附錄 截面幾何性質(zhì)

1、附錄 截面的幾何性質(zhì) 計(jì)算構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題時(shí)，都要涉及到計(jì)算構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題時(shí)，都要涉及到與構(gòu)件截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。本章主要介紹這些與構(gòu)件截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。本章主要介紹這些幾何量的定義、性質(zhì)及計(jì)算方法。幾何量的定義、性質(zhì)及計(jì)算方法。 .1 靜矩和形心靜矩和形心 .2 慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積 .3 平行移軸公式平行移軸公式 .4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 .5 形心主慣性軸和形心主慣性矩形心主慣性軸和形心主慣性矩返回返回附錄 截面的幾何性質(zhì)返回返回 【學(xué)習(xí)要求】【學(xué)習(xí)要求】 1. 理解靜矩、形心，慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、理解靜矩、形心，慣性矩、慣性半徑

2、、極慣性矩、慣性積，形心主慣性軸和形心主慣性矩等概念。慣性積，形心主慣性軸和形心主慣性矩等概念。 2. 掌握組合截面的靜矩和形心的計(jì)算。掌握組合截面的靜矩和形心的計(jì)算。 3. 掌握簡單截面的慣性矩和極慣性矩的計(jì)算。掌握簡單截面的慣性矩和極慣性矩的計(jì)算。 4. 了解平行移軸公式。會(huì)計(jì)算組合截面的慣性矩和慣了解平行移軸公式。會(huì)計(jì)算組合截面的慣性矩和慣性積。性積。 5. 了解轉(zhuǎn)軸公式。會(huì)計(jì)算組合截面的形心主慣性軸和了解轉(zhuǎn)軸公式。會(huì)計(jì)算組合截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩。形心主慣性矩。.1 靜矩和形心靜矩和形心 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)靜矩與形心 設(shè)有一代表任意截面的平面圖形，其面積為A，在圖形

3、平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系oxy（如圖）。在該截面上任取一微面積dA，設(shè)微面積dA的坐標(biāo)為x、y，則把乘積ydA和xdA分別稱為微面積dA對x軸和y軸的靜距（或面積 AAyd矩）。而把積分 和 分別定義為該截面對x軸和y軸的靜矩靜矩，分別用Sx和Sy表示，即 AAxdAyAxAxSAySd,d.1.1 靜矩靜矩 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)靜矩與形心 由定義知，靜矩與所選坐標(biāo)軸的位置有關(guān)，同一截面對不同坐標(biāo)軸有不同的靜矩。靜矩是一個(gè)代數(shù)量，其值可為正、為負(fù)、或?yàn)榱?。靜矩的單位為mm3或m3。 .1.2 形心形心 1. 形心坐標(biāo)形心坐標(biāo) 對于平面圖形（以下都稱為截面），如取截面所在的平面為Oxy坐標(biāo)面

4、（如圖），則截面的形心C的坐標(biāo)為 AAyyAAxxACACd,d式中：A截面面積。 利用上式容易證明：若截面對稱于某軸若截面對稱于某軸，則形心必在該對稱軸則形心必在該對稱軸上上；若截面有兩個(gè)對稱軸若截面有兩個(gè)對稱軸，則形心必為該兩對稱軸的交點(diǎn)則形心必為該兩對稱軸的交點(diǎn)。在確定形心位置時(shí)，常常利用這個(gè)性質(zhì)，以減少計(jì)算工作量。 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)靜矩與形心 【例【例.1】 如圖所示截面OAB是由頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O的拋物線與x軸圍成，設(shè)拋物線的方程為x = ，試求其形心位置。 22yba目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)靜矩與形心axxabxxabxAAxxaaAAC53dddd00bxxabxx

5、abxxabxxabyAAyyaaaaAAC83dd21dd21dd00200 【解】【解】 將截面分成許多寬為dx，高為y的微面積，如圖所示，dA = ydx = bax xd形心坐標(biāo)為 yx21,， 。 由形心坐標(biāo)公式，截面OAB的形心坐標(biāo)為 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)靜矩與形心2. 形心坐標(biāo)和靜矩的關(guān)系形心坐標(biāo)和靜矩的關(guān)系 ，可得到截面的形心坐標(biāo)與靜矩間的代入公式將公式AyAxAxSAySd,dAAyyAAxxACACd,d關(guān)系為 C,AxSAySyCx 若已知截面的靜矩，則可由上式確定截面形心的位置；反之，若已知截面形心位置，則可由上式求得截面的靜矩。 由上式可以看出，若截面對某軸（

6、例如若截面對某軸（例如x軸）的靜矩為零軸）的靜矩為零（Sx=0），則該軸一定通過此截面的形心（則該軸一定通過此截面的形心（yC=0）。通過截面形心的軸稱為截面的形心軸形心軸。反之，截面對其形心軸的靜矩一定為零截面對其形心軸的靜矩一定為零。 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)靜矩與形心.1.3 組合截面的靜矩和形心組合截面的靜矩和形心 在工程中經(jīng)常遇到這樣的一些截面，它們是由若干個(gè)簡單截面（例如矩形、三角形、半圓形等）所組成，稱為組合截面組合截面。根據(jù)靜矩的定義，組合截面對某軸的靜矩應(yīng)等于其各組成部分對該軸靜矩之和，即 CiiyiyCiixixxASSyASS, 由截面的形心坐標(biāo)與靜矩間的關(guān)系，組合截

7、面形心的計(jì)算公式為 iCiixCiCiiyCAyAASyAxAASx,上兩式中：Ai、xCi、yCi各個(gè)簡單截面的面積及形心坐標(biāo)。 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)靜矩與形心【例【例.2】 試求圖示直角梯形截面的形心位置。 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)靜矩與形心【解】【解】 解法一。 將截面看作由矩形和三角形組成的組合截面，它們的面積及形心C1、C2的坐標(biāo)分別為 矩形 A1=60000mm2， xC1=100mm， yC1=150mm 三角形 A2=22500mm2， xC2=250mm， yC2=100mm截面形心C的坐標(biāo)為136.4mmmm225006000010022500150600001

8、40.9mmmm22500600002502250010060000212211212211AAyAyAyAAxAxAxCCCCCC目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)靜矩與形心解法二。 將截面看作由大矩形減去三角形組成的組合截面，被減去部分的面積應(yīng)取負(fù)值，這種方法稱為負(fù)面負(fù)面積法積法。矩形和三角形的面積及形心C1、C2的坐標(biāo)分別為 矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm 三角形 A2=22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm截面形心C的坐標(biāo)為136.4mmmm2250010500020022500150105000140.9mmmm225001

9、0500030022500175105000212211212211AAyAyAyAAxAxAxCCCCCC目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)慣性矩與慣性積.2 慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積 .2.1慣性矩慣性矩 設(shè)截面的面積為A，在截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系Oxy（如圖）。在截面上任取一微面積dA，設(shè)微面積dA的坐標(biāo)分別為x和y，則把乘積y2dA和x2dA分別稱為微面積dA對x軸和y軸的慣性矩。而把積分 和 分別定義為截面對x軸和y軸的慣性矩慣性矩，分別用Ix與Iy表示，即 AAy d2AAx d2AyAxAxIAyIdd22由定義可知，慣性矩恒為正值，其單位為mm4或m4。目錄目錄附錄 截面的

10、幾何性質(zhì)慣性矩與慣性積 【例例.3】 試求圖示矩形截面對其形心軸x、y的慣性矩Ix和Iy。 【解】【解】 取平行于x軸的狹長條(圖中陰影線部分)作為微面積dA，則有dA=bdy。由式 ，得AyAxAxIAyId,d222232212ddhhAxbhybyAyI同理有2232212ddbbAyhbxhxAxI目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)慣性矩與慣性積【例【例.4】 試求圖示圓截面對于其形心軸x、y的慣性矩Ix和Iy。 【解】【解】 建立坐標(biāo)系Oxy如圖所示。取平行于x軸的狹長條（圖中陰影線部分）為微面積dA，則 yyRAd2d22AyAxAxIAyId,d22得由式644d2d442222DRy

11、yRyAyIRRAx根據(jù)對稱性，截面對x和y軸的慣性矩相等，即464DIIxy目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)慣性矩與慣性積.2.2 慣性半徑慣性半徑 在工程實(shí)際應(yīng)用中，為方便起見，有時(shí)也將慣性矩表示成某一長度平方與截面面積A的乘積，即AiIAiIyyxx22或 AIiAIiyyyy式中：ix 、iy 截面對x、y軸的慣性半徑慣性半徑。其單位為mm或m。目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)慣性矩與慣性積.2.3 極慣性矩極慣性矩 在圖中，若以表示微面積dA到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離，則把2 dA稱為微面積dA對O點(diǎn)的極慣性矩。而把積分 定義為截面對O點(diǎn)的極慣性矩極慣性矩，用Ip表示，即 AAd2AAId2p 由定

12、義可知，極慣性矩恒為正值，其單位為mm4或m4。由圖可知，2x2y2，代入上式，得 AAAAAyAxAyxAIddd )(d22222p即慣性矩與極慣性矩的關(guān)系為 yxIIIp目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)慣性矩與慣性積 上式表明，截面對某點(diǎn)的極慣性矩等于截面對通過該點(diǎn)的兩個(gè)截面對某點(diǎn)的極慣性矩等于截面對通過該點(diǎn)的兩個(gè)正交軸的慣性矩之和正交軸的慣性矩之和。有時(shí)，利用上式計(jì)算截面的極慣性矩或慣性矩比較方便。 【例【例.5】 試求圖示圓形截面對圓心的極慣性矩Ip。 【解】【解】 建立直角坐標(biāo)系Oxy如圖所示。選取圖示環(huán)形微面積dA(圖中陰影線部分)，則dA2d。 32d2d42022pDAIDA 若

13、利用式Ip IxIy，則同樣可得 3264244pDDIIIyx目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)慣性矩與慣性積.2.4 慣性積慣性積 在圖中，我們把微面積dA與其坐標(biāo)x、y的乘積xydA稱為微面積dA對x、y兩軸的慣性積。而把積分 定義為截面對x、y兩軸的慣性積慣性積，用Ix y表示，即 AAxydAxyAxyId 由定義可知，慣性積可為正、為負(fù)、或?yàn)榱?，其單位為mm4或m4。 由上式可知，截面的慣性積有如下重要性質(zhì)：若截面具有一個(gè)若截面具有一個(gè)對稱軸對稱軸，則截面對包括該對稱軸在內(nèi)的一對正交軸的慣性積恒等于則截面對包括該對稱軸在內(nèi)的一對正交軸的慣性積恒等于零零。目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)慣性矩

14、與慣性積 由此性質(zhì)可知，圖示各截面對坐標(biāo)軸x、y的慣性積Ix y均等于零。 .3 平行移軸公式平行移軸公式 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)平行移軸公式.3.1 慣性矩和慣性積的平行移軸公式慣性矩和慣性積的平行移軸公式 圖示截面的面積為A，xC、yC軸為其形心軸，x、y軸為一對與形心軸平行的正交坐標(biāo)軸，微面積dA在兩個(gè)坐標(biāo)系OxCyC和Oxy中的坐標(biāo)分別為xC、yC和x、y。截面對x軸的慣性矩為 AaaSIAaAyaAyxCxcAACAC2222dd2dACAxAayAyId)(d22式中：SxC截面對形心軸xC的靜矩，其值為零。 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)平行移軸公式因此有 AaIICxx2a

15、bAIIAbIICCCyxxyyy,2同理 式中：Ix、Iy、Ixy截面對x、y軸的慣性矩和慣性積； IxC、IyC、IxCyC 截面對形心軸xC、yC的慣性矩和慣性積； a、b 截面形心C在Oxy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。 上式稱為慣性矩和慣性積的平行移軸公式平行移軸公式。利用它可以計(jì)算截面對與形心軸平行的軸之慣性矩和慣性積。 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)平行移軸公式.3.2 組合截面的慣性矩和慣性積組合截面的慣性矩和慣性積 設(shè)組合截面由n個(gè)簡單截面組成，根據(jù)慣性矩和慣性積的定義，組合截面對x、y軸的慣性矩和慣性積為 xyixyyiyxixIIIIII,式中：Ixi、Iyi、Ixyi各個(gè)簡單截面對x、

16、y軸的慣性矩和慣性積。 對于工程中常用的截面，其主要的幾何性質(zhì)列于表.1中，以備查用。 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)平行移軸公式表表.1 常用截面的幾何性質(zhì)常用截面的幾何性質(zhì) 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)平行移軸公式續(xù)表1目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)平行移軸公式續(xù)表1目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)平行移軸公式續(xù)表1目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)平行移軸公式續(xù)表1目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)平行移軸公式 【例【例.6】 圖示截面是在工字鋼上下加焊兩塊鋼板形成的截面，試求該組合截面對其形心軸x的慣性矩。 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)平行移軸公式 【解】【解】 在求上下兩個(gè)矩形對x軸的慣性矩時(shí)，先求它們

17、對各自形心軸的慣性矩，然后再利用平行移軸公式求對x軸的慣性矩。 查型鋼規(guī)格表，22a號工字鋼的有關(guān)幾何參數(shù)為 44mm103400 xI,h = 220 mm 整個(gè)截面對形心軸x的慣性矩為 444234mm106576mm10120)5110(1210120103400 xI 上述計(jì)算結(jié)果表明，在工字鋼截面上下增加很小的面積卻能使整個(gè)組合截面對形心軸的慣性矩增大將近一倍。工程中常常采用這樣的組合截面，來增大截面的慣性矩，達(dá)到提高構(gòu)件承載能力的目的。 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)平行移軸公式 【例例.7】 在半徑為R的圓截面中，有一半徑為r的偏心圓孔，偏心距為e，如圖所示。試求該組合截面對x、y

18、軸的慣性矩和慣性積。 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)平行移軸公式 【解】【解】 在計(jì)算組合截面的慣性矩和慣性積時(shí)也可使用負(fù)面積法。此時(shí)，被挖去部分的慣性矩和慣性積冠以負(fù)號。 組合截面對x軸的慣性矩為 )(4444444rRrRIIIxxx 圓孔部分對自身形心軸y1的慣性矩為 441rIy圓孔部分對y軸的慣性矩為 224241rerAbIIyy 故組合截面對y軸的慣性矩為 )4(4）4（422442244rerRrerRIIIyyy 組合截面對x、y軸的慣性積為 0 xyxyxyIII.4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公式.4.1 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸

19、公式 在圖中，設(shè)截面的面積為A，對x、y軸的慣性矩和慣性積分別為Ix、Iy和Ixy。當(dāng)坐標(biāo)軸x、y繞O點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過角后，得到一新的坐標(biāo)系Ox1y1，截面對x1、y1軸的慣性矩和慣性積分別為Ix1、Iy1和Ix1y1 、和。取微面積dA，其在兩坐標(biāo)系Oxy和Ox1y1中的坐標(biāo)分別為(x，y)與(x1，y1)，則此兩坐標(biāo)間存在如下變換關(guān)系： cossinsincos11yxyyxx目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公式222222211coscossinsindcosdcossin2dsindcossindxxyyAAAAAxIIIAyAxyAxAyxAyI由公式得目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公

20、式2sincossin2,22cos1sin,22cos1cos22將三角公式 代入上式，整理后得 2cos2sin22sin2cos22111xyyxyxxyyxyxyIIIIIIIIII2sin2cos221xyyxyxxIIIIII同理 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公式2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII 上式稱為慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式。它表示當(dāng)坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，截面對具有不同轉(zhuǎn)角的各坐標(biāo)軸的慣性矩或慣性積之間的關(guān)系。yxIIIp 若將上式 中的前兩式相加，并利用式，則有

21、 p11IIIIIyxyx 上式表明，截面對通過一點(diǎn)的任意兩正交軸的慣性矩之和為常截面對通過一點(diǎn)的任意兩正交軸的慣性矩之和為常數(shù)數(shù)，且等于截面對該點(diǎn)的極慣性矩且等于截面對該點(diǎn)的極慣性矩。 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公式.4.2 主慣性軸和主慣性矩主慣性軸和主慣性矩由轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)坐標(biāo)軸繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性積將隨著角度的改變而變化，且有正有負(fù)。因此，總可以找到一個(gè)角度 0，以及相應(yīng)的x0、y0軸（如圖），使截面對于這一對坐標(biāo)軸的慣性積等于零，這一對坐標(biāo)軸就稱為O點(diǎn)處的主主慣性軸慣性軸。截面對一點(diǎn)處主慣性軸的慣性矩稱為該點(diǎn)處的主慣性矩主慣性矩。為了確定 0 ，可令式 為零，即 2cos2si

22、n211xyyxyxIIII02cos2sin211xyyxyxIIII目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公式于是可得 yxxyIII2tan20 由此可解出相差90的兩個(gè)角度 0和 0 = 0 90（如圖），從而確定主慣性軸的位置。 分別對求一階導(dǎo)數(shù)，設(shè)=0時(shí)，能使導(dǎo)數(shù)，2sin2cos22,2sin2cos2211xyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIII若將轉(zhuǎn)軸公式中前兩式0dd0dd11yxII和同樣可以得到y(tǒng)xxyIII2tan20目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公式 可見，截面對通過任一點(diǎn)的主慣性軸的慣性矩（即主慣性矩）截面對通過任一點(diǎn)的主慣性軸的慣性矩（即主慣性矩），是截

23、面對通過該點(diǎn)的所有軸的慣性矩中的最大值和最小值是截面對通過該點(diǎn)的所有軸的慣性矩中的最大值和最小值。 利用公式 求出0，然后代入轉(zhuǎn)軸公式中前兩式，經(jīng)化簡后可得主慣性矩的計(jì)算公式為yxxyIII2tan2022minmax)2(2xyyxyxIIIIIII 下面說明主慣性矩和主慣性軸之間的對應(yīng)關(guān)系?？梢宰C明，若限定求出的兩個(gè)主慣性軸的位置角 0和 0 = 0 90為正的或負(fù)的銳角，則當(dāng)主慣性軸的位置角的符號與截面的慣性積當(dāng)主慣性軸的位置角的符號與截面的慣性積Ixy的符號的符號相反時(shí)相反時(shí)，截面對該主慣性軸的慣性矩為最大（截面對該主慣性軸的慣性矩為最大（Imax）；反之，則為反之，則為最?。ㄗ钚。↖

24、min）。 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公式.4.3 組合截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩組合截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩 通過截面形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸形心主慣性軸，簡稱形心主軸形心主軸。截面對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩形心主慣性矩，簡稱形心主矩形心主矩。 在計(jì)算組合截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩時(shí)，首先應(yīng)確定其形心的位置，然后視其有無對稱軸而采用不同的方法。若組合截面有一個(gè)或一個(gè)以上的對稱軸，則通過形心且包括對稱軸在內(nèi)的兩正交軸就是形心主慣性軸，再計(jì)算形心主慣性矩。若組合截面無對稱軸，則可選擇適當(dāng)?shù)男涡妮S（一般選擇平行于各個(gè)簡單截面之形心主慣性軸的坐標(biāo)軸），計(jì)算截面

25、對該形心軸的慣性矩和慣性積，再確定形心主慣性軸的位置和計(jì)算形心主慣性矩。 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公式【例【例.8】 試求圖示T形截面的形心主慣性矩。目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公式 【解】【解】 1）確定截面的形心C的位置。建立如圖所示坐標(biāo)系Oxy，因截面關(guān)于y軸對稱，所以xC = 0，只需求形心C的縱坐標(biāo)yC的值。將截面看作由兩個(gè)矩形組成的組合截面，則有矩形I A1 = 12030 = 3600 mm2， y1 = 105 mm矩形II A2 = 18040 = 7200 mm2， y2 = 90 mm 形心C的坐標(biāo)為mm95mm720036009072001053600212

26、211AAyAyAyC目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公式 2）計(jì)算形心主慣性矩。因y軸為截面的對稱軸，故截面對過形心C的x0、y軸的慣性積等于零，即x0、y軸為形心主慣性軸，截面對x0、y軸的慣性矩Ix0、Iy即為所求形心主慣性矩。由圖可知，a1 = 100 mm，a2 = 5 mm，則形心主慣性矩、為 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公式4442323222221110mm105895mm4018051218040301201001230120aAIaAIIxxx44433mm10528mm12401801212030yyyIII目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公式【例【例.9】 試求圖示L形截面的形心主慣性矩。 目錄目錄附錄 截面的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)軸公式【