微積分（大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程答案）大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程（二）多元函數(shù)微積分王寶富 鈕海習(xí)題解答（下）

1、習(xí)題11解答設(shè)，求解；設(shè)，證明：求以下函數(shù)的定義域，并畫出定義域的圖形：1234yx11-1-1O解1yx11-1-1O 2yx-a-bcOzab3 4yxOz4求以下各極限：1=2345證明以下極限不存在：1 21證明 如果動點(diǎn)沿趨向那么；如果動點(diǎn)沿趨向，那么所以極限不存在。2證明： 如果動點(diǎn)沿趨向那么；如果動點(diǎn)沿趨向，那么所以極限不存在。6指出以下函數(shù)的間斷點(diǎn)：1； 2。解 1為使函數(shù)表達(dá)式有意義，需，所以在處，函數(shù)間斷。 2為使函數(shù)表達(dá)式有意義，需，所以在處，函數(shù)間斷。習(xí)題1211；. (2) (3), lnz=yln(1+xy)，兩邊同時對y求偏導(dǎo)得 ;(4),(5);(6), ,;2

2、.(1); (2) . 3 ,.4 .5.(1) , , ; (2) ,; (3) , ,; (4) ,.6. 設(shè)對角線為z,那么, 當(dāng)時, =-0.05(m).7. 設(shè)兩腰分別為x、y,斜邊為z,那么，, ,設(shè)x、y、z的絕對誤差分別為、,當(dāng)時, =,z的絕對誤差z的相對誤差.設(shè)內(nèi)半徑為r，內(nèi)高為h，容積為V，那么,當(dāng)時,.習(xí)題131. =.2.=.(1) =, =.(2) =, =,=.(3) =,=,=.(4) =,=.(1),(2) ,.5 ,.6 (1) 設(shè), ,=, =,=,(3) 設(shè), ,=,=.(4) 設(shè),7.設(shè),1. 8.設(shè),.9. (1)方程兩邊同時對x求導(dǎo)得解之得(2)

3、方程兩邊同時對z求導(dǎo)得 解之得 (3) 方程兩邊同時對x求偏導(dǎo)得 解之得同理方程兩邊同時對y求偏導(dǎo)得 解之得習(xí)題14求以下函數(shù)的方向?qū)?shù)1解：2解： 3與軸夾角為解： 由題意知那么 4 求以下函數(shù)的梯度1 解： ,)(2)解：，。一個登山者在山坡上點(diǎn)處，山坡的高度z由公式近似，其中x和y是水平直角坐標(biāo)，他決定按最陡的道路上登，問應(yīng)當(dāng)沿什么方向上登。解：按最陡的道路上登，應(yīng)當(dāng)沿3，4方向上登。解：沿方向解：設(shè)路徑為，在點(diǎn)處在點(diǎn)的切向量為 平行于切向量 因?yàn)檫^習(xí)題1-51、求曲線在對應(yīng)于點(diǎn)處的切線及法平面方程。解：當(dāng)時，故所求切線方程為：，即: 法平面方程為： 即: 2、求以下空間曲線在指定點(diǎn)處的

4、切線和法平面方程1 在點(diǎn)解 ：將方程兩端對x求導(dǎo)，得 在處故所求的切線方程為：法平面方程：2 在點(diǎn)解法1：將方程兩端對x求導(dǎo)，得當(dāng)時，有，故所求的切線方程為：法平面方程： 即：解法2：將方程組兩端求微分：得曲線在點(diǎn)處的切向量為 3. 題略解：1令 Fx，y，z=arctg-z, = -1，曲面在點(diǎn)P的切平面方程為：-，即： x - y - 2z -=0；法線方程為：，即： ；2令那么，曲面在點(diǎn)(1,1,1)點(diǎn)處的切平面的法向量為：故所求的切平面方程為：即： 法線方程為： 3令Fx，y，z=2+2-8，=-16ln2，曲面在點(diǎn)P的切平面方程為：4ln2x-2-4ln2y-2-16ln2z-1=0

5、， 即：x-y-4z=0，法線方程為：，即：4、解：， 又拋物線在(1,2)點(diǎn)處的切線斜率為：拋物線在(1,2)點(diǎn)處偏向x軸正向的切線方向?yàn)楣仕蟮姆较驅(qū)?shù)為：習(xí)題1-61題略. 解：由 ,有 x=2, y=-2, 即P(2, -2)為 f(x,y) 的駐點(diǎn),又 DP=40,=-2故P (2,-2)為f(x,y)的極大值點(diǎn), 其極大值為f(2,-2)=8. 2題略. 解：由 有 駐點(diǎn)：(5,6)和 ，而在點(diǎn)(5,6)取得極小值 又在點(diǎn)不取得極值3、求在閉區(qū)域上的最大值和最小值解：由，得唯一駐點(diǎn)(0,0)又在邊界即橢圓上, 由，得駐點(diǎn)：所有可能的極值點(diǎn)為：(0,0) (2,0) (-2,0) 0

6、,-1 (0,1)相應(yīng)的函數(shù)值為： 0 4 4 -1 -14、求拋物線和直線之間的最短距離。解：設(shè)P(x,y)為拋物線上任意一點(diǎn)，它到直線的距離為，d最小當(dāng)且僅當(dāng)最小此問題即是求在條件下的最小值。解法1用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)由，即得唯一駐點(diǎn)故由實(shí)際問題知拋物線和直線之間的最短距離在在，為：解法2轉(zhuǎn)化為無條件極值設(shè)拋物線上點(diǎn)，它到直線的距離為d最小當(dāng)且僅當(dāng)最小設(shè) 唯一駐點(diǎn)當(dāng)時，有極小值，從而該極小值就是所求的最小值唯一駐點(diǎn)=故拋物線和直線之間的最短距離為5、求拋物線被平面截成一橢圓，求原點(diǎn)到此橢圓的最長與最短距離。解：設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)為(x,y,z)，它到原點(diǎn)的距離為此問題即是求在條件下的最大值和最小值。令由 由-得假設(shè)代入，得，再代入，0, 不合題意，有代入，由，解得， 駐點(diǎn)為：和，由實(shí)際問題知，所求最大值和最小值存在，分別為和6題略.解: 設(shè)圓柱高為H,圓錐高為h ,圓柱圓錐底半徑為r,那么浮標(biāo)體積V=, 故:3V-=0 (1)浮標(biāo)外表積S(r,h,H)= 令L(r,h,H)=+ 由=0 2 =0 (3) (4)有, 代入3有, 故, r=h,再由2，有H=h, h=, ( r,)為S(r,h,H) 唯一駐點(diǎn)，由于實(shí)際