高數(shù)-11秋-03-向量的應(yīng)用-教師版

1、ra._* -向量同步-教師版9熱身練習(xí)uuuuuu1,已知非零向量 AB和AC滿足條件ABC是三角形.【難度】【答案】等邊三角形uuu2.給定兩個長度為1的平面向量以o為圓心的圓弧 Ab上變動.大值是【難度】3.已知a, b都是非零向量，且的夾角為【難度】4.在長方形ABCD中，AB向量的應(yīng)用UUU/ AB(UUU| AB|uuuUUTAC、UUU uuu ) BC|AC|UUT 。，且MUULTAC -i i rLUU -|AB| |AC|OA和OB ,它們的夾角為120.如圖所示，點C在UUT UUU UUTOC xOA yOB，其中 x, y R ,則 x y 的最3b 與 7aUUT

2、 UUU UUT動點，則（PA PB） PD的最小值是【難度】【解析】UUU UUUPA PB05b垂直，a 4b與7a 2b垂直，求a與b,O為AB的中點，若3P是線段DO上由題意得|OD | J|OA|2一| AD |21 .因為O為ABuuuruuuiuuuiLUU UUU2PO，設(shè) | PD | x ( 0 x 1),則 | PO| 1 x, (PA PB)的中點，所以UUT UUT LUTPD 2PO PDuur uur2|PO| |PD|cos18co2x(1x)2(x 2)21一，,故所求最小值為25.設(shè)。點在ABC的內(nèi)部,且有uurOAuuu2OBuur3OCr 0,S ABC

3、S AOC【難度】延長OB至Euur使OEuuu2OB延長OCuuuruuur,使得OF 3OCuur uurOA OEuur OFr0,所以O(shè)為AEF的重心.顯然S AOCAOC1S3S AOF1S AOB S AOE21S AEF61S BOC S61EOF - S AEF，所以 S ABC 181s91S AEF3AEF 同理3S AOC .知識梳理1、平面向量分解定理:如果e,e2是同一平面內(nèi)的兩個不平行向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有下對實數(shù)1, 2,使a1e2金.我們把不平行的向量 e),e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基.注思(1)基底不共線;將任一向量a在給出基底

4、G,e2的條件下進(jìn)行分解;(3)基底給定時，分解形式唯一,2廣是被a, e,e2唯一確定的數(shù)量幾何角度證明:如圖，在平面內(nèi)取一點uuuO,作 OAuuu r uurOB b，OCrc,再作直線OA、設(shè)點C不在直線OA和OB上，過點C分別作直線OA、OB的平行線,r r由于向量a,buuur作向量om、不平行，可知所作兩直線分別與直線OB、OA有唯一的交點，記為 N、M.uurON uuur ruuuu r因為OM / /a，所以存在唯一的頭數(shù)x，使om xa而四邊形 OMCN是平行四邊形,r r r即=c xa yb .如果點C在直線OA或OB上，那么、，r r 這時得cr xar r -r

5、xa 0b 或 c代數(shù)角度:證明唯一性:0時，0 e1當(dāng)a0時，假設(shè)r)e1由于e1,e2不平行，故（uuurry,使ONybuuiruuuruuurOCOMON因此uuir r因為ON/b，所以存在唯一的實數(shù)f r r c/a,或 c/b .yb 0a0 e2r1 eiurer r xa yb .r ryb .所以c關(guān)于uue ，則有0,( 2ra、的分解式總是確定的.ur1 eiur2 62 =r eiuus，2、重要結(jié)論uuu uuu設(shè)OA、OB不平行，點P在AB上存在實數(shù)使得uurOPuurOAuurOB且R)證明：如圖,uur設(shè)向量 APuuuAB,uuuPBuurABuurQ AP

6、uur uuurPB ABuurOPuurOAuur uurAP OAuuu uuuAB OAuuinOBuuuOAuuuOAuuuOBuuuOAuuuOB【,的正負(fù)可以給學(xué)生講一下】3、平面向量和三角形四心(D Ga Gb Gc 0 g是 abc的重心.證法 1:設(shè) G(x, y), A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)GA GB GC 0(X x)(yy)(X2 x) (X3(y2 y)也x)y)xx2x3x ABC的重心.y y2 y3y r-D證法 2：如圖 GA GB GC GA 2GD 0AG 2GDA、G、D三點共線，且G分AD為2： 1G是ABC的重心

7、(2)設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長，I是 ABC的內(nèi)心aIA bIB 的內(nèi)心.cIC 0 O 為 ABC證明： aIAbIB cIC 0(ab c)IAbABcAC 0AIbcAB(一cACV)ABAC分別為bAR AC方向上的單位向量,ABACcIA為同理可證點I為平分BACABC中A的角平分線,IB為 ABC中 B的角平分線，IC為 ABC中ABC的內(nèi)心。A的角平分線。(3) HA HB證明：如圖所示HB HCH是三角形HC HA H為 ABC的垂心.ABC的垂心，BE垂直AC, AD垂直O(jiān)A OBOB OCOB(OA OC) OB CA 0 OB ACBC, D、E是垂足.同理OABC

8、 , OCAB(4) OAOBOC(5)四心重要的結(jié)論:I、外心(外接圓圓心OD. OAOBOCAOABAOACAOAOAOO為ABC的外心。中垂線的交點)R (R為外接圓半徑).1 一AB2BCADAG2M 4M1 - 一 AB 61 AB 21 - 一AC41 - 一 AC62(D為BC的中點，G為ABC的重心).*圓心角是圓周角的兩倍.*sin2AOA sin2BOB sin 2C OC 0n、重心(G 中線的交點) uur uu uur r .GA GB GC 0.uuurd uuuuuirUULT UULTu ULMUUUT .OG1(OAOBOC)or AG1(ABAC).33.右

9、 A Xi, yi , B X2,y2 ,C X3, V?則其重心的坐標(biāo)為XiX2X3 yiy2y3,33.重心分每條中線分為 2:1的兩短.出、內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心I角平分線的交點） u1ruuu uuur.AI （族曲）（0）I AB| |AC|uuu超I ABIuuuruuur 表示為/ A的角平分線.I AC |UlT uu uurr.c ICa IAb IB0.IV、垂心（H角平分線的交點）uuu uuur uuir uur uut uuu .HA HB HB HC HC HA.* tan A HA tan B HB tan C HC 04、運用向量方法解決平面幾何問題可以分哪幾個步驟？

10、三步曲”：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化 為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運算結(jié)果 翻譯”成幾何關(guān)系.例題解析1、平面向量的分解定理【例1華師大二附中高二（上）期中12下列有關(guān)平面向量分解定理的四個命題中:一個平面內(nèi)有且只有一對不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基；一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不平行向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基；平面向量的基向量可能互相垂直；Wj -向量同步-教師版13一個平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)三個互不平行向量的線性組合.正確命題的個數(shù)是（）A. 1 B

11、. 2 C. 3 D. 4【難度】【答案】B【解答】一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基，錯誤，正確；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，正確；平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)兩個互不平行向量的線性組合，如果是三個不共線的向量，表示法不唯一，.錯誤.綜上，正確的命題是.故選：B.【例2位育中學(xué)2014學(xué)年第一學(xué)期高二年級期中 13平面內(nèi)有三個向量 OA, OB, OC , 其中OA與OB的夾角為12。, OA與OC的夾角為30,且|OA|=OB|=i, OC|=273,若OC = 6A+ QB（z,慶 R）, 則入十科的值為.【難度】【答案】(4,2)【解

12、析】方法一如圖，oC=oBi + qAi, |(OB1|=2, |OA1|= |B1C|=4,.-.(OC = 4(OA+2Ofe.入+ i= 6.方法二 由OC=QB, 兩邊同乘 oC,得OC2= m Oo+ 0, x= 4.Ot = 4OA+ QB,兩邊同乘 OA,得OC Oa=4+ QA OB,即 3=4+(2)&科=2.入+尸6.方法三以O(shè)為原點,OA為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(1,0), CR,3cos 30 , 2/3sin 30 )；一一13B(cos 120 , sin 120 ).即 A(1,0), C(3, 3), B(-2,卞).由 OC= DA+ QB 得,1入一2尸3

13、,C3 尸 3.1= 2.?d- (1= 6 .入=4【例3】普陀區(qū)晉元中學(xué)高二（上）期中 16如圖所示，A, B, C是圓O上的三點，線段 CO的延長線與線段 BA的延長線交于圓 O外的點D,若oC=mOA + nOB,則m+n的取值 范圍是（）A. (0,1)B. (1, 十刃C (一 ,-1) D. (-1,0)【難度】【答案】D【解析】依題意，由點 d是圓。外一點，可設(shè)BD= ?BA(q1),則oD = OB+ ?bA= dA+(1 一)O B.又 C, O, D 三點共線，令 OD = 一 QC(廬1),則 OC=-OA %OB(?1 , 1),所以 m n= 故 m+n = A 1

14、 1 ( 1,0).故選 D.aaa a a【例4】如圖，在AABC中，AF=1AB, D為BC的中點，AD與CF交于點E.若AB=a,氐 3=b,且 CE = xa + yb,貝U x+ y=.【難度】【答案】2,【解析】如圖，設(shè) FB的中點為M,連接MD./e因為D為BC的中點， 因為AF=1AB,所以 3方法一因為AB=a, b).所以 CE=CA+AE=_1 2 、1113萬法一 易得 EF = 2MD, MD = 2CF,所以 EF=CF,所以 CE = CF.因為 CF=CA + AF = Ac+Af = - b+ 1a,所以 Cl = 3(_b+1a) = 4a_3b.M為FB的

15、中點，所以 MD / CF.F為AM的中點，E為AD的中點.AC=b, D 為 BC 的中點，所以 AD=2(a+b).r-,113 ,1AC+AE= b+4(a+b)= 4a 4b.所以 x=所以 Al=:1AD=；(a +y= - 4,所以 x + y =一一 13 一1所以 x=4, y=4,則 x+y=-2-【例5】如圖，設(shè)向量oA = (3, 1), OB=(1, 3),若oC= ?oa+ QB,且鼻bi則用陰影表示c點所有可能的位置區(qū)域正確的是()【難度】【答案】D 【解析】設(shè) C(x, y). oC=4A+ QB= X3, 1)+ mi, 3)=(3 計 出入+ 3 13xy一一

16、入=_,x= 3 計(1,8x為，解得歸諾1，故選D.y=入+ 3 fl,_3yxx3y+8WQ尸8 .【例6華師大二附中高二(上)期中 18已知M為4ABC的中線AD的中點，過點 M的 直線分別交兩邊 AB, AC于點P, Q,設(shè)AP xABJ, AQ yAC，記y f (x).(1)求函數(shù)y f(x)的表達(dá)式；S 、(2)求PQ的取值范圍 S ABC 【難度】【解答】(1)如圖所示：.D為BC的中點，M為AD的中點康三3與(ab+-1ao =ab+-1ac,又PQM三點共線，故 高=記+ (1- X)/=屈+ (1 - X5 VAC,故V1=1, 即 y=f(X)加K(三塊 j(2)設(shè)4A

17、BC的面積為1,則4APQ的面積S=xy=故當(dāng)x=時，SW最小值當(dāng)x=9 或X=1時，S取最大值,故;e也,.2庭 33 SAABC 4 $uuur 2 uur3 uur uur uuurl / OD,P 是直線 l 上的動點，OP= l 1OB+ l 2OC 則 l 1- l 2 =【難度】,3【答案】32【解析】方法-方法二3OP 3OC21 一 1 一一由D是BC的中點，OD -OB -OC 22 一 3AP OP OA 1OB ( 2 -)OC 2又直線 l /OD,即而/OD 12 - l 1 - l 22特殊法 不妨點P 在點3- 1 ， 2。31OB 2OC2 l 1- l 2-

18、2【例8】給定兩個長度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為90.如圖所示，點 C在以O(shè)為圓心的圓弧 AB上運動.若0C = xOA+yOB,其中x、yC R,則x+y的最大值是【例71在4OAB中,C為OA上的一點，且OC=一OA,D是BC的中點，過點A的直線【難度】【答案】2【解析】方法一：設(shè)/ AOC= %則/ COB = 90 - %X= COS ay= sin a.(OC=cos a OA + sin & OB,即 . x+ y= cos a+ sin a= 2sin 00+/wj2.（推薦此方法）方法二：上述方法一可以建立坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)的形式表示出來。方法三：連接 AB ,在弧A

19、B上的點C做直線和AB平行的直線，當(dāng)點 C在弧AB中點時，做的直線與直線 AB相距最遠(yuǎn)，此時x+ y取得最大值。方法四：OC=xOA+yOB兩邊平方后得 1 x2 y2 （X 2y）. x+ y=w；2.方法五：OC=xOA+yOB兩邊分別同乘OA, OB彳#OtOA=x, oCoB=y設(shè)/AOC=a,則/COB = 90 a,. .x+y=OC OA+0C OB=cos a+ sin a= J2sin a+j2.【例9】將一圓的六個等分點分成兩組相間的三點，它們所構(gòu)成的兩個正三角形扣除內(nèi)部六r u條線段后可以形成一正六角星，如圖所示的正六角星的中心為點O,其中x、y分別為點Or u的最大值為

20、（A . 3)B. 4到兩個頂點的向量；若將點O到正六角星12個頂點的向量，都寫成ax by的形式，則a b【難度】【答案】C【鞏固訓(xùn)練】rr1 .建平中學(xué)高二（上）期中6已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個向量a =（1,2）、b = （m-1，m+3）rr r r使得平面內(nèi)的任意一個向量c都可以唯一分解成c = la + nb,則m的取值范圍 是.【難度】【答案】（，5） （5,）ra._* -向量同步-教師版2 .莘莊中學(xué)等四校聯(lián)考高二 （上）期中10如圖，在 ABC中, uuu uuurUULTHJUT的中點. F為邊AB上的點，且 AB 3AF ,若AD xAFD、E分別為邊BC、AC uuir

21、yAE , x, y R ,則 x y的值為15【難度】,5【答案】52 一.13 .位育中學(xué)2015學(xué)年第一學(xué)期監(jiān)控考試 11在 ABC中，AM AB mAC ,向量AM4的終點M在 ABC的內(nèi)部（不含邊界），則實數(shù)m的取值范圍是【難度】-3）4.若直線l上不同的三個點滿足條件的實數(shù)x的集合為A, B, C與直線l外一點O,使得x2OA + xOB=2BC成立，則（）A. -1, 0B.C.D.【解析】 D22由 x2OA + xOB=2BC=2(OC OB)可得，OC = xjOA+ 72+1 OB,由 A, B, C 共線知，x2xx + 2+1 =1,解得 x=- 1 或 x=0(舍)

22、,uuuu5.普陀區(qū)晉元中學(xué)高二（上）期中16如圖，在VABC中，AM1 uuu -AB 3uuu1 uuurAN AC ,4uuinuuuBN與CM交于點E ,若AE xABuuryAC，則 x y【難度】Wj -向量同步-教師版【答案】5116 .復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)（上）正向同向的單位向量分別是期中21如圖，數(shù)軸x,y的交點為O,夾角為，與x軸、y軸；,e2。由平面向量基本定理，對于平面內(nèi)的任一向量OP1,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對 x, yuur,使得OPurxe1uuye2 ,我們把x, y叫做點p在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)（以下各點的坐標(biāo)都指在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)）.(1)若uuu90 ,

23、op為單位向量，且uuu ur0P與e1的夾角為120 ,求點P的坐標(biāo);,一uuu M45，點P的坐標(biāo)為1,j2 ,求向量0P與&的夾角.【難度】【答案】（1）2.5 arccos.7 . （1）在 OAB中，點P、Q分別在OA、OB上，線段PQ過三角形ABO的重心Guuu r 設(shè)OA auuur uun ruuir r m nOBb, OPma,OQnb,試求 mn 的值.mn（2）在ABC中，點M是AB的中點，點N是AC上一點，且BN二，BN與CM相AC 3uuu r交于點E ,設(shè)AB a ,uuur r rAC b，試用a、ruuirb表示AE .【難度】uuur【答案】(1) 3; (

24、2) AE8 .如圖，uuLT 1 uurAD -AB5在ABC中，BO為邊AC上的中線uuurAC (R）,則的值為uur uuruuruurBG 2G0，設(shè) CD / AG ,若#【難度】Wj -向量同步-教師版9.在直角4ABC中， C是直角，CA=4CB=3, AABC的內(nèi)切圓交 CA , CB于點D, E,點P是圖中陰影區(qū)域內(nèi)的一點（不包含邊界）.若CP xCD yCE，則x y的值可以使()A. 1B. 2C.D.8【難度】【答案】B10.如圖所示，在邊長為 2的正六邊形 ABCDEF中，動圓Q的半徑為1,圓心在線段CD uur uur uuur（含端點）上運動，P是圓Q上及內(nèi)部的

25、動點，設(shè)向量 AP mAB nAF（m, n為實數(shù)），貝U m n的最大值為.【難度】【答案】52、平面向量與四心”【例10】已知。是面 上一定點，A、B、C是面 上 ABC的三個頂點，B, C分別是邊AC, AB對應(yīng)的角.17ra._* -向量同步-教師版動點P滿足OP OA PB PC ,則 ABC的 心一定在滿足條件的 P點集合中.動點P滿足OP OA0),則 ABC的 心一定在滿足條件 ABAC動點P滿足OP OA(B AC )(AB sin B AC sin C滿足條件的P點集合中.0),則ABC的動點P滿足OP OA滿足條件的P點集合中.AB ACAB cosB AC cosC0)

26、,則ABC的uuu動點P滿足OPuur uuurOB OCuuruur, ABAC(-uuu -uuur),(0,|AB|cosB | AC | cosC)則 ABC的心一定在滿足條件的P點集合中.【難度】【答案】重內(nèi)重【提示】四線上的動點表示：垂外(1)中線上的動點:uuur (ABuuurAC)或(2)高線上的動點:uuuAB(-uuuAB cos BuuuAB uur |AB|sin B uuur ACuurAC 、 uuur)| AC |sinC(3)角平分線上的動點:(4)中垂線上的動點:uuuuiOPuuu AB (uuuABuuu OBuuurAC cosC)，uuur AC u

27、uur ) ACuurOC2uur/ AB(一 uur| AB |cosBuuuirACuuir| AC | cosC)，19【例11】(15黃浦一模)已知點 O是 ABC的重心，內(nèi)角 A B、C所對的邊長分別為 uuu uuu 2 3 uuur r -a、b、c,且2a OA b OB c OC 0,則角C的大小是.3【難度】【答案】【解析】uuu2a OA3 uuur uuu uuir提示：點 O是ABC的重心，故OA OB OCr0,又uuu 2 3b OB c3uuirOC所以2a然后用余弦定理解得uur 2 uu 1 uur【例12】已知O是 ABC內(nèi)心，若AO -AB -AC ,則

28、cos BAC = 55【難度】cos BAC【解析】提示：方法4uuurAO2 uur1 ujutAB AC2 uur2 uurOA OB1 uur r OC 05a:b:c 2:2:1,由余弦定理即可解得方法juurAO2 uuir -AB51 uuLr設(shè)D是邊AB的中點AC5HJLTAO4 uur 一AD 5.點O在中線CD上，故CA=CB , CDXAB （三線合一）過點 O 作 OF/AC, OE/AB . . AE:EC=DF:AF=1:4又AO為四邊形AEOF的角平分線，所以四邊形AEOF是菱形1AE=AF，AD: AC=1 : 4 . . cos/BOC=-41 uuurAC【

29、例 13】已知 O 是4ABC 的外心，AB=2, AC=3,若 AO xAB yAC,x+2y=1 ,則cos BAC .Wj -向量同步-教師版uuuuuuAB AC 1AB=AC ,又 COSA -AB- -AC-=- , /A=,所以 ABC 為等邊三角形，選 D. |AB| |AC| 23【例15位育中學(xué)2015學(xué)年第一學(xué)期監(jiān)控考試21已知 ABC中，過重心G的直線交邊AB于P ,交邊AC于Q ,設(shè) APQ的面積為S , ABC的面積為S2 , AP pPB，pqAQ qQC，（1）求GA GB GC；（2）求一a的值；（3）求言 的取值范圍. p qS2【難度】【答案】(1) GA

30、 GB GC 0一1 一 1 -(2) AG -AB AC ,又因G,P,Q三點共線 33所以 AG mAP (1 m)AQ -mp- AB (1 m)q AC1 p 1 q化簡彳導(dǎo)pq 1p q1S11,所以一1pS2mp 11 p 31 p 1 q故 ，消去m得：一p q 1,(1 m)q 13p 3q1 q 31八八S - | AP| AQ|sin BAC pS2；|AB|AC|sin BAC 1 p1J 1)2 9因為pp 24【鞏固訓(xùn)練】 uuu uiuiuuur uuuuuruurr1.已知點 O、N、P在 ABC所在平面內(nèi)，且 |OA|OB|OC|, NANBNC0,uuu uu

31、uuuu uuruur uurPA PBPB PCPC PA,則點 O、N、P依次是ABC的()B.重心、外心、內(nèi)心D.外心、重心、內(nèi)心A.重心、外心、重心C.外心、重心、重心【難度】【答案】C2.已知 ABC的外接圓的圓心為 O,半徑為1,若 3OA +4(OB+5(OC=0,則 4AOC 的面積#為（）a-5d.5B 1B. 2【難度】【答案】A【解析】由題設(shè)，得 3(OA+5DC=- 4AABC ABC 的（A. 外心【答案】D)B.uurCA-uur-|CA|UUU ) = OBD.tuurOC = o, D.uur-(PA 3uuuPBD.Luu盥+uur CB -tuHF )|BA

32、| |CB|夕卜心則O點是ABC的（）垂心uuirPC）（其中P為平面上任垂心uLU! uUU所在平面上的一點，若 OA OBuut uur tuur uuuOB OC OC OA,則 O 點是內(nèi)心C.重心Wj -向量同步-教師版【難度】27uuu 9uiu 9 uuir|OB|2 |CA|2=|OC|2uurI AB |2 ,則O點是AABC的（)A. 垂心B.重心C. 內(nèi)心【答案】A題11:已知O是4ABCuuu uuu uuu uuruuur uuiruur uuu uuu(OA OB) AB=(OBOC) BC = (OC OA) CA：A. 外心B.內(nèi)心C. 重心【答案】A題12:已

33、知O是AABCuuu所在平面上的一點，若 aOA的（）A. 外心B.內(nèi)心C. 重心題13:已知所在平面上的一點,=0,若題10:已知O為AABC所在平面內(nèi)一點，滿足|OA|2 |BC I2則O點是AABC的（D. 垂心uur uuurbOB cOC = 0,則 O 點是 AABC。是4ABCuuurPOuuu uuu uuir aPA bPB cPC（其中P是4ABC所在平面內(nèi)任意一點），則。點是4ABC的（B.內(nèi)心C.重心D.垂心【答案】B題14: AABC的外接圓的圓心為 O,兩邊上的高的交點為H,uurOHuur uuu uur= m(OA OB OC),則實數(shù)m =【答案】1【提示】特殊法，選擇等腰直角三角形uuu uur題15:已知。為4ABC所在平面內(nèi)一點,滿足|OB OC |uuu uuur uuu|OB OC 2OA|,則ABC一定是（）A.等腰直角三角形C.等腰三角形【答案】BB.D.直角三角形等邊三角形三、平面向量與其他模塊知識綜合應(yīng)用【例16】函數(shù)y=sin（cox+ 在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M、N分別是最高點、最低點,O為坐標(biāo)原點，且OM ON=0,則函數(shù)f（x）的最小正周期是Wj