4-0第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法

1、4-1 根軌跡法的基本概念第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法4-3 廣義根軌跡4-2 根軌跡繪制的基本規(guī)則4-4 系統(tǒng)性能分析 勘誤與作業(yè)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)的閉環(huán)極點確定。研究系統(tǒng)參數(shù)變化對閉環(huán)系統(tǒng)特性的影響，是分析系統(tǒng)和設(shè)計控制器的重要內(nèi)容。 的影響上。很困難，且不易理解。圖解法是一種方便的近似對于高階系統(tǒng)，用解析方法說明這種影響，方法。參數(shù)變化對系統(tǒng)的作用，體現(xiàn)在對閉環(huán)極點1. 根軌跡概念根軌跡概念 4-1 根軌跡法的基本概念根軌跡法： 根據(jù)參數(shù)變化 0 ，研究系統(tǒng)數(shù)變化時圖解特征方程。器提供依據(jù)。 實軸的交點等，根軌跡要準(zhǔn)確；閉環(huán)極點變化軌跡的一種圖解方法。圖，可以確定合適的系統(tǒng)參數(shù)，為設(shè)計

2、控制近似作圖； 重要區(qū)域，如與虛軸的交點、與即在參依據(jù)根軌跡參數(shù)變化改變閉環(huán)極點的簡單例子如下：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和特征方程依次為閉環(huán)極點為；KssKs222)(2；0222KssK 00.5s1 0-1 ；Ks2112, 1_ R(s)C(s) 15 . 0(ssKs2 -2-1K 0.5Ims1 0Ims2 0-j0-2- 1開環(huán)極點， 開環(huán)零點。2. 根軌跡與系統(tǒng)性能以圖4-2為例： (1) 穩(wěn)定性：穩(wěn)定性： 根軌跡始終都處于S 平面左半部，表明無論參(2) 穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)性能： 在研究開環(huán)增益對閉環(huán)極點作用時，據(jù)在原點處的開環(huán)極點個數(shù)就可以知道圖4-2j0-2- 1數(shù)取多大的值，閉環(huán)系

3、統(tǒng)總是穩(wěn)定的；若在參數(shù)的某些取值范圍，有根軌跡段(閉環(huán)極點)處于S平面右半部，則閉環(huán)系統(tǒng)在該參數(shù)范圍不穩(wěn)定。根軌跡與虛軸的交點處的參數(shù)值，為參數(shù)臨界值。系統(tǒng)的誤差型別。；niimjjnnnnmmmmpszskasasasbsbsbsbsHsG111111110)()()()(3) 動態(tài)性能動態(tài)性能：從根軌跡上的共軛復(fù)數(shù)極點，能夠知道該振蕩模態(tài)的阻尼系數(shù)，對高階系統(tǒng)3. 根軌跡方程跡圖的標(biāo)準(zhǔn)形式的特征方程。的動態(tài)性能有粗略估計。根軌跡方程實際上是便于應(yīng)用規(guī)則繪制根軌例 已知負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)特征方程 ；0)()(11niimjjpszsk根軌跡方程 。1)(/ )(11niimjjpszsk

4、例 已知負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)；) 15() 12( 5)()(sssTsHsGa例 已知負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)特征方程 ；0212 . 02sTssa根軌跡方程 。；aTksssk2112 . 02；)1)(1(2)()(TssssHsG特征方程 ；02)1(22sssTs根軌跡方程 。；Tkssssk11) 1()2(22(1) 根軌跡方程( 180) 等式右邊為-1 ( 0,+1)；根軌跡方程的特點(3) 變化的參數(shù)以規(guī)范形式 k 出現(xiàn)在分子上；幅值條件相角條件。1)()()()(11niimjjpszsksAsBK(2) 分母的階次大于等于分子的階次，n m；1| )(| )(|11n

5、iimjjpszsksAsBK180)()(11niimjjpszs復(fù)平面 S 上的一點處于根軌跡上， 必須滿只有根軌跡上的點足根軌跡方程；繪制根軌跡的主要依據(jù)是相角條件。 4. 根軌跡法中常用術(shù)語幅值等于1，由于 k 是變化的，任何點s都能滿足幅值條件；s才能滿足相角條件，相角等于 180o ( 或0o )。 (2) 根軌跡的起點和終點；（起點為開環(huán)極點，(3) 根軌跡的分支數(shù)；（等于開環(huán)極點的個數(shù)，(1) 根軌跡；終點為開環(huán)零點或無窮遠(yuǎn)處）(4) 根軌跡的分離點與匯合點。（閉環(huán)重極點，重合點）兩條根軌跡不相交）遵循一些作圖規(guī)則，能夠方便地繪制近似的4-2 根軌跡繪制的基本規(guī)則（180O）根

6、軌跡圖形。根據(jù)系統(tǒng)的方框圖，先列寫系統(tǒng)的方程，最后，遵循規(guī)則，概略繪制根軌跡圖。1. 繪制根軌跡的基本規(guī)則 點終止于開環(huán)零點或無窮遠(yuǎn)處；特征方程，再根據(jù)變化的參數(shù)寫出規(guī)范的根軌跡GZ1： 根軌跡的起點和終點；根軌跡始于開環(huán)極；0/ )()(0)()(ksAsBsAsBk；：；：0)(0)(0sBksAk；，snmsBsAk)(/)(認(rèn)真繪制一半根軌跡，另一半對稱畫出。CZ3： 根軌跡的漸近線(與實軸的交點和夾角)；根軌跡關(guān)于實軸利用對稱性，只需GZ2： 根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性；分支在開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m時，有n-m支所漸近的直線。這些漸近線與實軸相交于條漸近線，表示終止于無窮遠(yuǎn)

7、處的根軌跡分同一點，與實軸的夾角滿足相角條件。數(shù)與開環(huán)極點的個數(shù)相等；對稱；根軌跡是連續(xù)的。；mnzpnimjjia11；mnll) 12(GZ5： 根軌跡與實軸的交點；交點為重極點，滿側(cè)實開環(huán)極點和實開環(huán)零點的總數(shù)為奇數(shù)。GZ4： 根軌跡在實軸上的分布；實軸上的一點，足方程設(shè) k =kx、sx是 i 重極點，特征方程可表示成得到方程組即 在根軌跡上的充要條件是，該點右s；0)()()()(sBsAsBsAss；)(/ )(xxxsBsAk；)()()()()()(1sCsssssssAsBkixinjjixx；)()()()()()(1sCsssCisssAsBksxixssx；0)()(0

8、)()(xsxsxxxxsAsBksAsBk*實軸上的根軌跡（-3,-2）,（-1,0）；試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡。 例4-1 負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：根軌跡方程為 * p1=0，) 3)(2() 1()(ssssksG；1) 3)(2() 1(sssskz1p1p2p3p2=-2，p3=-3；z1=-1； n-m =2；*兩條漸近線，2a；90a*與實軸的交點，；035423sss，46557. 2x。41859. 0 xkReIm；nliiimjjlpszskps, 11)()() 12()(射角和開環(huán)零點的入射角）由相角條件導(dǎo)出例4-2負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為GZ6： 根軌跡的起始

9、角和終止角（開環(huán)極點的出；mljjjlniilzlzzpz, 11)()(180記為同理有；nliiilmjjlplppzp, 11)()(180試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。 ，15 . 0) 15 . 0()(2sssksG*實軸上的根軌跡(-,-2)注注：具有一個開環(huán)零點的二階根軌跡方程，實軸解：根軌跡方程為*起始角 * p1,2=-1j；122) 2(2ssskz1=-2；n-m =1；*與實軸的交點，；0242 ss，414. 3x。828. 4xkz1p1p2；1352p；13590)1 (1801jp)587. 0(x外的根軌跡是圓周的一部分。圓心為開環(huán)零點。ReImz1p1p2z2z3p

10、3p4*實軸上的根軌跡（-,-2.5）,（-1.5,0）；試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡。 例4-3 負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：根軌跡方程 G(s)=-1；* p1=0，) 5 . 2)(5 . 2() 54)(5 . 1()(22sssssssksGp2=-2.5，p3,4=-0.5j1.5；z1=-1.5； z2,3=-2j；*起始角，終止角；5 .784p；5 .783p；7 .1493z；7 .1492zn-m =1；ReIm滿足特征(根軌跡)方程。由實部和虛部方程解出交點c和kc。 例4-4負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為GZ7：根軌跡與虛軸的交點；即虛軸上的點j，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。 ，)2

11、2)(3()(2ssssksG解：根軌跡方程 G(s)=-1；p1p2p3p4* p1=0， p2=-3，p3,4=-1 j；*四條漸近線n-m =4；，25. 1a；，13545aReImp1p2p3p4*起始角*與虛軸的交點*實軸上的根軌跡(-3，0)；*與實軸的交點；6 .714p901803p；05 . 1475. 323sss，2886. 2x；332. 4xk；：08Re24k；：0)65(Im2；095. 1c；16. 8ck)2()1(jj；6 .71ReIm之和與開環(huán)極點之和相等。即隨著 k 增大，一部分極點向左移動時，另一部分極點向右移動。GZ8：閉環(huán)極點之和；當(dāng) n -

12、m 2 時，閉環(huán)極點2. 閉環(huán)極點的確定據(jù)多項式系數(shù)與多項式零點的關(guān)系，在已知例4-5 繼例4-4，(1) 已知部分閉環(huán)極點 s1,2 = j1.095 計算另外2個閉環(huán)極點。部分極點時，可以求出剩余極點。；43214321ppppssss；ckkssss14321；543 ss；8055. 643ss解得，s3,4 = -2.5 j 0.745。個閉環(huán)極點。(2) 已知部分閉環(huán)極點 s1,2 = 2.2886，計算另外2得知 k =4時，方程在(-3,-2.2886 )和(-2.2886,0 )區(qū)間(3) 試確定 k = 4 的閉環(huán)極點。對應(yīng)的特征方程為上各有一個接近 -2.2886 的實根

13、。 ；04685234ssss；43214321ppppssss；xkkssss14321；4228. 043 ss；8271. 043ss解得，s3,4 = -0.2114 j 0.8845。由根軌跡與實軸交點，2886. 2x，332. 4xk試探法計算出再計算得。85787. 023931. 04, 3js，21s；52138. 22s控制系統(tǒng)關(guān)于開環(huán)增益 K 的根軌跡稱為基本4-3 廣義根軌跡的根軌跡，關(guān)于系統(tǒng)其他參數(shù)的根軌跡統(tǒng)稱為廣軌跡方程，按規(guī)則繪圖。1. 參數(shù)根軌跡義根軌跡。例4-6 系統(tǒng)和系統(tǒng)如圖所示 繪制廣義根軌跡的方法是，列寫出規(guī)范的根_ R(s)Ta s+1C(s) 15

14、(5ss_ R(s)Ta s+1C(s) 15(5ss系統(tǒng) 系統(tǒng)系統(tǒng)和的開環(huán)傳遞函數(shù)相同，關(guān)于Ta的根軌跡方程為兩個系統(tǒng)根軌跡相同，系統(tǒng)性能相同嗎？，112 . 02sssk；) 15() 1(5)()(sssTsHsGa；aTk 系統(tǒng)和的閉環(huán)傳遞函數(shù)不相同，；sTsssTsaa12 . 01)(2II；sTssa12 . 012III系統(tǒng)和的性能不相同！ReIm初始條件相同且輸入恒為零時，兩系統(tǒng)的輸出演變完全相同。零點，經(jīng)計算得根軌跡與虛軸的交點其中K 可自定，試參數(shù)Ta對系統(tǒng)性能的影響。例4-7 負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：根軌跡方程為 * p1,2=0，) 1)(1() 1()(sTs

15、ssKsGa，1) 1()(22ssKsskp3=-1；當(dāng)K1時，根軌跡方程有一對共軛復(fù)數(shù)開環(huán)即 k K -1或 Ta 1/(K-1)時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。K的取值，僅改變開環(huán)零點的位置。 z1,2=-0.5(0.25-K)1/2； n-m =1；2/1) 1(Kckc=K -1；aTk1點，但根軌跡與虛軸無交點，無論 k 或Ta 取任何正值，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。當(dāng) 0.25 K1 時，也有一對共軛復(fù)數(shù)開環(huán)零當(dāng)0 K0.25時，根軌跡方程有兩個不等的取K=0.09作關(guān)于Ta的根軌跡任何正值，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的；負(fù)實零點，根軌跡與虛軸無交點，無論 k 或Ta 取p1=0p3=-1z1=-0.1z2=

16、-0.9p2=0ReIm平面右半部的系統(tǒng)。附加零點對閉環(huán)系統(tǒng)性能的作用體現(xiàn)在改變2. 附加開環(huán)零點的作用根軌跡的形狀和走向；的選擇應(yīng)兼顧穩(wěn)定性和動態(tài)性能。 例 圖4-22；例 圖4-23。 非最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)：有開環(huán)極點或開環(huán)零點位于S 條件為0，需要繪制零度根軌跡。 附加零點位置3. 零度根軌跡 零度根軌跡零度根軌跡：根軌跡方程等號右邊為+1時，相角適當(dāng)?shù)母郊恿泓c減少漸近線條數(shù)，能夠改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。相差 180， 繪制根軌跡的規(guī)則相似，僅與相角零度根軌跡與 180 度根軌跡僅僅是相角條件有關(guān)的規(guī)則不同( 相差180)， 即修改CZ3： 根軌跡的漸近線與實軸的夾角；)/(2mnll

17、側(cè)實開環(huán)極點和實開環(huán)零點的總數(shù)為偶數(shù)偶數(shù)。GZ4： 根軌跡在實軸上的分布；實軸上的一點，即 在根軌跡上的充要條件是，該點右s射角和開環(huán)零點的入射角）GZ6： 根軌跡的起始角和終止角（開環(huán)極點的出；nizl10；mjpl10 p2,3=-1j；試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。例4-8 正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：根軌跡方程為 ，)22)(3()2()()(2ssssksHsG；1)22)(3() 2(2ssssk*實軸上的根軌跡* p1=-3；z1=-2； n-m =2；z1p2p3p1(-,-3)， (-2,+)；*與實軸的交點，；05105 . 523sss，8026. 0 x。9067. 1xkRe

18、Im*起始角*與虛軸的交點；6 .713p；6 .71)2(90)1 (02jjpz1p2p3p1；026)8 (523kskss；：04 . 02 . 1Re2k；：0)8(Im2k；0c；3ckReIm高階系統(tǒng)的近似分析，應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點。4-4 系統(tǒng)性能的分析1. 閉環(huán)零極點與時間響應(yīng)偶極子的作用可以忽略；距離虛軸較遠(yuǎn)的零、極點的作用可以忽略；點-( a+)和 a 是一對偶極子，該系統(tǒng)近似為相對距離很近的一對零、極點稱為偶極子；例 若 則零；)22)(2)(2ssasasaas，0a即忽略偶極子的作用。；222)(2sss接近原點的偶極子作用將在第六章討論。2. 系統(tǒng)性能的定性分析關(guān)于閉環(huán)零、極點位置對時間響應(yīng)性能的(2) 運動形式；影響：(P165)(3) 超調(diào)量；(1) 穩(wěn)定性；(4) 調(diào)節(jié)時間；(5) 實數(shù)零點極點影響