第六章相關(guān)與回歸()

1、 相互聯(lián)系與相互影響是普遍的現(xiàn)象受教育的水平工作后的收入預(yù)防疾病支出疾病的發(fā)病率 客觀現(xiàn)象總是普遍聯(lián)系和相互依存的，當(dāng)我們用變量來(lái)反映這些現(xiàn)象的特征時(shí)，便表現(xiàn)為變量之間的依存關(guān)系。 如商品價(jià)格的變化會(huì)刺激或抑制商品銷售量的變化；勞動(dòng)力素質(zhì)的高低會(huì)影響企業(yè)的效益；原材料、直接人工的價(jià)格變化對(duì)產(chǎn)品銷售成本有直接的影響，糧食畝產(chǎn)量與施肥量、降雨量、溫度之間的關(guān)系等。 在經(jīng)濟(jì)管理和其他領(lǐng)域中，人們經(jīng)常需要研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)變量(現(xiàn)象)之間的相互(因果)關(guān)系，并使用數(shù)學(xué)模型來(lái)加以描述和解釋。相關(guān)與回歸分析是定量分析現(xiàn)象之間相互依存關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法之一,是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，它在自然科學(xué)、管理科學(xué)和社會(huì)

2、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用。 第第6 6章章 相關(guān)與回歸分析相關(guān)與回歸分析學(xué)習(xí)目的和要求： 本章介紹相關(guān)分析與回歸分析的基本概念與分類，計(jì)算簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)，對(duì)一元線性回歸模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)、模型檢驗(yàn)、估計(jì)與預(yù)測(cè)等內(nèi)容。返回6.1 6.1 相 關(guān) 關(guān) 系 概 述6.26.2線性相關(guān)關(guān)系測(cè)定6.36.3一元線性回歸分析 互有聯(lián)系的客觀現(xiàn)象(變量)間關(guān)系的緊密程度各不一樣。歸納起來(lái)，現(xiàn)象間的依存關(guān)系大致可以分成兩種類型：函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系完全確定性的關(guān)系相關(guān)關(guān)系不完全確定的關(guān)系6.1 相關(guān)關(guān)系概述6.1.1 變量間的相互關(guān)系例：價(jià)格不變時(shí)商品銷售收入與銷售量的關(guān)系。Y = cX銷售收入銷售量Y

3、 與 X 間的確定性關(guān)系 （一）函數(shù)關(guān)系定義：現(xiàn)象之間存在著完全確定的依存關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)或一組變量每取一個(gè)值時(shí)，相應(yīng)的另一個(gè)變量必然有一個(gè)確定值與之對(duì)應(yīng) 。 函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)確定的公式，即函數(shù)式來(lái)表示。 ),(21nxxxfy 或：Y=F（X） 然而，現(xiàn)實(shí)世界中還有不少情況是現(xiàn)象之間有著密切的聯(lián)系，但密切的程度并沒(méi)有達(dá)到由一個(gè)（幾個(gè)）變量可以完全確定另一個(gè)變量的程度，它們之間是一種非確定性的關(guān)系。 變量之間的不確定的依存關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系（統(tǒng)計(jì)關(guān)系）。這種統(tǒng)計(jì)關(guān)系規(guī)律性的研究是相關(guān)分析和回歸分析研究的主要對(duì)象。家庭收入家庭消費(fèi)支出（二）相關(guān)關(guān)系 定義：現(xiàn)象之間存在有依存關(guān)系，但這種關(guān)系是不完全

4、確定的隨機(jī)關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)或一組變量每取一個(gè)值時(shí)，相應(yīng)的另一個(gè)變量可能有多個(gè)不同 值與之對(duì)應(yīng) 。相關(guān)關(guān)系可用統(tǒng)計(jì)模型),(21nxxxfy或：Y=F（X）+式中， 為影響Y的除X外的其他隨機(jī)因素。 非確定性關(guān)系 （1）單一因果關(guān)系(如貨物運(yùn)輸量與貨車保有輛數(shù)之間 )； （2）互為因果關(guān)系(如鐵路運(yùn)輸業(yè)的發(fā)展水平與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平之間) ； （3）伴隨關(guān)系(共變關(guān)系，如工資與物價(jià)的變動(dòng)) 。現(xiàn)象間數(shù)量依存關(guān)系的形式： 變量間的依存關(guān)系在許多情況下表現(xiàn)為因果關(guān)系，其中一個(gè)或若干個(gè)起著影響作用的變量稱為自變量，通常用 X 表示，它是引起另一現(xiàn)象變化的原因，通常是可以控制、給定的值；而受自變量影響的變量稱為

5、因變量，通常用 Y 表示，它是自變量變化的結(jié)果，是不確定的值。(三) 相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別 （2）函數(shù)關(guān)系可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式精確表示出來(lái)，而相關(guān)關(guān)系只能通過(guò)研究變量間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律才能得到。 （1）函數(shù)關(guān)系中的變量之間的關(guān)系是完全確定的，而相關(guān)關(guān)系中的變量之間的關(guān)系是不完全確定的。 由于有觀察或測(cè)量誤差等原因，函數(shù)關(guān)系在實(shí)際中往往通過(guò)相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)。在研究相關(guān)關(guān)系時(shí)，又常常要使用函數(shù)關(guān)系的形式來(lái)表現(xiàn)，以便找到相關(guān)關(guān)系的一般數(shù)量表現(xiàn)形式。 為此，在研究相關(guān)關(guān)系時(shí)，又常常使用函數(shù)關(guān)系作為工具，用一定的函數(shù)關(guān)系表現(xiàn)相關(guān)關(guān)系的數(shù)量聯(lián)系。（一）按相關(guān)的程度分6.1 相關(guān)關(guān)系概述6.1.2 相關(guān)關(guān)系

6、的種類 當(dāng)一種現(xiàn)象的數(shù)量變化完全由其它現(xiàn)象的數(shù)量變化所確定時(shí)，此時(shí)現(xiàn)象的關(guān)系為完全相關(guān)。 如：在價(jià)格不變的條件下，某商品的銷售額與其銷售量總是成正比例關(guān)系； 在相關(guān)圖上表現(xiàn)為所有的觀察點(diǎn)都落在同一條線上，在這種場(chǎng)合，相關(guān)關(guān)系便成為函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的一個(gè)特例。 當(dāng)現(xiàn)象間彼此的數(shù)量變化互相獨(dú)立時(shí)，稱為不相關(guān)現(xiàn)象。 例如，通常認(rèn)為股票價(jià)格的高低與氣溫的高低是不相關(guān)的； 如果現(xiàn)象之間的關(guān)系介于完全相關(guān)和不相關(guān)之間，稱為不完全相關(guān)。 如婦女的結(jié)婚年齡與受教育程度之間的關(guān)系。 不完全相關(guān)關(guān)系是現(xiàn)實(shí)當(dāng)中相關(guān)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，也是相關(guān)分析的主要研究對(duì)象。 正相關(guān)：變量的變動(dòng)方向一致（同增同減）；

7、例如：工人的工資隨勞動(dòng)生產(chǎn)率的提高而增加； 負(fù)相關(guān)：變量的變動(dòng)方向相反（一增一減） ； 例如：商品流轉(zhuǎn)的規(guī)模愈大，流通費(fèi)用水平愈低。（二）按相關(guān)的方向分（三）按相關(guān)的形式分 相關(guān)程度密切相關(guān)程度不密切 線性相關(guān)：當(dāng)相關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)系大致呈現(xiàn)為線性關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)變量變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，另一個(gè)變量也按一個(gè)大致固定的增（減）量變動(dòng)，就稱為線性相關(guān)。 如：人均消費(fèi)水平與人均收入水平通常成線性關(guān)系； 非線性相關(guān)：當(dāng)相關(guān)現(xiàn)象之間不按固定比例變化時(shí)，近似于某種曲線方程的關(guān)系。 如：產(chǎn)品的平均成本與產(chǎn)品總產(chǎn)量之間的相關(guān)關(guān)系就是一種非線性相關(guān)。圖6.1 相關(guān)關(guān)系分類示意圖（四）按影響因素的多少分 1、 （簡(jiǎn)）單相關(guān)

8、：兩個(gè)現(xiàn)象的相關(guān)，即一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系。 例學(xué)習(xí)成績(jī)與學(xué)習(xí)時(shí)間；血壓與年齡；畝產(chǎn)量與施肥量。 2、復(fù)（多元）相關(guān)：三個(gè)或三個(gè)以上現(xiàn)象的相關(guān)，即一個(gè)變量對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上其它變量的相關(guān)關(guān)系。 例經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)與人口增長(zhǎng)、科技水平、自然資源、管理水平等之間的關(guān)系； 體重與身高、食欲、睡眠時(shí)間之間的關(guān)系。 3、偏相關(guān)：就多個(gè)變量測(cè)定其中兩個(gè)變量的相關(guān)程度而假定其他變量不變。 例在假定人們的收入水平不變時(shí)，某種商品的需求與其價(jià)格水平的關(guān)系。 就 y=ax1+bx2+ ，研究y與x1之間的關(guān)系，假定x2不變。 值得注意的是，并非所有的變量之間都存在相關(guān)關(guān)系，因此需要用相關(guān)分析方法來(lái)識(shí)別和判斷。 研究

9、和測(cè)度現(xiàn)象間相互依存關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。相關(guān)分析，是以現(xiàn)象之間不完全的相關(guān)關(guān)系為研究對(duì)象，6.1 相關(guān)關(guān)系概述6.1.3 相關(guān)分析的主要內(nèi)容 1.確定現(xiàn)象間是否存在依存關(guān)系，其依存關(guān)系屬于何種類型主要是定性分析和判斷； 2.確定相關(guān)關(guān)系的密切程度定量分析相關(guān)圖、表、相關(guān)系數(shù)； 3.確定相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式回歸分析； 4.確定因變量估計(jì)值誤差的程度； 5.對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。相關(guān)分析的主要內(nèi)容：6.1 6.1 相 關(guān) 關(guān) 系 概 述6.2 6.2 線性相關(guān)關(guān)系測(cè)定6.3 6.3 一元線性回歸分析 定性分析是依據(jù)研究者的理論知識(shí)、專業(yè)知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對(duì)客觀現(xiàn)象之間是否存在相關(guān)關(guān)系，以及有

10、何種相關(guān)關(guān)系做出判斷。6.2 線性相關(guān)關(guān)系的測(cè)定6.2.1 定性分析在定性分析的基礎(chǔ)上，通過(guò)編制相關(guān)表、繪制相關(guān)圖、計(jì)算相關(guān)系數(shù)與判定系數(shù)等方法，來(lái)判斷現(xiàn)象之間相關(guān)的方向、形式及密切程度。6.2 線性相關(guān)關(guān)系的測(cè)定6.2.2 定量分析相關(guān)表與相關(guān)圖 相關(guān)表和相關(guān)圖是研究相關(guān)關(guān)系的直觀工具。 在進(jìn)行精確的定量分析之前，可以先利用它們對(duì)現(xiàn)象之間存在的相關(guān)關(guān)系的方向、形式、和密切程度作大致的判斷。 （一）相關(guān)表：相關(guān)表是一種統(tǒng)計(jì)表。由相關(guān)變量相對(duì)應(yīng)的關(guān)系數(shù)值所編制成的反映現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系的數(shù)列表。 簡(jiǎn)單相關(guān)表-根據(jù)總體單位的原始資料編制的相關(guān)表(適用 于所觀察的樣本單位數(shù)較少，不需要分組的情況)分

11、組相關(guān)表-將原始資料進(jìn)行分組而編制的相關(guān)表(適用于所 觀察樣本單位數(shù)較多，標(biāo)志變異又較復(fù)雜，需要分組的情況) 單變量分組表-按自變量分組 雙變量分組表-自變量和因變量均分組 （二）相關(guān)圖： 又稱散點(diǎn)圖，它是將兩個(gè)變量相對(duì)應(yīng)的變量值用坐標(biāo)點(diǎn)的形式，在直角坐標(biāo)上描繪出來(lái)，以反映二者之間相關(guān)關(guān)系的圖形。 為研究商店人均月銷售額和利潤(rùn)率的關(guān)系，調(diào)查10家商店取得10對(duì)數(shù)據(jù)，說(shuō)明簡(jiǎn)單相關(guān)表和相關(guān)圖的編制方法。 從表可看出，隨著人均月銷售額的增加，利潤(rùn)率有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)。所以，資料表明(如圖)有明顯的直線相關(guān)趨勢(shì)。例 1人均銷售額與和利潤(rùn)率相關(guān)表編號(hào)人均月銷售額(千元)利潤(rùn)率()1234567891013

12、345667783.06.26.68.110.412.612.316.316.818.5利潤(rùn)率(%)人均銷售額(千元)120人均銷售額與利潤(rùn)率相關(guān)圖510152384567 在某個(gè)地區(qū)抽取了9家生產(chǎn)同類產(chǎn)品的企業(yè)，其月產(chǎn)量和單位產(chǎn)品成本的資料如表，現(xiàn)在來(lái)分析月產(chǎn)量和單位成本的關(guān)系。表6-2 9家企業(yè)的月產(chǎn)量和單位產(chǎn)品成本資料企業(yè)編號(hào)123456789月產(chǎn)量（千件）（x）4.16.35.47.63.28.59.76.82.1單位產(chǎn)本（元）（y）807271588650426391例 2序 號(hào)月產(chǎn)量（千件）（x）單位產(chǎn)本（元）（y）92.19153.28614.18035.47126.37286.

13、86347.65868.55079.742合計(jì)53.7613 9家企業(yè)的月產(chǎn)量和單位產(chǎn)品成本相關(guān)表 根據(jù)規(guī)模經(jīng)濟(jì)理論，可以判斷產(chǎn)品的產(chǎn)量和單位成本之間存在著相關(guān)關(guān)系，再繪制散點(diǎn)圖，我們可以比較直觀地看出這兩個(gè)變量間的關(guān)系。 9家企業(yè)的月產(chǎn)量和單位產(chǎn)品成本散點(diǎn)圖企業(yè)按銷售額分組(萬(wàn)元)流通費(fèi)用率(%)4以下9.65 4 87.68 8 127.2512 167.0016 206.8620 246.7324 286.6428 326.6032 366.5866.577.588.599.51004812162024283236銷售額(萬(wàn)元)流通費(fèi)用率(%)例 3 單變量分組表可以使原始資料大大簡(jiǎn)化，

14、在原始數(shù)據(jù)較多的情況下，使用單變量分組表能更清晰地反映現(xiàn)象間的相互依存關(guān)系，找出變量間數(shù)據(jù)變動(dòng)的規(guī)律性。例 4 雙變量分組表又稱為棋盤式相關(guān)表。首先，分別確定自變量和因變量的分組數(shù)；其次，按兩個(gè)變量的組數(shù)設(shè)計(jì)棋盤型表格；最后，計(jì)算各組次數(shù)置于相對(duì)應(yīng)的方格中。適用于對(duì)大量復(fù)雜數(shù)據(jù)的處理和分析。 編制雙變量分組相關(guān)表，要把自變量置于橫行，其變量值從小到大自左至右排列；因變量置于縱欄，其變量值從大到小自上而下排列。這樣排列，可使相關(guān)表與相關(guān)圖取得一致形式，能直觀地看出變量之間相關(guān)的方向。 相關(guān)圖、表雖然有助于識(shí)別變量間的相關(guān)關(guān)系，但它無(wú)法對(duì)這種關(guān)系進(jìn)行精確的計(jì)量(判定其相關(guān)關(guān)系的密切程度)。 在初步

15、判定變量間存在相關(guān)關(guān)系的基礎(chǔ)上，通常還要計(jì)算相應(yīng)的分析指標(biāo)相關(guān)系數(shù)。 相關(guān)系數(shù)是測(cè)定變量之間相關(guān)密切程度和相關(guān)方向的代表性指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)用符號(hào)“r”表示。 在各種相關(guān)中，單相關(guān)是基本的相關(guān)關(guān)系，它是復(fù)相關(guān)和偏相關(guān)的基礎(chǔ)。單相關(guān)有線性和非線性兩和表現(xiàn)形式。測(cè)定線性相關(guān)系數(shù)的方法是最基本的相關(guān)分析，是測(cè)定其他相關(guān)系數(shù)方法的基礎(chǔ)。我們著重研究線性的單相關(guān)系數(shù)線性的單相關(guān)系數(shù)。6.2 線性相關(guān)關(guān)系的測(cè)定6.2.3 定量分析相關(guān)系數(shù) 1、積差法計(jì)算公式：由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜(Pearson)設(shè)計(jì)的，故又稱為Pearson相關(guān)系數(shù)。則的一組樣本觀察值是設(shè),),(),(YXyxii2222)()()()()

16、()(yyxxyyxxnyynxxnyyxxr的標(biāo)準(zhǔn)差的協(xié)方差的相關(guān)系數(shù)與為yxyxyxryxxyyxxy,)(yyxx2)(xx2)(yyyyxxxyLLLr 22)()()(yyxxyyxxr 由于COV（X,Y）的主導(dǎo)地位，又因?yàn)槠湫问绞莾蓚€(gè)差值的乘積之和，故把這個(gè)公式又稱為“積差公式”。 簡(jiǎn)記為：Lxy簡(jiǎn)記為：Lxx簡(jiǎn)記為：Lyy 2 2、下面我們介紹直線相關(guān)系數(shù)的設(shè)計(jì)思路，從中我們會(huì)接觸到一些新的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，同時(shí)也能充分享受到皮爾遜給我們展現(xiàn)的“對(duì)稱”美感。XYyy xx )(一)(二)(三)(四),(11yx),(nnyx00)()()()()(ryyxxyyxxxy正相關(guān)三一yxx

17、yrnyyxxxy)()(1yyxxnii顯示x與y之間的相關(guān)方向（1）即x和y基本上同時(shí)大或同時(shí)小，即兩個(gè)變量之間為正相關(guān)負(fù)相關(guān)XYyy xx )(一)(二)(三)(四),(11yx),(nnyx00)()()()()(ryyxxyyxxxy負(fù)相關(guān)四二nyyxxxy)(yxxyr 顯示x與y之間的相關(guān)程度)()()()()(yyxxAyyxx圖三一密集分布圖A散亂分布圖BXYPQ偏小偏大)()(qqppyyxx)(1yyxxnii（2）負(fù)相關(guān))()()()()(yyxxAyyxx圖四二密集分布圖A散亂分布圖BXYPQ偏小偏大)()(qqppyyxx不相關(guān)00)(0:xyyyxxxxA圖 圖A

18、圖BXYXYxx yy 00)(0:xyyyxxyyB圖之間無(wú)直線相關(guān)與yx第一、顯示x與y之間的相關(guān)方向負(fù)相關(guān)正相關(guān)無(wú)直線相關(guān)00)(00)(00)()(ryyxxryyxxryyxxnyyxxryx之間的相關(guān)程度越低與越小之間的相關(guān)程度越高與越大yxyyxxyxyyxx)()(第二、顯示x與y之間的相關(guān)密切程度)(1yyxxnii的作用：歸 納 為大的正值時(shí)，表示強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系。 接近于零時(shí)，表示很小或沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系。 為大的負(fù)值時(shí)，表示強(qiáng)的負(fù)線性相關(guān)關(guān)系。nyyxxiixy)(nyyxxiixy)( cm kg mm kg大于基本結(jié)論：協(xié)方差與樣本的項(xiàng)數(shù)n、X與Y的計(jì)量單位有關(guān) ，

19、從而不能真實(shí)反映相關(guān)的程度。)(1yyxxnii)(1yyxxnii)(1yyxxnii 似乎是 這樣（3）x、y的作用 消除變量協(xié)方差計(jì)量單位的影響直接對(duì)比：yxyxxynyyxxr)(yxnyyxx)( 相關(guān)程度的大小與計(jì)量單位無(wú)關(guān)。為了消除積差中兩個(gè)變量原有計(jì)量單位的影響，將各變量的離差除以該變量數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差，使之成為相對(duì)積差，即 ，所以相關(guān)系數(shù)是無(wú)量綱的數(shù)量。yxyyxx和 使使111rrnyyxxryx22nyyxxryx2221yxyxyyxxyyxxn1112yxyyxxn22222)()(1yxyxnyynxxyyxxn1:1022rrr同理可證2122yxyyxxnr221)(ynyy3、積差法相關(guān)系數(shù)的簡(jiǎn)捷計(jì)算公式2222)()()()()()(yyxxyyxxnyynxxnyyxxryxxynyxxy)()(yxyxyxxyyyxxyxyxxyxynyn