結(jié)構(gòu)力學(xué)課件6

1、第 六 章位 移 法Displacement method6-1、位移法的基本概念、位移法的基本概念 一、位移法的提出一、位移法的提出 從理論上講，用力法可以分析各種（所有）從理論上講，用力法可以分析各種（所有）超靜定結(jié)構(gòu)。困難是當(dāng)未知量較多時(shí)，力法方超靜定結(jié)構(gòu)。困難是當(dāng)未知量較多時(shí)，力法方程不易求解。這個(gè)困難對于計(jì)算工具落后（無程不易求解。這個(gè)困難對于計(jì)算工具落后（無電子計(jì)算機(jī)）的年代，是一個(gè)很難解決的問題。電子計(jì)算機(jī)）的年代，是一個(gè)很難解決的問題。 上世紀(jì)初，在力法的基礎(chǔ)上提出了位移法，上世紀(jì)初，在力法的基礎(chǔ)上提出了位移法，位移法最主要的研究對象是高次超靜定剛架位移法最主要的研究對象是高次

2、超靜定剛架（多層多跨剛架）。（多層多跨剛架）。 基本設(shè)想：基本設(shè)想：幾何不變體系在一定外因（荷載、支移、幾何不變體系在一定外因（荷載、支移、溫改等）作用下，內(nèi)力（反力）與變形之間恒有一定關(guān)系。溫改等）作用下，內(nèi)力（反力）與變形之間恒有一定關(guān)系。DABCFPDABCFPCCDDCD確定的內(nèi)力確定的內(nèi)力 確定的位移確定的位移對應(yīng)對應(yīng) 位移法位移法：先確定結(jié)構(gòu)的某些結(jié)點(diǎn)位移，再據(jù)此確定其先確定結(jié)構(gòu)的某些結(jié)點(diǎn)位移，再據(jù)此確定其內(nèi)力?；疚粗繛榻Y(jié)點(diǎn)位移。內(nèi)力。基本未知量為結(jié)點(diǎn)位移。CB二、基本思路二、基本思路EI=常數(shù)常數(shù)FPl/2l/2lCABABB3BABEIMlFPCBCBFP8lFP8lFP4

3、BEIl2BEIl=+BBB48PBCBF lEIMlBBAMBCMMB=0 MBA+M BC =0分析上圖所示剛架分析上圖所示剛架 剛架在荷載作用下，發(fā)生黃線所示變形。剛架在荷載作用下，發(fā)生黃線所示變形。 其中，固端其中，固端C，無任何位移；鉸支端，無任何位移；鉸支端A，無線位移，無線位移，只有鉸位移；結(jié)點(diǎn)只有鉸位移；結(jié)點(diǎn)B，為剛結(jié)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)為剛結(jié)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)B結(jié)點(diǎn)的兩桿桿端結(jié)點(diǎn)的兩桿桿端有相同的轉(zhuǎn)角有相同的轉(zhuǎn)角B B，忽略軸向變形，認(rèn)為無線位移。忽略軸向變形，認(rèn)為無線位移。 討論討論：如何確定每根桿件的內(nèi)力？：如何確定每根桿件的內(nèi)力？ AB桿：桿：可視為一端鉸支，一端剛結(jié)的梁，在可視為一端鉸支，

4、一端剛結(jié)的梁，在B端發(fā)端發(fā)生桿端轉(zhuǎn)角生桿端轉(zhuǎn)角B B 桿端彎矩：桿端彎矩： MBA=3EIB B /l (a) （桿端彎矩對桿端順時(shí)針為正）（桿端彎矩對桿端順時(shí)針為正） BC桿：桿：可將其視為兩端剛結(jié)的梁，其上承受豎向可將其視為兩端剛結(jié)的梁，其上承受豎向荷載荷載FP ，同時(shí)在，同時(shí)在B 端發(fā)生轉(zhuǎn)端發(fā)生轉(zhuǎn)B B。 其桿端彎矩可由兩部分疊加而成：其桿端彎矩可由兩部分疊加而成： M BC= -FPl /8+4EIB B /l (b) 同理：同理： MCB = +FPl/8+2EIB B /l 由由（a）、（）、（b）式可見，如式可見，如B B已知，則：已知，則： MBA、 M BC 、MCB即可知，

5、整個(gè)剛架的彎矩圖即可畫出。即可知，整個(gè)剛架的彎矩圖即可畫出。 因此，以因此，以B B為基本未知量，并設(shè)法求出，則各桿為基本未知量，并設(shè)法求出，則各桿內(nèi)力均可定出。內(nèi)力均可定出。 由平衡條件：由平衡條件： 剛結(jié)點(diǎn)剛結(jié)點(diǎn)B處，桿端彎矩應(yīng)滿足平衡條件處，桿端彎矩應(yīng)滿足平衡條件 MB=0 MBA+M BC =0 3EIB B /l FPl /8+4EIB B /l =0 (c) 7EIB B /l FPl /8 =0 B B=FPl2/56EI 將將B B代入代入(a) (b)式式,則則: MBA= 3EI/l FPl2/56EI = +3FPl/56 M BC=-FPl/8+4EI/l FPl2/5

6、6EI = - 3FPl/56 MCB=+FPl/8+2EI/L FPl2/56EI = +9FPl/56彎矩圖如下圖所示彎矩圖如下圖所示:3FPl/569FPl/56FP l /4MBA= +3FPl/56MBC= - 3FPl/56MCB= +9FPl/56由簡例可見位移法的基本思路由簡例可見位移法的基本思路: (1)、根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何條件、根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何條件(包括變形連續(xù)條件和邊包括變形連續(xù)條件和邊界支承條件界支承條件)確定某些結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。確定某些結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。 (2)、把每根桿件視為單跨超靜定桿、把每根桿件視為單跨超靜定桿,建立其桿端內(nèi)建立其桿端內(nèi)力與桿端位移之間的

7、關(guān)系。力與桿端位移之間的關(guān)系。 (3)、根據(jù)平衡條件求解結(jié)點(diǎn)位移。、根據(jù)平衡條件求解結(jié)點(diǎn)位移。 (4)、結(jié)點(diǎn)位移代入桿端內(nèi)力公式解出最后內(nèi)力。、結(jié)點(diǎn)位移代入桿端內(nèi)力公式解出最后內(nèi)力。整體結(jié)構(gòu)整體結(jié)構(gòu)（變形協(xié)調(diào)）（變形協(xié)調(diào)）拆拆搭搭(還原還原)原結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)若干根桿件若干根桿件（平衡條件）（平衡條件）三、需解決的問題三、需解決的問題 1、單跨（超靜定）桿件在桿端發(fā)生各種、單跨（超靜定）桿件在桿端發(fā)生各種位移作用下的桿端力，以及單跨桿在各種外因位移作用下的桿端力，以及單跨桿在各種外因（包括荷載等因素）作用下的桿端力。（包括荷載等因素）作用下的桿端力。 2、討論結(jié)構(gòu)上的哪些結(jié)點(diǎn)位移作為基本、討論結(jié)構(gòu)上

8、的哪些結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。未知量。 3、位移法方程的建立及其求解。、位移法方程的建立及其求解。 6-2 等截面直桿的剛度方程等截面直桿的剛度方程 在各類結(jié)構(gòu)中，常可發(fā)現(xiàn)如下幾種類型的單跨桿。在各類結(jié)構(gòu)中，?？砂l(fā)現(xiàn)如下幾種類型的單跨桿。 因?yàn)槭菑慕Y(jié)構(gòu)中取出來的，桿件兩端并不一定是真正因?yàn)槭菑慕Y(jié)構(gòu)中取出來的，桿件兩端并不一定是真正的固定端、鉸支端、滑動端、的固定端、鉸支端、滑動端、，各桿端都可能有線位移，各桿端都可能有線位移和角位移。和角位移。 本教材采用本教材采用a)圖模型代替上圖所述各單跨桿圖模型代替上圖所述各單跨桿件，有普遍性。件，有普遍性。 梁的兩端均為從結(jié)構(gòu)梁的兩端均為從結(jié)構(gòu)(梁、剛

9、架）中截出的。梁、剛架）中截出的。b)圖與圖與a)圖相互可替代。圖相互可替代。（參考分段疊加法）（參考分段疊加法）a)EI，lb)EI，llEIABABMABFQABMBAFQBA 一、由桿端位移引起的桿端力一、由桿端位移引起的桿端力 1 、桿端力和桿端位移的正負(fù)號規(guī)定、桿端力和桿端位移的正負(fù)號規(guī)定 （1）、桿端轉(zhuǎn)角）、桿端轉(zhuǎn)角A 、 B ，弦轉(zhuǎn)角，弦轉(zhuǎn)角 = /l均以順時(shí)均以順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動為正。針方向轉(zhuǎn)動為正。 （2）、桿端彎矩）、桿端彎矩MAB 、 MBA規(guī)定對桿端以順時(shí)針方規(guī)定對桿端以順時(shí)針方向?yàn)檎?。（對結(jié)點(diǎn)或支座，則以逆時(shí)針方向?yàn)檎Ｏ驗(yàn)檎?。（對結(jié)點(diǎn)或支座，則以逆時(shí)針方向?yàn)檎?（

10、3）、桿端剪力）、桿端剪力FQAB 、 FQBA的正方向規(guī)定同前。的正方向規(guī)定同前。lEIABABMABFQABMBAFQBAFPDBE= / l BECD= / l CD+- 注意：注意：桿端彎矩的正負(fù)號規(guī)則與通常關(guān)于桿端彎矩的正負(fù)號規(guī)則與通常關(guān)于彎矩的正負(fù)號規(guī)則不同。彎矩的正負(fù)號規(guī)則不同。 （1）、此處規(guī)則是針對桿端彎矩，而不是）、此處規(guī)則是針對桿端彎矩，而不是針對桿中任一截面的彎矩。針對桿中任一截面的彎矩。 （ 2 ） 、當(dāng)取桿件（或取結(jié)點(diǎn)）為隔離體、當(dāng)取桿件（或取結(jié)點(diǎn)）為隔離體時(shí)，桿端彎矩是隔離體上的外力，建立隔離體時(shí)，桿端彎矩是隔離體上的外力，建立隔離體平衡方程時(shí)，力矩一律以順時(shí)針（

11、或逆時(shí)針）平衡方程時(shí)，力矩一律以順時(shí)針（或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)向?yàn)檎?。轉(zhuǎn)向?yàn)檎?桿端彎矩有雙重身份：既是桿件的內(nèi)力又桿端彎矩有雙重身份：既是桿件的內(nèi)力又是隔離體外力。是隔離體外力。 因此，這里的規(guī)則是把桿端彎矩視為外力，因此，這里的規(guī)則是把桿端彎矩視為外力，為了便于建立平衡方程而規(guī)定的。為了便于建立平衡方程而規(guī)定的。MABMBAlEIBAA B由單位荷載法，得：由單位荷載法，得：BAABBBAABAMiMiMiMi31616131 其中其中 i=EI/l 為桿件線剛度。為桿件線剛度。二、由桿端位移求桿端力二、由桿端位移求桿端力 1、桿端轉(zhuǎn)角與桿端、桿端轉(zhuǎn)角與桿端彎矩之間的關(guān)系彎矩之間的關(guān)系lBAEIA

12、B2、桿端轉(zhuǎn)角與桿端相對線位移之間的關(guān)系、桿端轉(zhuǎn)角與桿端相對線位移之間的關(guān)系lBA3、考慮兩種因素、考慮兩種因素11361163AABBABABBAMMiilMMiil 解聯(lián)立方程，得解聯(lián)立方程，得liiiMliiiMBABABAAB642624（6-5）由平衡條件：由平衡條件：21266lililiFFBAQBAQAB（6-6）注：注： （8-5）（）（8-6）公式也可由力法公式也可由力法導(dǎo)出。上下兩圖導(dǎo)出。上下兩圖等效。等效。lEIABABMABFQABMBAFQBAlEIABABMABFQABMBAFQBA4、矩陣形式：、矩陣形式：BAQABBAABlilililiiiliiiFMM21

13、266642624（6-7）其中：其中：稱為彎曲桿件的剛度矩陣稱為彎曲桿件的剛度矩陣稱為彎曲桿件的剛度矩陣稱為彎曲桿件的剛度矩陣26426246612iiiliiiliiilll5、不同支座時(shí)的剛度方程、不同支座時(shí)的剛度方程 （桿件在一端具有不同支座時(shí)的剛度方程）（桿件在一端具有不同支座時(shí)的剛度方程）（1）B端為固定支座lABEIAMBAMABliiMliiMABAAAB6264(6-8)（2）B端為鉸支座端為鉸支座lABEIAMAB33ABAMiil（6-9）lABEIMBAMABAABAAABiMiM（6-10）（3）B端為定向支座端為定向支座三、由荷載求固端彎矩三、由荷載求固端彎矩 圖示

14、兩端固定圖示兩端固定梁承受荷載的情況。梁承受荷載的情況。 MFAB， MFBA 稱為稱為固端彎矩固端彎矩 。 FFQAB ， FFQBA 稱為稱為固端剪力固端剪力。 正負(fù)號規(guī)定同正負(fù)號規(guī)定同桿端力。桿端力。ABFPq(x)MFABMFBAFFQABFFQBA 根據(jù)荷載的不同，可用根據(jù)荷載的不同，可用力法計(jì)算出固端彎矩和固端力法計(jì)算出固端彎矩和固端剪力。剪力。 對于下列三種桿件：對于下列三種桿件： （1）兩端固定（剛結(jié)）的梁。）兩端固定（剛結(jié)）的梁。 （2）一端固定、另一端簡支的梁。）一端固定、另一端簡支的梁。 （3）一端固定、另一端滑動支承的梁。）一端固定、另一端滑動支承的梁。 表表8-1給出

15、了幾種常見荷載作用下個(gè)桿端彎矩和桿端剪給出了幾種常見荷載作用下個(gè)桿端彎矩和桿端剪力。由于它們是只與荷載形式有關(guān)的常數(shù)，所以又稱為載力。由于它們是只與荷載形式有關(guān)的常數(shù)，所以又稱為載常數(shù)。常數(shù)。 表中的桿端彎矩，固端剪力的正負(fù)號均按位移法正負(fù)表中的桿端彎矩，固端剪力的正負(fù)號均按位移法正負(fù)號規(guī)定給出。使用是應(yīng)注意彎矩的受拉方向。號規(guī)定給出。使用是應(yīng)注意彎矩的受拉方向。 各類桿件在各種荷載作用下桿端彎矩、固端剪力的計(jì)算，各類桿件在各種荷載作用下桿端彎矩、固端剪力的計(jì)算，均可應(yīng)用力法算出，在此不再討論，可自學(xué)。均可應(yīng)用力法算出，在此不再討論，可自學(xué)。 由于實(shí)際結(jié)構(gòu)中，各桿方向有所不同，不會與表中情況由

16、于實(shí)際結(jié)構(gòu)中，各桿方向有所不同，不會與表中情況完全一樣，在使用中應(yīng)具體情況，具體分析。完全一樣，在使用中應(yīng)具體情況，具體分析。四、等截面單跨超靜定梁的轉(zhuǎn)角位移方程四、等截面單跨超靜定梁的轉(zhuǎn)角位移方程 （1）、兩端固定梁 等截面兩端固定梁同時(shí)承受已知的桿端位移和荷載的作用，桿端彎矩的一般公式為：(6-12)(6-13)桿端剪力的一般公式為： 426246FABABABFBAABBAMiiiMlMiiiMl2266126612FQABABQABFQBAABQBAiiiFFllliiiFFlll (2)、一端剛結(jié)，一端鉸結(jié)223303333FABAABBAFQABAQABFQBAAQBAMiiMlM

17、iiFFlliiFFll (3)、一端剛結(jié)，一端滑動FABABABFBAABBAMiiMMiiM 6-3、 6-4 剛架的計(jì)算剛架的計(jì)算一、位移法基本未知量的確定一、位移法基本未知量的確定 上一節(jié)討論了桿端位移與桿端力之間的關(guān)上一節(jié)討論了桿端位移與桿端力之間的關(guān)系?？梢哉J(rèn)為：如果結(jié)構(gòu)上每根桿件的兩端的系。可以認(rèn)為：如果結(jié)構(gòu)上每根桿件的兩端的角位移和相對線位移成為已知，則由此可以得角位移和相對線位移成為已知，則由此可以得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的所有內(nèi)力。到整個(gè)結(jié)構(gòu)的所有內(nèi)力。 各桿件是由結(jié)點(diǎn)聯(lián)在一起的，桿端位移即各桿件是由結(jié)點(diǎn)聯(lián)在一起的，桿端位移即為結(jié)點(diǎn)位移。由此可知，位移法的基本未知量為結(jié)點(diǎn)位移。由此可知

18、，位移法的基本未知量是是剛結(jié)點(diǎn)的角位移剛結(jié)點(diǎn)的角位移和和結(jié)點(diǎn)線位移。結(jié)點(diǎn)線位移。1、變形假定（傳統(tǒng)）、變形假定（傳統(tǒng)） （1）、受彎直桿忽略軸向變形和剪切變）、受彎直桿忽略軸向變形和剪切變形的影響。形的影響。 （2）、受彎直桿彎曲變形是微小的（小）、受彎直桿彎曲變形是微小的（小變形）。變形）。 、假定彎曲后，桿端間距不變；、假定彎曲后，桿端間距不變； 、圓弧可用垂直于半徑的一小段直線、圓弧可用垂直于半徑的一小段直線代替。代替。彎曲變形是微小的。彎曲變形是微小的。FP1FP12 2、位移法的基本未知量、位移法的基本未知量 （1）、剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移。每個(gè)剛結(jié)）、剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移。每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)有一個(gè)獨(dú)立的

19、角位移未知量。點(diǎn)有一個(gè)獨(dú)立的角位移未知量。 （2）、獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移。）、獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移。 在傳統(tǒng)的位移法中，由于考慮了桿件在傳統(tǒng)的位移法中，由于考慮了桿件的變形假定，結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移的確定有一的變形假定，結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移的確定有一定的難度。定的難度。 、一般剛、一般剛架（簡單），可架（簡單），可直接觀察判斷。直接觀察判斷。判斷方法：判斷方法：n=n+n=2+1=3 、附加鏈桿法，由兩個(gè)已知不動點(diǎn)出發(fā)、附加鏈桿法，由兩個(gè)已知不動點(diǎn)出發(fā)（無線位移點(diǎn)），引出的兩個(gè)不平行的受彎直桿（無線位移點(diǎn)），引出的兩個(gè)不平行的受彎直桿的相交點(diǎn)也不動。的相交點(diǎn)也不動。 控制所有結(jié)點(diǎn)成為不動點(diǎn)，所需添加的最少控制所有

20、結(jié)點(diǎn)成為不動點(diǎn)，所需添加的最少鏈桿數(shù)鏈桿數(shù),則為獨(dú)立線位移的個(gè)數(shù)。則為獨(dú)立線位移的個(gè)數(shù)。ABCDEF原 結(jié) 構(gòu)ABCDEFn=n+n=2+1=3 、幾何法，把剛結(jié)、幾何法，把剛結(jié)點(diǎn)（包括固定端支座）變點(diǎn)（包括固定端支座）變成鉸結(jié)點(diǎn)，則此鉸結(jié)體系成鉸結(jié)點(diǎn)，則此鉸結(jié)體系的自由度數(shù)目即為原結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)目即為原結(jié)構(gòu)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的個(gè)數(shù)。獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的個(gè)數(shù)。（將此機(jī)構(gòu)變?yōu)閹缀尾蛔儯▽⒋藱C(jī)構(gòu)變?yōu)閹缀尾蛔凅w系，所需加上的最少鏈體系，所需加上的最少鏈桿數(shù)，即為獨(dú)立線位移的桿數(shù)，即為獨(dú)立線位移的個(gè)數(shù)。個(gè)數(shù)。) 因?yàn)椴豢紤]各桿因?yàn)椴豢紤]各桿長度的改變，所以結(jié)點(diǎn)長度的改變，所以結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移的個(gè)數(shù)，可獨(dú)立線位移

21、的個(gè)數(shù)，可以用幾何構(gòu)造分析方法以用幾何構(gòu)造分析方法得出。得出。n=n+n= 4+2=6舉例舉例： （1）、等高剛架。）、等高剛架。位移法：位移法： n=n+n=6+2=8。 位移法：位移法：n=n+n=7+3=10 。力法：力法： n=34=12 。力法：力法：n=34=12 。（2）、剛架有組合結(jié)點(diǎn)）、剛架有組合結(jié)點(diǎn)位移法：n=n+n=4+2=6力法：n=3+2=5 。組合結(jié)點(diǎn)組合結(jié)點(diǎn)（3）、剛架有剛性桿）、剛架有剛性桿(EI1=) n=n+n=0+1=1 (EI1) n=n+n=2+1=3 n=n+n=0+1=1(EA=)n=n+n=0+2=2(EA)（4）、有斜桿的剛架 n=n+n=2+

22、1=3 n=3+2=5 (0) n=2+1=3 (=0) （分析計(jì)算較麻煩）（5）、考慮受彎直桿的軸向變形，）、考慮受彎直桿的軸向變形， 考慮受彎曲桿的變形情況考慮受彎曲桿的變形情況 各桿各桿 EI=c ， EA=c n=n+n=2+4=6 各桿各桿EI=cn=n+n=2+2=4（6）、ABCD213n= n+n =2+1=3注意13，32桿（7）、剛架有內(nèi)力靜定的桿件）、剛架有內(nèi)力靜定的桿件ABCDEn= n+n =2+1=3ABDCEn= n+n =2+0=2（8）、用位移法計(jì)算桁架結(jié)構(gòu)n= n+n =0+5=5二、剛架的計(jì)算二、剛架的計(jì)算 （舉例說明）（舉例說明）1、無側(cè)移剛架、無側(cè)移剛

23、架123FPEI1aa/2a/2EI2=2EI1原結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)11 （1）、圖示剛架有一個(gè)基本未知量1。 （2）、利用桿端彎矩的一般公式（8-12）等，寫出各桿端彎矩的表達(dá)式。 桿桿13： M13=4i1313+2i1331 - 6i1313 /l+MF13 注意：注意： 13 = 1 ， 31=0， 13=0，MF13=0 M13=4i1 同理：同理：M31=2i 1令：令：EI1/a=i123FPEI1aa/2a/2EI2=2EI111桿桿12：M12=3i1212 - 3i1212 /l+MF12 M21=0 注意：注意： 12 = 1 ， 12=0MF12= - 3FP a /16 M1

24、2=32i1 3FP a / 161M13M12由結(jié)點(diǎn)由結(jié)點(diǎn)1的力矩平衡條件的力矩平衡條件M1=0 ： M13+M12=01 = 3FP a /160i10 i1 3FP a / 16 =0解出：解出：求各桿的桿端彎矩。作最后彎矩圖。求各桿的桿端彎矩。作最后彎矩圖。M13=4i（3FP a2 /160i）=3FP a /40M31=2i（3FP a2 /160i）=3FP a /80M12=6i（3FP a2 /160i）- 3FP a /16= - 3FP a /40FPM 圖23117FP a /803FP a /803FP a /402、有側(cè)移剛架、有側(cè)移剛架FPBCADll/2l/2E

25、I=常數(shù)常數(shù)BB 舉例說明。舉例說明。 （1）、圖示剛架有兩）、圖示剛架有兩個(gè)基本未知量。個(gè)基本未知量。 （2）、利用公式（）、利用公式（8-8）或（）或（8-9），并疊加固），并疊加固端彎矩后，可寫出各桿端彎矩的表達(dá)式。端彎矩后，可寫出各桿端彎矩的表達(dá)式。 MBA= 4iB 6 i /l + FPl /8令：令：EI/l=i MAB=2i B 6i /l FP l/8 MBC = 3i B MDC= 3i /l 由結(jié)點(diǎn)由結(jié)點(diǎn)B的力矩平衡條件的力矩平衡條件 MB=0 ： MBA+MBC=0FPBCADll/2l/2EI=常數(shù)常數(shù)BBBMBAMBC MBA= 4iB 6 i /l + FPl /

26、8MAB=2i B 6i /l FP l/8 MBC = 3i B MDC= 3i /l7i B 6 i/l +FP l/8=0 （a）FPBCADll/2l/2EI=常數(shù)常數(shù)BB 與橫梁水平位移相對應(yīng)，與橫梁水平位移相對應(yīng)，截取兩柱頂以上部分為隔離體截取兩柱頂以上部分為隔離體的投影平衡條件的投影平衡條件Fx=0, FQBA+FQCD=0BCFQBAFQCD2)(1 0PBAABQBAAFMMlFM10 DQCDDCMFMl-6i/l B +15i/l2 - FP /2=0 (b) （3）解如下聯(lián)立方程：解如下聯(lián)立方程：7i B - 6i/l +FP l/8=0-6i/l B +15i/l2

27、- FP /2=0 解得： （4）、將B 、代入各桿桿端轉(zhuǎn)角位移方程，即得出各桿端彎矩。2955222552PBPF liF li FP MBA= 4iB 6 i /l + FPl /8= 27/552 FP l MAB=2i B 6i /l FP l/8 = -183/552 FP l MBC = 3i B =27/552 FP l MDC= 3i /l= 66/552 FP l27552PF l183552PF l60552PF l66552PF l小結(jié)： 從計(jì)算過程可見，位移法的基本方程都是平衡方程。 對應(yīng)每一個(gè)轉(zhuǎn)角未知量，有一個(gè)相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力矩平衡方程。 對應(yīng)每一個(gè)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移未知量

28、，有一個(gè)相應(yīng)截面上的力的平衡方程。 直接平衡法先拆后搭，根據(jù)結(jié)點(diǎn)或截面平衡列基本方程。6-5、位移法的基本體系、位移法的基本體系 為了分析計(jì)算的需要，引用兩種附加約束裝為了分析計(jì)算的需要，引用兩種附加約束裝置：置： 附加剛臂：附加剛臂：只阻止結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動，不能阻止結(jié)點(diǎn)只阻止結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動，不能阻止結(jié)點(diǎn)移動。移動。 附加鏈桿：附加鏈桿：只阻止結(jié)點(diǎn)沿某一方向的移動只阻止結(jié)點(diǎn)沿某一方向的移動，不能阻止結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動。，不能阻止結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動。 本節(jié)介紹通過位移法的基本體系建立位移本節(jié)介紹通過位移法的基本體系建立位移法典型方程的方法。法典型方程的方法。如圖：如圖：FP基本結(jié)構(gòu)1 、位移法基本體系、位移法基本體系結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)B

29、被完全固定。被完全固定。桿桿AB 兩端固定（兩端固定（剛結(jié)）的單跨梁；剛結(jié)）的單跨梁；桿桿BC 一端固定一端固定（剛結(jié)）一端鉸支的單（剛結(jié)）一端鉸支的單跨梁?？缌骸?shí)際為單跨超靜定實(shí)際為單跨超靜定桿的組合體。桿的組合體。 基本體系與原結(jié)構(gòu)的區(qū)別在于：增加了人為基本體系與原結(jié)構(gòu)的區(qū)別在于：增加了人為約束，把基本未知量由被動的位移變成為受人約束，把基本未知量由被動的位移變成為受人工控制的主動的位移。工控制的主動的位移。 基本體系是用來計(jì)算原結(jié)構(gòu)的工具與橋梁。基本體系是用來計(jì)算原結(jié)構(gòu)的工具與橋梁。一方面，它可以代表原結(jié)構(gòu)；另一方面它的計(jì)算一方面，它可以代表原結(jié)構(gòu)；另一方面它的計(jì)算又比較簡單。又比較簡

30、單。整體結(jié)構(gòu)整體結(jié)構(gòu)（變形協(xié)調(diào)）（變形協(xié)調(diào)）鎖住鎖住放松放松(還原還原)原結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)若干根單跨桿若干根單跨桿件的組合體件的組合體（平衡條件）（平衡條件） 利用基本體系建立位移法基本方程。利用基本體系建立位移法基本方程。分兩步考慮：分兩步考慮： 第一步，控制附加約束，使結(jié)點(diǎn)位移全部為零第一步，控制附加約束，使結(jié)點(diǎn)位移全部為零，這時(shí)，剛架處于鎖住狀態(tài)，即基本體系。施加荷，這時(shí)，剛架處于鎖住狀態(tài)，即基本體系。施加荷載后，可求出基本體系中的內(nèi)力，同時(shí)，在附加約載后，可求出基本體系中的內(nèi)力，同時(shí)，在附加約束上會產(chǎn)生約束力矩。束上會產(chǎn)生約束力矩。 第二步，再控制附加約束，使基本結(jié)構(gòu)發(fā)生結(jié)第二步，再控制附加

31、約束，使基本結(jié)構(gòu)發(fā)生結(jié)點(diǎn)位移，這時(shí)，附加約束中的約束力將隨之改變。點(diǎn)位移，這時(shí)，附加約束中的約束力將隨之改變。如果控制結(jié)點(diǎn)，使與原結(jié)構(gòu)的實(shí)際值正好相等，則如果控制結(jié)點(diǎn)，使與原結(jié)構(gòu)的實(shí)際值正好相等，則約束力即完全消失。這是基本體系形式上雖然還有約束力即完全消失。這是基本體系形式上雖然還有附加約束，但實(shí)際上它們已經(jīng)不起作用，基本體系附加約束，但實(shí)際上它們已經(jīng)不起作用，基本體系實(shí)際上處于放松狀態(tài)，與原結(jié)構(gòu)完全相同。實(shí)際上處于放松狀態(tài)，與原結(jié)構(gòu)完全相同。 基本體系轉(zhuǎn)化為原結(jié)構(gòu)的條件是：基本體系轉(zhuǎn)化為原結(jié)構(gòu)的條件是： 基本結(jié)構(gòu)在給定荷載以及結(jié)點(diǎn)位移的共同基本結(jié)構(gòu)在給定荷載以及結(jié)點(diǎn)位移的共同作用下，在附加

32、約束中產(chǎn)生的總約束力應(yīng)該等作用下，在附加約束中產(chǎn)生的總約束力應(yīng)該等于零。于零。 以兩個(gè)基本未知量的結(jié)構(gòu)以兩個(gè)基本未知量的結(jié)構(gòu)為例。為例。 基本體系轉(zhuǎn)化為原結(jié)構(gòu)的基本體系轉(zhuǎn)化為原結(jié)構(gòu)的條件：條件： 基本體系在給定荷載和結(jié)基本體系在給定荷載和結(jié)點(diǎn)位移點(diǎn)位移 1， 2共同作用下，共同作用下，在附加約束中產(chǎn)生的總約束反在附加約束中產(chǎn)生的總約束反力力F1，F(xiàn)2應(yīng)等于零。應(yīng)等于零。 即：即： F1 =0 F2 =0FPBCADll/2l/2EI=常數(shù)BCAD112基本結(jié)構(gòu)（6-15）BCAD基本結(jié)構(gòu)FPBCADll/2l/2EI=常數(shù)1 1 2F1 =0BCADFP12基本體系1MBAMBCF1=0F2=

33、0FQBAFQCD F2 =0F11F21 BCADBCAD2F12F22F1PF2PF1 =F11+F12+F1P=0F2=F21+F22+F1P=0BCADFP1ABCD1=1k11k21 M1 圖圖ABCD2=1M2 圖圖k22k12ABCDFPF1PF2Pk11 1+k122+F1P=0k21 1+k222+F2P=0 位移法典型方程。位移法典型方程。計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)：計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)：1234k11k21 1=1k121234 2=1M1 圖M2 圖4i3i1k11 =7ik21= - 6i/l3i4i2i-6i/l001k12 = - 6i/lk22=15i/l2-6i/l12i/

34、l23i/l26i/l6i/l3i/lk221234F1PF2PFPMP 圖10F1P=FP l/8F2P= -FP /2FP l/8FP l/8FP l/8- FP /20k11=3i+4i=7ik21= - 6i/lk12= - 6i/lk22=12i/l2+3i/l2=15i/l2F1P= FP l/8F2P= - FP /2由反力互等，有： k12 = k21 將系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法典型方程將系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法典型方程 7i 1 - 6i/l 2 +FP l/8=0-6i/l 1+15i/l2 2 - FP /2=0 解出：解出： 所設(shè)的所設(shè)的 1 、 2方向與實(shí)際位移方向一致。

35、方向與實(shí)際位移方向一致。2955222552PBPF liF li 求出求出 1 、 2后，可用疊加法計(jì)算剛后，可用疊加法計(jì)算剛架最后彎矩圖。架最后彎矩圖。FP183/552 FP lM= 1 M1 + 2 M2 +MP27/552 FP l60/552 FP l66/552 FP l注意：注意： （1）、基本體系與原結(jié)構(gòu)變形相同：）、基本體系與原結(jié)構(gòu)變形相同： 荷載作用下，附加剛臂產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的荷載作用下，附加剛臂產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 1 ，附加鏈桿產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的水平，附加鏈桿產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的水平線位移線位移 2。 （2）、基本體系與原結(jié)構(gòu)受力相同：）、基本體系與原結(jié)構(gòu)受力相

36、同： 原結(jié)構(gòu)上無附加人為約束，結(jié)點(diǎn)力為零。原結(jié)構(gòu)上無附加人為約束，結(jié)點(diǎn)力為零。 基本體系上使附加人為約束后令反力為零。基本體系上使附加人為約束后令反力為零。四、位移法典型方程（四、位移法典型方程（n個(gè)基本未知量）個(gè)基本未知量） k11 1+k12 2+ k1n n+F1P=0 k21 1+k22 2+ k2n n+F2P=0 (6-1a) kn1 1+kn2 2+ knn n+FnP=0 可寫成矩陣形式：可寫成矩陣形式： k +FP=0 (6-19) 其中， k 稱為結(jié)構(gòu)剛度矩陣 111212122212nnnnnnkkkkkkkkkk討論：討論： 1、主系數(shù)、副系數(shù)（反力系數(shù)，剛度、主系數(shù)、

37、副系數(shù)（反力系數(shù)，剛度系數(shù)）、自由項(xiàng)系數(shù)）、自由項(xiàng) 主系數(shù)主系數(shù)kii（主反力）：（主反力）： i=1時(shí)，附加約束時(shí)，附加約束i方向的反力（或反方向的反力（或反力矩）。力矩）。 恒為正，不為零。恒為正，不為零。 副系數(shù)副系數(shù)kij（ij）（副反力）：）（副反力）： j=1時(shí)，附加約束時(shí)，附加約束i方向的反力（或方向的反力（或反力矩）。反力矩）。 可正，可負(fù)，可為零。由反力互等可正，可負(fù)，可為零。由反力互等定理定理 ： kij = kji 自由自由項(xiàng)項(xiàng)FiP ： 荷載單獨(dú)作用下，附加約束荷載單獨(dú)作用下，附加約束i方向上方向上的反力（或反力矩）?？烧韶?fù)，可的反力（或反力矩）?？烧韶?fù)，可為零

38、。為零。 2、基本方程是按一定規(guī)則寫出的，、基本方程是按一定規(guī)則寫出的，它不依結(jié)構(gòu)的形式不同而異。基本方程它不依結(jié)構(gòu)的形式不同而異?；痉匠讨忻恳粋€(gè)系數(shù)都是由結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)單位位中每一個(gè)系數(shù)都是由結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)單位位移引起的附加約束反力。結(jié)構(gòu)的剛度愈移引起的附加約束反力。結(jié)構(gòu)的剛度愈大，反力（或反力矩）數(shù)值愈大。大，反力（或反力矩）數(shù)值愈大。 因此，基本方程又成為剛度方程；位因此，基本方程又成為剛度方程；位移法稱為剛度法。移法稱為剛度法。 1、基本體系法與轉(zhuǎn)角位移方程法、基本體系法與轉(zhuǎn)角位移方程法（直接利用平衡方程法），本質(zhì)完全相（直接利用平衡方程法），本質(zhì)完全相同，所用方法（途徑）不同。同，所用方法

39、（途徑）不同。 直接平衡法直接平衡法先拆后搭先拆后搭，根據(jù)結(jié)點(diǎn)，根據(jù)結(jié)點(diǎn)或截面平衡列基本方程?；蚪孛嫫胶饬谢痉匠獭?基本體系法基本體系法先鎖后松先鎖后松，根據(jù)放松，根據(jù)放松原則建立位移法基本方程。原則建立位移法基本方程。 2、請同學(xué)們想一想，請同學(xué)們想一想，力法只能計(jì)算力法只能計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，不能計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)。而位超靜定結(jié)構(gòu)，不能計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)。而位移法既能計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，也可計(jì)算靜移法既能計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，也可計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)。為什么？定結(jié)構(gòu)。為什么？進(jìn)一步討論：進(jìn)一步討論：提問：提問： 從概念出發(fā)，請同學(xué)們考慮：從概念出發(fā)，請同學(xué)們考慮： 圖示結(jié)構(gòu)，選兩種基本體系，計(jì)算出的內(nèi)圖示結(jié)構(gòu)，選兩種基本

40、體系，計(jì)算出的內(nèi)力是否一樣？為什么？力是否一樣？為什么？ 基本體系基本體系與與橫梁單元的剛度系數(shù)是否橫梁單元的剛度系數(shù)是否一樣？為什么？一樣？為什么？FPFPFP提問： 左圖所示剛架，用左圖所示剛架，用位移法求解時(shí)有兩個(gè)位移法求解時(shí)有兩個(gè)未知量未知量D 、DE。 1、當(dāng)寫各桿的桿、當(dāng)寫各桿的桿端彎矩，桿端剪力表端彎矩，桿端剪力表達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意些什達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意些什么？么？ 2、取什么樣的隔、取什么樣的隔離體，建立什么樣的離體，建立什么樣的平衡方程。平衡方程。 桿桿AD,桿桿BE的的側(cè)移為正側(cè)移為正;桿桿CD的的側(cè)移為負(fù)。側(cè)移為負(fù)。 取結(jié)點(diǎn)取結(jié)點(diǎn)D為隔離為隔離體，建立力矩平衡方體，建立力矩平衡方

41、程。程。 取桿取桿DE為隔離為隔離體，建立截面剪力平體，建立截面剪力平衡方程。衡方程。 6-6 、 對稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算對稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算 對稱結(jié)構(gòu)在工程中應(yīng)用很多。對稱結(jié)構(gòu)在工程中應(yīng)用很多。 對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，結(jié)構(gòu)對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，結(jié)構(gòu)的變形和受力均為正對稱的。的變形和受力均為正對稱的。 對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，結(jié)構(gòu)對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，結(jié)構(gòu)的變形和受力均為反對稱的。的變形和受力均為反對稱的。 在以上情況下，可取半結(jié)構(gòu)計(jì)算。在以上情況下，可取半結(jié)構(gòu)計(jì)算。 什么是結(jié)構(gòu)的對稱性什么是結(jié)構(gòu)的對稱性 （1）、結(jié)構(gòu)的幾何形狀和支承）、結(jié)構(gòu)的幾何形狀和支承情況，對某軸（或點(diǎn)）對稱。情

42、況，對某軸（或點(diǎn)）對稱。 （2）、桿件的截面和材料性質(zhì)，）、桿件的截面和材料性質(zhì)，對此軸（或點(diǎn)）也對稱。對此軸（或點(diǎn)）也對稱?？紤]兩種荷載情況考慮兩種荷載情況（1）、對稱荷載作用）、對稱荷載作用FPFPFPFPX1X2FPFPFPFP MP圖是對稱的，有圖是對稱的，有3P=0 因此因此,反對稱未知力反對稱未知力X3=0； 只有正對稱未知力只有正對稱未知力X1，X2。 故故：M=M1 X1+M2 X2+MP 最后彎矩圖也是正對稱的。最后彎矩圖也是正對稱的。 結(jié)論：對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，反結(jié)論：對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，反對稱未知力必為零，結(jié)構(gòu)所有的反力、內(nèi)力及對稱未知力必為零，結(jié)構(gòu)所有的

43、反力、內(nèi)力及變形均為正對稱的。變形均為正對稱的。 提問：彎矩圖和軸力圖是正對稱的，剪力圖卻是提問：彎矩圖和軸力圖是正對稱的，剪力圖卻是反對稱的，這是為什么？反對稱的，這是為什么？（2）、反對稱荷載）、反對稱荷載FPFPX3FPFPFPFPFPFP MP圖是反對稱的，有圖是反對稱的，有1P=0，2P=0。 因此因此,正對稱未知力正對稱未知力X1=0，X2=0。 只有反對稱未知力只有反對稱未知力X3。 故：故：M=M3 X3+MP 最后彎矩圖也是反對稱的。最后彎矩圖也是反對稱的。 結(jié)論：對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，正結(jié)論：對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，正對稱未知力必為零，結(jié)構(gòu)所有的反力、內(nèi)力及對稱未

44、知力必為零，結(jié)構(gòu)所有的反力、內(nèi)力及變形均為反對稱的。變形均為反對稱的。 提問：彎矩圖和軸力圖是反對稱的，剪力圖卻是提問：彎矩圖和軸力圖是反對稱的，剪力圖卻是正對稱的，這是為什么？正對稱的，這是為什么？一、奇數(shù)跨對稱剛架一、奇數(shù)跨對稱剛架 1、正對稱荷載、正對稱荷載2、反對稱荷載、反對稱荷載FPFPFPFPFPFP思考：下列各圖所示結(jié)構(gòu)可取什么樣的半結(jié)構(gòu)？思考：下列各圖所示結(jié)構(gòu)可取什么樣的半結(jié)構(gòu)？注意：對稱軸上的變形特點(diǎn)，應(yīng)具體分析。注意：對稱軸上的變形特點(diǎn)，應(yīng)具體分析。FPFPFPFPqqqq二、偶數(shù)跨對稱剛架二、偶數(shù)跨對稱剛架 1、正對稱荷載、正對稱荷載FPFPFP2、反對稱荷載、反對稱荷載

45、FPFPFPFPFPFPFP思考：下列各圖所示結(jié)構(gòu)可取什么樣的半結(jié)構(gòu)？思考：下列各圖所示結(jié)構(gòu)可取什么樣的半結(jié)構(gòu)？注意：對稱軸上的變形特點(diǎn)，應(yīng)具體分析。注意：對稱軸上的變形特點(diǎn)，應(yīng)具體分析。FPFPFPFPFPFPFPFP 上圖所示結(jié)構(gòu)最終可簡化成什么樣的半結(jié)構(gòu)，進(jìn)行計(jì)算？FPFPFPFPqq 上圖所示結(jié)構(gòu)最終可簡化成什么樣的半結(jié)構(gòu)，進(jìn)行計(jì)算？FPFP2EI2EI2EIEIEI例：求圖示結(jié)構(gòu)內(nèi)力例：求圖示結(jié)構(gòu)內(nèi)力,作內(nèi)力圖。作內(nèi)力圖。EI=常數(shù)常數(shù)a a aqqABCDqABaa/2解：（1）取半結(jié)構(gòu)如圖?；疚粗浚篈點(diǎn)轉(zhuǎn)角A (2)、求桿端彎矩：令EI/a=iDqABaa/22ii1242q

46、aiMAAB1222qaiMABAADAiM2AADiM2 （3）、由結(jié)點(diǎn)）、由結(jié)點(diǎn)A的力矩平衡條件的力矩平衡條件 MA=0 ： MAB+MAD=0MADMABA01262qaiAiqaA722362qa3642qa362qa362qa362qaMAB3642qaMBA362qaMAD362qaMDADABC362qa3642qa362qa362qa3642qa362qa例:求圖示結(jié)構(gòu)內(nèi)力,作內(nèi)力圖。EA=EI/20 解： （1）取半結(jié)構(gòu)如圖。 基本未知量：B點(diǎn)轉(zhuǎn)角B和豎向線位移。 （2） 求固端力： MFBC =-ql2/3=-10102/3 = -333kNm MFCB=-ql2/6=-10102/6 = -167kNm FQBC=q l=1010 = 100kN (3)、求桿端力: 桿AB： MAB=2iAB B - 6iAB/l =2EI/20B-6EI/202 MBA=4iAB B - 6iAB/l =4EI/20B-6EI/202 FQBA=-(MAB + MBA)/l =-6EI/202B-12EI/203桿BC: MBC=EI/10 B 333 MCB=-EI/10 B 16