第2章 時間序列模型(講稿)1

1、第2章 時間序列模型時間序列分析方法由Box-Jenkins (1976) 年提出。它適用于各種領(lǐng)域的時間序列分析。時間序列模型不同于經(jīng)濟計量模型的特點是： 這種建模方法不以經(jīng)濟理論為依據(jù)，而是依據(jù)變量自身的變化規(guī)律，利用外推機制描述時間序列的變化。 明確考慮時間序列的非平穩(wěn)性。如果時間序列非平穩(wěn)，建立模型之前應(yīng)先通過差分把它變換成平穩(wěn)的時間序列，再考慮建模問題。 2.1隨機過程、時間序列為什么在研究時間序列之前先要介紹隨機過程？就是要把時間序列的研究提高到理論高度來認識。時間序列不是無源之水。它是由相應(yīng)隨機過程產(chǎn)生的。只有從隨機過程的高度認識了它的一般規(guī)律。對時間序列的研究才會有指導(dǎo)意義。對

2、時間序列的認識才會更深刻。1過程的分類自然界中事物變化的過程可以分成兩類。一類是確定型過程，一類是非確定型過程。1確定型過程?？梢杂藐P(guān)于時間t的函數(shù)描述的過程。2非確定型過程。不能用一個或幾個關(guān)于時間t確實定性函數(shù)描述的過程。換句話說，對同一事物的變化過程獨立、重復(fù)地進行屢次觀測而得到的結(jié)果是不相同的。例如，對河流水位的測量。其中每一時刻的水位值都是一個隨機變量。 2)隨機過程 由隨機變量組成的一個有序序列稱為隨機過程，隨機過程簡記為 xt 或x(t) ，xt。隨機過程也常簡稱為過程。3) 隨機過程的為類隨機過程一般分為兩類。1離散型。如果一個隨機過程xt對任意的tT 都是一個離散型隨機變量，

3、那么稱此隨機過程為離散型隨機過程。2連續(xù)型。如果一個隨機過程xt對任意的tT 都是一個連續(xù)型隨機變量，那么稱此隨機過程為連續(xù)型隨機過程。 4) 嚴強平穩(wěn)過程 一個隨機過程中假設(shè)隨機變量的任意子集的聯(lián)合分布函數(shù)與時間無關(guān)，即無論對T的任何時間子集t1, t 2, , tn以及任何實數(shù)k, (ti + k) T, i = 1, 2, , n 都有 F( x(t1) , x(t2), , x(tn) ) = F(x(t1 + k), x(t2 + k), , x(tn + k) )成立，其中F() 表示n個隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)，那么稱其為嚴平穩(wěn)過程或強平穩(wěn)過程。 5)寬平穩(wěn)過程1m階寬平穩(wěn)過程。如

4、果一個隨機過程m階矩以下的矩的取值全部與時間無關(guān)，那么稱該過程為m階平穩(wěn)過程。2二階寬平穩(wěn)過程。如果一個隨機過程xt E x(ti) = E x(ti + k) = , Varx(ti) = Varx(ti + k) = 2 , Covx(ti), x(tj) = Covx (ti + k), x (tj + k) = i j2 ,其中 , 2 和 ij2 為常數(shù)，不隨 t, (tT ); k, ( (tr + k) T, r = i, j ) 變化而變化，那么稱該隨機過程 xt 為二階平穩(wěn)過程。該過程屬于寬平穩(wěn)過程。 如果嚴平穩(wěn)過程的二階矩為有限常數(shù)值，那么其一定是寬平穩(wěn)過程。反之，一個寬平

5、穩(wěn)過程不一定是嚴平穩(wěn)過程。但對于正態(tài)隨機過程而言，嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)是一致的。這是因為正態(tài)隨機過程的聯(lián)合分布函數(shù)完全由均值、方差和協(xié)方差所惟一確定。本書簡稱二階平穩(wěn)過程為平穩(wěn)過程。6)時間序列隨機過程的一次實現(xiàn)稱為時間序列，也用x t 或x t表示。 時間序列中的元素稱為觀測值。xt既表示隨機過程，也表示時間序列。xt既表示隨機過程的元素隨機變量，也表示時間序列的元素觀測值。在不致引起混淆的情況下，為方便，xt 也直接表示隨機過程和時間序列。7) 滯后算子(1) 一階滯后算子。L 稱為滯后算子，其定義是：L x t = xt-1 (2) 高階滯后算子。L2 x t = xt- 2， Ln x t

6、= xt- n8差分時間序列變量的本期值與其滯后值相減的運算叫差分。對于時間序列x t ， 1一階差分可表示為 x t = x t - x t -1 = x t - L x t =(1- L) x t (2.1)其中 稱為一階差分算子。 =(1- L) 2二次一階差分表示為， xt = xt - xt -1 = (xt - xt -1) (xt-1 - xt -2) = xt - 2 xt -1+ xt 2，或 xt = (1- L ) 2 xt = (1 2L + L 2 ) xt = xt 2 xt-1+ xt2 (2.2)(3)k階差分可表示為 k xt = xt - xt -k = x

7、t Lk xt =(1- Lk ) xt k階差分常用于季節(jié)性數(shù)據(jù)的差分。9兩種根本的隨機過程(1)白噪聲white noise過程對于隨機過程 xt , tT , 如果(1) E(xt) = 0, (2) Var (xt) = 2 , tT; (3) Cov (xt, xt + k) = 0, (t + k ) T , k 0 , 那么稱xt為白噪聲過程。 圖a 由白噪聲過程產(chǎn)生的時間序列 圖b 日元對美元匯率的收益率序列白噪聲是平穩(wěn)的隨機過程，因其均值為零，方差不變，隨機變量之間非相關(guān)。顯然上述白噪聲是二階寬平穩(wěn)隨機過程。如果xt 同時還服從正態(tài)分布，那么它就是一個強平穩(wěn)的隨機過程。白噪聲

8、源于物理學(xué)與電學(xué)，原指音頻和電信號在一定頻帶中的一種強度不變的干擾聲。(2)隨機游走random walk過程對于下面的表達式 xt = xt -1 + ut ( 2.3)如果ut 為白噪聲過程，那么稱xt 為隨機游走過程。 圖e. 由隨機游走過程產(chǎn)生時間序列 圖f. 日元對美元匯率300天，1995年“隨機游走一詞首次出現(xiàn)于1905年自然Nature雜志第72卷Pearson K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中。該信件的題目是“隨機游走問題。文中討論尋找一個被放在野地中央的醉漢的最正確策略是從投放點開始搜索。 隨機游走過程的均值為零 xt = xt -1 + ut = ut + u

9、t-1 + xt -2 = ut + ut-1 + ut-2 + E(xt) = E(ut + ut-1 + ut-2 + ) = 0,隨機游走過程的方差為無限大Var(xt) = Var(ut + ut-1 + ut-2 + ) = 所以隨機游走過程是非平穩(wěn)的隨機過程。 2.2時間序列模型的分類 自回歸過程1)定義 如果一個線性過程可表達為xt = 1xt-1 + 2 xt-2 + + p xt-p + ut (2.4)其中i, i = 1, p 是自回歸參數(shù)，ut 是白噪聲過程，那么稱xt為p階自回歸過程，用AR(p)表示。模型 xt = 1xt-1 + 2 xt-2 + + p xt-p

10、 + ut 稱為p階自回歸模型。xt是由它的p個滯后變量的加權(quán)和以及ut相加而成。 假設(shè)用滯后算子表示 xt = 1xt-1 + 2 xt-2 + + p xt-p + ut xt = 1 L xt + 2 L2xt + + p Lp xt + ut 即 xt - 1 L xt - 2 L2xt - - p Lp xt = ut (1- 1L - 2 L2 - - p Lp ) xt = ut L) xt = ut (2.5)其中 L) = 1- 1L - 2 L2 - - p Lp稱為特征多項式或自回歸算子。2平穩(wěn)性與自回歸模型常聯(lián)系在一起的是平穩(wěn)性問題。1一階自回歸過程的平穩(wěn)性AR(p)過

11、程中最常用的是AR(1)過程 xt = 1 xt-1 + ut (2.7)特征方程是 (1 - 1 L) = 0特征方程根是 L =1/1 保持其平穩(wěn)性的條件是特征根的絕對值必須大于1，滿足 |1/1| 1也就是 | 1| 1解釋如下：一階自回歸過程，xt = 1 xt-1 + ut，可寫為 (1- 1L) xt = ut 在 | 1| 1條件下，有xt = (1+ 1L + (1 L) 2 + (1 L) 3 +) ut 假設(shè)保證AR(1)具有平穩(wěn)性，必須收斂，即1必須滿足|1| 1。這是容易理解的，如果|1| 1，發(fā)散，于是xt 變成一個非平穩(wěn)隨機過程。2一階自回歸過程的均值方差由2.7式

12、有 xt = ut + 1 ut-1 + 12 xt-2 = ut + 1 ut-1 + 12 ut-2 + 短記憶過程因為ut 是一個白噪聲過程，所以對于平穩(wěn)的AR(1)過程 E(xt) = 0 Var (xt) = u2 + 12 u2 + 14u2 + = 上式也說明假設(shè)保證xt平穩(wěn)，必須保證 | 1| 1。例1：有AR(1) 模型 xt = x t-1 + ut 那么，(1 - 0.6 L ) x t = ut xt =(1 - 0.6 L )-1ut =0.6 L + 0.36 L2 + 0.216 L3 + ) ut = ut ut-1 ut-2 + 0.216 ut-3 + 上式

13、變換為一個無限階的移動平均過程。 3一般的自回歸過程AR (p)平穩(wěn)性對于一般的自回歸過程AR (p)，特征多項式 (L) = 1 - 1 L - 2 L2 - - p Lp = (1 G1 L) (1 G2 L) . (1 Gp L)那么xt 可表達為 xt = -1 (L) ut = (+ +)ut , (2.8)其中k1, k 2, , k p 是待定系數(shù)。xt 具有平穩(wěn)性的條件是 -1 (L) 必須收斂，即應(yīng)有| Gi | 1。由上式可看出一個平穩(wěn)的AR(p)過程可以轉(zhuǎn)換成一個無限階的移動平均過程p個無窮級數(shù)之和。 對于自回歸過程AR(p)，如果其特征方程 z) = 1- 1 z -

14、2 z2 - - p z p= 0 (2.6)的所有根的絕對值都大于1，那么AR(p)是一個平穩(wěn)的隨機過程。保證AR(p) 過程平穩(wěn)的一個必要但不充分的條件是p個自回歸系數(shù)之和要小于1，即 1, 或| 1| 1。 當(dāng)|1| 1時，MA(1)過程2.14應(yīng)變換為 ut =(1+ 1L)1 xt =(1-1L + 12L2 - 13L3 + ) xt (2.15)這是一個無限階的以幾何衰減特征為權(quán)數(shù)的自回歸過程。 對于MA(1)過程有 E(x t) = E(ut) + E( 1 ut - 1) = 0 Var(xt) = Var(ut) + Var( 1 ut 1) = (1+ 12 ) u2 圖

15、 MA(1)過程2移動平均過程可逆性移動平均過程具有可逆性的條件是特征方程。 z) = (1 + 1 z + 2 z2 + + q zq) = 0 (2.10)的全部根的絕對值必須大于1。 由 (2.9) 有 L)-1xt = ut。由于 L) 可表示為 L) = (1 H1 L) ( 1 H2 L) (1 Hq L)所以有 L)-1 =+, (2.11)mi為待定參數(shù)?？梢姳ＷCMA(q)過程可以轉(zhuǎn)換成一個無限階自回歸過程，即MA(q)具有可逆性的條件L)-1收斂。對于 | L | 1，必須有|Hj| 1，j = 1，2，q成立。而Hj -1是特征方程 L) = (1 H1 L) ( 1 H2

16、 L) (1 Hq L) = 0的根，所以MA(q)過程具有可逆性的條件是特征方程 L) = 0的根必須在單位圓之外。因為x t = L) ut是平穩(wěn)的，如果變換成 L)-1 xt = ut 后，變得不平穩(wěn)，顯然失去可逆性。3移動平均過程均指方差對于無限階的移動平均過程 xt = i u t -i = (1+1 L + 2 L 2 + ) ut (2.12)其方差為 Var(xt) = i2 Var (ut i) = u2 i2 (2.13)很明顯雖然有限階移動平均過程都是平穩(wěn)的，但對于無限階移動平均過程還須另加約束條件才能保證其平穩(wěn)性。這條件就是x t的方差必須為有限值，即 3自回歸與移動平

17、均過程的關(guān)系 一個平穩(wěn)的AR(p)過程(1 - 1L - 2L2 - - pLp ) xt = ut可以轉(zhuǎn)換為一個無限階的移動平均過程， xt = (1 - 1L - 2L2 - - pLp )-1 u t = L)-1 ut 一個可逆的MA(p)過程 xt = (1 + 1L + 2 L2 + + q Lq ) ut = L) ut可轉(zhuǎn)換成一個無限階的自回歸過程， (1 + 1L + 2 L2 + + q Lq)-1 xt = L) -1 xt = ut 對于AR(p)過程只需考慮平穩(wěn)性問題，條件是 L) = 0的根絕對值必須大于1。不必考慮可逆性問題。對于MA(q)過程，只需考慮可逆性問題

18、，條件是 L) = 0的根絕對值必須大于1，不必考慮平穩(wěn)性問題。自回歸移動平均過程1自回歸移動平均過程定義由自回歸和移動平均兩局部共同構(gòu)成的隨機過程稱為自回歸移動平均過程，記為ARMA(p, q), 其中p, q分別表示自回歸和移動平均局部的最大階數(shù)。ARMA(p, q) 的一般表達式是 xt = 1xt-1 + 2xt-2 + p xt-p + ut + 1ut-1 + 2 ut-2 + .+ q ut-q (2.16)即 (1 - 1L - 2 L2 - - p Lp ) xt = (1 + 1 L + 2 L2+ + q Lq ) ut或 (L) xt = (L) ut 2.17其中 (

19、L) 和 (L) 分別表示L的p, q階特征多項式。2平穩(wěn)性和可逆性ARMA(p, q) 過程的平穩(wěn)性只依賴于其自回歸局部，即 (L) = 0的全部根取值在單位圓之外絕對值大于1。其可逆性那么只依賴于移動平均局部，即 (L) = 0的根取值應(yīng)在單位圓之外。實際中最常用的是ARMA(1, 1)過程。 xt - 1xt-1 = ut + 1 ut - 1 (2.18)或1 - 1 Lxt =1 + 1 Lut很明顯只有當(dāng) 1 1 1和 1 1 1 時，上述模型才是平穩(wěn)的，可逆的。 圖2.4 ARMA(1,1) 過程 2.2.4 單整自回歸移動平均過程 1強非平穩(wěn)過程差分 對于ARMA過程包括AR過

20、程，如果特征方程(L) = 0 的全部根取值在單位圓之外，那么該過程是平穩(wěn)的；如果假設(shè)干個或全部根取值在單位圓之內(nèi)，那么該過程是強非平穩(wěn)的。例如， xt = 1.3 xt-1 + ut特征方程L=0，特征方程的根L = 1/ 1.3 = 0.77xt是非平穩(wěn)的。 上式兩側(cè)同減 xt-1得 xt = 0.3 xt-1 + utxt仍然非平穩(wěn)。 2單位根過程的差分 隨機游走 xt = 1 xt-1 + ut xt = ut xt平穩(wěn) 即特征方程的假設(shè)干根取值恰好在單位圓上。這種根稱為單位根，這種過程也是非平穩(wěn)的。下面介紹這種重要的非平穩(wěn)隨機過程。3單整自回歸移動平均過程。假設(shè)一個隨機過程含有d個單

21、位根，其經(jīng)過d次差分之后可以變換為一個平穩(wěn)的自回歸移動平均過程。那么該隨機過程稱為單整自回歸移動平均過程。伯克斯詹金斯積數(shù)十年理論與實踐的研究指出，時間序列的非平穩(wěn)性是多種多樣的，然而幸運的是經(jīng)濟時間序列常常具有這種特殊的線性齊次非平穩(wěn)特性即參數(shù)是線性的，xt及其滯后項都是一次冪的。對于一個非季節(jié)性經(jīng)濟時間序列常常可以用含有一個或多個單位根的隨機過程模型描述?？紤]如下模型 (L)d yt = (L) ut (2.19)其中(L) 是一個平穩(wěn)的自回歸算子。即 (z) = 0 的根都大于1。 (L)表示可逆的移動平均算子。假設(shè)取 xt = d yt 0)那么2.19可表示為 (L) xt = (L

22、) ut (2.21)說明yt 經(jīng)過d 次差分之后，可用一個平穩(wěn)的、可逆的ARMA過程xt 表示。 圖2.5 ARIMA(1,1,1) 過程 隨機過程yt 經(jīng)過d 次差分之后可變換為一個以 (L)為p階自回歸算子， (L)為q階移動平均算子的平穩(wěn)、可逆的隨機過程，那么稱yt 為p, d, q階單整(單積)自回歸移動平均過程，記為ARIMA (p, d, q)。這種取名的目的是與以后各章中的稱謂相一致。ARIMA過程也稱為綜合自回歸移動平均過程。其中 (L) d稱為廣義自回歸算子。(2.19) 是隨機過程的一般表達式。當(dāng)p 0, d = 0, q 0 時，2.19變成ARMA (p, q)過程，

23、 p = 0, d = 0, q 0時，ARIMA過程變成AM(q)過程；而當(dāng) p = d = q = 0時，ARIMA過程變成白噪聲過程。 2.2.4 Wold分解定理Wold分解定理：任何協(xié)方差平穩(wěn)過程xt，都可以被表示為xt - - dt = ut + 1 ut-1+ 2 ut-2 + + = 其中 表示xt的期望。dt 表示xt的線性確定性成分，如周期性成分、時間t的多項式和指數(shù)形式等，可以直接用xt的滯后值預(yù)測。0 = 1， 。ut為白噪聲過程。ut表示用xt的滯后項預(yù)測xt時的誤差。ut = xt - E(xt xt-1, xt-2 , )稱為xt的線性非確定性成分。當(dāng)dt = 0

24、時，稱xt為純線性非確定性過程。 注意，無論原序列中含有何種確定性成分，在前面介紹的模型種類中，還是后面介紹的自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)中都假設(shè)在原序列中已經(jīng)剔除了所有確定性成分，是一個純的隨機過程過程中不含有任何確定性成分。如果一個序列如上式， xt = + dt + ut + 1 ut-1+ 2 ut-2 + +那么所有研究都是在yt = xt - - dt 的根底上進行。例如前面給出的各類模型中都不含有均值項、時間趨勢項就是這個道理。 實際中單憑對時間序列的觀察很難確定其屬于哪一種模型，而自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)是分析隨機過程和識別模型的有力工具。 2.3.1. 自相關(guān)函數(shù)定義 1)自協(xié)方

25、差函數(shù)由第一節(jié)知隨機過程xt中的每一個元素xt，t = 1, 2, 都是隨機變量。對于平穩(wěn)的隨機過程，其期望為常數(shù)，用 表示，即 E(x t) = , t = 1, 2, 5)平穩(wěn)隨機過程的方差也是一個常量 Var(x t) = E (xt - E(xt)2 = E (xt - )2 = x2 t = 1, 2, 6)x2用來度量隨機過程取值的離散程度。(1) 自協(xié)方差相隔k期的兩個隨機變量x t 與xt - k 的協(xié)方差即滯后k期的自協(xié)方差，定義為ck = Cov (xt , x t - k ) = E(xt - ) (xt - k - ) (2.27)k = 1, 2, K(2) 自協(xié)方差

26、函數(shù)自協(xié)方差序列 ck , k = 0, 1, , K,稱為隨機過程 xt 的自協(xié)方差函數(shù)。2)自相關(guān)函數(shù)當(dāng)k = 0 時 c0 = Var (xt) = x2 自相關(guān)系數(shù)定義 k = 2.28因為對于一個平穩(wěn)過程有 Var (xt) = Var (xt - k) = x2 (2.29)所以2.28可以改寫為 2.30當(dāng) k = 0 時，有 0 = 1。 以滯后期k為變量的自相關(guān)系數(shù)列 k, k = 0, 1, , K (2.31)稱為自相關(guān)函數(shù)。因為k =- k即Cov (xt - k , xt ) = Cov (xt , x t + k )，自相關(guān)函數(shù)是零對稱的，所以實際研究中只給出自相關(guān)

27、函數(shù)的正半局部即可。2. 回歸過程的自相關(guān)函數(shù) (1) 平穩(wěn)AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)AR(1) 過程如下 xt = xt-1 + ut , 1用xt- k 同乘上式兩側(cè) xt xt- k = xt-1 xt- k + ut xt- k兩側(cè)同取期望，E(xt xt- k )=E(xt -)(xt- k-) ck = 1 ck -1其中E(xt- k ut) = 0ut與其t - k期及以前各項都不相關(guān)。兩側(cè)同除 c0 得, k = 1 k -1 = 1 1 k -2 = = 1k 0因為 o = 1。所以有 k = 1k , k 0對于平穩(wěn)序列有 ?？梢夾R(1) 過程的自相關(guān)函數(shù)具有拖尾特征

28、 所以當(dāng) 1為正時，自相關(guān)函數(shù)按指數(shù)衰減至零過阻尼情形，當(dāng) 1為負時，自相關(guān)函數(shù)正負交錯地指數(shù)衰減至零。見圖2.6。 0 經(jīng)濟問題中常見 0 經(jīng)濟問題中少見圖2.6 AR(1) 過程的自相關(guān)函數(shù)因為對于經(jīng)濟時間序列，1一般為正，所以第一種情形常見。指數(shù)衰減至零的表現(xiàn)形式說明隨著時間間隔的加長，變量之間的關(guān)系變得越來越弱。2AR(p) 過程的自相關(guān)函數(shù)用xt - k , (k 同乘平穩(wěn)的 p階自回歸過程 xt = 1 xt -1 + 2 xt -2 + p xt - p + ut (2.32)的兩側(cè)，得xt-k xt = 1xt -k xt -1+2xt -k xt -2 +pxt-k xt -

29、p +xt -kut (2.33)對上式兩側(cè)分別求期望得ck = 1 ck -1 + 2 ck -2 + + p ck - p ，k 0 (2.34)上式中對于 k 0，有E(xt - k ut ) = 0。因為當(dāng) k 0時，xt - k 發(fā)生在ut 之前，所以 xt - k 與 ut不相關(guān)。用 c0分別除2.34式的兩側(cè)得 k = 1 k -1 + 2 k -2 + + p k -p ， k 0 (2.35)令 (L) = (1 - 1 L - 2 L2 - - p Lp其中L為k的滯后算子，那么上式可表達為 (L) k = 0因 (L) 可因式分解為， 那么式的通解證明見附錄是 k=A1G

30、1k+A2G2k+ApGpk (2.36)其中Ai, i = 1, p 為待定常數(shù)。這里 Gi-1, i = 1, 2, , p 是特征方程 (L) = (1 - 1 L - 2 L2 - - p Lp ) = 0的根。為保證隨機過程的平穩(wěn)性，要求 | Gi | 1, i = 1, 2, , p。這會遇到如下兩種情形。 當(dāng)Gi為實數(shù)時，(2.36) 式中的Ai Gik 將隨著k 的增加而幾何衰減至零，稱為指數(shù)衰減過阻尼情形。 當(dāng)Gi 和Gj 表示一對共軛復(fù)根時，設(shè)Gi = a + bi, Gj = a bi, = R，那么Gi , Gj的極座標形式是Gi = R (Cos + i Sin )，

31、Gj = R (Cos - i Sin )。假設(shè)AR(p) 過程平穩(wěn)，那么 Gi 1，所以必有R 0，指數(shù)衰減是平滑的，或正或負。 5假設(shè) 1 0，相關(guān)函數(shù)為正負交替式指數(shù)衰減。對于ARMA (p, q) 過程，p, q 2時，自相關(guān)函數(shù)是指數(shù)衰減或正弦衰減的。2.3.5. 相關(guān)圖correlogram (1) 樣本均值 對于一個有限時間序列x1, x2, , xT用樣本平均數(shù)估計總體均值 ，用樣本方差 估計總體方差x2。 (2) 樣本協(xié)方差定義 k=0,1,2, ,K , (2.41)為樣本協(xié)方差，是對k 的估計 (2.42)是對c0的估計，T是時間序列數(shù)據(jù)的樣本容量。實際中T不應(yīng)太小，最好

32、能大于60。(3)樣本自相關(guān)系數(shù)稱 k = 0, 1 , 2, , K, ( K 1時，kk = 0，所以AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)特征是在k = 1出現(xiàn)峰值11 = 1然后截尾。11 0 11 2時，kk = 0。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期2以后有截尾特性。3AR(p)過程偏自相關(guān)函數(shù)對于AR(p)過程，當(dāng)k p時，kk 0，當(dāng)k p時，kk = 0。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期p以后有截尾特性，因此可用此特征識別AR(p)過程的階數(shù)。4MA(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)MA(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減特征。假設(shè)1 0, 偏自相關(guān)函數(shù)呈交替改變符號式指數(shù)衰減；假設(shè)1 0，偏自相關(guān)函數(shù)呈負數(shù)的指數(shù)衰減。因

33、為任何一個可逆的MA(q) 過程都可以轉(zhuǎn)換成一個無限階的系數(shù)按幾何遞減的AR過程，所以MA(q) 過程的偏自相關(guān)函數(shù)呈緩慢衰減特征。 1 0 1 0， (1- 1 L + 12 L2 - ) xt = ut , xt = 1 x t-1 - 12 x t-2 + 13 x t-3 - + ut , 對于xt = ut - 1 ut-1過程，有 1/ (1- 1 L) xt = ut ，當(dāng)1 0, (1+ 1 L + 12 L2 + ) xt = ut , xt = - 1 x t-1 - 12 x t-2 - 13 x t-3 - + ut , 對于MA(2) 過程，假設(shè) (L) = 0的根是

34、實數(shù)，偏自相關(guān)函數(shù)由兩個指數(shù)衰減形式疊加而成。假設(shè) (L) = 0的根是虛數(shù)，偏自相關(guān)函數(shù)呈正弦衰減形式。ARMA( p, q) 過程的偏自相關(guān)函數(shù)也是無限延長的，其表現(xiàn)形式與MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)相類似。根據(jù)模型中移動平均局部的階數(shù)q以及參數(shù)i的不同，偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減和或正弦衰減混合形式。3偏自相關(guān)圖對于時間序列數(shù)據(jù)，偏自相關(guān)函數(shù)通常是未知的?？捎脴颖居嬎?11, 22, 的估計量 , , 。估計的偏自相關(guān)函數(shù) , k = 1, 2, , K, (2.48)稱為偏相關(guān)圖。因為AR過程和ARMA過程中AR分量的偏自相關(guān)函數(shù)具有截尾特性，所以可利用偏相關(guān)圖估計自回歸過程的階數(shù)p。實際

35、中對于偏相關(guān)圖取k = 15就足可以了。4偏自相關(guān)函數(shù)的方差的方差近似為T-1。當(dāng)T充分大時，近似有 ( -0) / T-1/2 = T1/2 N (0, 1)所以在觀察偏相關(guān)圖時，假設(shè)的絕對值超過2 T-1/22個標準差，就被認為是顯著地不為零。 ARIMA過程yt用 (L)dyt = 0 + (L) ut (2.51)表示，其中 (L)和 (L)分別是p, q 階的以L為變數(shù)的多項式，它們的根都在單位圓之外。0為位移項，dyt表示對yt 進行d次差分之后可以表達為一個平穩(wěn)的可逆的ARMA過程。這是隨機過程的一般表達式。它既包括了AR，MA 和ARMA過程，也包括了單整的AR，MA和ARMA

36、過程。建立時間序列模型通常包括三個步驟。1模型的識別，2模型參數(shù)的估計，3診斷與檢驗。1模型的識別就是通過對相關(guān)圖的分析，初步確定適合于給定樣本的ARIMA模型形式，即確定d, p, q的取值。2模型參數(shù)的估計就是待初步確定模型形式后對模型參數(shù)進行估計。3診斷與檢驗就是以樣本為根底檢驗擬合的模型，以求發(fā)現(xiàn)某些不妥之處。如果模型的某些參數(shù)估計值不能通過顯著性檢驗，或者殘差序列不能近似為一個白噪聲過程，應(yīng)返回第一步再次對模型進行識別。如果上述兩個問題都不存在，就可接受所建立的模型。建摸過程用表示。下面對建摸過程做詳細論述。識別 用相關(guān)圖和偏相關(guān)圖識別模型形式確定參數(shù)d, p, q估計 對初步選取的

37、模型進行參數(shù)估計三、診斷與檢驗包括參數(shù)的顯著性檢驗和殘差的隨機性檢驗不可取模型可取嗎 可取 止 圖2.8 建立時間序列模型程序圖2.5.1模型的識別模型的識別主要依賴于對相關(guān)圖與偏相關(guān)圖的分析。在對經(jīng)濟時間序列進行分析之前，首先應(yīng)對樣本數(shù)據(jù)取對數(shù)，目的是消除數(shù)據(jù)中可能存在的異方差，然后分析其相關(guān)圖。第1步是判斷隨機過程是否平穩(wěn)。由2.2節(jié)知，如果一個隨機過程是平穩(wěn)的，其特征方程的根都應(yīng)在單位圓之外。由2.7節(jié)知，如果 (L) = 0的根接近單位圓，自相關(guān)函數(shù)將衰減的很慢。所以在分析相關(guān)圖時，如果發(fā)現(xiàn)其衰減很慢，即可認為該時間序列是非平穩(wěn)的。這時應(yīng)對該時間序列進行差分，同時分析差分序列的相關(guān)圖以

38、判斷差分序列的平穩(wěn)性，直至得到一個平穩(wěn)的序列。對于經(jīng)濟時間序列，差分次數(shù)，即模型2.51中的參數(shù)d通常只取0，1或2。另外，估計的模型形式不是唯一的，所以在模型實際中也要防止過度差分。一般來說平穩(wěn)序列差分得到的仍然是平穩(wěn)序列，但當(dāng)差分次數(shù)過多時存在兩個缺點，1序列的樣本容量減??；2方差變大；所以建模過程中要防止差分過度。對于一個序列，差分后假設(shè)數(shù)據(jù)的極差變大，說明差分過度。第2步是在平穩(wěn)時間序列根底上識別ARMA模型階數(shù)p, q。相關(guān)圖可為識別模型參數(shù)p, q提供信息。相關(guān)圖和偏相關(guān)圖估計的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)通常比真實的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的方差要大，并表現(xiàn)為更高的自相關(guān)。實際中相關(guān)

39、圖，偏相關(guān)圖的特征不會像自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)那樣“標準，所以應(yīng)該善于從相關(guān)圖，偏相關(guān)圖中識別出模型的真實參數(shù)p, q。表給出了不同ARMA模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。當(dāng)然一個過程的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)通常是未知的。用樣本得到的只是估計的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)，即相關(guān)圖和偏相關(guān)圖。建立ARMA模型，時間序列的相關(guān)圖與偏相關(guān)識別階段應(yīng)多項選擇擇幾種模型形式，以供進一步選擇。表2.3 ARIMA過程與其自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù)特征 模 型 自相關(guān)函數(shù)特征 偏自相關(guān)函數(shù)特征ARIMA(1,1,1) xt = 1 xt-1 + ut + 1ut-1緩慢地線性衰減AR1xt = 1 xt-1

40、+ ut假設(shè)1 0，平滑地指數(shù)衰減假設(shè)1 0，k=1時有正峰值然后截尾假設(shè)11 0，k=1時有正峰值然后截尾假設(shè)1 0，交替式指數(shù)衰減假設(shè)1 0，2 01 0，2 0，2 0，2 0指數(shù)或正弦衰減1 0，2 0，2 0ARMA1，1xt = 1 xt-1 + ut + 1 ut-1k=1有峰值然后按指數(shù)衰減1 0，1 01 0，1 0，1 01 0，1 0，2 0k=1, 2有兩個峰值然后按指數(shù)衰減1 0，2 0ARMA1，2xt = 1 xt-1+ ut + 1 ut-1+ 2 ut-2k=1, 2有兩個峰值然后按指數(shù)衰減1 0，1 0，2 0，1 0，2 0k=1有峰值然后按指數(shù)或正弦衰減1 0，1 0，2 0，1 0，2 0ARMA2，2xt=1xt-1+2xt-2+ ut +1ut-1+2ut-2k=1, 2有兩個峰值然后按指數(shù)或正弦衰減1 0，2 0，2 0，2 0，2 0k=1, 2有兩個峰值然后按指數(shù)或正弦衰減1