guān)的。比如，如， u包括了貧困率，它影響學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)，包括了貧困率，它影響學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)，又和是否有資格參加免費(fèi)午餐項(xiàng)目高度相關(guān)。又和是否有資格參加免費(fèi)午餐項(xiàng)目高度相關(guān)。o因而這個(gè)簡(jiǎn)單回歸是有偏誤因而這個(gè)簡(jiǎn)單回歸是有偏誤習(xí)題習(xí)題 Variances of the OLS Estimatorso估計(jì)量的隨機(jī)抽樣分布以真值為中心估計(jì)量的隨機(jī)抽樣分布以真值為中心 o 想知道的是這個(gè)分布散開的程度想知道的是這個(gè)分布散開的程度o 了解這一

33、點(diǎn)了解這一點(diǎn)(分布的分散程度分布的分散程度)，將對(duì)我們，將對(duì)我們?nèi)绾文軌蛟谒械墓烙?jì)量中，或至少在無偏如何能夠在所有的估計(jì)量中，或至少在無偏估計(jì)量這一類估計(jì)量中選出最優(yōu)的一個(gè)具有估計(jì)量這一類估計(jì)量中選出最優(yōu)的一個(gè)具有一定的指導(dǎo)意義。一定的指導(dǎo)意義。o假定假定5：同方差性：同方差性2()(2.44)Var u x橫截面分析橫截面分析中較為傳統(tǒng)中較為傳統(tǒng)的假定的假定該假定與估計(jì)該假定與估計(jì)量的無偏性沒量的無偏性沒有關(guān)系，只是有關(guān)系，只是為了簡(jiǎn)化參數(shù)為了簡(jiǎn)化參數(shù)方差的計(jì)算方差的計(jì)算( | )0(2.39)E u x 2()(2.44)Var u x2222)()()()(xuExuExuExuVar

34、根據(jù)假定根據(jù)假定3 3和和5 5：我們可以得到：我們可以得到：22210210210210210221010)()()(2)()()()()()()()(xuExxuuxxExxuxExyExyExyVarxxuxExyE012()(2.45)()(2.46)E y xxVar y x給定給定x x，y y的條件期望值與的條件期望值與x x呈線性關(guān)系；呈線性關(guān)系；但給定但給定x x，y y的方差是恒定的。的方差是恒定的。.x1x2E(y|x) = 0 + 1xyf(y|x)同方差下的簡(jiǎn)單回歸分析同方差下的簡(jiǎn)單回歸分析當(dāng)當(dāng)Var (u |x)值取決于值取決于x 時(shí)，我們稱誤差項(xiàng)存時(shí)，我們稱誤差項(xiàng)

35、存在異方差。在異方差。.x x1x2yf(y|x)x3.E(y|x) = 0 + 1xExample1 （continue）01(2.5)wageeducu 如果假設(shè)滿足同方差假定，那么就意味著如果假設(shè)滿足同方差假定，那么就意味著不管不管educ值為何水平，工資的分布相對(duì)于教值為何水平，工資的分布相對(duì)于教育水平而言都是相同的：育水平而言都是相同的： Var (u |educ)=Var (wage |educ). 但是，如果接受高等教育的人面臨更多的但是，如果接受高等教育的人面臨更多的就業(yè)機(jī)會(huì)和更廣泛的興趣，收入的差異可能就業(yè)機(jī)會(huì)和更廣泛的興趣，收入的差異可能更大。在這種情形中，同方差假定未必成

36、立。更大。在這種情形中，同方差假定未必成立。Var（wageeduc）隨）隨educ增加增加.educ 812wagef(wage|educ)16.E(wage|educ) = 0 + 1educ習(xí)題習(xí)題2.5o定理定理2.2：OLS 估計(jì)量的抽樣方差估計(jì)量的抽樣方差 在假定在假定15下，有，下，有， 221221(2.47)()nxiiVarsxx2202()(2.48)()iixVarxxn證明：證明： 2112222222222222222222111111iixiiiixxiixxxxxVarVard usVard ud Var ussddsssss因?yàn)橐驗(yàn)閡i是獨(dú)立的是獨(dú)立的隨機(jī)變量

37、。故隨機(jī)變量。故和的方差就是和的方差就是方差的和方差的和 221221(2.47)()nxiiVarsxx 誤差方差誤差方差 2 越大（越大（2.47的分子），斜率估計(jì)的分子），斜率估計(jì)量的方差也越大量的方差也越大影響影響y的不可觀測(cè)因素的變的不可觀測(cè)因素的變異越大，要準(zhǔn)確估計(jì)異越大，要準(zhǔn)確估計(jì)beta1就越難。就越難。 xi 的變動(dòng)越大（的變動(dòng)越大（2.47的分母），斜率估計(jì)量的分母），斜率估計(jì)量的方差越小的方差越小自變量的樣本分布的越分散，就自變量的樣本分布的越分散，就越容易找出越容易找出E (y x)和和x之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。xxyyxxyy圖1圖2o小結(jié)：小結(jié)： 如果關(guān)注斜率的估計(jì)

38、量，就應(yīng)該選擇如果關(guān)注斜率的估計(jì)量，就應(yīng)該選擇xi盡可能的分散開的隨機(jī)樣本盡可能的分散開的隨機(jī)樣本 大的樣本容量能夠減小樣本斜率估計(jì)大的樣本容量能夠減小樣本斜率估計(jì)量的方差量的方差樣本容量擴(kuò)大時(shí)，樣本容量擴(kuò)大時(shí)， xi 的總體的總體變化也增加。較大樣本的代價(jià)或許很高（社變化也增加。較大樣本的代價(jià)或許很高（社會(huì)科學(xué)中）。會(huì)科學(xué)中）。 2.5.3Estimating the Error Variance 我們不知道誤差方差我們不知道誤差方差 2 是多少，因?yàn)槭嵌嗌?，因?yàn)椴荒苡^察到誤差不能觀察到誤差 ui 觀測(cè)到的是殘差觀測(cè)到的是殘差 i 我們可以用殘差構(gòu)造誤差方差的估計(jì)我們可以用殘差構(gòu)造誤差方差的估計(jì)0)()()(1100 xEEuuEii 首先，我們注意到首先，我們注意到 2=E(u2), 所以所以 2的的無偏估計(jì)量是無偏估計(jì)量是 但是，但是，ui 是不可觀測(cè)的，但可以利用殘差是不可觀測(cè)的，但可以利用殘差來構(gòu)造無偏估計(jì)量來構(gòu)造無偏估計(jì)量2)/1 (iunui和和i之間差異之間差異的期望是的期望是0nSSRuni2)/1 (所以真正的估計(jì)量是SSR/n作為作為 2的估計(jì)量是有偏誤的，產(chǎn)的估計(jì)量是有偏誤的，產(chǎn)生偏誤的原因是我們忘記了兩個(gè)約束條件：生偏誤的原因是我們忘記了兩個(gè)約束條件：所以要對(duì)自由度作出調(diào)整，所以要對(duì)自由度作