基于問題與能力培養(yǎng)的數(shù)值分析精品資源共享課建設(shè)

1、基于問題與能力培養(yǎng)的數(shù)值分析精品資源共享課建設(shè) 中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院韓旭里1.數(shù)值分析課程簡介 數(shù)值分析是研究計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論的一門學(xué)科，數(shù)值分析也稱為數(shù)值計(jì)算方法、科學(xué)計(jì)算。 數(shù)值分析屬于計(jì)算數(shù)學(xué)的范疇。數(shù)值分析課程內(nèi)容是計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)內(nèi)容，包括數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)、微分方程數(shù)值解。 該課程是數(shù)學(xué)類專業(yè)（信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)）的專業(yè)基礎(chǔ)課，也可作為理工科專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。大多數(shù)工科研究生將數(shù)值分析作為學(xué)位課程。 數(shù)值分析課程與計(jì)算機(jī)科學(xué)的關(guān)系密切，應(yīng)用性強(qiáng)。 數(shù)值計(jì)算是當(dāng)前各門自然科學(xué)和工程技術(shù)科學(xué)研究的重要手段。 2.數(shù)值分析精品資源共享課

2、程概況 數(shù)值分析課程是數(shù)學(xué)類專業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課，是注重培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維、意識(shí)及能力的重要課程。 教學(xué)重要目標(biāo)之一是加強(qiáng)學(xué)生科學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高學(xué)生對(duì)算法構(gòu)造原理的理解能力和算法設(shè)計(jì)的創(chuàng)新能力。 重要目標(biāo)之二是提高學(xué)生應(yīng)用科學(xué)計(jì)算方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)分析解決實(shí)際問題的能力與技巧，培養(yǎng)從事科學(xué)研究的能力和相關(guān)素質(zhì)。 注重計(jì)算問題的背景和方法應(yīng)用的介紹，注重逼近技巧的靈活性、線性化、離散化和后驗(yàn)分析等重要思想方法的教學(xué)。 經(jīng)典性與現(xiàn)代性兼顧，分析與計(jì)算并重，突出教學(xué)內(nèi)容的實(shí)用性。資源內(nèi)容體現(xiàn)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)和探究性學(xué)習(xí)。 以數(shù)值試驗(yàn)為手段，以應(yīng)用軟件為工具，基于數(shù)值試驗(yàn)問題和算法，強(qiáng)化科學(xué)研究能力、

3、科學(xué)計(jì)算能力和計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。 3.基于問題建設(shè)數(shù)值分析精品資源共享課 數(shù)值分析漫談：課程特點(diǎn)概貌，涉及的問題。如數(shù)學(xué)軟件工具推薦、從數(shù)值分析到藝術(shù)設(shè)計(jì)、隨機(jī)數(shù)據(jù)的樣條插值、來自微分方程的大型方程組 ，等。 從問題和現(xiàn)象出發(fā) ：每章內(nèi)容都有實(shí)際問題和方法背景的引入。 擴(kuò)展問題：典型問題的穩(wěn)定性分析、擾動(dòng)分析、理論與方法擴(kuò)展。 計(jì)算量問題：求n次多項(xiàng)式的值。 秦九韶算法（即Horner算法）：可寫成： 1110( )nnnnnpxa xaxa xa1210( )()nnnnp xa x ax axa x a10,1,2,1,0,( ).nnkkknuauuxaknnp xu 利用公式 的前

4、N項(xiàng)部分和，可以計(jì)算ln2的近似值。若要精確到 ，需要十萬項(xiàng)求和。 如果改用級(jí)數(shù)則只要計(jì)算9項(xiàng)，截?cái)嗾`差便小于 。11ln(1)( 1)nnnxxn51010103211ln2,1321nxxxxxn 高次插值的效果的例子：給定函數(shù) 取等距節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式 。21( ), -11125f xxx 又如又如h(x)=x/(1+x2)在在-5，5上的次數(shù)分上的次數(shù)分別為別為3、8、10次的插值多項(xiàng)式。次的插值多項(xiàng)式。 一塊鋁合金薄板壓成其橫斷面為正弦波的構(gòu)件(如下圖)，要求原材料鋁合金板的長度，也就是從到的曲線弧長，可用積分表示為這是一個(gè)橢圓積分計(jì)算問題 。衛(wèi)星軌道的計(jì)算也一個(gè)橢圓積分

5、計(jì)算問題。 22001 ( )1 cosbbLfxdxxdx 由三角形結(jié)構(gòu)的平衡條件列方程組： 考慮兩環(huán)節(jié)機(jī)器人手臂定位問題 ：求 和 , 使第二臂的端點(diǎn)位于適當(dāng)?shù)奈恢? 比如其坐標(biāo)為 12( ,).p p 特征值問題：在決策評(píng)價(jià)的層次分析法中,兩兩比較判斷矩陣A的元素滿足當(dāng)A為一致性矩陣時(shí)，排序權(quán)向量W與判斷矩陣的關(guān)系是 。 判斷矩陣一般不是一致的。當(dāng)判斷矩陣的一致性指標(biāo)較小時(shí),認(rèn)為判斷矩陣是可以接受的,計(jì)算排序向量的問題可以轉(zhuǎn)化為特征值問題 的計(jì)算。 10,1.ijjiiiijaaaaAwnwAww4.基于能力培養(yǎng)建設(shè)數(shù)值分析精品資源共享課 算法實(shí)現(xiàn)能力 如均差的計(jì)算 ：給定 ， ， ,i

6、ixf0,1,in0 x1x2x3x0f1f2f3f0,1f1,2f2,3f0,1,2f1,2,3f0,1,2,3f只用一維數(shù)組，則比如， 第三列：0 x1x2x3x0f1f2f3f1f2f3f2f3f3f11,1,2,1,1iiiiifffinin nxx 11:1:iiiii kforknforinkfffxxendend又如：矩陣的LU分解， ALU1111,1,kkjkjkrrjrkikikirrkikrual ujknlal uuikn1112131nuuuu2 13 11nlll322nll433nll22232nuuu332nuu135246 分析能力 控制誤差傳播：計(jì)算算法I：

7、算法II： 105nnxIdxx0,1,6n 11111005155nnnnnxxIIdxx dxxn115,1,2,6.nnIInn*00.1823I *60.3083I 111,6,5,1.5nnIInn*600.0262,0.1823.II又如：分段三次Hermite插值的表示 設(shè) ，則1,kkxxx31111( )( )( )( )kkkkkukkHxx fx fx mm2111211211112111( )12,(),( )12,()kkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx如果令 ，則 ，易于推廣到高次插值。1,kk

8、kkkhxx tx xh0,1t 222211( ) (1 2 )(1) ,( )(1) ( )1 2(1),(1)kkkkkka xttxht taxt txht t2223311132231111( ) (1)(1)(1)2(1)3(1)3(1)33kkkkkkkkkkkkkkkkH xtft t fhmt tfhmt fhht ftfmt tfmt f 還有，分段三次Hermite插值式 與三次樣條插值式 的比較 3( )H x3( )s x誤 差：連 續(xù) 性：對(duì)數(shù)據(jù)的依賴：局部方法非局部方法1C2C44384hm445384hm3( )H x3( )s x結(jié)束語 課程資源共享特性之一：科學(xué)計(jì)算方法與逼近技巧靈活，數(shù)值試驗(yàn)工具和內(nèi)容新穎，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法求解實(shí)際問