淺談變換法數(shù)字信號處理中的應(yīng)用

1、目錄摘要：2關(guān)鍵字：2引言31 數(shù)字信號處理中的幾個重要變換的定義與性質(zhì)31.1 傅里葉變換31.1.1 傅里葉變換的定義31.1.2 傅里葉變換的基本性質(zhì)及定理31.2 拉普拉斯變換41.2.1 拉普拉斯變換的定義41.2.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)51.3 Z變換61.3.1 Z變換的定義61.3.2 Z變換的性質(zhì)62 數(shù)字信號處理中的幾個重要變換的聯(lián)系與區(qū)別82.1 傅里葉變換與拉普拉斯變換的關(guān)系和區(qū)別82.1.1由傅里葉變換到拉普拉斯變換82.1.2.傅里葉變換與拉普拉斯變換的比較82.2 拉普拉斯變換與變換的關(guān)系92.3 傅里葉變換與變換的關(guān)系103幾個重要變換在數(shù)字信號處理中的作用及其

2、應(yīng)用103.1 傅里葉變換在數(shù)字信號處理中的作用113.2 傅里葉變換在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用113.2.1 應(yīng)用傅里葉變換求系統(tǒng)對非周期信號的響應(yīng)113.2.2 應(yīng)用傅里葉變換求解微分方程113.2.3 傅里葉變換在無失真?zhèn)鬏斨袘?yīng)用123.3 拉普拉斯變換在數(shù)字信號處理中的作用123.4 拉普拉斯變換在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用123.4.1 應(yīng)用拉普拉斯變換求解線性微分方程123.4.2 拉普拉斯變換與復(fù)頻域電路的分析133.4.3 應(yīng)用拉普拉斯變換求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)143.5 變換在數(shù)字信號處理中的作用143.6 變換在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用143.6.1 應(yīng)用變換求一般因果序列激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)

3、143.6.2 應(yīng)用變換求解差分方程154總結(jié)16參考文獻18附件19附件119附件219致謝20淺談變換法在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用 摘要：變換法是數(shù)字信號處理中用來分析和認(rèn)識信號，提取有用信息最常用的方法。本文針對傅里葉變換、拉普拉斯變換、變換這幾種最常用的變換法在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用，根據(jù)對它們的定義與性質(zhì)的討論，比較三種變換法的聯(lián)系與區(qū)別，再分別從傅里葉變換角度、拉普拉斯變換角度、變換角度，研究其變換思想在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用，分析不同領(lǐng)域適合用哪一種變換法和分析方法。 關(guān)鍵字：傅里葉變換；拉普拉斯變換；變換；信號與系統(tǒng)引言 隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字信號處理技術(shù)得到了很好的發(fā)展，它研究

4、信號處理的客觀規(guī)律性，即如何把信號用數(shù)字或符號表示成序列。而變換法就是數(shù)字信號處理用來分析和認(rèn)知信號，提取信號有用信息最常用的方法。在數(shù)字信號處理中常用的變換法有傅里葉變換（FT）、拉普拉斯變換（LT）、變換、離散傅里葉變換（DFT）、快速傅里葉變換（FFT）等【11】。本文主要討論的是傅里葉變換、拉普拉斯變換、變換這三大變換法在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用。在以傅里葉變換基礎(chǔ)的頻域分析法中，將時域微分、積分運算轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域的代數(shù)運算，簡化了運算過程。拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，可以克服傅里葉變換分析法的缺點，如，連續(xù)信號不滿足絕對可積條件時，不能直接進行傅里葉變換；具有初始條件的系統(tǒng)，也不能利用傅

5、里葉變換求系統(tǒng)的完全響應(yīng)。變換是使離散時間信號的卷積運算變成代數(shù)運算，離散時間系統(tǒng)的差分方程變?yōu)橛虼鷶?shù)方程，從而可以較方便地分析系統(tǒng)響應(yīng)。1 數(shù)字信號處理中的幾個重要變換的定義與性質(zhì)1.1 傅里葉變換1.1.1 傅里葉變換的定義由傅里葉級數(shù)知，一個周期信號可以展開成為傅里葉級數(shù)，而一個非周期信號可以看成某個周期信號其周期趨向于無窮大轉(zhuǎn)化而來。故連續(xù)信號在上的傅里葉變換（FT）定義為：逆傅里葉變換定義為:。 由于，則信號的傅里葉變換也可以寫為：逆傅里葉變換為：。若為因果信號的傅里葉變換定義為：。傅里葉變換是根據(jù)周期信號的傅里葉級數(shù)導(dǎo)出的，和周期信號一樣，如果滿足如下條件【1】：（1）絕對可積，即

6、（2）在任何有限區(qū)間內(nèi)，僅有有限個最大最小值；（3）在任何有限區(qū)間內(nèi)，有有限個第一類間斷點。則信號的傅里葉變換存在，并滿足逆變換。1.1.2 傅里葉變換的基本性質(zhì)及定理（1）線性【1】設(shè)， ，則式中均為常數(shù)。（2）對稱性【2】設(shè)信號的頻譜為，若把中的換成，就為一頻譜，則頻譜所對應(yīng)的信號為。（3）折疊性【1】【2】若，則，當(dāng)為實函數(shù)時，當(dāng)為虛函數(shù)時，.（4）尺度變換性【1】【2】若，則對任意常數(shù)有.（5）時移性【1】若，則式中為常數(shù)。（6）頻移性【1】【2】設(shè)，則，.式中為常數(shù)。（7）時域微分性【1】【2】設(shè)，則（8）頻域微分性【1】【2】若，則（11）時域卷積定理【1】若，則.（12）頻域卷積

7、定理【1】若，則或1.2 拉普拉斯變換1.2.1 拉普拉斯變換的定義1、信號的單邊拉普拉斯變換(LT)【3】的定義為式中稱為復(fù)頻率，為象函數(shù)，為原函數(shù)。象函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系還可以表示為。2、單邊拉普拉斯變換收斂域【3】 的單邊拉普拉斯變換存在的取值范圍，即： 式中叫做收斂坐標(biāo)，是實軸上的一個點。穿過并與虛軸平行的直線叫做收斂邊界。收斂軸的右邊為收斂區(qū)，收斂區(qū)不包括收斂軸。當(dāng)時，收斂區(qū)含虛軸，函數(shù)的傅里葉變換存在；當(dāng)時收斂區(qū)不包括虛軸，函數(shù)的傅里葉變換不存在；當(dāng)時，收斂區(qū)不包含虛軸，函數(shù)的傅里葉變換存在，但有沖激項。3、信號的雙邊拉普拉斯變換的定義【3】 當(dāng)一定是，若時為收斂因子，則是為發(fā)散因子

8、，有 但是，如果有函數(shù)在給定的范圍內(nèi)，使得即上式無限區(qū)間積分為有限值，則函數(shù)的雙邊拉普拉斯變換存在，記為： 1.2.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)【1】（1）線性 若則式中為任意常數(shù)。（2）時延（移位）特性 若，則 時延（移位）特性表明，波形在時間軸上向右平移，其拉普拉斯變換應(yīng)乘以位移因子。適用時延特性的時延函數(shù)是，而不是。要注意區(qū)分的不同。（3）頻率平移（域） 若，則式中是復(fù)函數(shù)。（4）尺度變換 若，則 ，其中（5）時域微分性 若則 式中是在時的值。（6）時域積分性 若，則式中表示積分運算，。（7）時域卷積定理 若，則1.3 變換1.3.1 變換的定義 1、離散信號的雙邊變換定義為：離散信號的單邊變

9、換定義為：其中。2、變換的收斂域根據(jù)級數(shù)收斂的充要條件來求出變換的收斂域。關(guān)于變換收斂域有以下結(jié)論【1】：（1）變換收斂域取決于序列和值；（2）與不一定一一對應(yīng)，故只有和其收斂域一起才可確定序列；（3）的序列（右序列）的變換收斂域一般在于平面半徑的的圓外區(qū)域；（4）的序列（左序列）變換的收斂域位于平面收斂半徑為的圓內(nèi)區(qū)域；（5）的序列（雙邊序列）變換的收斂域位于平面的圓環(huán)區(qū)域內(nèi)；（6）有限長雙邊序列變換的收斂域為；（7）有限長右邊序列變換的收斂域為；（8）有限長左邊序列變換的收斂域為。1.3.2 變換的性質(zhì)【1】（1）線性若 則 式中。（2）雙邊變換的位移（移序）性（） 若信號的雙邊變換為 (

10、3)單邊變換的位移性 若信號的單邊變換為則信號左移后單邊變換為 （4）指數(shù)序列加權(quán)若 則 (5)線性加權(quán)或z域微分性若 則 (6)時域卷積定理若 則 式中：，對三種變換法主要性質(zhì)和定理的總結(jié)與歸納如下表：性質(zhì)傅里葉變換拉普拉斯變換變換線性兩個或兩個以上信號的線性組合的傅里葉變換等于各信號的傅里葉變換組合。如果一個信號能分解為若干個基本信號之和，那么該信號的LT可以由各個基本信號的LT相加而得。兩個或多個信號的線性組合的變換等于各個信號變換的線性組合。對稱性信號的時域波形與其頻譜函數(shù)具有對稱互易性。折疊性信號在時域中倍等效于在頻域中幅度原來的倍。尺度變換信號在時域中壓縮為原來的倍等效于在頻域中擴

11、大成原來的倍，同時幅度減小為原來的.信號在時域中壓縮為原來的倍等效于在復(fù)頻域中擴大成原來的倍，同時減小為原來的.同下面的指數(shù)序列加權(quán)。時移性信號在時域中沿時間軸右移時，相位滯后，其幅度保持不變。波形在時間軸上向右平移，其LT乘以移動因子.頻移性給時間信號乘以，對應(yīng)于將其頻譜沿頻率軸右移.時間函數(shù)乘以，其變換式在域內(nèi)移動.時域微分時域中對信號取階導(dǎo)數(shù)，等于頻域中信號的頻譜乘以.對信號取一階導(dǎo)數(shù)等于倍原LT減.時域卷積定理兩個時間信號的卷積等于各個時間信號頻譜的卷積。如果一個信號能分解為若干個基本信號的卷積，那么該信號的LT可以由各個基本信號的LT相乘而得。如果一個信號等于另外兩個信號的卷積，那么

12、其變換為兩個信號變換的積。頻域微分時域中信號的倍，等于頻域中對信號求階導(dǎo)數(shù)。頻域卷積兩個時間信號相乘的頻譜等于各個時間信號頻譜的卷積并乘以.雙邊變換位移若信號向右移動，其變換為原來得倍。指數(shù)序列加權(quán)時域中乘以指數(shù)序列等于平面的尺度壓縮或擴展。從表中可以看出：連續(xù)信號的傅里葉變換和拉普拉斯變換都有線性性、尺度變換性、時移性、頻移性時域微分性和時域卷積性等性質(zhì)，而離散信號的變換只有線性性、尺度變換性、時域卷積雙邊變換位移、指數(shù)加權(quán)等性質(zhì)。2 數(shù)字信號處理中的幾個重要變換的聯(lián)系與區(qū)別2.1 傅里葉變換與拉普拉斯變換的關(guān)系和區(qū)別2.1.1由傅里葉變換到拉普拉斯變換 根據(jù)1.1.1中的傅里葉變換存在條件

13、可知，當(dāng)一個信號不滿足存在條件（1）時，其傅里葉變換不一定存在，這時給乘以因子（為任意實常數(shù)）得到一個新的函數(shù)。若根據(jù)的具體性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡x取的值，能使時，即：，則滿足絕對可積。設(shè)滿足傅里葉變換存在的條件，則的傅里葉變換為：令，則（因為積分變量為，所以結(jié)果一定為的函數(shù)）即可得到單邊的拉普拉斯變換。2.1.2.傅里葉變換與拉普拉斯變換的比較 信號的傅里葉變換為： （1）信號的單邊拉普拉斯變換為： （2）當(dāng)信號為因果信號時的傅里葉變換為： （3）因此，當(dāng)信號為因果信號時，由（2）（3）可知，；當(dāng)信號為非因果信號時，由（1）（3）可知，。 【例21】設(shè)有信號，可求得該信號的拉普拉斯變換和傅里葉變換分別

14、為，. 用MATLAB繪制傅里葉變換的頻譜與拉普拉斯變換曲面圖如下，程序見附錄1圖21 因果信號的傅里葉變換與拉普拉斯變換由圖可知，因果信號的拉普拉斯變換與傅里葉變換的頻譜一致。【例22】設(shè)有非因果信號，用MATLAB繪制出信號的傅里葉變換與拉普拉斯變換的曲面圖如下，程序見附錄2：圖22 非因果信號的傅里葉變換與拉普拉斯變換由圖可知對非因果信號拉普拉斯變換的曲面圖與傅里葉變換的頻譜曲線不一致。2.2 拉普拉斯變換與z變換的關(guān)系連續(xù)信號的拉普拉斯變換：離散信號的z變換：對連續(xù)信號采樣后的信號的拉普拉斯變換：代入理想采樣信號【4】得采樣序列的z變換為故，當(dāng)時，。2.3 傅里葉變換與變換的關(guān)系 傅里

15、葉變換是拉普拉斯在虛軸上的特例，即，則，代入得由此可知采樣序列在單位圓上的變換，就等于其理想采樣信號的傅里葉變換的頻譜。根據(jù)上述的討論，可以得出三種變換法的關(guān)系如下圖：FTZTLT即在滿足一定條件時，從傅里葉變換到拉普拉斯變換只需令，從傅里葉變換到變換只需令，從拉普拉斯變換到變換只需令。其中拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，先找出變換與拉普拉斯變換的關(guān)系，再利用傅里葉變換與拉普拉斯變換的關(guān)系推出其余變換的關(guān)系。3 幾個重要變換在數(shù)字信號處理中的作用及其應(yīng)用3.1 傅里葉變換在數(shù)字信號處理中的作用傅里葉變換揭示了連續(xù)非周期信號時域特性和頻域特性之間的內(nèi)在聯(lián)系，傅里葉變換分析法是一種及其重要的信號分

16、析方法，可以說，現(xiàn)代信號處理發(fā)展了各種各樣的信號分析方法，但還沒有一種方法能夠取代傅里葉變換分析方法的地位，而且在大部分應(yīng)用中，傅里葉變換法還是最主要的分析手段。3.2 傅里葉變換在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用3.2.1 應(yīng)用傅里葉變換求系統(tǒng)對非周期信號的響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)相應(yīng)定義【1】為： （31）與分別為線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)與激勵。將（31）式兩邊取傅里葉變換，并利用其時域卷積定理得則為的逆變換?！纠?1】某線性時不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，求激勵信號時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：因為因此，系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的頻譜函數(shù)為進行逆變換得3.2.2 應(yīng)用傅里葉變換求解微分方程已知階LTI系統(tǒng)的微分方程的一般表示【3

17、】為兩邊取傅里葉變換并整理得可得系統(tǒng)的頻響應(yīng)函數(shù)為由此表明只與系統(tǒng)本身有關(guān)，與激勵無關(guān)?！纠?2】已知某系統(tǒng)的微分方程為，求系統(tǒng)的頻響函數(shù)。解：對微分方程兩邊同時取傅里葉變換，得則3.2.3 傅里葉變換在無失真?zhèn)鬏斨袘?yīng)用設(shè)輸入信號為，那么經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號?】為 （32）式中，是一個與時間無關(guān)的的常數(shù)，是滯后時間。設(shè)、的頻譜函數(shù)分別為、，對（32）式進行傅里葉變換，由傅里葉變換的延時性得由于因此系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏斣陬l域的條件為3.3 拉普拉斯變換在數(shù)字信號處理中的作用 運用傅里葉變換分析法來求解信號的頻譜也有局限性：一、某些信號，如指數(shù)增長信號，不存在傅里葉變換；二、系統(tǒng)頻域分析法只能

18、求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)；三、頻域分析中，傅里葉反變換一較為復(fù)雜。因此拉普拉斯變換是一種更加有效而簡單的方法。拉普拉斯變換是以復(fù)指數(shù)為基本信號，將任意信號分解為眾多不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量。3.4 拉普拉斯變換在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用3.4.1 應(yīng)用拉普拉斯變換求解線性微分方程與它的逆變換得關(guān)系【7】.用拉普拉斯變換求解微分方程的步驟：（1）對微分方程（組）求拉普拉斯變換；（2）用代數(shù)法解出；（3）求出，即的逆變換?！纠?3】已知，求.解：對方程兩邊取拉普拉斯變換得整理得代入已知條件得因此3.4.2 拉普拉斯變換與復(fù)頻域電路的分析 復(fù)頻域電路的分析法的一般步驟【1】：（1）根據(jù)換路前

19、的電路（即時的電路）求時刻電感的初始電路和電容的初始電壓；（2）求電路激勵（電源）的拉普拉斯變換（即象函數(shù)）；（3）畫出換路后電路（即時的電路）的復(fù)頻域電路模型；（4）對復(fù)頻域電路模型列出方程組，并求解方程組，從而求得全響應(yīng)解的函數(shù)；（5）對所求得的全響應(yīng)解的象函數(shù)進行拉普拉斯反變換，即得時域中的全響應(yīng)解。【例34】電路如下圖所示，已知，初級電壓V，求次級零狀態(tài)輸出電壓。R+ -*M解：（1）繪出域電路模型如圖所示。R -*M（2）求激勵的拉普拉斯變換由得.（3）根據(jù)域電路模型列回路方程并求解 即所以求拉普拉斯反變換得.3.4.3 應(yīng)用拉普拉斯變換求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解步驟【8

20、】：（1）求系統(tǒng)輸入的單邊拉普拉斯變換；（2）求系統(tǒng)函數(shù)；（3）求零狀態(tài)響應(yīng)的單邊拉普拉斯變換；（4）求得單邊拉普拉斯逆變換?！纠?5】當(dāng)線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入時，零狀態(tài)響應(yīng)。若輸入信號為，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：、和的單邊拉普拉斯變換分別為，因此故.3.5 變換在數(shù)字信號處理中的作用對于連續(xù)信號我們用傅里葉變換和拉普拉斯變換來求解，而在離散信號和系統(tǒng)中，信號用序列表示，其自變量僅取整數(shù)，非整數(shù)時無定義，因此，我們一般用變換來求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和全響應(yīng)。3.6 變換在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用3.6.1 應(yīng)用變換求一般因果序列激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)定義【8】 為離散系統(tǒng)函數(shù)，它是系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)

21、的變換與激勵的變換之比。應(yīng)用域分析法求解零狀響應(yīng)的四個步驟：（1）求激勵的變換有（2）求離散系統(tǒng)函數(shù)，常用三種方法：若給定差分方程，則在零狀態(tài)下取變換，并安可得；若給定，則為的變換；若給定系統(tǒng)圖或信號流圖，則有梅森公式可得。（3）求零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換；（4）求得反變換得?！纠?6】已知離散系統(tǒng)輸入為時，零狀態(tài)響應(yīng)。求輸入為時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：求、和，有，系統(tǒng)函數(shù)為所以 求的反變換為.3.6.2 應(yīng)用變換求解差分方程【例37】已知描述某離散系統(tǒng)的差分方程為,已知，試求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。解：，（1）求零輸入響應(yīng)。當(dāng)系統(tǒng)無外激勵作用是時，可得齊次差分方程為對其進行變換可得整

22、理并代入初始條件的分子分母同乘以得 求其反變換得.（2）求零狀態(tài)響應(yīng)。此時系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，對差分方程兩邊取變換有整理并代入初始條件得 分子分母同乘以得 求其反變換得.（3）求全響應(yīng): .【例38】用變換分析法求解微分方程。，解：對差分方程兩邊求變換得整理并代入初始條件的求其反變換得4 總結(jié)傅里葉變換、拉普拉斯變換和變換時是數(shù)字信號處理中分析信號的重要工具，傅里葉變換是很多方法的基礎(chǔ)，例如拉普拉斯變換就是它的推廣。本文對三種變換法的定義和性質(zhì)做了簡要的說明，討論了三種變換法之間的聯(lián)系，介紹了三種變換法在數(shù)字信號處理不同領(lǐng)域中的應(yīng)用對教學(xué)研究有一定的價值。分析連續(xù)信號可以采用傅里葉變換法或拉普

23、拉斯變換法，傅里葉變換法是討論信號作用于連續(xù)系統(tǒng)時在頻域中求解其零狀態(tài)響應(yīng)的方法，如求任意激勵信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)、系統(tǒng)的頻域響應(yīng)函數(shù)、無失真?zhèn)鬏斝盘?、微分方程的頻域解；用拉普拉斯變換法求信號作用于連續(xù)系統(tǒng)時在頻域中求解其零狀態(tài)響應(yīng)，遠要比傅里葉變換法方便的多，當(dāng)信號的傅里葉變換不存與對復(fù)頻域的電路分析時，采用拉普拉斯變換法來求其零狀態(tài)響應(yīng)；離散信號采用變換法來求解離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入相應(yīng)和全響應(yīng)。參考文獻1 段民哲.信號與系統(tǒng)（第三版）M.北京：電子工業(yè)出版社，20082 程乾生.數(shù)字信號處理簡明教程M.北京：高等教育出版社，20073 張小紅.信號、系統(tǒng)與數(shù)字信號處理M.北京：機

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