高等數(shù)學(xué)教學(xué)

1、高等數(shù)學(xué)教學(xué)23二、微分的幾何意義三、微分公式與法則四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用一、微分的定義 4引例引例:問(wèn)此薄片面積改變了多少? 0 x變到,0 xx邊長(zhǎng)由設(shè)正方形面積為 A , 則2020)(xxxAxx 022)( x關(guān)于x 的線性主部故A稱為函數(shù)在 處的微分0 x0 xxxx 02的高階無(wú)窮小的高階無(wú)窮小0 x時(shí)為時(shí)為x0 x時(shí)時(shí),xx 0一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其5處的微分處的微分,)(xfy 在點(diǎn) x 處的增量可表示為)()(xfxxfy則稱函數(shù))(xfy 而 稱為xA在)(xfx點(diǎn)記作yd, fd或即xAyd定理定理: 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處可微的充要條

2、件是處可微的充要條件是，處可導(dǎo)在點(diǎn) xxfy)(, )(xfA且)( xoxA即xxfyd)(在點(diǎn)x處可微處可微,6時(shí)，當(dāng)xy 則有xdxfyd)( 從而)(xfxdyd導(dǎo)數(shù)也叫作微商導(dǎo)數(shù)也叫作微商dy xx)(xdx已知導(dǎo)數(shù)求微分已知導(dǎo)數(shù)求微分已知微分求導(dǎo)數(shù)已知微分求導(dǎo)數(shù)若)(xfy 則)(limlim00 xxoAxyxxA故)()(xfxxfy)( xoxA，處可導(dǎo)在點(diǎn) xxfy)()(xfA且在點(diǎn) x 處可微，A若)(lim0 xfxyx)(xfxy)0lim(0 xxxxfy)(故)()(xoxxf 線性主部 即)0)(時(shí) xf則，處可導(dǎo)在點(diǎn) xxfy)(xxfyd)(必要性必要性充

3、分性充分性定理定理: 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處可微的充要條件是處可微的充要條件是，處可導(dǎo)在點(diǎn) xxfy)(, )(xfA且即xxfyd)(7例例1 求函數(shù)求函數(shù) 當(dāng)當(dāng)x由由1改變到改變到1.01時(shí)的微分時(shí)的微分.2xy 解解 函數(shù)的微分為函數(shù)的微分為dxxdy)(2，01. 0101. 11dxx由已知02. 001. 012dy所以例例2 求下列函數(shù)的微分：求下列函數(shù)的微分：xysin1）（xxexy 22）（解解)(sin1xddy ）（)2(2xxexddy）（dxxexx)2(dxxeexx)2(dxx)(sinxdxcosxdx28切線縱坐標(biāo)的增量xxfdy)(0 xta

4、nxx0 xyo)(xfy 0 xyyd)()(00 xfxxfy實(shí)例實(shí)例MNTP故dxy 0 x時(shí)時(shí),設(shè)241)(xxf,則 x =2時(shí)切線方程為1 xy9（二）設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則)(. 1vud)(. 2uCd(C 為常數(shù)為常數(shù))(. 3vud)0()(. 4vvudvdud udCvduudv2vvduudv（一）基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P61表)例證：dxuv)(dxvuvu)(dxdxdvuvdxdu)(udvvdu 10例例3 設(shè)設(shè) ，求，求 .05lnyxeydy解法一解法一應(yīng)用微分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系應(yīng)用微分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系方程兩邊同時(shí)求關(guān)于方程兩邊同時(shí)求關(guān)于

5、 x 的導(dǎo)數(shù)得的導(dǎo)數(shù)得01yyyxeeyyyyxyeyey1dxxyeyedyyy1解得解得所以所以11例例3 設(shè)設(shè) ，求，求 .05lnyxeydy解法二解法二應(yīng)用微分法則應(yīng)用微分法則方程兩邊分別求微分得方程兩邊分別求微分得01dyydyxedxeyydxxyeyedyyy1即即所以所以dxedyxeyyy)1(12分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為xdyydxxdxuf)()(ududufyd)( 微分形式不變性微分形式不變性（三）復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)例例4 設(shè)例例5 求)2ln(sin x d，求yd2bxaxey13例例4 設(shè)，求yd2bxaxey解法一解法一d

6、xedybxax)(2dxbxaxebxax)(22dxebxabxax2)2(解法二解法二)(2bxaxeddy)(22bxaxdebxaxdxebxabxax2)2(14例例5 求)2ln(sin x d解法二解法二)2ln(sin x d)2(sin2sin1x dx)2(2cos2sin1xd xxxd x2cot2解法一解法一dxxdy )2ln(sindxxx)2(sin2sin1dxx xx)2(2cos2sin1xd x2cot215)()(0 xoxxfy當(dāng)x很小時(shí),)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(

7、, )() 100好算xfxf.)20靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:16xx,00很小時(shí),xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x證明證明: 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小時(shí)當(dāng) xxx1)1 (特別當(dāng)17180dx29sin的近似值解解: 設(shè),sin)(xxf取300 x,629x則1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(29sin4848. 029sin例例6 求185245的近似值

8、解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3xx1)1 (例例7 計(jì)算19為了提高球面的光潔解解: 已知球體體積為334RV鍍銅體積為 V 在01. 0, 1RR時(shí)體積的增量,VVdV 01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用銅約為16. 113. 09 . 8( g )只球需用銅多少克 )cmg9 . 8:(3銅的密度估計(jì)一下, 每度，要鍍上一層銅 , 厚度定為 0.01cm , 例例8 有一批半徑為1cm 的球 ,201 微分概念 微分的定義及幾何意義 可導(dǎo)可微2 微分運(yùn)算法則微分形式不變性 ：udufufd)()( u 是自變量或中間變量 )3 微分的應(yīng)用近似計(jì)算211. 設(shè)函數(shù))(xfy 的圖形如下, 試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)0 x處的ydy ,及,ydy并說(shuō)明其正負(fù) .yd0 xx00 xxyoy00yyd22xxeded )(arctanxe211xd xxee21xdxdsintan. 3x3secdxxd2sin) (. 4Cx2cos2123)(xyy 由方程063sin33yx