【高三數(shù)學(xué)】高中數(shù)學(xué)向量章節(jié)知識點與高考（共12頁）

1、一、知識結(jié)構(gòu)：二、根本知識點：1.向量的概念：(1)向量的根本要素：大小和方向(2)向量的表示：幾何表示法 ，；坐標(biāo)表示法(3)向量的長度：即向量的大小，記作(4)特殊的向量：零向量0.單位向量為單位向量1(5)相等的向量：大小相等，方向相同.由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量2.向量的運算：向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量內(nèi)積及其各運算的坐標(biāo)表示和性質(zhì) 3.重要定理、公式(1)平面向量根本定理：是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對實數(shù)，使 (2)兩個向量平行的充要條件(3)兩個向量垂直

2、的充要條件O(4)線段的定比分點公式設(shè)點P分有向線段所成的比為，即，那么 (向量公式) (坐標(biāo)公式)當(dāng)1時，得中點公式：或(5)平移公式 設(shè)點按向量平移后得到點，那么+或，曲線按向量平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為： (6) 正弦定理：余弦定理： ，三、穩(wěn)固訓(xùn)練高考試題廣東卷1平面向量，且，那么x= A. 3 B. 1 C. 1 D . 3全國卷三理10文(11) 在中，那么邊上的高為 A. B. C. D. 全國卷四理11文12ABC中，a，b，ca，b，c成等差數(shù)列，B=30，ABC的面積為，那么b= A B C D全國卷四文15向量,滿足(-)(2+)=-4,且|=2,|=4,那么與夾角的

3、余弦值等于 ()天津卷理3文4. 假設(shè)平面向量與向量的夾角是，且，那么A. B. C. D. 天津卷文14. 向量，假設(shè)與垂直，那么實數(shù)等于 1浙江卷文理14.平面上三點A,B,C滿足那么的值等于 -25福建卷文理8、是非零向量且滿足(2) ，(2) ，那么與的夾角是A B C D湖南卷文8向量,向量那么的最大值，最小值分別是 ABC16，0D4，0江蘇卷16.平面向量中，=(4，-3)，=1，且=5，那么向量=_上海卷文理6點A(1, 2),假設(shè)向量與=2,3同向, =2,那么點B的坐標(biāo)為 (5,4)全國卷一文理3,均為單位向量,它們的夾角為60,那么|+3|=A B C D4全國卷二理9平

4、面上直線的方向向量，點O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分別是O1和A1，那么，其中 ABC2D2全國卷二文9向量、滿足：|1，|2，|2，那么| A1BCD重慶卷文理6假設(shè)向量的夾角為，,那么向量的模為： A 2 B 4 C 6 D 12湖北卷理4文7為非零的平面向量. 甲： A甲是乙的充分條件但不是必要條件 B甲是乙的必要條件但不是充分條件C甲是乙的充要條件 D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件湖北卷文理19 如圖，在RtABC中，BC=a，假設(shè)長為2a的線段PQ以點A為中點，問的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值 (一)平面向量1考試內(nèi)容：向量，向量的加法與減法，實數(shù)與向量的

5、積，平面向量的坐標(biāo)表示，線段的定比分點，平面向量的數(shù)量積，平面兩點間的距離，平移2考試要求：1理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念2掌握向量的加法和減法3掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件4了解平面向量的根本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運算5掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度，角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件6掌握平面兩點間的距離公式，以及線段的定比分點和中點坐標(biāo)公式，并且能熟練運用，掌握平移公式3四年試題：2000文(2)，理(4)設(shè)a,b,c是任意的非零平面向量，且相互不共線，那么(ab)c(ca

6、)b=0；|a|b|ab|；(bc)a(ca)b不與c垂直；(3a2b)(3a2b)=9|a|24|b|2.中，是真命題的有分值5難度文史理工052064 2000文(22)，理(22)如圖，梯形中，點滿足，雙曲線過三點，且以為焦點，當(dāng)時，求雙曲線離心率的取值范圍 DAEBC：文史類，題目中的給出具體的值，求離心率的值分值14難度文史理工0070082001文(5)假設(shè)向量a=(3,2)，b=(0,-1)，那么向量2ba的坐標(biāo)是分值5難度0905 (2001理(5)假設(shè)向量a=(1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，那么c=a+bababa+b 分值5難度0935 (2001文(10)

7、，理(10)設(shè)坐標(biāo)原點為，拋物線與過焦點的直線交于兩點，那么分值5難度文史理工062007902002文(12)，理(10)平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，兩點，假設(shè)點滿足，其中，且，那么點的軌跡方程為 分值5難度文史理工045306232002文(22)，理(21)兩點，且點使，成公差小于的等差數(shù)列點的軌跡是什么曲線？假設(shè)點坐標(biāo)為，記為與的夾角，求分值12難度文史理工0160252003文(8)，理(4)是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，那么點的軌跡一定通過的( ) (A)外心 (B)內(nèi)心 (C)重心 (D)垂心分 值 5難 度文 史理 工2003文(22)，理(21) 常數(shù)，

8、向量c = ， i = (1，0)，經(jīng)過原點以c+i 為方向向量的直線與經(jīng)過定點以i -2c為方向向量的直線相交于點，其中R，試問：是否存在兩個定點，使得為定值， 假設(shè)存在，求出的坐標(biāo)， 假設(shè)不存在，說明理由分 值文14 理12難 度文 史理 工4命題趨勢2000年- 考查向量根本概念，定比分點公式;2001年- 考查向量坐標(biāo)運算， 向量的數(shù)量積;2002年- 考查向量坐標(biāo)運算，根本定理， 向量與數(shù)列的綜合;2003年- 考查向量與平面幾何的綜合; 向量與解析幾何的綜合;四年的命題表達(dá)了平面向量考查的三個層次(見?考試說明解析?中國考試2003NO3)第一層次：主要考查平面向量的性質(zhì)和運算法那

9、么，以及根本運算技能，數(shù)乘要求考生掌握平面向量的和，差，數(shù)乘和內(nèi)積的運算法那么，理解其直觀的幾何意義，并能正確地進(jìn)行運算(2000年的考題)第二層次：主要考查平面向量的坐標(biāo)表示，向量的線性運算(2001年的考題)第三層次：和其他數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)合在一起，如可以和曲線，數(shù)列等根底知識結(jié)合，考查邏輯推理和運算能力等綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，將幾何知識和代數(shù)知識有機(jī)地結(jié)合在一起，能為多角度的展開解題思路提供廣闊的空間。題目對根底知識和技能的考查一般由淺入深，入手并不難，但要圓滿完成解答，那么需要嚴(yán)密的邏輯推理和準(zhǔn)確的計算。5復(fù)習(xí)建議1充分認(rèn)識平面向量具有幾何形式和代數(shù)形式的雙重

10、身份，是數(shù)形結(jié)合的重要表達(dá)，因此，平面向量容易成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點。2在根底知識復(fù)習(xí)時，要注意向量考查的層次，分層次進(jìn)行復(fù)習(xí)。第一層次：復(fù)習(xí)好向量本身的內(nèi)容，包括平面向量的主要概念，主要運算：和、差、數(shù)乘、內(nèi)積的運算法那么，定律，幾何意義及應(yīng)用。第二層次：平面向量本身的綜合，特別是平面向量的坐標(biāo)表示，線性運算，根本定理以及內(nèi)積的應(yīng)用，以及課本例題的教學(xué)價值，例如2002年的選擇題 2002文(12)，理(10)平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，兩點，假設(shè)點滿足，其中，且，那么點的軌跡方程為 這道題可以用向量的坐標(biāo)表示計算。設(shè)，由題意于是2得于是點的軌跡方程為但是如果利用平面向量根本定理一節(jié)

11、中課本的一道例題例5，不共線，那么有 ，如果用表示，表示，那么有這里給出了共線的一個條件而2002年選擇題恰恰就是這個例題的變化，因此點在兩點確定的直線上，利用兩點式直線方程公式立即有，即從這道試題可以啟發(fā)我們，在教學(xué)中一定要落實課本，落實課本的例題，挖掘課本例題在培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力上的作用第三層次：平面向量與其它知識的結(jié)合。A與平面幾何的結(jié)合：在平行四邊形中，假設(shè)，那么，即菱形模型。假設(shè)，那么，即矩形模型。在中，是的外心；一定過的中點；通過的重心；，是的重心；，是的垂心；通過的內(nèi)心；那么是的內(nèi)心；B與代數(shù)的結(jié)合弄清實數(shù)乘積與平面向量數(shù)量積的異同點：向量的數(shù)量積與實數(shù)的積的相同點：實數(shù)的乘積向量的數(shù)

12、量積運算的結(jié)果是一個實數(shù)運算的結(jié)果是一個實數(shù)交換律分配律 且 |向量的數(shù)量積與實數(shù)的積的不同點：實數(shù)的乘積向量的數(shù)量積結(jié)合律或 代數(shù)不等式：由, ，可得 。C與解析幾何結(jié)合定比分點公式假設(shè)，那么是的定比分點，為定比，滿足。點向式直線方程點及方向向量，可確定過，以為方向向量的直線方程為 .3精選典型例題及練習(xí)題擴(kuò)大學(xué)生的解題視野。例1、a=，b，c=a+b，是否存在實數(shù)，使a 與c的夾角為銳角，假設(shè)存在，求出的取值范圍，假設(shè)不存在，請說明理由?？疾閿?shù)量積的應(yīng)用及嚴(yán)密的推理能力例2、在坐標(biāo)平面上有兩個向量a，b，其中。證明a+ba- b； ka+b = a-kb ，求的值，其中為非零常數(shù)?？疾閿?shù)量

13、積與三角函數(shù)綜合例3、的面積為，且。假設(shè)，求向量與的夾角的取值范圍；記，假設(shè)以為中心，為焦點的橢圓經(jīng)過點，當(dāng)取得最小值時，求此橢圓方程?？疾槠矫嫦蛄康臄?shù)量積，三角函數(shù)的值，解析幾何，函數(shù)最值的綜合例4、，假設(shè)，。求的解析式；假設(shè)點在曲線上運動，求在時的最小值；把的圖像按向量a平移得到曲線，過坐標(biāo)原點作交于兩點，直線交軸于點，當(dāng)為銳角時，求的取值范圍。考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，函數(shù)的最值，圖像的平移，解不等式，解析幾何的有關(guān)知識例5、是否存在4個平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個向量的和與其余兩個向量之和垂直。存在性問題，向量的根本運算與平面幾何綜合例6、一條河的兩岸平行，河寬，一小船從處出

14、發(fā)航行到對岸，小船速度為v1，且 v1 /秒，水流速度為v2， v2 /秒。()當(dāng)v1，v2夾角為多大時，船才能到達(dá)對岸處，此時位移的大小，方向怎樣？時間是多少？() 當(dāng)v1，v2夾角為多大時，小船航行的時間最少？此時位移的大小方向怎樣？時間是多少？下面是解立體幾何一些簡單的公式定例： 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)。 1判定直線在平面內(nèi)的依據(jù) 2判定點在平面內(nèi)的方法 公理2：如果兩個平面有一個公共點，那它還有其它公共點，這些公共點的集合是一條直線 。 1判定兩個平面相交的依據(jù) 2判定假設(shè)干個點在兩個相交平面的交線上 公理3：經(jīng)過不在一條直線上的

15、三點，有且只有一個平面。 1確定一個平面的依據(jù) 2判定假設(shè)干個點共面的依據(jù) 推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且僅有一個平面。 1判定假設(shè)干條直線共面的依據(jù) 2判斷假設(shè)干個平面重合的依據(jù) 3判斷幾何圖形是平面圖形的依據(jù) 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且僅有一個平面。 推論3：經(jīng)過兩條平行線，有且僅有一個平面。 立體幾何 直線與平面 空 間 二 直 線 平行直線 公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。 異面直線 空 間 直 線 和 平 面 位 置 關(guān) 系 1直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點 2直線和平面相交有且

16、只有一個公共點 3直線和平面平行沒有公共點 立體幾何 直線與平面 直線與平面所成的角 1平面的斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線與平面所成的角 2一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角 3一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，定義它和平面所成的角是0度的角 三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直 三垂線逆定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直 空間兩個平面 兩個平面平行 判定 性質(zhì) 1如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 2垂直于同一直線的兩個平面平行 1兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面 2如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 3一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面 相交的兩平面 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的線，這兩個半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個面內(nèi)分另作垂直棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 兩平面垂直 判定 性質(zhì) 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 1假設(shè)二平面垂直，那么在一個平面