(完整word版)小學(xué)奧數(shù)-容斥原理(教師版)

1、容斥原理知識(shí)梳理）森林中住著很多動(dòng)物，據(jù)說(shuō)獅子大王派仙鶴去統(tǒng)計(jì)鳥(niǎo)類(lèi)的種數(shù)，蝙蝠跑過(guò)去對(duì)仙鶴說(shuō)；“我有翅膀，我應(yīng)該是屬于鳥(niǎo)類(lèi)的?！庇谑窍生Q就把蝙蝠統(tǒng)計(jì)到鳥(niǎo)類(lèi)的種類(lèi)里去了，結(jié)果得出森林中一共有 80種鳥(niǎo)類(lèi)。獅子大王又派大象去統(tǒng)計(jì)野獸的種類(lèi)數(shù)，蝙蝠聽(tīng)說(shuō)又來(lái)統(tǒng)計(jì)獸類(lèi)了，急忙跑過(guò)去對(duì)大象 說(shuō)；“我沒(méi)有羽毛，我應(yīng)該是屬于獸類(lèi)的?！庇谑谴笙缶桶羊鸾y(tǒng)計(jì)到獸類(lèi)的種類(lèi)里去了，結(jié)果統(tǒng)計(jì)出森林中一共有60種獸類(lèi)。最后獅子大王問(wèn)：“森林中共有鳥(niǎo)類(lèi)和獸類(lèi)多少種？”狡猾的狐貍聽(tīng)見(jiàn) 了仙鶴和大象的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，高興地向獅子大王匯報(bào)：“這還不簡(jiǎn)單！森林中共有鳥(niǎo)類(lèi)和獸類(lèi) 140種?！?這個(gè)統(tǒng)計(jì)正確嗎？同學(xué)們肯定會(huì)說(shuō)：“不對(duì)！蝙蝠被

2、算了兩次，應(yīng)該再減去一，是 139種?！边@個(gè)故事說(shuō)明了一個(gè) 數(shù)學(xué)問(wèn)題，那就是被稱(chēng)為“容斥原理”的包含與排除問(wèn)題。當(dāng)需要計(jì)數(shù)的兩類(lèi)事物互相包含（有部 分重復(fù)交叉）時(shí)，應(yīng)把重復(fù)計(jì)數(shù)的部分排除掉。由此我們得到逐步排除法（容斥原理）：當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中減去重復(fù)部分。容斥原理1如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B兩類(lèi)，那么，A類(lèi)B類(lèi)元素個(gè)數(shù)總和 =屬于A類(lèi)元素個(gè)數(shù)+屬于B類(lèi)元素個(gè)數(shù)一既是A類(lèi)又是B類(lèi)的元素個(gè)數(shù)。即 AU B = A+B - A A B容斥原理2如果被計(jì)數(shù)的事物有 A、B、C三類(lèi)，那么， A類(lèi)和B類(lèi)和C類(lèi)元素個(gè)數(shù)總和 =A類(lèi)元素個(gè) 數(shù)+ B類(lèi)元素個(gè)數(shù)+C類(lèi)元素個(gè)數(shù)一

3、既是 A類(lèi)又是B類(lèi)的元素個(gè)數(shù)一既是 A類(lèi)又是C類(lèi)的元素 個(gè)數(shù)一既是 B類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù) +既是A類(lèi)又是B類(lèi)而且是 C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)。即 AU BU C = A+B+C - A AB - B AC - C PA + A ABAC 玷特色講解）容斥原理1【例1】一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿(mǎn)分，有 12人語(yǔ)文得滿(mǎn)分，并且有 4人語(yǔ)、數(shù)都是滿(mǎn)分，那么這個(gè)班至少有一門(mén)得滿(mǎn)分的同學(xué)有多少人？【解析】依題意，被計(jì)數(shù)的事物有語(yǔ)、數(shù)得滿(mǎn)分兩類(lèi)，“數(shù)學(xué)得滿(mǎn)分”稱(chēng)為“A類(lèi)元素”，“語(yǔ)文得滿(mǎn)分”稱(chēng)為“B類(lèi)元素”，“語(yǔ)、數(shù)都是滿(mǎn)分”稱(chēng)為“既是 A類(lèi)又是B類(lèi)的元素”，“至少有一門(mén)得滿(mǎn)分的同學(xué)”稱(chēng)為“A 類(lèi)和B類(lèi)元

4、素個(gè)數(shù)”的總和。15+12-4=23【小試牛刀】電視臺(tái)向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過(guò)2頻道，34人看過(guò)8頻道，其中11人兩個(gè)頻道都看過(guò)。兩個(gè)頻道都沒(méi)看過(guò)的有多少人？【解析】100-(62+34-11)=15例2 一個(gè)班有學(xué)生48人，每人至少參加跑步、跳高兩項(xiàng)比賽中的一項(xiàng)。已知參加跑步的有37人，參加跳高的有 40人，請(qǐng)問(wèn)：這兩項(xiàng)比賽都參加的學(xué)生有多少人？【解析】?jī)身?xiàng)比賽都參加的學(xué)生人數(shù)，就是參加跑步人數(shù)、參加跳高人數(shù)重復(fù)的部分，排除掉重復(fù)部分，所得的就是全體參賽人數(shù)，也就是全班學(xué)生人數(shù)。40- (4837) =29 人?！拘≡嚺５丁课迥昙?jí)96名學(xué)生都訂了報(bào)紙，有 64人訂了少

5、年報(bào)，有 48人訂了小學(xué)生報(bào)。兩種報(bào)紙都訂的有多少人？;產(chǎn)尸飛 J 1 " K(0 j旦A Q人【解析】用左邊的圓表示訂少年報(bào)的64人，右邊的圓表示訂小學(xué)報(bào)的48人，中間重疊部分表示兩種報(bào)刊都訂的人數(shù)。顯然，兩種報(bào)刊都訂的人數(shù)被統(tǒng)計(jì)了兩次：64+48=112人，比總?cè)藬?shù)多112 96=16人，這16人就是兩種報(bào)刊都訂的人數(shù)?！纠?】 實(shí)驗(yàn)小學(xué)各年級(jí)都參加的一次書(shū)法比賽中，四年級(jí)與五年級(jí)共有20人獲獎(jiǎng)，在獲獎(jiǎng)?wù)咧杏?6人不是四年級(jí)的，有 12人不是五年級(jí)的。該校書(shū)法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是多少人？【解析】由“ 16人不是四年級(jí)的”可知：16人是五年級(jí)和其他年級(jí)的；由“12人不是五年級(jí)的”可知

6、：12人是四年級(jí)和其它年級(jí)的。用16+12可算出四年級(jí)加五年級(jí)以及兩個(gè)其它年級(jí)的人數(shù)和，再減去20就得兩個(gè)其他年級(jí)的人數(shù)，這樣其他年級(jí)的人數(shù)是：(16+1220) +2=4人，該校參加書(shū)法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是 4+20=24人?！纠?】五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中24名運(yùn)動(dòng)員不是六年級(jí)的，28名運(yùn)動(dòng)員不是五年級(jí)的，已知五、六年級(jí)運(yùn)動(dòng)員共有32名，求五、六年級(jí)和中低年級(jí)運(yùn)動(dòng)員各有多少名？【解析】(24+28-32 ) + 2=10【例5】在100個(gè)外語(yǔ)教師中，懂英語(yǔ)的有75人，懂日語(yǔ)的有45人，其中必然有既懂英語(yǔ)又懂日語(yǔ)的老師。問(wèn)：只懂英語(yǔ)的老師有多少人？【解析】顯然，兩種語(yǔ)言都懂的人在懂英

7、語(yǔ)的75人中統(tǒng)計(jì)過(guò)一次，在懂日語(yǔ)的45人中又統(tǒng)計(jì)過(guò)一次。因此，75+45=120人，比100多出的20人就是兩種語(yǔ)言都懂的人數(shù)。然后，從懂英語(yǔ)的75人中減去兩種語(yǔ)言都懂的 20人，就是只懂英語(yǔ)的人數(shù)了：75 20=55人?！拘≡嚺５丁?0人都在做加試的兩道題，并且至少做對(duì)了其中的一題。已知做對(duì)第一題的有 30人，做對(duì)第二題的有21人。只做對(duì)第一題的有多少人？【解析】19人【例6】在1至1000這1000個(gè)自然數(shù)中，能被 5或11整除的自然數(shù)一共有多少個(gè)？【解析】如下圖，小圓表示能被 11整除的自然數(shù)，大圓表示能被5整除的自然數(shù)。如果把大圓內(nèi)的200個(gè)自然數(shù)和小圓內(nèi) 90個(gè)自然數(shù)相加，陰影部分的

8、自然數(shù)事實(shí)上被加了兩次。因此要想求出：能被5或11整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)就應(yīng)該：能被5整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)+能被11整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)一既能被5整除又能被11整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)=能被5或11整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)?！窘馕觥?能被5整除的自然數(shù)有多少個(gè)？1000 + 5=200有 200 個(gè)。能被11整除的自然數(shù)有多少個(gè)？1000 + 11=9010 有 90 個(gè)。既能被5整除又能被11整除的自然數(shù)有多少個(gè)？1000+55=1810 有 18 個(gè)。所以能被5或11整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)是：200+90-18=272個(gè)?！拘≡嚺５丁?0名同學(xué)面向老師站成一橫排。老師先讓同學(xué)們從左到右按照1、2、3、4、59、6

9、0的順序依次報(bào)數(shù)，再讓報(bào)數(shù)是 4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)。請(qǐng)問(wèn)：現(xiàn)在面向老師的學(xué)生還有多少名？【解析】 從1到60中，4的倍數(shù)一共有：60+4=15個(gè)，6的倍數(shù)一共有：60 + 6=10個(gè)，既是4的倍 數(shù)又是6的倍數(shù)有：60+12=5個(gè)。一次都不轉(zhuǎn)的學(xué)生是：60- ( 15+10 5) =40個(gè)，轉(zhuǎn)兩次的學(xué)生有5個(gè)，所以面向老師的學(xué)生還有 40+5=45個(gè)。【例7】有一根長(zhǎng)是240厘米的繩子，從一端開(kāi)始每隔4厘米作一個(gè)記號(hào)，同時(shí)每隔6厘米也作一個(gè)記號(hào)，然后將標(biāo)有記號(hào)的地方剪斷，請(qǐng)問(wèn)：繩子一共被剪成了多少段？【解析】240厘米長(zhǎng)的繩子每隔 4厘米作一個(gè)記號(hào)，這樣一共

10、有：240 + 41=59個(gè)記號(hào)；每隔6厘米作一個(gè)記號(hào)，這樣一共有：240 + 61=39個(gè)記號(hào)。而兩者每隔 12厘米重復(fù)一個(gè)記號(hào)，這樣一共重復(fù)了： 240+ 12 1=19個(gè)記號(hào)。因此繩子上共有記號(hào)數(shù)是：59+39 19=79,所以繩子一共被剪成了 79+1=80 段。容斥原理2【例8 某校有28名學(xué)生參加市運(yùn)動(dòng)會(huì)，參加跑步類(lèi)項(xiàng)目的有15人，參加跳類(lèi)項(xiàng)目的有13人，參加投擲類(lèi)項(xiàng)目的有14人，既參加跑又參加跳項(xiàng)目的有4人，既參加跑又參加投擲項(xiàng)目的有6人，既參加跳又參加投擲項(xiàng)目的有5人，三種項(xiàng)目都參加的有 2人，試說(shuō)明，這個(gè)報(bào)名表有誤?！窘馕觥堪凑召澕痈鱾€(gè)項(xiàng)目的詳細(xì)人數(shù)，該校參加市運(yùn)動(dòng)會(huì)的人數(shù)為

11、15+13+14-4-6-5+2=29 人，與實(shí)際參加人數(shù)不符，所以這個(gè)報(bào)名表有誤。【小試牛刀】某校六（1）班有學(xué)生 45人，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)的有25人，參加排球隊(duì)的有22人，參加游泳隊(duì)的有 24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問(wèn)：三項(xiàng)都參加的有多少人?【解析】參加足球隊(duì)的人數(shù)25人為A類(lèi)元素，參加排球隊(duì)人數(shù)22人為B類(lèi)元素，參加游泳隊(duì)的人數(shù)24人為C類(lèi)元素，既是 A類(lèi)又是B類(lèi)的為足球排球都參加的12人，既是 B類(lèi)又C類(lèi)的為足球游泳都參加的9人，既是 C類(lèi)又是A類(lèi)的為排球游泳都參加的8人，三項(xiàng)都參加的是A類(lèi)B類(lèi)C類(lèi)

12、的總和設(shè)為 X。注意：這個(gè)題說(shuō)的每人都參加了體育訓(xùn)練隊(duì)，所以這個(gè)班的總?cè)藬?shù)既為 A類(lèi)B類(lèi)和C類(lèi)的總和。25+22+24-12-9-8+X=45 解得 X=3【例9 從1至1000這1000個(gè)自然數(shù)中，不能被 3、5、7中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一共有多少個(gè)?【解析】能被3整除的自然數(shù)有多少個(gè)?1000 + 3=3331有333個(gè)。能被5整除的自然數(shù)有多少個(gè)?1000 + 5=200有200個(gè)。能被7整除的自然數(shù)有多少個(gè)?1000 + 7=1426有142個(gè)。既能被3整除又能被5整除的自然數(shù)有多少個(gè)?1000+ 15=6610有66個(gè)。既能被3整除又能被7整除的自然數(shù)有多少個(gè)?1000 + 21=

13、4713有47個(gè)。既能被5整除又能被7整除的自然數(shù)有多少個(gè)?1000 + 35=2820有28個(gè)。能同時(shí)被3、5、7整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)有多少個(gè)?1000 + ( 3X 5X 7) =955有9個(gè)。能被3、5、7中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一共有:333+200+142- ( 66+47+28) +9=457 個(gè)。所以不能被3、5、7中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一共有：1000- 543=457【小試牛刀】分母是 1001的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)一共有多少個(gè)?【解析】這一題實(shí)際上就是找分子中不能與1001進(jìn)行約分的數(shù)。由于 1001=7X 11X13,所以就是找不能被7, 11, 13整除的數(shù)。由容斥原理知：在110

14、01中，能被7或11或13整除的數(shù)有（143+91+7）-（13+11+7）+1=281（ 個(gè)）,從而不能被 7、11或13整除的數(shù)有 1001-281=720（個(gè)）.也就是說(shuō)，分母為1001的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)有720 個(gè).【例10】如下圖，在長(zhǎng)方形 ABCD, AD=15厘米，AB=8厘米，四邊形 OEFG勺面積是9平方厘 米。請(qǐng)問(wèn)：陰影部分的面積是多少平方厘米？【解析】三角形ABD三角形AFQ三角形ACDO可以AD為底，AB為高，故它們的面積都等于 ADXAB+ 2=15X8+2=60 （平方厘米）。陰影部分面積=（三角形ABD面積+三角形ACD面積）（三角形AFD面積-四邊形DEFGS積）=(6

15、0+60) - (60-9) =69 (平方厘米)。【小試牛刀】如圖所示，A、B、C分別是面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為 38 .若A與B、B與C的公共部分的面積分別為 8、7, A、B、C這三張紙片的公共部分為 3.求A與C公共部分的面積是多少？【解析】設(shè) A與C公共部分的面積為x,由包含與排除原理可得： 先“包含"：把圖形A、B、C的面積相加：12 28 16 56 ,那么每?jī)蓚€(gè)圖形的公共部分的面積都重復(fù)計(jì)算了 1次，因此要排除掉.再“排除” ：56 8 7 x,這樣一來(lái)，三個(gè)圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補(bǔ)回.再“包含” ：

16、56 8 7 x 3,這就是三張紙片覆蓋的面積.根據(jù)上面的分析得：56 8 7 x 3 38,解得：x 6 .【例11】某校五年級(jí)有120名學(xué)生，訂故事大王的有85人，訂兒童漫畫(huà)的有 90人,62人，同時(shí)訂兒童漫訂優(yōu)秀作文選的有 70人，同時(shí)訂故事大王和優(yōu)秀作文選的有畫(huà)和優(yōu)秀作文選的有46人，同時(shí)訂這三種雜志的有21人，此外，還有 5名學(xué)生沒(méi)有訂任何雜志，問(wèn)：恰好只訂了故事大王和兒童漫畫(huà)的有多少人？【解析】 設(shè)同時(shí)訂故事大王和 兒童漫畫(huà)的有X人，有120-85-90-70+62+46+X-21=5 , X=43,所以恰好只訂故事大王和兒童漫畫(huà)的有43-21=22人。容斥原理中的最值問(wèn)題【例12

17、】在陽(yáng)光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水，已知甲澆了 30盆，乙澆了 75盆，丙澆了 80盆，丁澆了 90盆，請(qǐng)問(wèn)恰好被 3個(gè)人澆過(guò)的花最少有多少盆？【解析】為了恰好被 3個(gè)人澆過(guò)的花盆數(shù)量最少，那么被四個(gè)人澆過(guò)的花、兩個(gè)人澆過(guò)的花和一個(gè)人澆過(guò)的花數(shù)量都要盡量多，那么應(yīng)該可以知道被四個(gè)人澆過(guò)的花數(shù)量最多是30盆，那么接下來(lái)就變成乙澆了 45盆，丙澆了 50盆，丁澆60盆了，這時(shí)共有100 30 70盆花，我們要讓這70盆中恰 好被3個(gè)人澆過(guò)的花最少，這就是簡(jiǎn)單的容斥原理了，恰好被3個(gè)人澆過(guò)的花最少有45 50 60 140 15 盆.【小試牛刀】甲、乙、丙同時(shí)給 100盆花澆

18、水.已知甲澆了 78盆，乙澆了 68盆，丙澆了 58盆，那 么3人都澆過(guò)的花最少有多少盆 ？【解析】只考慮甲乙兩人情況，有甲、乙都澆過(guò)的最少為：78+68-100=46盆，此時(shí)甲單獨(dú)澆過(guò)的為78-46=32盆，乙單獨(dú)澆過(guò)的為 68-46=22盆；欲使甲、乙、丙三人都澆過(guò)的花最少時(shí)，應(yīng)將丙澆過(guò)的花盡量分散在兩端.于是三者都澆過(guò)花最少為58-32-22=4盆.【小試牛刀】例題中恰好被1個(gè)人澆過(guò)的花最多有多少盆？【解析】100盆花共被澆水275次，平均每盆被澆2.75次，為了讓被澆1次的花多，我們也需要被澆4次的花盡量多，為 30盆，那么余下70盆共被澆155次，平均每盆被澆 2.21次，說(shuō)明需要一

19、些花被澆3次才可以.我們假設(shè) 70盆都被澆3次，那么多出55次，每盆花少澆 2次變?yōu)楸粷?次最多可以變27次，所以本題答案為 27盆.砧家庭作業(yè)）1 .某校教師至少懂得英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一種語(yǔ)言。已知有 35人懂英語(yǔ)，34人懂日語(yǔ)，兩種語(yǔ)言都懂的有21人。這個(gè)學(xué)校共有多少名教師？【解析】 把懂英語(yǔ)和懂日語(yǔ)白人數(shù)加起來(lái)得35+34=69人，但是，兩種語(yǔ)言都懂的21人被統(tǒng)計(jì)過(guò)兩次，應(yīng)該從69里去掉一個(gè)21才能得出這個(gè)地區(qū)外語(yǔ)教師的總?cè)藬?shù)：6921=48人。2 .在邊長(zhǎng)是10厘米的正方形紙片中間挖掉一個(gè)小正方形后，成為一個(gè)寬度為1厘米的方框，把5個(gè)這樣的方框放在桌面上 （如下圖）。請(qǐng)你算一算：桌面被這些

20、方框所蓋住的面積是多少平方厘米?【解析】（ 102-8 2） X 5-1 2 X 8=172 （平方厘米）3 .張宏、王剛、李立三人練習(xí)投籃球，一共投了100次，有43次沒(méi)投進(jìn)，已知張宏和王剛一共投進(jìn)了 32次，王剛和李立一共投進(jìn)了46次，王剛投進(jìn)了多少次？【解析】 三人投的總次數(shù)減去沒(méi)投進(jìn)的次數(shù)，就是三人共投進(jìn)100-43=57次。張宏和王剛、王剛和李立共投進(jìn)的次數(shù)為 32+46=78次，這是三人共投進(jìn)的次數(shù)，在加上王剛投進(jìn)的次數(shù)，從中減去共投 進(jìn)的次數(shù)，就是王剛投進(jìn)的次數(shù)，列式為 78-57=21次，所以王剛投進(jìn)了 21次。4 .育新小學(xué)舉行各年級(jí)學(xué)生畫(huà)展，其中有18幅畫(huà)不是六年級(jí)的，20

21、幅畫(huà)不是五年級(jí)的。現(xiàn)在知道五、六年級(jí)共展出 22幅畫(huà)，請(qǐng)問(wèn)：其他年級(jí)共展出多少幅畫(huà)？【解析】其中18幅不是六年級(jí)的，換句話(huà)說(shuō)，一至五年級(jí)共展出18幅，20幅不是五年級(jí)的，換句話(huà)說(shuō)，就是一、二、三、四、六年級(jí)共展出20幅，從中可以看出一、二、三、四年級(jí)總張數(shù)的2倍加上五、六年級(jí)張數(shù)的和，一共是 18+20=38幅，又因?yàn)槲?、六年?jí)共展出 22幅畫(huà)，因此一至四年 級(jí)張數(shù)和的2倍是38-22=16張。從而可以求出一至四年級(jí)共展出16 + 2=8張。5 .五（4）班的同學(xué)中有32人喜歡音樂(lè)，27人喜歡美術(shù)，音樂(lè)和美術(shù)都喜歡的有11人，請(qǐng)問(wèn)：五（4）班的學(xué)生中喜歡音樂(lè)或美術(shù)的一共有多少人？【解析】 通過(guò)

22、你自己畫(huà)圖，觀察圖可以看出：32+27 11=48人，就表示五（4）班的學(xué)生中喜歡音樂(lè)或美術(shù)的一共的人數(shù)。答：五（4）班的學(xué)生中喜歡音樂(lè)或美術(shù)的一共有48人。6 .某一個(gè)班共有學(xué)生 50人，參加文藝活動(dòng)的有 28人，參加體育活動(dòng)的有 30人，并且全班每人至 少參加一項(xiàng)活動(dòng)（僅限文藝活動(dòng)或體育活動(dòng)），請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)班這兩項(xiàng)活動(dòng)都參加的有多少人？【解析】30+28=58人表示全班的總?cè)藬?shù) 50人和公共部分重復(fù)統(tǒng)計(jì)了一次的總數(shù)量，58 50=8人，這里的8個(gè)人就是這個(gè)班這兩項(xiàng)活動(dòng)都參加的人數(shù)。7 .分母是385的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？【解析】385=5X 7X 11,不超過(guò)385的正整數(shù)中被5整除的數(shù)有7

23、7個(gè)；被7整除的數(shù)有55個(gè)；被 11整除的數(shù)有35個(gè)；被77整除的數(shù)有5個(gè)；被35整除的數(shù)有11個(gè)；被55整除的數(shù)有7個(gè)；被 385整除的數(shù)有1個(gè)；最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的分子可以有 385-77-55-35+5+11+7-1=240 個(gè)。8 .一次數(shù)學(xué)小測(cè)驗(yàn)只有兩道題，結(jié)果全班有10人全對(duì)，第一題有25人做對(duì)，第二題有18人做錯(cuò)。請(qǐng)問(wèn)：兩道題都做錯(cuò)的有幾個(gè)人？【解析】 我們用A圓表示第一題全對(duì)的，B圓表示第二題全對(duì)的，兩圓公共部分表示兩題全對(duì)的，長(zhǎng)方形表示參加考試人數(shù)，長(zhǎng)方形內(nèi)兩個(gè)圓外表示兩道題全錯(cuò)的人數(shù)。因?yàn)榈谝活}對(duì)的有25人，兩道題全對(duì)的有10人，因此第一題對(duì)第二題錯(cuò)的有 15人。又因?yàn)榈诙}18人

24、做錯(cuò)，18人比15人多 3人，因此這三人只能是第一題錯(cuò)，第二題也錯(cuò)，即兩道題都錯(cuò)的有3人。9 .在1到2004的所有自然數(shù)中，既不是2的倍數(shù)，也不是 3、5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？【解析】1至U 2004中是2的倍數(shù)的有1002個(gè)，3的倍數(shù)的有668個(gè)，5的倍數(shù)的有2004/5=400 個(gè)，6的倍數(shù)的有 334個(gè)，10的倍數(shù)的有2004/10=200 個(gè)，15的倍數(shù)的有2004/15=133 個(gè)，30的倍數(shù)的有2004/30=66 個(gè)。所以不是 2、3、5 的倍數(shù)有 2004-1002-668-400+334+200+133-66=535 個(gè).（“”表示對(duì)內(nèi)的數(shù)取整.）10 .有50個(gè)女孩，她們的皮膚有白的或淺黑色的，眼睛則是藍(lán)色的或褐色的，如果有14個(gè)藍(lán)眼睛白膚色，31個(gè)是淺黑膚色，18個(gè)是褐色眼睛，請(qǐng)問(wèn)：褐色眼睛淺黑膚色的女孩有多少個(gè)？【解析】建議同學(xué)們畫(huà)一個(gè) “統(tǒng)計(jì)表”，因?yàn)楹稚劬ε⑹?18人，所以藍(lán)色眼睛女孩是：50-18=32 人。又因?yàn)樗{(lán)眼睛白膚色女孩是14人，所以藍(lán)眼睛淺黑膚色女孩是32-14=18人。又因?yàn)闇\黑膚色女孩是31人，所以褐色眼睛淺黑膚色女孩有31-18=13人。11 . 一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)12厘米，寬8厘米，另一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng) 10厘米，寬6厘米，它們中間重疊的部分是一個(gè)邊長(zhǎng)4厘米的正方形