第7章 離散系統(tǒng)

1、 7.17.1 引言引言 7.2 7.2 采樣過程的數(shù)學描述采樣過程的數(shù)學描述 7.3 7.3 信號恢復信號恢復 7.4 7.4 Z Z變換理論變換理論 7.5 7.5 采樣系統(tǒng)的數(shù)學模型采樣系統(tǒng)的數(shù)學模型 7.6 7.6 離散控制系統(tǒng)分析離散控制系統(tǒng)分析 7.7 7.7 數(shù)字控制器的設(shè)計數(shù)字控制器的設(shè)計 7.1.1 直接數(shù)字控制系統(tǒng)直接數(shù)字控制系統(tǒng)（DDCDirect Digital Control）DigitalComputeDigital-to-a n a l o g converterActuatorprocessAna l o g - t o -d i g i t a l conve

2、rterMeasurement sensorinputdigital圖圖7-1 直接數(shù)字控制系統(tǒng)（直接數(shù)字控制系統(tǒng)（DDC）7.1.2 計算機監(jiān)督控制系統(tǒng)（SCCSurveillance Computer Control System）ComputerD i g i t a l - t o -analogOutputA n a l o g - t o -digitalInputAnalogueregulatorsensorprocessactuator圖圖7-2 計算機監(jiān)督控制系統(tǒng)（計算機監(jiān)督控制系統(tǒng)（SCC）7.1.3 集散控制系統(tǒng)（TDCTotal and Distributed Cont

3、rol） MISSCCSCCSCCDDCDDCDDCDDCprocessprocessMISMISSCC集中調(diào)度控制中心集中調(diào)度控制中心 子調(diào)度控制中心子調(diào)度控制中心.圖圖7-3 集散控制系統(tǒng)（集散控制系統(tǒng)（TDC）7.2.1 采樣過程及其數(shù)學描述采樣過程及其數(shù)學描述7.2.2 采樣定理采樣定理7.2.3 采樣周期的選擇采樣周期的選擇 在采樣控制系統(tǒng)中將連續(xù)信號變?yōu)閿嗬m(xù)信號的過程在采樣控制系統(tǒng)中將連續(xù)信號變?yōu)閿嗬m(xù)信號的過程稱為采樣過程。實現(xiàn)這個采樣過程的裝置稱為采樣裝置稱為采樣過程。實現(xiàn)這個采樣過程的裝置稱為采樣裝置 ，如圖如圖7-47-4所示。所示。 e*（t） e（t） 圖圖7-4 采樣開

4、關(guān)采樣開關(guān)將斷續(xù)信號用如下數(shù)學式子表示將斷續(xù)信號用如下數(shù)學式子表示kkTtte)()(e*(t)=對離散信號對離散信號e*（t）取拉氏變換，可得取拉氏變換，可得E*(s)=Le*(t)= L 0)()(kkTtkTe0)(kkTsekte= 圖圖7-5 連續(xù)信號連續(xù)信號e（t）與斷續(xù)信號與斷續(xù)信號e（t） 為了能不失真的從離散信號中恢復原有的連續(xù)信號，采樣頻率必須大于等于原連續(xù)信號所含最高頻率的兩倍，即 max2smax22 或 T(7-1)(7-2)理想濾波器 的濾波特性為 )(jG102/s2/s(7-3)其頻率特性如圖7-6)(jG2s2s- 圖圖7-6 理想濾波器的頻率特性理想濾波器的

5、頻率特性工程實踐表明，根據(jù)表工程實踐表明，根據(jù)表7-1給出的參考數(shù)據(jù)選擇采樣周期給出的參考數(shù)據(jù)選擇采樣周期T，可以取得滿意的控制效果?？梢匀〉脻M意的控制效果。 采樣周期采樣周期T（秒）秒） 1 5 5 20 20 控制過程控制過程 流量流量 壓力壓力 液位液位 溫度溫度 成分成分表表7-1 工業(yè)過程工業(yè)過程T的選擇的選擇隨動系統(tǒng)的采樣角頻率可近似取為c10s由于T2 ，所以采樣周期可按下式選取： scT15采樣周期T可通過單位接躍響應的上升時間tr或調(diào)節(jié)時間ts按下列經(jīng)驗公式選?。簉tT101stT4017.3.1 零階保持器零階保持器7.3.2 一階保持器一階保持器 零階保持器是最常用的一種

6、保持器，它把采樣時刻的零階保持器是最常用的一種保持器，它把采樣時刻的采樣值恒定不變地保持（或外推）到下一采樣時刻。如圖采樣值恒定不變地保持（或外推）到下一采樣時刻。如圖7-7所示，零階保持器的輸出為階梯信號。所示，零階保持器的輸出為階梯信號。 Xh(t)Gh（s）x*(t)x(t)Ka)采樣開關(guān)采樣開關(guān) 保持器保持器圖圖7-7 零階保持器零階保持器由于由于 ，（，（k=0,1,2,）所以保持器的輸出所以保持器的輸出 與連續(xù)輸與連續(xù)輸入信號入信號 之間的關(guān)系式為之間的關(guān)系式為 )()(kTxkTxh)(txh)(tx0)( 1)( 1)()(khTkTtkTtkTxtx(7-4)的拉式變換則為的

7、拉式變換則為 01)()(kTskTshseekTxsX(7-5)上式與式（上式與式（7-1）比較后，知道零階保持器的傳遞函數(shù)為）比較后，知道零階保持器的傳遞函數(shù)為 sesGTsh1)(7-6) b)圖圖7-8 應用零階保持器恢復信號應用零階保持器恢復信號零階保持器的頻率特性為零階保持器的頻率特性為 222222sin221)(TjTjTjTjTjheTTTjeeeTTjejG(7-7) 一階保持器以兩個采樣時刻的值為基礎(chǔ)實行外推，一階保持器以兩個采樣時刻的值為基礎(chǔ)實行外推，它的外推輸出式中它的外推輸出式中t為為kT到（到（k1）T之間的時間變量。之間的時間變量。如圖如圖7-7-9 9所示所示

8、 。 ) 1()()()(tTTkxkTxkTxtkTx(7-8)(txh)(tx)(tx0 t 2t 3t .圖圖7-9 應用一階保持器恢復信號應用一階保持器恢復信號 根據(jù)一階保持器脈沖響應函數(shù)的分解，可得保持器根據(jù)一階保持器脈沖響應函數(shù)的分解，可得保持器的傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù) TSTsTsTsheTseseTsesTsssG22222112211)(7-9)或或2)1)(1 ()(TseTTsGTssh(7-10)一階保持器的頻率特性為一階保持器的頻率特性為)(222)22sin()(1)1)(1 ()(TjTjheTTTTTjeTjTjG(7-11)7.4.1 Z變換變換7.4.2 Z變換

9、的性質(zhì)變換的性質(zhì)7.4.3 Z反變換反變換 7.4.1 Z變換由式（由式（7-1）可知，斷續(xù)函數(shù)）可知，斷續(xù)函數(shù)x*（t）的拉氏變換為的拉氏變換為 X*（S）= X(kT)e-kTS 0k(7-12)若令若令 eTS = Z (7-13)則將在則將在S域分析的問題變成域分析的問題變成Z域的分析問題。域的分析問題。 X ( Z ) = X(kT)Z-k 0k(7-14)X（Z）稱為稱為X*（t）的的z 變換，記為變換，記為 z )(* tXz = X(Z) = X(kT)Z-k )(* tX0k(7-15)在在Z變換中，變換中，X（Z）為采樣脈沖序列的為采樣脈沖序列的Z變換，即只考慮采變換，即只

10、考慮采樣時刻的信號值。由于在采樣時刻，樣時刻的信號值。由于在采樣時刻，X（t）的值就是的值就是X（kT）,所以從這個意義上說，所以從這個意義上說，X（Z）既是既是X*（t）的的Z變換，也變換，也可以寫為可以寫為X(t)的的Z變換，即變換，即Z = z =X(Z)= X(kT)Z-k )(* tX)(tX0k(7-16)7.4.2 Z變換的性質(zhì)(1)(1)線性定理線性定理 z = a1X1(Z) +a2X2(Z) + )()(2211txatxa(7-17)z = Zm )(mTtx10)()(mkkZkTxZX(7-18)z = Z-m X(Z) )(mTtx(7-19)式中式中a1,a2,為

11、常數(shù)。為常數(shù)。(2) 實平移定理實平移定理(3)復平移定理復平移定理 z )()(zextxeTt(7-20)例例 已知已知 , 求求X（Z）解解 tetxtsin)(1cos2sinsin2TZZTZt1cos2sinsin22TzezeTzeteTTTtzz(4)復域微分定理復域微分定理dZzdXTZttx)()(Z(7-21)例例 已知已知x(t)=t3 ,求求 X(Z)解解 32) 1() 1(zZZT42332) 1() 14() 1() 1(zZZZTzZZTdZdZt =2Zt =-TZ3(5)初值定理初值定理)(lim)0(ZXxz(7-22) 證明：由證明：由Z變換的定義有變

12、換的定義有.) 1 ()0()()(10ZxxZkxZXkk)(lim)0(Zxxz(6) 終值定理終值定理 )()1(lim)(1ZXZxz(7-23)7.4.3 Z反變換(1) 冪級數(shù)法冪級數(shù)法 通常通常Z變換表達式有如下形式：變換表達式有如下形式： 01110111.)(azazazabzbzbzbZXnnnnmmmm(7-24) 實際的物理系統(tǒng)滿足實際的物理系統(tǒng)滿足 n,則用綜合除法有則用綜合除法有 X(Z)= 0110.kknzczcc(7-25)由由Z變換的定義式可知變換的定義式可知 則則nCkTx)(0)()(*knkTtctx即為即為x(z)的原函數(shù)的原函數(shù)（2）部分分式法）部

13、分分式法部分分式法又稱查表法。它的基本思想是將部分分式法又稱查表法。它的基本思想是將X（Z）/Z展開成展開成部分分式，部分分式，niiZZAiZZX1)(7-26)然后，查然后，查Z變換表，即可求取變換表，即可求取X（Z）的原函數(shù)的原函數(shù)x(kT)（3） 留數(shù)法留數(shù)法由由Z變換的定義式有變換的定義式有 X(Z)= X(kT)Z = x(0) + x(T)Z + x(2T)Z + 上式兩端乘以上式兩端乘以Z 有有K-1-k-1-2X(Z)Zk-1 = x(0)Zk-1 +x(T)Zk-2 + + x(kT)Z-1 + (7-27)所以所以x(kT) =j21dzZZXk 1)(根據(jù)留數(shù)定理，則上

14、式可寫成：根據(jù)留數(shù)定理，則上式可寫成： x(kT) = Res 1)(kZZX7.5.1 描述離散控制系統(tǒng)的線性差分方程描述離散控制系統(tǒng)的線性差分方程7.5.2 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)7.5.1 描述離散控制系統(tǒng)的線性差分方程線性定常離散系統(tǒng)可以用后向差分方程來描述線性定常離散系統(tǒng)可以用后向差分方程來描述 y(k) + a1y(k-1) + + any(k-n) = b0r(k) + b1r(k-1) + + r(k-m) (7-28)也可用前向差分方程來描述線性定常離散控制系統(tǒng)也可用前向差分方程來描述線性定常離散控制系統(tǒng) y(k+n) + a1y(k+n-1) + + an-1y(k+1)

15、 + any(k) = b0r(k+m) + b1r(k+m-1) + + bm-1r(k+1) + bmr(k) (7-29)求解差分方程常用的有迭代法和求解差分方程常用的有迭代法和Z變換法。變換法。（1 1）迭代法）迭代法 若已知線性定常離散控制系統(tǒng)的差分方程式若已知線性定常離散控制系統(tǒng)的差分方程式 （7-28） 或式（或式（7-29），并且給定輸出），并且給定輸出序列初值，則可以利用遞推關(guān)系，在計算機上一步一步計序列初值，則可以利用遞推關(guān)系，在計算機上一步一步計算出輸出序列。算出輸出序列。（2）Z變換法變換法若已知線性定常離散控制系統(tǒng)的差分方程描述，則根據(jù)若已知線性定常離散控制系統(tǒng)的差分

16、方程描述，則根據(jù)Z變變換的實位移定理，對差分方程兩邊取換的實位移定理，對差分方程兩邊取Z變換，再根據(jù)初始條變換，再根據(jù)初始條件及給定輸入控制信號的件及給定輸入控制信號的Z變換表達式，可求取離散控制系變換表達式，可求取離散控制系統(tǒng)輸出的統(tǒng)輸出的Z變換表達式，再求輸出變換表達式，再求輸出Z變換的變換的Z反變換表達式，反變換表達式，即可求取離散控制系統(tǒng)輸出的實域表達式即可求取離散控制系統(tǒng)輸出的實域表達式Y(jié)(K)。7.5.2 脈沖傳遞函數(shù)1. 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)一離散開環(huán)控制系統(tǒng)如圖一離散開環(huán)控制系統(tǒng)如圖7-10所示。所示。 G(s)r*( t ) r ( t ) y*( t ) y (

17、 t ) 圖圖7-10 開環(huán)離散控制系統(tǒng)開環(huán)離散控制系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)定義為在零初始條件下，輸出脈沖傳遞函數(shù)定義為在零初始條件下，輸出Y*(t)的的Z變換變換Y(Z)與輸入與輸入r*(t)的的Z變換變換R(Z)之比。脈沖傳遞函數(shù)用之比。脈沖傳遞函數(shù)用G(Z)表示，則表示，則)()()(ZRZYZG(7-30)假定動態(tài)環(huán)節(jié)的單位脈沖過渡函數(shù)為假定動態(tài)環(huán)節(jié)的單位脈沖過渡函數(shù)為h(t)。該環(huán)節(jié)的輸入該環(huán)節(jié)的輸入為為r*(t)0)()()(*nnTtnTrtr(7-31)利用線性環(huán)節(jié)滿足疊加原理，無窮多個脈沖作用在線性環(huán)利用線性環(huán)節(jié)滿足疊加原理，無窮多個脈沖作用在線性環(huán)節(jié)節(jié)G(s)上，其輸出上，其輸出Y

18、(t)為為y(t)=r(0)h(t) + r(T)h(t T) +.+r(nT)h(t nT) +(7-32)將輸出信號離散化，得到將輸出信號離散化，得到y(tǒng)(kT)=r(0)h(kT)+r(T)h(k-1)T+r(nT)h(k-n)T + = r(nT)h(k-n)T(7-33)上式兩邊用乘以上式兩邊用乘以eKTS，并求和，得到并求和，得到KTSKKKTSkKTSeTnKhnTreKThreKTY000)()()()0()(7-35)考慮到前面的給定，當考慮到前面的給定，當t 0 時，時，h ( t )=0 ，于是有于是有00)()()()()0()()0()()()() 1()(KKTSTS

19、KTSTSTSTSKTSkeKTheTreKTheThheTrehTrThTreTKhTr(7-36)同理有：同理有：00)()()()(KKTSnTSKTSKeKThenTreTnKhnTr(7-37)所以所以00)()()0()(KKTSnTSKTSKeKThenTrreKTY(7-38)采樣周期與所用時間變量文字描述無關(guān)，則上式可改寫為采樣周期與所用時間變量文字描述無關(guān)，則上式可改寫為000)()()(KKTSKKTSKKTSeKTheKTreKTY(7-39)即即)(*)(*)(*sGsRsY(7-40)0)()(*KKTSeKThsG式中式中 (7-41)若令式中若令式中Z = eT

20、S , 則可知則可知)()()(ZGZRZY又因又因 G ( s ) = h ( t )(7-42) G (Z) = z zG ( s ) (7-43)2. 串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù) 1） 兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)的連接兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)的連接 圖圖7-11 串連環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)串連環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān) r*(t) Y(t) Y*(t)G1(s)G2(s)等價于下圖等價于下圖G1(s)G2(s) r*(t) r ( t ) Y*(t)Y(t) 圖圖7-12 等價開環(huán)離散系統(tǒng)等價開環(huán)離散系統(tǒng) 有有)()()(ZRZYZG)()(21sGsGz z (7-44) 將將

21、z z 記為記為G G1 1G G2 2(Z)(Z)()(21sGsG)(21ZGG)()(21sGsGz z (7-45)2) 串連環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)連接，且采樣開關(guān)都是同步采樣串連環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)連接，且采樣開關(guān)都是同步采樣，如圖，如圖G1(s)G2(s) r*(t) r ( t ) Y*(t)Y(t) Y1*(t) 圖圖7-13 串連環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)串連環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān))()()(11ZRZYZG)(1SGz z )()()(12ZYZYZG)(2SGz z 所以所以 )()()()()(21ZGZGZRZYZG(7-46) 3. 帶零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)帶零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)

22、的脈沖傳遞函數(shù)G1(s)seTS1 r*(t) r ( t ) Y*(t)Y(t) 圖圖7-7-14 14 帶零階保持器開環(huán)離散系統(tǒng)帶零階保持器開環(huán)離散系統(tǒng)由脈沖傳遞函數(shù)的定義有由脈沖傳遞函數(shù)的定義有G(Z) =G(Z) =z z )(11sGseTS= z z )()(111sGsesGsTS(7-47)()1 ()(11ZGZZG即即(7-48)4.4.閉環(huán)離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) G1(s)G2(s)H(s)r(t)r(t) e(t)e(t) e e* *(t)(t) d(t)d(t) b(t)b(t) Y Y* *(t)(t)Y(tY(t) )-+ 圖圖

23、7-15 帶干擾的閉環(huán)線性離散控制系統(tǒng)帶干擾的閉環(huán)線性離散控制系統(tǒng)假定假定d(t)=0,得到如圖得到如圖7-24所示的結(jié)構(gòu)圖所示的結(jié)構(gòu)圖G1(s)G2(s)H(s)r(t)r(t) e e* *(t)(t) Y Y* *(t)(t)Y(tY(t) ) 圖圖7-16 線性閉環(huán)離散控制系統(tǒng)線性閉環(huán)離散控制系統(tǒng) 根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義可知根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義可知)()()(21ZEZGGZY(7-49)()()(ZBZRZE(7-50)()()(21ZEZHGGZB(7-51)將（將（7-72）代入（）代入（7-71），有），有)()()()(21ZEZHGGZRZE(7-52)()(11)(21

24、ZRZHGGZE于是得到：于是得到： (7-53)定義誤差脈沖傳遞函數(shù)定義誤差脈沖傳遞函數(shù)Ge(Z)為為)(11)()()(21ZHGGZRZEZGe(7-54)將式（將式（7-54）代入式（）代入式（7-49），有），有)()(1)()(2121ZRZHGGZGGZY(7-55)于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)GB(Z)為為)(1)()()()(2121ZHGGZGGZRZYZGB(7-56)7.6.1 線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 7.6.2 離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應7.6.3 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差離散控制系統(tǒng)的

25、穩(wěn)態(tài)誤差7.6.1 線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，如圖線性離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，如圖7-17所示所示 G（s） r(t) y* (t) y (t)_ 圖圖7-17 線性離散控制系統(tǒng)線性離散控制系統(tǒng)可求得為：可求得為： GB（Z）= )(1)(ZGZG(7-57)則線性離散控制系統(tǒng)的特征方程為則線性離散控制系統(tǒng)的特征方程為 1+G(Z)=0 (7-58)考察下式考察下式 Z = eTs (7-59)假定在假定在s平面上任有一點平面上任有一點 s=+j +j (7-60)則通過則通過Z變換，映射到變換，映射到Z平面為平面為 Z= eT .ej T (7-

26、61) 當當=0，即即s平面的虛軸，對應平面的虛軸，對應Z平面的單位圓。平面的單位圓。 當當0，.即右半即右半s平面對應平面對應Z平面的單位圓外部區(qū)域平面的單位圓外部區(qū)域，也即，也即s平面不穩(wěn)定域映射到平面不穩(wěn)定域映射到Z平面單位圓外的部分為不平面單位圓外的部分為不穩(wěn)定域。上面映射關(guān)系如圖穩(wěn)定域。上面映射關(guān)系如圖7-31所示。所示。 線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：線性離散線性離散閉環(huán)控制系統(tǒng)特征方程（閉環(huán)控制系統(tǒng)特征方程（7-58）的根的模小于）的根的模小于1，則線性，則線性離散控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。離散控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 Re Re Im Im 圖圖

27、7-18 s平面到平面到Z平面映射平面映射7.6.2 離散控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應 閉環(huán)零極點與瞬態(tài)響應的關(guān)系閉環(huán)零極點與瞬態(tài)響應的關(guān)系: 通常離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可表示為如下通常離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可表示為如下形式形式 GB(Z)=K =K )()(zQzPnkkimiPzzz11)()(7-62) 當系統(tǒng)輸入為單位階躍時，其系統(tǒng)輸出當系統(tǒng)輸入為單位階躍時，其系統(tǒng)輸出Y（Z）為為Y(Z)=K nkkimiPzzz11)()(1zz(7-62)展開成部分分式，有展開成部分分式，有Y(Z)=K + ) 1 () 1 (QP1zznkkkPzzC1(7-63).(7-64)式中式中C

28、k= K )() 1()(.kkkpQPPP閉環(huán)極點對系統(tǒng)瞬態(tài)響應的影響閉環(huán)極點對系統(tǒng)瞬態(tài)響應的影響 1) Pk為正實根，對應的瞬態(tài)分量為正實根，對應的瞬態(tài)分量Yk(nt)= Z Z 1 =CkPknkkPzzC令令Pk=e aT , a= lnPk 則則T1yk(nT) = Cke anT (7-65) 若若Pk=1，即閉環(huán)極點位于右半即閉環(huán)極點位于右半Z平面上圓周上，閉環(huán)平面上圓周上，閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)響應為等幅脈沖。系統(tǒng)瞬態(tài)響應為等幅脈沖。 若若Pk1 , 則閉環(huán)極點位于單位圓內(nèi)，此時則閉環(huán)極點位于單位圓內(nèi)，此時a 1，閉環(huán)極點位于單位圓外，此時閉環(huán)極點位于單位圓外，此時a0, 則輸出則輸出響

29、應呈指數(shù)響應呈指數(shù)z增加狀。增加狀。2) 2) 當當Pk為負實根，則對應的瞬態(tài)分量為為負實根，則對應的瞬態(tài)分量為 yk(nT) = CkPkn (7-66) 若若Pk= -1,輸出響應分量輸出響應分量Yk（nT）對應圖對應圖7-39中中d點波點波形，呈等幅跳躍輸出。形，呈等幅跳躍輸出。 若若|Pk|1，輸出響應分量輸出響應分量Yk（nT）對應圖對應圖7-39中中d點波點波形，呈發(fā)散跳躍變化。形，呈發(fā)散跳躍變化。 3) 當當Pk,Pk+1為一對共軛復根時為一對共軛復根時,為為Pk= Pk+1= kjkePkjkeP(7-67)此時此時,Ck,Ck+1也為一對共軛復數(shù)也為一對共軛復數(shù)Ck= Ck+

30、1= kjkePkjkeP(7-68)則它們對應的瞬態(tài)分量則它們對應的瞬態(tài)分量Yk,k+1（nT）為為 yk,k+1(nT)= + = 2 )(kknjnkkePC)(kknjnkkePC)cos(kknkknPC(7-69) 若若|Pk|1，則對應的瞬態(tài)響應分量為發(fā)散正弦振蕩，對則對應的瞬態(tài)響應分量為發(fā)散正弦振蕩，對應圖應圖7-40中中b點對應的波形。點對應的波形。Im Re xb xb xa xa 圖圖7-19 閉環(huán)實極點分布與相應瞬態(tài)響應閉環(huán)實極點分布與相應瞬態(tài)響應7.6.3 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 對于如圖對于如圖7-20所示的單位反饋的閉環(huán)離散系統(tǒng)的誤差脈所示的單位反饋的閉環(huán)離散系統(tǒng)

31、的誤差脈沖傳遞函數(shù)沖傳遞函數(shù)Ge（Z）為為G（s） r(t) y (t)e*(t) -Ge(Z )= )(11zG(7-70)圖圖7-20 單位反饋閉環(huán)離散系統(tǒng)單位反饋閉環(huán)離散系統(tǒng)所以所以 E(Z )= R(Z) )(11zG由終值定理，有由終值定理，有 )(1)() 1(lim)(1zGzRzez(7-71)(7-72)與連續(xù)系統(tǒng)類似，根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)在與連續(xù)系統(tǒng)類似，根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)在Z=1的極點的極點的個數(shù)而分為的個數(shù)而分為0型、型、1型、型、2型型系統(tǒng)。系統(tǒng)。 7.7.1 無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的 7.7.2 G(z)具有單位圓上和單位圓外零極具有單

32、位圓上和單位圓外零極 點的情況，數(shù)字控制器的設(shè)計點的情況，數(shù)字控制器的設(shè)計 7.7.3 無紋波無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè)無紋波無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè) 設(shè)計設(shè)計D(z)G(z)7.7.1 無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè)計 R(t) Y(t)-圖圖7-21 數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對于如圖對于如圖7-21所示的系統(tǒng)、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可求得為所示的系統(tǒng)、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可求得為 G B(z) = )()(1)()(zGzDzGzD(7-73)D(z)= )(1)()(zGzGzGBB(7-74) 設(shè)計出的數(shù)字控制器設(shè)計出的數(shù)字控制器D(z)，還必須滿足物理可實現(xiàn)條還必須滿足物理可實現(xiàn)條件：數(shù)字控制

33、器件：數(shù)字控制器D(z)分子多項式的階次不得大于分母多項分子多項式的階次不得大于分母多項式的階次；式的階次；D(z)沒有單位圓上（除有一個沒有單位圓上（除有一個z=1的極點外）和的極點外）和單位圓外的極點。單位圓外的極點。設(shè)給定系統(tǒng)輸入為設(shè)給定系統(tǒng)輸入為 r(t)= t p (7-75)則其則其z變換表達式為變換表達式為 R(t)= rzzA)1 ()(11(7-76) 式中式中r=p+1，且且A(z -1)為為z -1的多項式，沒有的多項式，沒有z=1的零點。的零點。系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù) Ge(z)與閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)與閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)GB(z)存存在以下關(guān)系在以下關(guān)系:

34、: Ge(z)=1 - GB(z) (7-77)E(z)=1 - GB(z) R(z) (7-78)根據(jù)終值定理根據(jù)終值定理 e ()= (1-z 1) 1 - GB(z) 1limzrzzA)1 ()(11(7-79)為使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，可令為使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，可令 1 - GB(z) =(1-z 1)r F(z 1) (7-80)式中式中F(z 1)在在z=1處無零點處無零點 GB(z) =1 - (1-z 1)r F(z 1) = = rrrzzFzz)() 1(1rBzzP)(7-81)111 z1z)1)(11 zzGz211)1 ( zTz212 zz2211)1)()2(

35、zzGzz31112)1 ()1 (zzzT32133zzz31321)1)(33zzGzzz典型輸入閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)數(shù)字控制器D(z)最 少 拍（T） 1(t) 1T t 2T t2 3T表表7-2 無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)設(shè)計結(jié)果無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)設(shè)計結(jié)果 7.7.2 G(z)具有單位圓上和單位圓外零極點時數(shù)字控制器 的設(shè)計(7-82) 當開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)當開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)有單位圓上或單位圓外零有單位圓上或單位圓外零點時，由式點時，由式 D(z)= )()()(zGzGzGeB 可知它必將成為數(shù)字控制器的極點，可知它必將成為數(shù)字控制器的極點，D(Z)將不穩(wěn)定，將不穩(wěn)定，其物理實現(xiàn)不可

36、能其物理實現(xiàn)不可能。 為此，令為此，令G GB B(z)(z)包含包含z z 11因子因子GB(z)包含開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)包含開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)在單位圓上和單位圓外的在單位圓上和單位圓外的零點。零點。 Ge(z)包含開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)包含開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)在單位圓上和單位圓外的在單位圓上和單位圓外的極點。極點。由關(guān)系式由關(guān)系式GB(z)=1- Ge(z)，求解有關(guān)待定系數(shù)，最后選定求解有關(guān)待定系數(shù)，最后選定GB(z)和和Ge(z)。7.7.3 無紋波無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的設(shè)計 波紋即系統(tǒng)輸出在采樣時刻已達到穩(wěn)態(tài)，而在兩個采樣波紋即系統(tǒng)輸出在采樣時刻已達到穩(wěn)態(tài)，而在兩個采樣時刻間輸出在變化，如圖時刻間輸出在變化，如圖7-22所示所示0 T 2T 3T 4T t y(t) 圖圖7-22 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出如如 :系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為圖7-23所示所示)(zDseTs1) 1(10ss E1(z) E2(z)r(t) y(t) 圖圖7-23 一個實際的數(shù)字控制系統(tǒng)一個實際的數(shù)字控制系統(tǒng)G(z)= )368. 01)(1