多自由度系統(tǒng)的振動(研)

1、返回總目錄Mechanical and Structural Vibration機械與結構振動機械與結構振動第第4 4章章 多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動目錄Mechanical and Structural Vibration 第第4 4章章 多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動Mechanical and Structural Vibration4.1.1 頻率方程頻率方程 4.1.2 主振型主振型 4.1.3 位移方程的解位移方程的解 Mechanical and Structural Vibration4.1.1頻率方程頻率方程 m xm xm xk xk xk xm xm xm

2、 xk xkxkxm xm xm xk xkxkxnnnnnnnnnnnnnnnnnn111122111112212112222211222211221122000設n自由度系統(tǒng)運動微分方程的特解為niptAxii, 3 , 2 , 1)sin( 即設系統(tǒng)的各坐標作同步諧振動。上式又可表示為xAsin()pt MxKx 0Mechanical and Structural Vibration4.1.1頻率方程頻率方程 xAsin()ptA AAAAAAnnT1212將解式代入系統(tǒng)運動微分方程，并消去 ，得到sin()pt KAMA0p2KAMA p2()KM A0p2 MxKx 0Mechan

3、ical and Structural Vibration4.1.1頻率方程頻率方程 BKM p2()KM A0p2特征矩陣要使A有不全為零的解，必須使其系數(shù)行列式等于零。于是得到該系統(tǒng)的頻率方程(或特征方程)。KM0p2式是關于p2的n次多項式，由它可以求出n個固有頻率(或稱特征值)。因此，n個自由度振動系統(tǒng)具有n個固有頻率。Mechanical and Structural Vibration4.1.1頻率方程頻率方程 KM0p2A KAA MATT p2KAMA p2可得到AT前乘以下面對其取值情況進行討論。由于系統(tǒng)的質量矩陣M是正定的，剛度矩陣K是正定的或半正定的，因此有p20A KA

4、A MATT0TMAA于是，得到0TKAAMechanical and Structural Vibration4.1.1頻率方程頻率方程 00TT KAAMAA，頻率方程中所有的固有頻率值都是實數(shù)，并且是正數(shù)或為頻率方程中所有的固有頻率值都是實數(shù)，并且是正數(shù)或為零。通常剛度矩陣為正定的稱之為正定系統(tǒng)；剛度矩陣為半零。通常剛度矩陣為正定的稱之為正定系統(tǒng)；剛度矩陣為半正定的稱之為半正定系統(tǒng)。對應于正定系統(tǒng)的固有頻率值是正定的稱之為半正定系統(tǒng)。對應于正定系統(tǒng)的固有頻率值是正的；對應于半正定系統(tǒng)的固有頻率值是正數(shù)或為零。正的；對應于半正定系統(tǒng)的固有頻率值是正數(shù)或為零。一般的振動系統(tǒng)的一般的振動系統(tǒng)的

5、n個固有頻率的值互不相等個固有頻率的值互不相等(也有特殊情也有特殊情況況)。將各個固有頻率按照由小到大的順序排列為。將各個固有頻率按照由小到大的順序排列為012pppn其中最低階固有頻率其中最低階固有頻率p1稱為第一階固有頻率或稱基頻，然后稱為第一階固有頻率或稱基頻，然后依次稱為二階、三階固有頻率等。依次稱為二階、三階固有頻率等。 Mechanical and Structural Vibration對應于對應于pi可以求得可以求得A(i)，它滿足，它滿足4.1.2主振型主振型 0)()(2iipAMK0)(2AMKpA(i)為對應于為對應于pi的特征矢量。它表示系統(tǒng)在以的特征矢量。它表示系統(tǒng)

6、在以pi的頻率作自的頻率作自由振動時，各物塊振幅的相對大小，稱之為第由振動時，各物塊振幅的相對大小，稱之為第i階主振型，也階主振型，也稱固有振型或主模態(tài)。稱固有振型或主模態(tài)。 AAA11121121222212AAAAAAAAAnnnnnnn( )( )( )( ) 對于任何一個對于任何一個n自由度振動系統(tǒng)，總可以找到自由度振動系統(tǒng)，總可以找到n個固有個固有頻率和與之對應的頻率和與之對應的n階主振型階主振型Mechanical and Structural Vibration4.1.2主振型主振型 AAA11121121222212AAAAAAAAAnnnnnnn( )( )( )( )對于任

7、何一個對于任何一個n自由度振動系統(tǒng)，總可以找到自由度振動系統(tǒng)，總可以找到n個固有頻個固有頻率和與之對應的率和與之對應的n階主振型階主振型在主振型矢量中，規(guī)定某個元素的值為在主振型矢量中，規(guī)定某個元素的值為1，并進而確定其，并進而確定其它元素的過程稱為歸一化。它元素的過程稱為歸一化。 令令 ，于是可得第，于是可得第i階主振型矢量為階主振型矢量為Ani ( )1 AiiiTAA121( )( )Mechanical and Structural Vibration4.1.2主振型主振型 主振型矢量也可以利用特征矩陣的伴隨矩陣來求得。主振型矢量也可以利用特征矩陣的伴隨矩陣來求得。BKM p2BBBa

8、dj11特征矩陣特征矩陣逆矩陣逆矩陣BBIBadjB B乘以iiiBBIBadjpi代入0adjiiBBBi 00)()(2iipAMK比較比較 所以伴隨矩陣的每一列就是主振型矢量或者差一常數(shù)因子。所以伴隨矩陣的每一列就是主振型矢量或者差一常數(shù)因子。 AiiBadj任任何何非非零零列列成成比比例例Mechanical and Structural Vibration4.1.3位移方程的解位移方程的解當運動微分方程是位移方程時，仍可設其解具有當運動微分方程是位移方程時，仍可設其解具有sin()pt p2 MAA0niptAxii, 3 , 2 , 1)sin( () MI A012p MI102

9、pLMI 12p特征矩陣頻率方程頻率方程求出求出n個固有頻率，其相應的主振型也可從特征矩陣的伴隨矩個固有頻率，其相應的主振型也可從特征矩陣的伴隨矩陣陣adjL將將pi值代入而求出值代入而求出. 代入位移方程代入位移方程 Mxx0Mechanical and Structural Vibration例例 題題解：選擇解：選擇x1、 x2、 x3坐標如圖所示。則系統(tǒng)的質量矩陣和剛坐標如圖所示。則系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣分別為度矩陣分別為M mmm0000002K 2020kkkkkkk將M和K代入頻率方程KMp20202020222kp mkkkp mkkkp mMechanical and St

10、ructural Vibration例例 圖是三自由度振動系統(tǒng)，設圖是三自由度振動系統(tǒng)，設k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。例例 題題299064223pkmpkmpkmpkmpkmpkm122232012671272631007.,.,.mkpmkpmkp7609. 1,2810. 1,3559. 0321 解方程得到求出系統(tǒng)的三個固有頻率為再求特征矩陣的伴隨矩陣BKMpkp mkkkp mkkkp m222220202Mechanical and Structural Vibration例例 題題 2

11、2222222222222)2()2()2()2)(2()2()2()2)(2(adjkmpkmpkkkmpkkmpkmpkmpkkkmpkkkmpkmpkB設取其第三列(計算時可只求出這一列)，將p1值代入，得到第一階主振型為 A1100001873325092. AA( ).23100000727404709100001100702115 得到第二、三階主振型為三個主振型由圖所示Mechanical and Structural Vibration歸一化后，即令例例 題題 ipAMK)(2 = 0主振型也可由式 求得0)(2AMKpppp123,代入 Aii111 2 3(, )可得主振型

12、Mechanical and Structural Vibration例例 題題例例 在前例中，若在前例中，若k1 =0, 求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。k10K kkkkkkk020相當于圖所示系統(tǒng)中去掉這個彈簧，這時剛度矩陣為相當于圖所示系統(tǒng)中去掉這個彈簧，這時剛度矩陣為解：解：B kp mkkkp mkkkp m2220202()2740342222m pkm pk m p特征矩陣為特征矩陣為可得到頻率方程可得到頻率方程Mechanical and Structural Vibration例例 題題ppkmpkm12223200719227808,.,.ppkmpk

13、m12300848116676,.,.解出得到三個固有頻率ppp123,Badjkk kp mkp mkp mk222222()()()分別代入的第三列歸一化后，得到三個主振型 AAA121100001000010000100000280806404100001780803904 .,.,.Mechanical and Structural Vibration例例 題題 AAA121100001000010000100000280806404100001780803904 .,.,.這種振型是與零固有頻率對應的稱之為零振型。剛度矩這種振型是與零固有頻率對應的稱之為零振型。剛度矩陣陣 是半正定系

14、統(tǒng)。而且，在其運動方向上系統(tǒng)的是半正定系統(tǒng)。而且，在其運動方向上系統(tǒng)的外力的合力為零，是動量守恒系統(tǒng)。外力的合力為零，是動量守恒系統(tǒng)。 K 0Mechanical and Structural Vibration例例 題題 例例 有三個具有質量的小球，置于一根張緊的鋼絲上如圖所有三個具有質量的小球，置于一根張緊的鋼絲上如圖所示。假設鋼絲中的拉力示。假設鋼絲中的拉力T很大，因而各點的橫向位移不會使拉很大，因而各點的橫向位移不會使拉力有明顯的變化。設力有明顯的變化。設m1= m2= m3= m ，尺寸如圖所示，試用位，尺寸如圖所示，試用位移方程求該系統(tǒng)的固有頻率和主振型。移方程求該系統(tǒng)的固有頻率和

15、主振型。 解：系統(tǒng)的質量矩陣是解：系統(tǒng)的質量矩陣是 M mmm000000其柔度矩陣可按柔度影響系數(shù)求出其柔度矩陣可按柔度影響系數(shù)求出Mechanical and Structural Vibration例例 題題1121311311T11TlFlF首先僅在首先僅在m1質量處施加水平單位力質量處施加水平單位力F=1m1位移是m2位移是m3位移是畫出畫出m1的受力圖。根據(jù)平衡條件，得的受力圖。根據(jù)平衡條件，得Tl4311m1211131112324134lTlT,由圖中三角形的幾何關系可解出由圖中三角形的幾何關系可解出112131Mechanical and Structural Vibrati

16、on例例 題題3212421234TFl寫出柔度矩陣寫出柔度矩陣系統(tǒng)的特征矩陣為系統(tǒng)的特征矩陣為222T210001000132124212341pppFmlpIMLL 322422321pT4FmlMechanical and Structural Vibration得頻率方程，即得得頻率方程，即得例例 題題L 0()()28802求出各根，按遞降次序排列求出各根，按遞降次序排列 1232 2222 22(),()于是得到系統(tǒng)的固有頻率于是得到系統(tǒng)的固有頻率pTmlpTmlpTml12223212 224212 224(),()Mechanical and Structural Vibrat

17、ion例例 題題為求系統(tǒng)的主振型，先求出為求系統(tǒng)的主振型，先求出adjL的第一列的第一列)4(42)3(24)3)(4(adj222L AAA123121101121 ,321,代入各階主振型各階主振型歸一化Mechanical and Structural Vibration 第第4 4章章 多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動Mechanical and Structural Vibration4.2.1 主振型的正交性主振型的正交性4.2.2 主振型矩陣與正則振型矩陣主振型矩陣與正則振型矩陣 4.2.3 主坐標和正則坐標主坐標和正則坐標 Mechanical and Structural

18、 Vibration4.2.1主振型的正交性n自由度的振動系統(tǒng)，具有自由度的振動系統(tǒng)，具有n個固有頻率和與之對應的個固有頻率和與之對應的n階階主振型。且這些主振型之間存在著關于質量矩陣和剛度矩主振型。且這些主振型之間存在著關于質量矩陣和剛度矩陣的正交性。陣的正交性。 AAij,ppij, iiip MAAK2 jjjp MAAK2對應于對應于 ()AiT兩邊左乘兩邊左乘轉置，然后右乘轉置，然后右乘 Aj ()()AK AAMAiTjiiTjp2 ()()AKAAMAiTjjiTjp2 ()()ppijiTj220AMA相減相減 ijppij ()AM AiTj 0 ()AK AiTj 0Mec

19、hanical and Structural Vibration4.2.1主振型的正交性表明，對應于不同固有頻率的主振型之間，即關于質量表明，對應于不同固有頻率的主振型之間，即關于質量矩陣相互正交，又關于剛度矩陣相互正交，這就是主振矩陣相互正交，又關于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性。還可以證明，零固有頻率對應的主振型也型的正交性。還可以證明，零固有頻率對應的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關于質量矩陣和剛度矩陣正交。必定與系統(tǒng)的其它主振型關于質量矩陣和剛度矩陣正交。 ()AM AiTj 0 ()AK AiTj 0ijij ()AMAiTiiM (), , ,AK AiTiiKin 12

20、3 Ki稱為第稱為第i階主剛度或第階主剛度或第i階模態(tài)剛度；階模態(tài)剛度；Mi稱為第稱為第i階主質量或第階主質量或第i階階模態(tài)質量。模態(tài)質量。 pKMiniiTiiTiii212 3()(), , ,( )AK AAMA令j = i,Mechanical and Structural Vibration4.2.1主振型的正交性 由于主振型的正交性，不同階的主振動之間不存在動能由于主振型的正交性，不同階的主振動之間不存在動能的轉換，或者說不存在慣性耦合。同樣可以證明第的轉換，或者說不存在慣性耦合。同樣可以證明第i階固有階固有振動的廣義彈性力在第振動的廣義彈性力在第j階固有振動的微小位移上的元功之階

21、固有振動的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同階固有振動之間也不存在勢能的轉和也等于零，因此不同階固有振動之間也不存在勢能的轉換，或者說不存在彈性耦合。換，或者說不存在彈性耦合。 對于每一個主振動來說，它的動能和勢能之和是個常數(shù)。對于每一個主振動來說，它的動能和勢能之和是個常數(shù)。在運動過程中，每個主振動內部的動能和勢能可以互相轉在運動過程中，每個主振動內部的動能和勢能可以互相轉化，但各階主振動之間不會發(fā)生能量的傳遞。化，但各階主振動之間不會發(fā)生能量的傳遞。 從能量的觀點看，各階主振動是互相獨立的，這就是主從能量的觀點看，各階主振動是互相獨立的，這就是主振動正交性的物理意義。振動正交性的物理意

22、義。 Mechanical and Structural Vibration4.2.2主振型矩陣與正則振型矩陣 以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個nn階方陣，稱此階方陣，稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即 AAAAPnnnnnnnAAAAAAAAA()12111212122212AMAMAKAKPTPPPTPP根據(jù)主振型的正交性，可以導出主振型矩陣的兩個性質根據(jù)主振型的正交性，可以導出主振型矩陣的兩個性質MPnMMM12KPnKKK12主質量矩陣主質量矩陣主剛度矩陣主剛度矩陣Mechanical and Structura

23、l Vibration4.2.2主振型矩陣與正則振型矩陣 使使MP由對角陣變換為單位陣由對角陣變換為單位陣 將主振型矩陣的各列除以其對應主質量的平方根，即將主振型矩陣的各列除以其對應主質量的平方根，即 AANiiPiM( )1這樣得到的振型稱為正則振型。這樣得到的振型稱為正則振型。 ()AMANiTNjijij10 ()AKANiTNjipijij20正則振型的正交關系是正則振型的正交關系是第第i階正則振型階正則振型第第i階固有頻率階固有頻率 Mechanical and Structural Vibration4.2.2主振型矩陣與正則振型矩陣 以各階正則振型為列，依次排列成一個以各階正則振

24、型為列，依次排列成一個nn階方陣，稱此方陣階方陣，稱此方陣為正則振型矩陣，即為正則振型矩陣，即 AAAANNNNnNNNnNNNnNnNnNnnAAAAAAAAA()12111212122212222212111nNTNNTNpppPAKAIMAA由正交性可由正交性可導出正則矩導出正則矩陣兩個性質陣兩個性質譜矩陣譜矩陣 Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標和正則坐標 在一般情況下，具有有限個自由度振動系統(tǒng)的質量矩陣和剛在一般情況下，具有有限個自由度振動系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣都不是對角陣。因此，系統(tǒng)的運動微分方程中既有動力度矩陣都不是對角陣。因

25、此，系統(tǒng)的運動微分方程中既有動力偶合又有靜力偶合。對于偶合又有靜力偶合。對于n自由度無阻尼振動系統(tǒng)，有可能選自由度無阻尼振動系統(tǒng)，有可能選擇這樣一組特殊坐標，使方程中不出現(xiàn)偶合項亦即質量矩陣和擇這樣一組特殊坐標，使方程中不出現(xiàn)偶合項亦即質量矩陣和剛度矩陣都是對角陣，這樣每個方程可以視為單自由度問題，剛度矩陣都是對角陣，這樣每個方程可以視為單自由度問題，稱這組坐標為主坐標或模態(tài)坐標。稱這組坐標為主坐標或模態(tài)坐標。由前面的討論可知，主振型矩陣由前面的討論可知，主振型矩陣AP與正則振型矩陣與正則振型矩陣AN，均可，均可使系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣轉換成為對角陣。因此，可利用使系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣轉

26、換成為對角陣。因此，可利用主振型矩陣或正則振型矩陣進行坐標變換，以尋求主坐標或正主振型矩陣或正則振型矩陣進行坐標變換，以尋求主坐標或正則坐標。則坐標。Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標和正則坐標 1. 主坐標主坐標首先用主振型矩陣進行坐標變換，即首先用主振型矩陣進行坐標變換，即xA xPP主坐標矢量主坐標矢量 xA xPP xA xAAAPPnPPPnxxx()1212 xxxxxxnPPnPn12122AAA( )!xA xA xA xiniiPiPinPn112212 3, , ,這組坐標變換的物理意義，可由展開式看出這組坐標變換的物理意

27、義，可由展開式看出Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標和正則坐標 原物理坐標的各位移值，都可以看成是由原物理坐標的各位移值，都可以看成是由n個主振型按一個主振型按一定的比例組合而成。定的比例組合而成。新坐標新坐標xA xA xA xiniiPiPinPn112212 3, , ,比例因子比例因子 系統(tǒng)各坐標值正好與第一階主振型相等，即每個主坐標的系統(tǒng)各坐標值正好與第一階主振型相等，即每個主坐標的值等于各階主振型分量在系統(tǒng)原物理坐標中占有成分的大小。值等于各階主振型分量在系統(tǒng)原物理坐標中占有成分的大小。xxinPPi1102 3,(, , )xA

28、1如果令如果令則可得則可得Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標和正則坐標 將式將式MA xKA x0PPPP xA xPPxA xPP MxKx 0A MA xA KA x0PTPPPTPP APTM xK x0PPPP 由主振型矩陣的兩個性質由主振型矩陣的兩個性質前乘以前乘以由于主質量矩陣和主剛度矩陣都是對角陣，所以方程式中無由于主質量矩陣和主剛度矩陣都是對角陣，所以方程式中無偶合，且為相互獨立的偶合，且為相互獨立的n個自由度運動微分方程。即個自由度運動微分方程。即M xK xinipiiPi(, , , )012 3 第第i階階主質量或模態(tài)

29、質量主質量或模態(tài)質量第第i階階主剛度或模態(tài)剛度主剛度或模態(tài)剛度第第i階主質量階主質量Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標和正則坐標 由物理坐標到模態(tài)坐標的轉換，是方程解耦的數(shù)學過程。由物理坐標到模態(tài)坐標的轉換，是方程解耦的數(shù)學過程。從物理意義上講，是從力的平衡方程變?yōu)槟芰科胶夥匠痰膹奈锢硪饬x上講，是從力的平衡方程變?yōu)槟芰科胶夥匠痰倪^程。在物理坐標系統(tǒng)中，質量矩陣和剛度矩陣一般是非過程。在物理坐標系統(tǒng)中，質量矩陣和剛度矩陣一般是非對角陣，使運動方程不能解耦。而在模態(tài)坐標系統(tǒng)中，第對角陣，使運動方程不能解耦。而在模態(tài)坐標系統(tǒng)中，第i 個模態(tài)坐標代表

30、在位移向量中第個模態(tài)坐標代表在位移向量中第i階主振型（模態(tài)振型）所階主振型（模態(tài)振型）所作的貢獻。任何一階主振型的存在，并不依賴于其他主振作的貢獻。任何一階主振型的存在，并不依賴于其他主振型是否同時存在。這就是模態(tài)坐標得以解耦的原因。因此，型是否同時存在。這就是模態(tài)坐標得以解耦的原因。因此，位移響應向量是各階模態(tài)貢獻的疊加的結果，而不是模態(tài)位移響應向量是各階模態(tài)貢獻的疊加的結果，而不是模態(tài)耦合的結果。各階模態(tài)之間是不耦合的。耦合的結果。各階模態(tài)之間是不耦合的。 Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標和正則坐標 2. 正則坐標正則坐標用正則振型矩陣

31、用正則振型矩陣AN進行坐標變換，設進行坐標變換，設 xA xNNMA xKA x0NNNN MxKx 0正則坐標矢量正則坐標矢量ANTA MA xA KA x0NTNNNTNN前乘以前乘以 xP x0NN2 xp xN iiN i20(, , , )in 12 3 由正則振型矩陣的兩個性質由正則振型矩陣的兩個性質Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標和正則坐標 3. 位移方程的坐標變換位移方程的坐標變換 Mxx0 MA xA x0NNNN設系統(tǒng)的位移方程設系統(tǒng)的位移方程AN1AMA xA A x0NNNNNN11 前乘以前乘以AAA MA xx0

32、NNTNTNNN11 ()單位矩陣的單位矩陣的轉置矩陣轉置矩陣IAA()NTNT1A MAINTNAAA KAPNNTNTNN11121 ()()()譜矩陣的逆矩陣譜矩陣的逆矩陣 Nnppp11112222 NNN xx0 xA xNNIA ANN1Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標和正則坐標 例例 試求前例圖示系統(tǒng)中的主試求前例圖示系統(tǒng)中的主振型矩陣和正則振型矩陣。振型矩陣和正則振型矩陣。 AAAAP().123100001000010000187330727411007250920470902115由質量矩陣由質量矩陣 ，可求出主質量矩陣

33、，可求出主質量矩陣M m100010002MA MAPPTPmmm1710140001972600023010.解：將在前例中求得的各階主解：將在前例中求得的各階主振型依次排列成方陣，得到主振振型依次排列成方陣，得到主振型矩陣型矩陣Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標和正則坐標 于是，可得各階正則振型于是，可得各階正則振型 AAAAAAAAANNNMmMmMm111122223333102418107120106592.以各階正則振型為列，寫出正則振型矩陣以各階正則振型為列，寫出正則振型矩陣ANm102418071200659204530051

34、7907256060670335301394.Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標和正則坐標 K k210121011PA K A2012670001272600031007NTNkm.由剛度矩陣由剛度矩陣可求出譜矩陣可求出譜矩陣 xP x0NN2.xkmxxkmxxkmxNNNNNN112233012670127260310070可寫出以正則坐標表示的運動方程可寫出以正則坐標表示的運動方程展開式為展開式為Mechanical and Structural Vibration 第第4 4章章 多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動Mechanic

35、al and Structural Vibration在前面的討論中，曾假設系統(tǒng)的固有頻率均不相等，而每個固在前面的討論中，曾假設系統(tǒng)的固有頻率均不相等，而每個固有頻率對應一個主振型。但復雜系統(tǒng)中也會出現(xiàn)兩個或兩個以有頻率對應一個主振型。但復雜系統(tǒng)中也會出現(xiàn)兩個或兩個以上頻率相等或相近的情形，這時相對應的主振型就不能唯一地上頻率相等或相近的情形，這時相對應的主振型就不能唯一地確定。確定。為了說明這一點，假設頻率方程有二重根。為了說明這一點，假設頻率方程有二重根。ppp120 1201MAAKp可寫出可寫出 A1 A2 )(210AAKKAba AAA012ab線性組合線性組合說明對應于說明對應

36、于p0的主振型的主振型不能唯一地確定不能唯一地確定 兩個任意常數(shù)兩個任意常數(shù) 2202MAAKp 220120MAAMbpap )(2120AAMbap 020MApMechanical and Structural Vibration 當系統(tǒng)具有重根時，其等固有頻率的主振型要根據(jù)各振型間的正交性來確定。不僅所選定的A(1)和A(2)之間應滿足對M、K的正交關系，而且還必須滿足與其它振型間關于M、K的正交關系。 例 圖示系統(tǒng)是由兩個質量均為m的質點與一無重剛桿組成，且兩質點又分別與彈簧常數(shù)為k的彈簧相連。試求該系統(tǒng)的固有頻率及主振型。Mechanical and Structural Vibr

37、ation解：以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標原點，建立坐標解：以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標原點，建立坐標x1, x2 。寫出系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣為寫出系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣為 M mm00K kk00得到特征矩陣得到特征矩陣BKMpkp mkp m22200得到頻率方程得到頻率方程kp mkp m22000解出系統(tǒng)的兩個固有頻率，是重根。解出系統(tǒng)的兩個固有頻率，是重根。 ppkm12Mechanical and Structural Vibration 2200adjmpkmpkB求出特征矩陣的伴隨矩陣求出特征矩陣的伴隨矩陣并將兩個固有頻率代入該矩陣的任一列，結果是兩個元素全為零。并將兩個固有頻率

38、代入該矩陣的任一列，結果是兩個元素全為零。因此，在重根的情況下無法用伴隨矩陣因此，在重根的情況下無法用伴隨矩陣adjB 確定主振型。確定主振型。 需由正交化求得。由觀察系統(tǒng)的振動現(xiàn)象可知，剛桿具有兩種運動需由正交化求得。由觀察系統(tǒng)的振動現(xiàn)象可知，剛桿具有兩種運動即平動和轉動。因此可假設即平動和轉動。因此可假設 AA121111,然后用兩振型關于然后用兩振型關于M、K的的正交性來校核正交性來校核Mechanical and Structural Vibration 1 1001121100112012mmmmmmiiTi,(),滿足 AMA 1 100110012mmT,()顯然滿足 AMA是該

39、系統(tǒng)的一組正交主振型是該系統(tǒng)的一組正交主振型 AA12和需要指出的是，這種相互獨立正交的需要指出的是，這種相互獨立正交的主振型組可以有無窮多組。就好象在主振型組可以有無窮多組。就好象在平面幾何中，一個圓有無窮多組相互平面幾何中，一個圓有無窮多組相互垂直的二個直徑一樣。圖所示，為另垂直的二個直徑一樣。圖所示，為另一組相互正交的主振型，即一組相互正交的主振型，即 AA121001,Mechanical and Structural Vibration例例 圖所示的系統(tǒng)中，各個質量只圖所示的系統(tǒng)中，各個質量只沿鉛垂方向運動，設沿鉛垂方向運動，設k1= k2= k3= k， m1= M，m2= m3=

40、 m4= m，試求系，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。統(tǒng)的固有頻率和主振型。MxKx0解：解：其中其中MKMmmmkkkkkkkkkk0000000000003000000,Mechanical and Structural VibrationBKM p2300000002222kMpkkkkkmpkkmpkkmp由特征矩陣由特征矩陣建立頻率方程為建立頻率方程為MpkmpkmpmMkmp2222130()()()pppkmpMm kMm123403,()Mechanical and Structural VibrationBKM p2由特征矩陣由特征矩陣22222222)()()()(adjmpk

41、kmpkkmpkkmpkBppMmmMk124203, AA141 1 1 131 1 1 TTmM，求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列Mechanical and Structural Vibration ()KM A0p222 kMmAAAA3111100010001000000012223242求與重根對應的主振型求與重根對應的主振型 ()3012223242MmAAAA 0)(0)(2421MAAMAATT 0302423222124232221mAmAmAAMmmAmAmAMA按第一行展開按第一行展開同時應滿足同時應滿足正交化正交化 A120 AAA2232

42、420 21222423AAA A2021 1TMechanical and Structural Vibration 02)(03)(0)(0)3(343332323433323134343332313134333231mAmAmAmAmAmAAMmmAmAmAMAAAAAmMTTTMAAMAAMAA A331 A3001 1T同理，可得到滿足第三階主振型的關系式同理，可得到滿足第三階主振型的關系式 031A 0343332AAA 02343332mAmAmA A230 A431Mechanical and Structural Vibration 第第4 4章章 多自由度系統(tǒng)的振動多自由度

43、系統(tǒng)的振動Mechanical and Structural Vibration已知已知n自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動運動微分方程自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動運動微分方程M xK x0 xxxx( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )00000000012012xxxxxxnTnT當當t=0時，系統(tǒng)的初始位移與初始速度為時，系統(tǒng)的初始位移與初始速度為求系統(tǒng)對初始條件的響應。求系統(tǒng)對初始條件的響應。求解的方法是：先利用主坐標變換或正則坐標變換，將系統(tǒng)的方求解的方法是：先利用主坐標變換或正則坐標變換，將系統(tǒng)的方程式轉換成程式轉換成n個獨立的單自由度形式的運動微分方程；然后利用個獨立的單自

44、由度形式的運動微分方程；然后利用單自由度系統(tǒng)求解自由振動的理論，求得用主坐標或正則坐標表單自由度系統(tǒng)求解自由振動的理論，求得用主坐標或正則坐標表示的響應；最后，再反變換至原物理坐標求出示的響應；最后，再反變換至原物理坐標求出n自由度無阻尼系自由度無阻尼系統(tǒng)對初始條件的響應統(tǒng)對初始條件的響應.。本節(jié)只介紹用正則坐標變換求解的方法。本節(jié)只介紹用正則坐標變換求解的方法。 Mechanical and Structural VibrationM xK x0 xA xNN0 NNxpx2 由單自由度系統(tǒng)振動的理論，得到關于對初始條件的響應為由單自由度系統(tǒng)振動的理論，得到關于對初始條件的響應為), 3 ,

45、 2 , 1(sin)0(cos)0(nitppxtpxxiiiNiiNiNxA xNNxA xNN1A MAINTNAA MNNT1xA MxNNTxA M xxA MxNNTNNT( ) ( )0000Mechanical and Structural Vibration nNNNnNNNNNxxx2121AAAxAx系統(tǒng)的響應是由各階振型疊加得到的，本方法又稱振型疊加法系統(tǒng)的響應是由各階振型疊加得到的，本方法又稱振型疊加法對于半正定系統(tǒng)，有固有頻率對于半正定系統(tǒng)，有固有頻率 pi = 0 xN i 0 xxxtN iN iN i( )( )00系統(tǒng)具有剛體運動振型系統(tǒng)具有剛體運動振型 n

46、NnNNNNNxxxAAA2211Mechanical and Structural Vibration 例例 在前例中，設初始條件是在前例中，設初始條件是 ,求系統(tǒng)的響應。求系統(tǒng)的響應。 xx( ), ( )0000000aTT解：已求出系統(tǒng)的正則振型解：已求出系統(tǒng)的正則振型矩陣和質量矩陣矩陣和質量矩陣AMNmm1024180712006592045300517907256060670335301394100010002.,0)0(MxAxTNN ( )xA Mx0NNT00002000100011394. 07256. 06592. 03353. 05179. 07120. 06067.

47、04530. 02418. 0am6592. 07120. 02418. 0amMechanical and Structural Vibrationxa mp txa mp txa mp tNNN112233024180712006592.cos.cos.cos得到用正則坐標表示的響應得到用正則坐標表示的響應 xAAANNNNNNxxx112233xxxap tap tap t123123005850109501469050690368700919043450478300919 .cos.cos.cos求出系統(tǒng)對初始條件的響應求出系統(tǒng)對初始條件的響應pkmpkmpkm123035591128

48、117609.,.,.其中其中Mechanical and Structural Vibration 例 (仔細看看)三圓盤裝在可以在軸承內自由轉動的軸上。它們對轉軸的轉動慣量均為I，各段軸的扭轉剛度系數(shù)均為 ，軸重不計。若已知運動的初始條件k0000000TT，解：系統(tǒng)的位置可由三圓盤的解：系統(tǒng)的位置可由三圓盤的轉角轉角 確定，確定，123，IIIkkkkkkk000000020000123123求系統(tǒng)對初始條件的響應。求系統(tǒng)對初始條件的響應。運動微分方程是運動微分方程是求主振型求主振型Mechanical and Structural VibrationIIIkkkkkkk00000002

49、0000123123B kp Ikkkp Ikkkp I222020B ()()kp Ik p Ip I224230ppkIpkI12303,寫出特征方程寫出特征方程得到系統(tǒng)的頻率方程得到系統(tǒng)的頻率方程解出三個固有頻率解出三個固有頻率Mechanical and Structural VibrationppkIpkI12303,三個固有頻率三個固有頻率22222)()(2(adjkIpkkkIpkIpkB求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列將各頻率依次代入，即得各階主振型將各頻率依次代入，即得各階主振型 AAA( ),123111101121 Mechanical an

50、d Structural Vibration AAA( ),123111101121 AP111102111各階主振型各階主振型將三階主振型為列，依次排列組成主振型矩陣將三階主振型為列，依次排列組成主振型矩陣MA MAPPTPIIII111101121000000111102111300020006ANI16231202231求出主質量矩陣求出主質量矩陣求出正則振型，進一步建立正則振型矩陣求出正則振型，進一步建立正則振型矩陣Mechanical and Structural VibrationAA MNNTI16222303121NNTNNI( )( )0000062311010AA求系統(tǒng)初始

51、條件的正則坐標表示求系統(tǒng)初始條件的正則坐標表示NNNNNNtItpp tIpp tpp tIpp t112222223333330303606( )( )sinsin( )sinsinMechanical and Structural Vibration 332211NNNNNNAAA求出響應為求出響應為0000T，若初始條件為若初始條件為求系統(tǒng)的響應求系統(tǒng)的響應0102)0(01INNA000)0(01NNAtpIN2cos0102tpptppttppttpptppt3322333322sin1sin32sin12sin1sin326Mechanical and Structural Vib

52、ration0102)0(01INNA由于初始條件與第二階主振型一致，所以，系統(tǒng)將以第二固有頻由于初始條件與第二階主振型一致，所以，系統(tǒng)將以第二固有頻率率p2作諧振動。作諧振動。 ANNIIp tp t16231202231201010122coscos000)0(01NNAtpIN2cos0102Mechanical and Structural Vibration 第第4 4章章 多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動Mechanical and Structural Vibration一般工程結構和機械的工作狀態(tài)都要避開共振。因此，在設一般工程結構和機械的工作狀態(tài)都要避開共振。因此，在設計

53、過程中，要變更系統(tǒng)的物理參數(shù)，如質量、剛度等，使其固計過程中，要變更系統(tǒng)的物理參數(shù)，如質量、剛度等，使其固有頻率適當?shù)仄x激振力的頻率。所以，需要探討固有頻率隨有頻率適當?shù)仄x激振力的頻率。所以，需要探討固有頻率隨質量、剛度變更的情況。質量、剛度變更的情況。 KAMAiiipin212 3, , , pKMiniiiiTiiTi212 3()(), , ,AKAAMA當K中的元素增大時，pi2將增大；當M中的元素增大時， pi2將減小。 Mechanical and Structural Vibration設系統(tǒng)的M矩陣中各元素不變，求K矩陣元素的變化對系統(tǒng)各階固有頻率的影響。 KAMANii

54、Nip2設系統(tǒng)中第j個彈性元件kj發(fā)生變化，將上式對kj求導數(shù)，得 jiNiiNjiiNjiijiNiNjkpkpkppkkAMAMMAAKAK222 ()ANiT式兩端前乘以0jkM jiNTiNiiNTiNjiijiNTiNiNjTiNkpkppkkAMAMAAAKAAKA)()(2)()(2 ()AMANiTNi 1 KAMANiiNip2轉置轉置 ()()AKAMNiTiNiTp2 jiNTiNijiNTiNkpkAMAAKA)()(2 jiiiNjTiNkppk2)(AKA iNjTiNijikpkpAKA)(21in 12 3, , ,系統(tǒng)各階固有頻率的變化率與剛度元素 的變化率成

55、正比。Mechanical and Structural Vibration jiiiNjTiNkppk2)(AKA iNjTiNijikpkpAKA)(21in 12 3, , ,系統(tǒng)各階固有頻率的變化率與剛度元素的變化率成正比。同理，設系統(tǒng)剛度矩陣K中各元素保持不變，而質量矩陣M 發(fā)生變化，即系統(tǒng)中第個j質量元素mj發(fā)生變化， Mechanical and Structural Vibration若質量的變化率為正時，固有頻率的變化率為負。即質量mj變大時，各階固有頻率相應地要減小。 iNjTiNijimpmpAMA)(21in12 3, , , KAMANiiNip2對mj求導數(shù) ()A

56、NiT式兩端前乘以 jiNTiNiiNjTiNiiNTiNjiijiNTiNmpmpmppmAMAAMAMAAAKA)()()(2)(22 1)(iNTiNMAA KAMANiiNip2轉置轉置 ()()AKAMNiTiNiTp2 jiNTiNijiNTiNmpmAMAAKA)()(2 iNjTiNijiimpmppAMA)(2020jmK jiNiiNjiiNjiijiNiNjmpmpmppmmAMAMMAAKAK222Mechanical and Structural Vibration 第第4 4章章 多自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動Mechanical and Structural

57、 Vibration4.6.1 主振型分析法主振型分析法4.6.2 正則振型分析法正則振型分析法 Mechanical and Structural Vibration4.6.1主振型分析法fFsintMxKxf 設設n自由度無阻尼振動系統(tǒng)受到激振力的作用自由度無阻尼振動系統(tǒng)受到激振力的作用它們?yōu)橥活l率的簡諧函數(shù)。則系統(tǒng)的運動微分方程為它們?yōu)橥活l率的簡諧函數(shù)。則系統(tǒng)的運動微分方程為為了求系統(tǒng)對此激振力的響應，現(xiàn)采用主振型分析法和正為了求系統(tǒng)對此激振力的響應，現(xiàn)采用主振型分析法和正則振型分析法。則振型分析法。利用主坐標變換或正則坐標變換使方程解偶的分析方法，利用主坐標變換或正則坐標變換使方程

58、解偶的分析方法，稱為正規(guī)模態(tài)法或實模態(tài)分析法。稱為正規(guī)模態(tài)法或實模態(tài)分析法。 Mechanical and Structural Vibration4.6.1主振型分析法xA xPPM xK xqPPPPP 利用主坐標變換利用主坐標變換MxKxf qA fA FQPPTPTPttsinsinM xK xQtiPiiPiPisinin12 3, , ,QA FPPT以主坐標表示的受迫振動方程式，它是一組以主坐標表示的受迫振動方程式，它是一組n個獨立的單自個獨立的單自由度方程，即由度方程，即同單自由度無阻尼受迫振動一樣，設其穩(wěn)態(tài)響應是與激振力同單自由度無阻尼受迫振動一樣，設其穩(wěn)態(tài)響應是與激振力同頻

59、率的簡諧函數(shù)，即同頻率的簡諧函數(shù)，即xBtPiPisinin 12 3, , ,Mechanical and Structural Vibration4.6.1主振型分析法BQKMQMpQPiPiiiPiiiiPi222()in12 3, , ,M xK xQtiPiiPiPisinxBtPiPisinttTPPPsindiagsinFaABx faAAxAxTPPPPdiag iiiiiKMMp11222()返回原物理坐標返回原物理坐標這就是系統(tǒng)對簡諧激振力的穩(wěn)態(tài)響應。上述方法即為主振型這就是系統(tǒng)對簡諧激振力的穩(wěn)態(tài)響應。上述方法即為主振型分析法。分析法。FAaQaBTPPPdiagdiag

60、Mechanical and Structural Vibration4.6.2正則振型分析法 xA xNN xP xqNNN2qAfQNNTNtsinQA FNNTMxKxf 將正則坐標變換的關系式由正則振型的正交條件可得到解偶的運動微分方程sinxp xQtNiiNiNi2in12 3, , ,xBtNiNisinBQpQpinNiNiiiNiii2222112 3, , ,可寫成n個獨立的方程FAQBTNNNdiagdiag ttTNNNsindiagsinFABx tTNNNNsindiagFAAxAx 返回原物理坐標fFsintMechanical and Structural Vi