數(shù)學物理方法-4

1、1第四章 級數(shù)1 復數(shù)項級數(shù)21. 復數(shù)列的極限 設an(n=1,2,.)為一復數(shù)列, 其中an=an+ibn, 又設a=a+ib為一確定的復數(shù). 如果任意給定e0, 相應地能找到一個正數(shù)N(e), 使|an-a|N時成立, 則a稱為復數(shù)列an當n時的極限, 記作aannlim此時也稱復數(shù)列an收斂于a .3定理一定理一 復數(shù)列an(n=1,2,.)收斂于a的充要條件是bbaannnnlim,lim.lim,lim| )()( | )()( |bbaabbiaaaaibaibannnnnnnnn-同理所以則ee證 如果 , 則對于任意給定的e0, 就能找到一個正數(shù)N, 當nN時,aannlim

2、4反之, 如果.lim| )()( |2| ,2|,lim,limaaeaaeee-nnnnnnnnnnnnnbbaabbiaabbaaNnNbbaa所以從而有時當存在則任給52. 級數(shù)概念 設an=an+ibn(n=1,2,.)為一復數(shù)列, 表達式nnnaaaa21111,lim. ,.nnnnnnnsssaa則級數(shù)稱為收斂 并且極限稱為級數(shù)的和 如果數(shù)列不收斂 則級數(shù)稱為發(fā)散稱為無窮級數(shù), 其最前面n項的和sn=a1+a2+.+an稱為級數(shù)的部分和. 如果部分和數(shù)列sn收斂, 6定理二定理二 級數(shù) 收斂的充要條件是級數(shù) 和 都收斂證 因sn=a1+a2+.+an=(a1+a2+.+an)+

3、i(b1+b2+.+bn)=sn+itn,其中sn=a1+a2+.+an, tn=b1+b2+.+bn分別為 和 的部分和, 由定理一, sn有極限存在的充要條件是sn和tn的極限存在, 即級數(shù) 和 都收斂.1nna1nna1nnb1nna1nnb1nna1nnb7定理二將復數(shù)項級數(shù)的審斂問題轉化為實數(shù)項級數(shù)的審斂問題. 0lim, 0lim, 0lim0lim111nnnnnnnnnnnnnnbabaaaa收斂的必要條件是從而推出復數(shù)項級數(shù)立即可得和收斂的必要條件和而由實數(shù)項級數(shù)8定理三定理三成立且不等式也收斂則收斂如果1111|,|nnnnnnnnaaaa22221221| ,|,|nnn

4、nnnnnnnnbabbaabaa而由于證911111111111|,.|,limlim|nnnnnnnnnnnnkkkknnkkkknnkkkkababaaaaaaa可知級數(shù)及都收斂 因而和也都收斂 則是收斂的而又因因此或.,|11條件收斂級數(shù)稱為非絕對收斂的收斂級數(shù)絕對收斂則稱級數(shù)收斂如果nnnnaa10., |,|1111111112222絕對收斂與絕對收斂的充要條件是因此收斂也絕對絕對收斂時與所以當因此由于nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbabababababaaa11另外, 因為 的各項都是非負的實數(shù), 所以它的收斂也可用正項級數(shù)的判定法來判定.1|nna例1 下列數(shù)列

5、是否收斂? 如果收斂, 求出其極限.11)1;2)cosinnneninnaa12解 1) 因1111cossin111cos,1sin.lim1,lim011lim1.innnnnnnninnneinnnnabnnnnabenaa數(shù)列收斂,且有132) 由于 an=n cos in=n ch n,因此, 當n時, an. 所以an發(fā)散. 例2 下列級數(shù)是否收斂? 是否絕對收斂?1011(8 )( 1)11)1; 2);3)!2nnnnnniiinnnn-解 1) 因 發(fā)散 ; 收斂, 故原級數(shù)發(fā)散.111nnnan2111nnnbn142) 因 , 由正項級數(shù)的比值審斂法知 收斂, 故原級數(shù)

6、收斂, 且為絕對收斂.(8 )8!nninn18!nnn3) 因 收斂; 也收斂,故原級數(shù)收斂. 但因為條件收斂, 所以原級數(shù)非絕對收斂.1( 1)nnn-112nn1( 1)nnn-152 冪級數(shù)161. 冪級數(shù)的概念 設fn(z)(n=1,2,.)為一復變函數(shù)序列,其中各項在區(qū)域D內有定義.表達式) 1 . 2 . 4()()()()(211zfzfzfzfnnn稱為復變函數(shù)項級數(shù). 最前面n項的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)稱為這級數(shù)的部分和.17存在, 則稱復變函數(shù)項級數(shù)(4.2.1)在z0收斂, 而s(z0)稱為它的和. 如果級數(shù)在D內處處收斂, 則它的和一定是

7、z的一個函數(shù)s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.如果對于D內的某一點z0, 極限)()(lim00zszsnn1( )nnfzs(z)稱為級數(shù) 的和函數(shù)18這種級數(shù)稱為冪級數(shù).如果令z-a=z, 則(4.2.2)成為 , 這是(4.2.3)的形式, 為了方便, 今后常就(4.2.3)討論當fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1時, 就得到函數(shù)項級數(shù)的特殊情形:)3 . 2 . 4()2 . 2 . 4()()()()(2210022100-nnnnnnnnnnzczczcczcazcazcazccazc或0nnncz19定理一(阿貝爾Abe

8、l定理).,|,|,)0(00000級數(shù)必發(fā)散的則對滿足級數(shù)發(fā)散如果在級數(shù)必絕對收斂的則對滿足收斂在如果級數(shù)zzzzzzzzzzzcnnnz0 xyO20證nnnnnnnnnnnnnnMqzzzczcqzzzzMzcnMzczc00000000|, 1|,|, 0lim,而則如果有使對所有的則存在則收斂因21.|,1|000000是絕對收斂的從而級數(shù)亦收斂因此故收斂的等比級數(shù)為公比小于由于nnnnnnnnnnnnnnnnzcMqzcMqMqzzzczc22發(fā)散因此只能是矛盾與所設收斂前面的結論可導出則根據(jù)反而收斂設級數(shù)用反證法且如果發(fā)散如果級數(shù)0000000.,|,nnnnnnnnnnnnzc

9、zczczzzc232. 收斂圓和收斂半徑 利用阿貝爾定理, 可以定出冪級數(shù)的收斂范圍, 對一個冪級數(shù)來說, 它的收斂情況不外乎三種:i) 對所有的正實數(shù)都是收斂的. 這時, 根據(jù)阿貝爾定理可知級數(shù)在復平面內處處絕對收斂.ii) 對所有的正實數(shù)除z=0外都是發(fā)散的. 這時, 級數(shù)在復平面內除原點外處處發(fā)散.iii) 既存在使級數(shù)收斂的正實數(shù), 也存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù). 設z=a (正實數(shù))時, 級數(shù)收斂, z=b (正實數(shù))時, 級數(shù)發(fā)散.24顯然ab, 將收斂域染成紅色, 發(fā)散域為藍色.RCROabCaCbxy25當a由小逐漸變大時, Ca必定逐漸接近一個以原點為中心, R為半徑的圓周CR

10、. 在CR的內部都是紅色, 外部都是藍色. 這個紅藍兩色的分界圓周CR稱為冪級數(shù)的收斂圓. 在收斂圓的外部, 級數(shù)發(fā)散. 收斂圓的內部, 級數(shù)絕對收斂. 收斂圓的半徑R稱為收斂半徑. 所以冪級數(shù)(4.2.3)的收斂范圍是以原點為中心的圓域. 對冪級數(shù)(4.2.2)來說, 收斂范圍是以z=a為中心的圓域. 在收斂圓上是否收斂, 則不一定.26例1 求冪級數(shù)nnnzzzz201) 1( ,1112-zzzzzzsnnn的收斂范圍與和函數(shù).解 級數(shù)實際上是等比級數(shù), 部分和為27-nnnnnnnnnnnzzzzzznzzzzzszzzzzzzzs212111, 1|.,1|,11,1|,11lim,

11、 0lim,1|) 1( ,111并有在此范圍內絕對收斂收斂范圍為級數(shù)發(fā)散不趨于零時由于時當和函數(shù)為收斂時級數(shù)即從而有由于時當283.收斂半徑的求法定理二(比值法) 如果0lim1nnncc.則收斂半徑1R. 證 由于 111|limlim|nnnnnnnnczczzczc 故知當1|z時, 0|nnncz收斂, 根據(jù)上節(jié)定理三, 級數(shù)0nnncz在圓1|z內收斂. 29再證當1|z時, 級數(shù)0nnnc z發(fā)散. 假設在圓1|z外有一點 z0, 使級數(shù)00nnnc z收斂. 在圓外再取一點 z1, 使|z1|1, 所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的. 352) 1limlim11nnnncncn

12、, 即 R=1. 在收斂圓|z-1|=1 上, 當 z=0 時, 原級數(shù)成為11( 1)nnn-, 級數(shù)收斂; 當 z=2 時, 原級數(shù)成為11nn, 發(fā)散. 這個例子表明, 在收斂圓周上即有級數(shù)的收斂點,也有級數(shù)的發(fā)散點. 363) 因為1cosch()2nnncinnee-, 所以 111limlimnnnnnnnnceeecee- - 故收斂半徑1Re 374. 冪級數(shù)的運算和性質 象實變冪級數(shù)一樣, 復變冪級數(shù)也能進行有理運算. 設2010,)(,)(rRzbzgrRzazfnnnnnn在以原點為中心, r1,r2中較小的一個為半徑的圓內, 這兩個冪級數(shù)可以象多項式那樣進行相加, 相減

13、, 相乘, 所得到的冪級數(shù)的和函數(shù)分別就是f(z)與g(z)的和,差與積. 38),min(.|)()()(,|,)()()(210011000000rrRRzzbababazbzazgzfRzzbazbzazgzfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn-39更為重要的是代換(復合)運算.)()(,|,| )(|)(|,)(,|00nnnnnnzgazgfRzrzgzgRzzazfrz時則當解析且滿足內又設在時如果當這個代換運算, 在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時, 有著廣泛的應用.40例 4 把函數(shù)bz -1表成形如-0)(nnnazc的冪級數(shù), 其中 a 與 b 是不相等的復常數(shù). 解 把函數(shù)b

14、z -1寫成如下形式: -nnabazabazabazababazababazbz)()()()()()(1111)()(11322 收斂半徑為 R=|b-a| 41Oxyab當|z-a|b-a|=R時級數(shù)收斂42定理四 設冪級數(shù)-0)(nnnazc的收斂半徑為 R, 則 1) 它 的 和 函 數(shù)-0)()(nnnazczf是 收 斂 圓|z-a|R 內的解析函數(shù). 2) f(z)在收斂圓內的導數(shù)可將其冪函數(shù)逐項求導得到, 即-11)()(nnnaznczf 433) f(z)在收斂圓內可以逐項積分, 即 -010)(1d)(|,d)(d)(nnnzanCnnCazncfRazCzazczzf

15、zz或443 泰勒級數(shù) 設函數(shù) f (z)在區(qū)域D內解析, 而|z-z0|=r為D內以z0為中心的任何一個圓周, 它與它的內部全含于D, 把它記作K, 又設z為K內任一點.z0Kzrz45按柯西積分公式, 有1( )( )d ,2Kff zizzzz-且000000010001111()()1,()11,()nnnzzzzzzzzKzKzzzzzzzzzzzzzzz-由于積分變量取在圓周 上 點 在 的內部所以101000101( )d( )()2()1( )()d .2()NnnnKnnn NKff zzzizfzzizzzzzzz-z0Kzrz46由解析函數(shù)高階導數(shù)公式,上式可寫成( )1

16、000010()( )()( )!1( )( )()2()nNnNnnNnn NKfzf zzzRznfRzzzdizzzz-其中( )000lim( )0,()( )()!NNnnnRzKfzf zzzn-如果能證明在 內成立 則在K內成立, 即 f (z)可在K內用冪級數(shù)表達.000zzzzqzrz-令，q與積分變量z無關, 且0q1.z0Kzrz47 K含于D, f (z) 在D內解析, 在K上連續(xù), 在K上有界, 因此在K上存在正實數(shù) M 使| f (z) | M.01221d| )(|21d)()()(21| )(|000010 - NNNnnKNnnKNnnnNqMqrqrMszz

17、zzfszzzfzRzzzzz因此, 下面的公式在K內成立:( )000()( )()!nnnfzf zzzn-稱為f (z)在z0的泰勒展開式, 它右端的級數(shù)稱為 f (z)在z0處的泰勒級數(shù).48 圓周K的半徑可以任意增大, 只要K在D內. 所以, 如果z0到D的邊界上各點的最短距離為d, 則 f (z)在z0的泰勒展開式在圓域 |z-z0|d 內成立.定理定理(泰勒展開定理) 設 f (z)在區(qū)域D內解析, z0為D內的一點, d為z0到D的邊界上各點的最短距離, 則當|z-z0|d 時, 00( )0( )(),1(),0,1,2,.!nnnnnf zczzcfznn-成立 其中 注注

18、： 如果 f (z)在z0解析, 則使 f (z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑 R等于從z0到 f (z)的距z0最近一個奇點a 的距離, 即R=|a-z0|. 49yz0ax 任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結果就是泰勒級數(shù), 因而是唯一唯一的. 利用泰勒展開式, 我們可以直接通過計算系數(shù):), 2 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn把 f (z)在z0展開成冪級數(shù), 這被稱作直接展開法50例如, 求 ez 在 z = 0處的泰勒展開式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有2e1.2!nzzzzzn 因為ez在復平面內處

19、處解析, 上式在復平面內處處成立, 收斂半徑為+.同樣, 可求得sin z與cos z在z=0的泰勒展開式:3521242sin( 1)3!5!(21)!cos1( 1)2!4!(2 )!nnnnzzzzzznzzzzzn- - - - 51除直接法外, 也可以借助一些已知函數(shù)的展開式, 利用冪級數(shù)的運算性質和分析性質, 以唯一性為依據(jù)來得出一個函數(shù)的泰勒展開式, 此方法稱為間接展開法. 例如sin z在z=0的泰勒展開式也可以用間接展開法得出:003521011( )()sin(ee)22!( 1)3!5!(21)!nniziznnnnnizizziinnzzzzzn- 解 由于函數(shù)有一奇點

20、z-1, 而在|z|1內處處解析, 所以 可在|z|1內展開成z的冪級數(shù). 因為 211( 1),| 1.1nnzzzzz - -例1 把函數(shù) 展開成z的冪級數(shù). 21 1z52將上式兩邊求導得 21121123( 1),| 1.(1)nnzznzzz- - - 例2 求對數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的冪級數(shù)展開式.解 ln(1+z)在從-1向左沿負實軸剪開的平面內是解析的, -1是它的奇點, 所以可在|z|1展開為z的冪級數(shù).-1OR=1xy5301ln(1)( 1),1nnnzzz-因為逐項積分得0001dd( 1)d,1zzznnz-231ln(1)( 1)| 1.231nnzz

21、zzzzn- -即解析在函數(shù)0)(zzf的冪級數(shù)的某鄰域內可展開為在00)(zzzzf-解析在區(qū)域函數(shù)Dzf)(0( )f zDzz-在 內任一點處可展開為的冪級數(shù)推論推論1： 54 注：解析的等價條件：在區(qū)域函數(shù)Dzf)(內可導；在區(qū)域函數(shù)Dzf)() 1 (條件，內可微，且滿足在區(qū)域RCDvu-,)2(關；內連續(xù)且積分與路徑無在區(qū)域函數(shù)Dzf)() 3(內可展開為冪級數(shù)在區(qū)域函數(shù)Dzf)()4(推論推論2： 解析，在區(qū)域設函數(shù)Dzf)(),(,00DzdistRDz00( )f zzzRz-則在內可展開為 的冪級數(shù)推論推論3:冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個奇點. (即使冪級數(shù)在其收

22、斂圓周上處處收斂)55例如：)(02zfnznn1,z 在上絕對收斂),1(21)(1-znzzzfn但)(1zfz時：近于沿實軸從單位圓內部趨當是一個奇點。即1z推論推論4：展開式：解析，且有在設函數(shù)Taylor)(0zzf00( )() ,nnnf zCzz-最近的一個奇點，的距是0)(zzfa為其收斂半徑。則0zR-a例如：,61)(02-nnnzCzzzf; 2R則其收斂半徑,)(61)(02-nnnizCzzzf5.R 則其收斂半徑56而如果把函數(shù)中的x換成z, 在復平面內來看函數(shù)211z1-z2+z4-它有兩個奇點i, 而這兩個奇點都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上, 所以這個級數(shù)的收

23、斂半徑只能等于1. 因此, 即使我們只關心z的實數(shù)值, 但復平面上的奇點形成了限制. 在實變函數(shù)中有些不易理解的問題, 一到復變函數(shù)中就成為顯然的事情, 例如在實數(shù)范圍內, 展開式242211( 1)1nnxxxx - -的成立必須受|x|R1時, 即| z |R, 011()nnnnnncczzz-收斂。因此, 只有在R1|z-z0|R2的圓環(huán)域, 原級數(shù)才收斂.59z0R1R2例如級數(shù)10110(),1,| |,| |.| | | | |.nnnnnnnnnnnnnnazabzbaaazzzzzabzbabazbab與 為復常數(shù)中的負冪項級數(shù)當即時收斂 而正冪項級數(shù)則當時收斂 所以當時,原

24、級數(shù)在圓環(huán)域收斂;當時,原級數(shù)處處發(fā)散60在收斂圓環(huán)域內也具有. 例如, 可以證明, 上述級數(shù)在收斂域內其和函數(shù)是解析的, 而且可以逐項求積和逐項求導.冪級數(shù)在收斂圓內的許多性質, 級數(shù)100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz-現(xiàn)在反問, 在圓環(huán)域內解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級數(shù)?先看下例.6121( )01,(1)0 | 10 |1| 1.0 | 11111( )1.(1)1,( )0 | 1.nf zzzzzzzzf zzzzzzzzzf zz- -函數(shù)在及都不解析 但在圓環(huán)域及內都是解析的先研究的情形:由此可見在內是可以展開為z的冪級數(shù)

25、其次,在圓環(huán)域:0|z-1|1內也可以展開為z-1的冪級數(shù):2121111( )(1)11 (1)11 (1)(1)(1)1(1)1 (1)(1)(1)nnf zzzzzzzzzzzzz- -1Oxy62定理定理 設 f (z)在圓環(huán)域 R1 |z-z0| R2內解析, 則010( )()1( )d . (0, 1, 2,)2()nnnnnCf zczzfcnizzzz- -其中C為在圓環(huán)域內繞z0的任何一條正向簡單閉曲線.證 設z為圓環(huán)域內的任一點, 在圓環(huán)域內作以z0為中心的正向圓周K1與K2, K2的半徑R大于K1的半徑r, 且使z在K1與K2之間.R1R2zrK1zRK2zz063由柯

26、西積分公式得211( )1( )( )22KKfff zddizizzzzzzz-0220,1.zzKzKzzz-對第一個積分在上在內220100,1( )1( )()22()nnnKKffddzzizizzzzzzz-和泰勒展開式一樣 可以推得111( )d .,2KfKizzzzz-第二個積分由于 在上010,1.zzKzzz-點 在的外部0001111zzzzzzzz -因此10011100()1() ,()()nnnnnnzzzzzzzz- - - -R1R2zrK1zRK2zz06411101101( )1( )dd()( ),22()NnNnnKKffzzRzizizzzzzzz-

27、 -1100()( )1( )d .2()nNnn NKzfRzizzzzz-其中000,01|zrqqzzzzz-令則，因此有100001|( )|( )|d2|nNnKzfRzszzzzzz-111112.|( )|.21Nnn NMM qqrMf zKrq-是在上的最大值lim0,lim( )0.NNNNqRz因為所以6500001( )()()() ,nnnnnnnnnf zczzczzczz-因此2110101( )d ,(0,1,2,);2()1( )d ,(1,2,) .2()nnKnnKfcnizfcnizzzzzzz- -如果在圓環(huán)域內取繞z0的任何一條正向簡單閉曲線C, 則

28、根據(jù)閉路變形原理, 這兩個式子可用一個式子來表示:101( )d ,(0, 1, 2,)2()nnCfcnizzzz -Cz0R1R2660101( )( )() ,d ,(0, 1, 2,)2()nnnnnCff zc zzcnizzzz- -于是稱為函數(shù)f (z)在以z0為中心的圓環(huán)域: R1|z-z0|R2內的洛朗(Laurent)展開式, 它右端的級數(shù)稱為 f (z)在此圓環(huán)域內的洛朗級數(shù). 一個在某圓環(huán)域內解析的函數(shù)展開為含有正,負冪項的級數(shù)是唯一的, 這個級數(shù)就是 f (z)的洛朗級數(shù). 根據(jù)由正負整次冪項組成的級數(shù)的唯一性,一般可以用代數(shù)運算, 代換, 求導和積分等方法去展開,

29、以求得洛朗級數(shù)的展開式.67解： 函數(shù) f (z) 在圓環(huán)域 i) 0 |z| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| + 內是處處解析的, 應把 f (z)在 這些區(qū)域內展開成洛朗級數(shù). 1112f zzz-例 把在復平面上展開為z的冪級數(shù)。xyO1xyO12xyO268先把 f (z)用部分分式表示:11( ).12f zzz-2222111i)0 | 1( )12121137(1)1.222248zf zzzzzzzzz-在內:ii) 在1 |z| 2內：111111( )1122112f zzzzzz- -222211111(1)12221111.248nnzzzzzzzzzz-69iii) 在2|z|+內:111111( )121211f zzzzzzz- -22234111124(1)(1)137.z