高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)-1

1、 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 高等數(shù)學(xué)分冊高等數(shù)學(xué)分冊-1數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 第5.1章 函數(shù)與極限第1章函數(shù)與極限驗(yàn)證性試驗(yàn)驗(yàn)證性試驗(yàn)實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)一 函數(shù)圖形函數(shù)圖形實(shí)驗(yàn)二實(shí)驗(yàn)二 函數(shù)的極限函數(shù)的極限實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)三 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)一 函數(shù)圖形【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?.了解基本初等函數(shù)及圖形特征，會用Matlab圖形命令畫圖；2.會畫復(fù)合函數(shù)、參量函數(shù)及分段函數(shù)的圖形。【實(shí)驗(yàn)要求】 熟悉Matlab圖形命令plot第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】1.利用圖形命令分別在同一坐標(biāo)系下畫出下列基本初等函數(shù)的圖形，并觀察圖形特征（1）【實(shí)驗(yàn)過程】 1.（1）x=-1:0.01

2、:1; y1=x;y2=x.2;y3=x.3;y4=x.4; plot(x,y1,-,x,y2,:,x,y3,*,x,y4,-);gtext(y=x),gtext(y=x2),gtext(y=x3),gtext(y=x4)432,xyxyxyxy第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果： 圖1-1 冪函數(shù)圖第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)（2） x=linspace(-1,1,60);y1=2.x;y2=10.x;y3=(1/3).x;y4=exp(x);plot(x,y1,-,x,y2,:,x,y3,*,x,y4,-); xxxxeyyyy,)31(,10,2第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果：

3、圖1-2 指數(shù)函數(shù)圖第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)2.利用圖形命令畫出下列函數(shù)的圖形（1） ;x=-5:0.01:5;y=3*x.2-x.3;plot(x,y);323xxy 5 , 5x第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果： 圖1-3 函數(shù)的 圖形323xxy第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)（2） ; x=-pi:0.01:pi; y=cos(4*x); plot(x,y);xy4cos,x第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果： 圖1-4 函數(shù) 的圖形xy4cos第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)二 函數(shù)的極限【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?.熟悉函數(shù)極限的概念；2.掌握求各種類型函數(shù)的極限的方法；3.會用Matl

4、ab命令求函數(shù)極限?！緦?shí)驗(yàn)要求】熟悉Matlab中求極限的命令limit第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】1.計(jì)算下列極限(1) (2)【實(shí)驗(yàn)過程】（1） syms x a b limit(sin(a*x)/sin(b*x), x,0)運(yùn)行結(jié)果：ans =a/bbxaxxsinsinlim0 xxxxsincos1lim0第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)（2）syms x limit(1-cos(x)/(x*sin(x),x,0)運(yùn)行結(jié)果：ans =1/2第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)三 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?.了解簡單函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的關(guān)系，理解能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件，掌握如何求幾

5、個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)；2.掌握函數(shù)的反函數(shù)概念，會求函數(shù)的反函數(shù)?！緦?shí)驗(yàn)要求】 熟悉Matlab中求復(fù)合函數(shù)的命令compose，以及求反函數(shù)的命令finverse。第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】1求下列函數(shù)的復(fù)合函數(shù)(1) ，求【實(shí)驗(yàn)過程】1.（1）syms x y f=1/(1+x2); g=sin(y); compose(f,g)運(yùn)行結(jié)果：ans =1/(sin(y)2+1) 由上述結(jié)果可知： ygxfsin,112)(ygf21( ( )sin1f g yy第1章函數(shù)與極限-驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)2求下列函數(shù)的反函數(shù) （1）(1) syms xy=1/tan(x); g=finverse(y

6、)運(yùn)行結(jié)果：g =atan(1/x) 由上述結(jié)果可知： 的反函數(shù)為xytan1xytan1xg1arctan第1章函數(shù)與極限設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)一 數(shù)據(jù)擬合問題數(shù)據(jù)擬合問題實(shí)驗(yàn)二實(shí)驗(yàn)二 復(fù)利問題復(fù)利問題第1章函數(shù)與極限設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)一 數(shù)據(jù)擬合問題數(shù)據(jù)擬合問題【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?.加深對函數(shù)基本概念的理解；2.討論了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題；3.掌握Matlab軟件中有關(guān)函數(shù)、畫圖等命令。【實(shí)驗(yàn)要求】掌握函數(shù)基本知識，Matlab軟件第1章函數(shù)與極限設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】 某研究所為了研究氮肥(N)的施肥量與土豆產(chǎn)量的影響，做了十次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表1，其中ha表示公頃，t表示噸，kg表

7、示千克。試分析氮肥的施肥量與土豆產(chǎn)量之間的關(guān)系。第1章函數(shù)與極限設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)表1 氮肥施肥量與土豆產(chǎn)量關(guān)系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)【實(shí)驗(yàn)方案】 設(shè)y代表土豆產(chǎn)量，x代表氮肥的施肥量。顯然，y和x之間應(yīng)該有某種關(guān)系，假設(shè)y與x之間的關(guān)系為函數(shù)關(guān)系，則問題就轉(zhuǎn)化為已知數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)位置關(guān)系，尋找函數(shù)y=y(x)。這就是數(shù)據(jù)擬合問題。 施肥量x(kg/ha)03467101135202259336404471產(chǎn)量y(t/ha)15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75 所謂數(shù)據(jù)擬合，就是從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)出發(fā)，尋找函數(shù)y=y(x)的一個近似

8、表達(dá)式y(tǒng)=f(x)(稱為經(jīng)驗(yàn)公式)。從幾何上看，就是希望根據(jù)給定的這些數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi) ，求曲線y=y(x)的一條近似曲線y=f(x)。近似曲線y=f(x)不必過每一個數(shù)據(jù)點(diǎn)，但如果近似曲線的效果要好的話，那么數(shù)據(jù)點(diǎn) (xi,yi)離近似曲線的距離應(yīng)該盡量小。 用偏差平方和函數(shù)來刻畫近似曲線的效果，偏差平方和函數(shù)越小則近似曲線的擬合效果越好，因此最好的近似曲線應(yīng)該滿足21min( ( ) niiiwf xy 多項(xiàng)式函數(shù)由于性質(zhì)良好，計(jì)算方便，常常用來進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。 可以考慮采用1，x，x2作為基函數(shù)來擬合這組數(shù)據(jù)(即用二次多項(xiàng)式函數(shù)a0+a1x+a2x2作為經(jīng)驗(yàn)公式)，此時偏差平方和函數(shù)為

9、 其中n為數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)目。要使偏差平方和函數(shù)W最小，需要220121(-)niiiiwaa xa xy201211102301211111234201211112nnniiiiiinnnniiiiiiiiinnnniiiiiiiiiwnaaxaxyawaxaxaxx yawaxaxaxx ya該方程組稱為法方程組。第1章函數(shù)與極限設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn) 將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)代入上式，解得 a0=14.7391,a1=0.1973139,a2=-0.000339492 即擬合函數(shù)為 y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2 從圖1-10可以看出擬合效果比較好，但是是否還可以更好

10、呢？一般而言，擬合次數(shù)的提高可以使得擬合效果變好，但是并不是次數(shù)越高越好。 現(xiàn)在提高擬合次數(shù)，將基函數(shù)由1，x，x2修改為1，x，x2，x3(三次擬合)，1，x，x2，x3，x4(四次擬合)，得到擬合圖1-5至圖1-9。 從圖形可以看出擬合曲線的次數(shù)在二、三、四、五次擬合的效果都相差不大，但是高次擬合效果反而不理想，例如本例中的八次擬合，所以在本例中使用二次擬合效果就比較好了，擬合函數(shù)為 y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2第1章函數(shù)與極限設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)【實(shí)驗(yàn)過程】clearx=0 34 67 101 135 202 259 336 404 471;y=15.18

11、21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75;p=polyfit(x,y,2); disp(num2str(p(1),*x2+,num2str(p(2),*x+,num2str(p(3);xx=linspace(0,471,100);yy=polyval(p,xx);plot(x,y,r*,xx,yy)第1章函數(shù)與極限設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果： 圖1-5 二次擬合 圖1-6 三次擬合 圖1-7 四次擬合 圖1-8 五次擬合第1章函數(shù)與極限設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn) 圖1-9 八次擬合 八次擬合時的系統(tǒng)提示：Warning: Polynomial is b

12、adly conditioned. Add points with distinct X values, reduce the degree of the polynomial, or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT.第1章函數(shù)與極限設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)二實(shí)驗(yàn)二 復(fù)利問題復(fù)利問題【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?.加深對函數(shù)極限概念的理解2.討論極限在實(shí)際問題中的應(yīng)用3.會用Matlab命令求函數(shù)極限【實(shí)驗(yàn)要求】掌握極限概念，Matlab軟件求函數(shù)極限的命令limit第1章函數(shù)與極限設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】 復(fù)利，即利滾利。不僅是一個經(jīng)濟(jì)問題

13、，而且是一個古老又現(xiàn)代的經(jīng)濟(jì)社會問題。隨著商品經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，復(fù)利計(jì)算將日益普遍，同時復(fù)利的期限將日益變短，即不僅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率?，F(xiàn)在我們已進(jìn)入電子商務(wù)時代，允許儲戶隨時存款或取款，如果一個儲戶連續(xù)不斷存款和取款，結(jié)算本息的頻率趨于無窮大，每次結(jié)算后將本息全部存入銀行，這意味著銀行不斷地向儲戶支付利息，稱為連續(xù)復(fù)利問題。 若銀行一年活期年利率為0.06，那么儲戶存10萬元的人民幣，如果銀行允許儲戶在一年內(nèi)可任意次結(jié)算，在不計(jì)利息稅的情況下，由于復(fù)利，顯然這比一年結(jié)算一次要多，因?yàn)槎啻谓Y(jié)算增加了復(fù)利。結(jié)算越頻繁，獲利越大。連續(xù)復(fù)利會造成總結(jié)算額無限增大嗎？隨著結(jié)算次

14、數(shù)的無限增加，一年后該儲戶是否會成為百萬富翁？第1章函數(shù)與極限設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)【實(shí)驗(yàn)方案】 設(shè)本金為p，年利率為r，若一年分為n期(即儲戶結(jié)算頻率為n)，每期利率為r/n，存期為t年。 依題意，第一期到期后利息為 本金*利率=p*r/n 第一期到期后的本利和是 本金+利息=p+p*r/n=p(1+r/n)第1章函數(shù)與極限設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn) 因規(guī)定按復(fù)利計(jì)息，故第二期開始時的本金為p(1+r/n)，第二期到期后的利息應(yīng)為 本金*利率= p(1+r/n)*r/n第二期到期后的本利和是 本金+利息= p(1+r/n)+ p(1+r/n)*r/n =p(1+r/n)2 ， 第n期到期后的本利和是 p(1+r/n)n

15、 存期為t年(事實(shí)上是有tn期)，到期后的本利和為 p(1+r/n)tn 隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，即在上式中n,t=1年后本息共計(jì) 10.6184(萬元) 隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，一年后本息總和將穩(wěn)定于10.6184萬元，儲戶并不能通過該方法成為百萬富翁。nnlim100000r/n（1+）第1章函數(shù)與極限設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn) 實(shí)際上，若年利率為r，一年結(jié)算無限次，總結(jié)算額有一個上限，即100000*exp(r)元。它表明在n時，結(jié)果將穩(wěn)定于這個值。而且用復(fù)利計(jì)息時，只要年利率不大，按季、月、天連續(xù)計(jì)算所得結(jié)果相差不大。第1章函數(shù)與極限設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn) 【實(shí)驗(yàn)過程】 syms n a=limit(100000*(1+0.06/n)n,n,inf)a =100000*exp(3/50)一年結(jié)算無限次，總結(jié)算額有上限為 syms n ra=limit(100000*(1+r/n)n,n,inf)a =100000*exp(r)作業(yè) 思考與提高 1.本世紀(jì)初，瘟疫還常在某些地區(qū)流行?，F(xiàn)假設(shè)有這樣一種傳染病，任何人得病后，在傳染期內(nèi)不會死亡，且最初設(shè)有A人患病，每個人年平均傳染率為k