例1已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x

1、例1函數(shù)fx對任意實數(shù)x、y均有fxyfxfy，且當(dāng)x0時，f(x)0，f(1) 2求f(x)在區(qū)間2,1上的值域.分析：先證明函數(shù)fx在R上是增函數(shù)注意到fx2fx2x1x1fx2x1fx1；再根據(jù)區(qū)間求其值域.例2函數(shù)fx對任意實數(shù)x、y均有fxy2fxfy，且當(dāng)x0時，f(x)2，f(3) 5，求不等式 fa22a23的解.分析：先證明函數(shù)fx在R上是增函數(shù)仿例1；再求出f13；最后脫去函數(shù)符號.例3函數(shù)fx對任意實數(shù)x、y都有fxyfxfy，且f11，f279，當(dāng)0 x1時，fx0，1.判斷fx的奇偶性；判斷fx在0，上的單調(diào)性，并給出證明；假設(shè)a0且fa1 SKIPIF 1 0 ，求

2、a的取值范圍.分析：1令y1； 2利用fx1f SKIPIF 1 0 x2f SKIPIF 1 0,xN；fab fafb，a、bN；f24.同時成立？假設(shè)存在，求出fx的解析式，假設(shè)不存在，說明理由.分析：先猜出fx2x；再用數(shù)學(xué)歸納法證明.例6設(shè)fx是定義在0，上的單調(diào)增函數(shù)，滿足fxyfxfy，f31，求：f1；假設(shè)fxfx82，求x的取值范圍.分析：1利用313；2利用函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)系式.例7設(shè)函數(shù)y fx的反函數(shù)是ygx.如果fabfafb，那么gabgagb是否正確，試說明理由.分析：設(shè)fam，fbn，那么gma，gnb，進(jìn)而mnfafb fabf gmgn.例8函數(shù)fx的定義域

3、關(guān)于原點對稱，且滿足以下三個條件：x1、x2是定義域中的數(shù)時，有fx1x2 SKIPIF 1 0 ；fa 1a0，a是定義域中的一個數(shù)；當(dāng)0 x2a時，fx0. 試問：fx的奇偶性如何？說明理由；在0，4a上，fx的單調(diào)性如何？說明理由. 分析：1利用f x1x2 f x1x2，判定fx是奇函數(shù)；先證明fx在0，2a上是增函數(shù)，再證明其在2a，4a上也是增函數(shù). 對于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數(shù)問題，對應(yīng)的特殊模型不是我們熟悉的根本初等函數(shù).因此，針對不同的函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數(shù)問題. 例9函數(shù)fxx0滿

4、足fxyfxfy，求證：f1f10；求證：fx為偶函數(shù)；假設(shè)fx在0，上是增函數(shù)，解不等式fxfx SKIPIF 1 0 0.分析：函數(shù)模型為：fxloga|x|a0先令xy1，再令xy 1；令y 1；由fx為偶函數(shù)，那么fxf|x|.例10函數(shù)fx對一切實數(shù)x、y滿足f00，fxyfxfy，且當(dāng)x0時，fx1，求證：當(dāng)x0時，0fx1；fx在xR上是減函數(shù).分析：1先令xy0得f01，再令yx；受指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的啟發(fā)：由fxyfxfy可得fxy SKIPIF 1 0 ，進(jìn)而由x1x2，有 SKIPIF 1 0 fx1x21.練習(xí)題：1.：fxyfxfy對任意實數(shù)x、y都成立，那么 Af00

5、Bf01 Cf00或1 D以上都不對2. 假設(shè)對任意實數(shù)x、y總有fxyfxfy，那么以下各式中錯誤的選項是 Af10 Bf SKIPIF 1 0 fx Cf SKIPIF 1 0 fxfy DfxnnfxnN3.函數(shù)fx對一切實數(shù)x、y滿足：f00，fxyfxfy，且當(dāng)x0時，fx1，那么當(dāng)x0時，fx的取值范圍是 A1， B，1C0，1 D1，4.函數(shù)fx定義域關(guān)于原點對稱，且對定義域內(nèi)不同的x1、x2都有fx1x2 SKIPIF 1 0 ，那么fx為 A奇函數(shù)非偶函數(shù) B偶函數(shù)非奇函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù)5.不恒為零的函數(shù)fx對任意實數(shù)x、y滿足fxyfxy2fxfy，

6、那么函數(shù)fx是 A奇函數(shù)非偶函數(shù) B偶函數(shù)非奇函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù)參考答案：1A 2B 3 C 4A 5B10. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？ SKIPIF 1 0 義域是_。 SKIPIF 1 0 復(fù)合函數(shù)定義域的求法： SKIPIF 1 0 的定義域為 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的定義域，可由 SKIPIF 1 0 解出x的范圍，即為 SKIPIF 1 0 的定義域。例 假設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 0 的定義域為 SKIPIF 1 0 ，那么 SKIPIF 1 0 的定義域為 。分析：由函數(shù) SKIPIF 1 0 的定義域為 SKIPIF 1 0

7、可知： SKIPIF 1 0 ；所以 SKIPIF 1 0 中有 SKIPIF 1 0 。解：依題意知： SKIPIF 1 0 解之，得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 的定義域為 SKIPIF 1 0 11、函數(shù)值域的求法1、直接觀察法對于一些比擬簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例 求函數(shù)y= SKIPIF 1 0 的值域2、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最根本的方法之一。例、求函數(shù)y= SKIPIF 1 0 -2x+5，x SKIPIF 1 0 -1，2的值域。3、判別式法對二次函數(shù)或者分式函數(shù)分子或分母中有一個是二次都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進(jìn)行化簡，不必拘泥在

8、判別式上面下面，我把這一類型的詳細(xì)寫出來，希望大家能夠看懂 SKIPIF 1 0 4、反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例 求函數(shù)y= SKIPIF 1 0 值域。5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。例 求函數(shù)y= SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的值域。 SKIPIF 1 0 6、函數(shù)單調(diào)性法 通常和導(dǎo)數(shù)結(jié)合，是最近高考考的較多的一個內(nèi)容例求函數(shù)y= SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1

9、 0 2x10的值域7、換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例 求函數(shù)y=x+ SKIPIF 1 0 的值域。8 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目假設(shè)運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例：點Px.y在圓x2+y2=1上， SKIPIF 1 0 例求函數(shù)y= SKIPIF 1 0 + SKIPIF 1 0 的值域。解：原函數(shù)可化簡得：y=x-2+x+8 上式可以看成數(shù)軸上點Px到定點A2，B-8間

10、的距離之和。由上圖可知：當(dāng)點P在線段AB上時，y=x-2+x+8=AB=10當(dāng)點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，y=x-2+x+8AB=10故所求函數(shù)的值域為：10，+例求函數(shù)y= SKIPIF 1 0 + SKIPIF 1 0 的值域解：原函數(shù)可變形為：y= SKIPIF 1 0 + SKIPIF 1 0 上式可看成x軸上的點Px，0到兩定點A3，2，B-2，-1的距離之和，由圖可知當(dāng)點P為線段與x軸的交點時， y SKIPIF 1 0 =AB= SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 ，故所求函數(shù)的值域為 SKIPIF 1 0 ，+。注：求兩距離之和時，要將函數(shù) 9 、不等式法利用根本不等式a+b2 SKIPIF 1 0 ，a+b+c3 SKIPIF 1 0 a，b，c SKIPIF 1 0 ，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等