高中數(shù)學(xué)課件精選--隨機(jī)變量的均值

1、高中數(shù)學(xué)課件精選-隨機(jī)變量的均值離散型隨機(jī)變量的均值離散型隨機(jī)變量的均值第一課時(shí)第一課時(shí)問(wèn)題：某人射擊問(wèn)題：某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所得的平均環(huán)數(shù)；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？是多少？2104332221111 X把環(huán)數(shù)看成隨機(jī)變量的概率分布列：把環(huán)數(shù)看成隨機(jī)變量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041 X權(quán)數(shù)權(quán)數(shù)加權(quán)平均加權(quán)平均 X P 一般地,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為ip2x2pnpix1x1pnx 則稱(chēng) 為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱(chēng)為期望（Mathemati

2、cal expectation）. 1122()iinnE Xx px px px p它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平平均水平.隨機(jī)變量的均值與樣本均值的區(qū)別與聯(lián)系？隨機(jī)變量的均值與樣本的隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值有何區(qū)別和聯(lián)系平均值有何區(qū)別和聯(lián)系隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，而樣本的平均值隨隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，而樣本的平均值隨 著樣本的不同而變化，因而樣本的平均值是著樣本的不同而變化，因而樣本的平均值是 隨機(jī)變量；隨機(jī)變量；對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加， 樣本的平均值越來(lái)越接近總體的平均值，因樣本的平均值越來(lái)越接近總體的平均值，因 此，我們常用樣

3、本的平均值來(lái)估計(jì)總體的平此，我們常用樣本的平均值來(lái)估計(jì)總體的平 均值。均值。例題例題1 隨機(jī)拋擲一個(gè)均勻的骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)隨機(jī)拋擲一個(gè)均勻的骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)X的期望的期望. X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：隨機(jī)變量X的取值為1，2，3，4，5，6其分布列為所以隨機(jī)變量X的均值為E(X)=1 1/6+2 1/6+31/6+4 1/6+5 1/6+6 1/6=3.5你能理解3.5的含義嗎？變式：將所得點(diǎn)數(shù)的變式：將所得點(diǎn)數(shù)的2倍加倍加1作為得分?jǐn)?shù)，作為得分?jǐn)?shù)， 即即Y=2X+1，試求，試求Y的的期望？期望？例題例題1隨機(jī)拋擲一個(gè)均勻的骰

4、子，求所得骰子隨機(jī)拋擲一個(gè)均勻的骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)的點(diǎn)數(shù)X的期望的期望 Y 3 5 7 9 11 13 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：隨機(jī)變量X的取值為1，2，3，4，5，6其分布列為所以隨機(jī)變量Y的均值為 E(Y) =3 1/6+5 1/6+71/6+9 1/6+11 1/6+13 1/6=8=2E(X)+1設(shè)設(shè)X X為為離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量，若若Y Y= =a aX X+ +b b, ,其其中中a a, ,b b為為常常數(shù)數(shù)，則則E E( (Y Y) )= = ? ? X P ()(),1,2,3iiP YaxbP Xxin而解：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率

5、分布為ip2x2pnpix1x1pnx所以Y的分布列為 Y P ip2axb 2pnpiaxb 1axb 1pnaxb 1122( ) ()()()nnEYaxb paxb paxb p1122()nna x px px p12()nb ppp()aE Xb若若Y Y= =a aX X+ +b b, ,則則E E( (Y Y）= =a aE E( (X X) )+ +b b線線性性性性質(zhì)質(zhì)離散型隨機(jī)變量均值的線性性質(zhì)離散型隨機(jī)變量均值的線性性質(zhì)()()E aXbaE Xb1、隨機(jī)變量的分布列是135P0.50.30.2(1)則E= . 2、隨機(jī)變量的分布列是2.4(2)若=2+1，則E= .

6、5.847910P0.3ab0.2E=7.5,則a= b= .0.40.13、E(-E)的值是_0解:X X的分布列為 所以 E(X)0P(X0)1P(X1)00.1510.850.85例題2籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分已知姚明目前罰球命中的概率為0.85，求他罰球1次的得分 X X 的均值？ X 0 1 P 0.15 0.85解:X的分布列為 所以 E(X)0P(X0)1P(X1)00.1510.850.85例題2 X 0 1 P 0.15 0.85P1-PP1-PP籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分已知姚明目前罰球命中的概率為0.85，求他罰球1次的得

7、分X的均值？例題2變式：若姚明在某次比賽中罰球n次， 求他罰球的得分X的均值？若XB(1，0.85), 則E(X)=0.85若XB(n，0.85), 則E(X)=?你能猜想出結(jié)果嗎?籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分已知姚明目前罰球命中的概率為0.85，求他罰球1次的得分X的均值？ 求證： 若XB(n，p)， 則E(X)= npE(X) =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0P(X=k)= Cnkpkqn-k證明：=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q

8、(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0) X 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0( k Cnk =n Cn-1k-1)= np(p+q)n-1=np()()E aXbaE Xb(1)線性性質(zhì)線性性質(zhì) 若XB(n，p)， 則E(X)= np(2)兩點(diǎn)分布的均值兩點(diǎn)分布的均值(3)二項(xiàng)分布的均值二項(xiàng)分布的均值 若XB(1，p)， 則E(X)= p離散型隨機(jī)變量均值的定義離散型隨機(jī)變量均值的定義 X P 一般地,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為ip2x2pnpix1x1pnx 則稱(chēng) 為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱(chēng)為期

9、望。 1122()iinnE Xx px px px p小 結(jié)離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)()()E aXbaE Xb(1)隨機(jī)變量均值的線性性質(zhì) 若XB(n，p)， 則E(X)= np(2)服從兩點(diǎn)分布的均值(3)服從二項(xiàng)分布的均值 若XB(1，p)， 則E(X)= p歸納求離散型隨機(jī)變量均值的步驟歸納求離散型隨機(jī)變量均值的步驟確定所有可能取值；確定所有可能取值；寫(xiě)出分布列；寫(xiě)出分布列；求出均值求出均值離散型隨機(jī)變量的均值離散型隨機(jī)變量的均值第二課時(shí)第二課時(shí)溫故而知新1、離散型隨機(jī)變量 X 的均值（數(shù)學(xué)期望）1niiiEXx p2、均值的線性性質(zhì)()E aXbaE Xb（

10、 ）3、兩種特殊分布的均值（1）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E Xp（ ）（2）若 ，則( , )XB n pE Xnp（ ）反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.課前熱身11 ( ,), ( , ),(21)31,(2) .23B nB nEE已知且則8從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù).(1)求X的分布列;(2)求X的數(shù)學(xué)期望;(3) 求“所選3人中女生人數(shù)X1”的概率.例題1(2009上海理，7)某學(xué)校要從5名男生和2名女生 中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量 表示選出的志愿者中女生的人數(shù),則數(shù)學(xué)期望 E()=_(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)

11、. 解析 的可能取值為0,1,2,.7422111211002110)(,211CC)2(,2110CCC) 1(,2110CC)0(27222712152725EPPP74一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由2020個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有擇題有4 4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得答案，每題選擇正確答案得5 5分，不作出選擇或分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分選錯(cuò)不得分，滿分100100分。學(xué)生甲選對(duì)任一題的分。學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為概率為0.90.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從4

12、 4個(gè)個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值。這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值。例題2解： 設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中選擇了正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是X和Y，則 XB(20，0.9)， YB(20，0.25)，E(X)200.918，E(Y)200.255由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5X和5Y。所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值分別是E(5X)5EX51890，E(5Y)5EY5525 不一定不一定, ,其含義是在多次類(lèi)似的測(cè)試中其含義是在多次類(lèi)似的測(cè)試中, ,他的平均成他的平均成績(jī)大約

13、是績(jī)大約是9090分分思考思考: :學(xué)生甲在這次測(cè)試中的成績(jī)一定會(huì)是學(xué)生甲在這次測(cè)試中的成績(jī)一定會(huì)是9090分嗎分嗎? ?他的他的均值為均值為9090分的含義是什么分的含義是什么? ?例例3 3 （決策問(wèn)題）（決策問(wèn)題）解解: :因?yàn)樯虉?chǎng)內(nèi)的促銷(xiāo)活動(dòng)可獲效益因?yàn)樯虉?chǎng)內(nèi)的促銷(xiāo)活動(dòng)可獲效益2 2萬(wàn)元萬(wàn)元設(shè)商場(chǎng)外的促銷(xiāo)活動(dòng)可獲效益設(shè)商場(chǎng)外的促銷(xiāo)活動(dòng)可獲效益 萬(wàn)元萬(wàn)元, ,則則 的分布列的分布列P 10 40.6 0.4所以所以E =10 0.6(-4) 0.4=4.4因?yàn)橐驗(yàn)?.42,所以商場(chǎng)應(yīng)選擇在商場(chǎng)外進(jìn)行促銷(xiāo)所以商場(chǎng)應(yīng)選擇在商場(chǎng)外進(jìn)行促銷(xiāo). .統(tǒng)計(jì)資料表明，每年端午節(jié)商場(chǎng)內(nèi)促銷(xiāo)活動(dòng)可獲利2萬(wàn)元

14、；商場(chǎng)外促銷(xiāo)活動(dòng)如不遇下雨可獲利10萬(wàn)元；如遇下雨可則損失4萬(wàn)元。6月19日氣象預(yù)報(bào)端午節(jié)下雨的概率為40%，商場(chǎng)應(yīng)選擇哪種促銷(xiāo)方式？12人壽保險(xiǎn)中（某一年齡段），在一年的保險(xiǎn)期內(nèi)，每個(gè)被保險(xiǎn)人需繳納保險(xiǎn)費(fèi)a元，被保險(xiǎn)人意外死亡則保險(xiǎn)公司賠付3萬(wàn)元，出現(xiàn)非意外死亡，則賠付1萬(wàn)元，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，此年齡段一年內(nèi)意外死亡的概率是p ,非意外死亡的概率為p ,則a滿足什么條件，保險(xiǎn)公司才能盈利？高考練兵高考練兵1122()iinnE Xx px px px p小 結(jié)1. 離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)()()E aXbaE Xb若XB(n，p)， 則E(X)= np若XB(1，p)， 則E(X)= p2. 求離散型隨機(jī)變量均值的步驟求離散型隨機(jī)變量均值的步驟確定所有可能取值；確定所有可能取值；寫(xiě)出分布列；寫(xiě)出分布列；求出均值求出均值彩球游戲準(zhǔn)備一個(gè)布袋，內(nèi)裝彩球游戲準(zhǔn)備一個(gè)布袋，內(nèi)裝6 6個(gè)紅球與個(gè)紅球與6 6個(gè)白球，除顏色個(gè)白